李 寧，潘慧雨，李忠獻

(1.天津大學建筑工程學院，天津 300350；2.濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點實驗室(天津大學)，天津 300350；3.中國地震局地震工程綜合模擬與城鄉(xiāng)抗震韌性重點實驗室(天津大學)，天津 300350)

工程結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)的可靠性分析在工程上有著重要意義，常用評估結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)的安全儲備。而不確定性在實際工程中廣泛存在，通常來自于結(jié)構(gòu)系統(tǒng)本身或環(huán)境相關(guān)的固有隨機性變化，如：材料特性、幾何尺寸、外部載荷等，對結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)的性能及其可靠性有不可避免的影響。因此，考慮結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)本身以及環(huán)境的不確定性，分析工程結(jié)構(gòu)的可靠性十分重要。

考慮不確定性影響的結(jié)構(gòu)可靠性分析常需要通過大量的確定性分析來實現(xiàn)，而復雜結(jié)構(gòu)每一次確定性分析都需要大量計算時間。這導致可靠性分析方法，如：近似解析法(FORM、SORM[1]等)、抽樣仿真方法(蒙特卡洛模擬(MCS)、重要抽樣法(IS)[2]、子集模擬法[3]等)均存在對非線性問題求解精度低且只適用于顯式功能函數(shù)、效率低、樣本量大等問題。

因此，利用代理模型來近似功能函數(shù)計算結(jié)構(gòu)的可靠性分析方法快速發(fā)展起來，如：Kriging模型[4-5]、支持向量機[6-7](SVM)、人工神經(jīng)網(wǎng)絡[8- 9]等。而代理模型方法一般采用無規(guī)則選點，導致選點過多且精度無法保證。主動學習代理模型方法，通過自適應學習函數(shù)加點的方式，選擇性添加樣本點構(gòu)建代理模型，可以實現(xiàn)有限設計點構(gòu)建代理模型，替代復雜且耗時的原模型。

目前，可通過改變選取不同的代理模型或采用新的學習函數(shù)改進上述方法，其中自適應集成策略的可靠性分析方法是目前研究熱點之一。鑒于Kriging 模型[10]可提供預測點響應的均值及方差，有學者基于Kriging 模型提出自適應序列采樣方法，如：KOH 等[11]提出EFF函數(shù)選擇距極限狀態(tài)最近的點作為新增樣本點(AK-MCS+EFF)；ECHARD等[12]提出U 函數(shù)來衡量待測樣本的誤分概率，并將U 值最小點定義為最佳樣本點(AK-MCS+U)；Lü等[13]提出期望風險函數(shù)(ERF)和H 函數(shù)[5]分別在Kriging模型的極限狀態(tài)面附近搜索預測誤差大、信息熵大的點作為新增點；而后SUN 等[14]開發(fā)了最小改進函數(shù)(least improvement function，LIF)，提高了新樣本加入到訓練樣本集后估計失效概率的準確性。而Kriging 的特點是將計算模型輸出的局部變化作為鄰近實驗設計點的函數(shù)進行插值，缺少全局性。SCH?BI等[15]將多項式混沌展開式(polynomialchaosexpansion,PCE)和Kriging 相結(jié)合，提出PCKriging 模型(polynom ial-chaos Krigingmodel)，采用一組稀疏的標準正交多項式逼近計算模型的全局行為，Kriging 控制模型輸出的局部可變性，并基于PC-Kriging 提出一種新的可靠性分析方法[16]。

上述基于代理模型的可靠性分析方法都有著較高的準確度和效率，屬于基于單一代理模型的可靠性分析方法。由于每種代理模型各有優(yōu)勢與缺點，而對具有隱式功能函數(shù)的情形，在設計前難以了解其特性，如何選取合適的代理模型是一個難題。因此，CHENG等[17]提出了一種基于PCE、SVM、Kriging 的集成可靠性分析方法。該方法基于三種代理模型與集成模型計算新的樣本點時，需額外計算預測點的統(tǒng)計信息，引入了集成誤差，可能導致失效邊界擬合不佳。對此，本文提出基于自適應集成學習代理模型(Kriging 模型與PC-Kriging模型)的結(jié)構(gòu)可靠性分析方法。在代理模型能提供預測點統(tǒng)計特征基礎上，擬合失效邊界，提升可靠性分析的準確性與效率，并通過3個算例予以驗證。

1 代理模型

Kriging 和PC-Kriging 模型均在結(jié)構(gòu)可靠性分析方法中經(jīng)過驗證，且在預測過程中均能提供預測點的期望與方差，為學習函數(shù)構(gòu)建提供更多信息，本文選用這兩種模型集成可以避免其他組合方法由于額外計算所增加的不確定性影響。

1.1 Kriging 模型

Kriging[18]起源于地質(zhì)統(tǒng)計學，是一種半?yún)?shù)的高效插值方法，也稱高斯過程回歸，使用最佳線性無偏預測估計給定點的值，解決了非參數(shù)方法的局限性，可表示為：

其中：

式中：ηT(x)為基函數(shù)，β 為對應的回歸系數(shù)向量，則ηT(x)β 表示GKRG(x)的均值；z(x)是均值為0、方差為的高斯過程；過程空間樣本點x i與x j的協(xié)方差可表示為：

表示回歸過程中的廣義均方誤差。R(x i,x j,δ)為由參數(shù)δ 定義的相關(guān)性函數(shù)，描述樣本與樣本間的相關(guān)性。Kriging 采用高斯相關(guān)函數(shù)：

式中：K為樣本數(shù)量；、分別為向量x i與x j的第k個分量；可利用極大似然估計或交叉驗證求解超參數(shù)δ。

假設初始試驗設計X={x1,x2,…,x K}及其對應的極限狀態(tài)Y={y1,y2,…,yK}，通過極大似然估計方法可以估計β 與：

式中，E是K×1階元素皆為1的向量。

考慮任意輸入樣本x及其預測的響應值y服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其預測值如下式：

其方差為：

式中：

根據(jù)該模型，接近已知訓練點的點的響應預測比遠離已知訓練點的點的響應預測具有更高的置信度。Kriging 模型提供的概率信息，可以更有效地用在可靠性估計中選擇下一個樣本點。

1.2 PC-Kriging 模型

上述Kriging 模型的特點，是將計算模型輸出的局部變化作為鄰近的試驗設計點的函數(shù)進行插值，相比之下，PCE[19]則使用一組正交多項式來逼近全局行為。PC-Kriging[15]則將Kriging模型的回歸基函數(shù)采用多項式混沌展開進行替代，增加模型全局性，利用高斯過程捕獲模型的局部變異性，可表示為：

對于每一個x i，(i=1,2,···)為希爾伯特空間L2R,fXm的完全正交基，其與輸入分布相干的正交性可以表示為：

式中：λij為1(i=j)或0(i≠j)；fXm(x)為x的第m個邊緣概率密度函數(shù)。

本文采用最優(yōu)PC-Kriging 模型，假設輸入隨機變量x服從各分量獨立的多元標準正態(tài)分布，采用最小角回歸(LAR)[20]理論確定函數(shù)的基函數(shù)集個數(shù)，構(gòu)建回歸基函數(shù)的最優(yōu)多項式數(shù)量集，采用Akaike 信息準則(AIC)[21]來確定最優(yōu)的截斷集合。得到的模型根據(jù)它們各自的全局留一(leave-one-out,LOO)交叉驗證誤差進行排序，并選擇具有最小LOO誤差的代理模型作為最優(yōu)PCKriging 模型。

2 代理模型集成學習策略

不同的代理模型各有優(yōu)劣，當缺乏描述響應和輸入變量之間關(guān)系的信息時，工程師很難判斷選擇何種代理模型是最佳代理模型，且代理模型的精度依賴于訓練數(shù)據(jù)集中的設計點數(shù)以及響應的形式(線性、非線性、噪聲、平滑等)。GOEL等[22]指出，代理模型預測存在不確定性，因此選擇合適的學習策略，對適應性較廣的不同代理模型進行集成，由此得到的集成學習代理模型利用了獨立代理模型的預測能力，可提高響應預測的準確性。

本文利用Kriging 模型和PC-Kriging 模型共同具備預測點響應的均值及方差的能力，對以上兩種代理模型進行集成，具體表述為：

式中：GW(x)為集成學習代理模型的預測響應；VW(x)為集成學習代理模型對預測點的響應方差；型在樣本點x相關(guān)聯(lián)的集成系數(shù)，具體表述為：N為不同代理模型的數(shù)量，本文N=2；(x)為第i個代理模型的預測響應；?i(x)為與第i個代理模

式中，eLOO,i為第i個代理模型的全局留一(Leaveone-out,LOO)交叉驗證誤差。在本文中，設α=0.05和β=1[22]，較小α 和較大β 賦予最優(yōu)代理模型高權(quán)重，將相對平均的系數(shù)分配給每個代理模型，因此，具有小eLOO的代理模型在自適應集成模型中起主導作用。

3 自適應集成學習代理模型方法

在本節(jié)中，基于集成學習代理模型提出了一種新的可靠性分析方法。

3.1 學習函數(shù)

學習函數(shù)是將候選樣本池的樣本點進行排序，篩選新的樣本點以豐富當前訓練樣本集，從而達到提高代理模型精度的目的。本文利用Kriging 和PC-Kriging模型可提供預測點均值與方差的特性，以U 函數(shù)為基礎，構(gòu)建一種新的加權(quán)學習函數(shù)：

當x越接近失效邊界，即|GW(x)|越小越接近于0時，或當VW(x)較大即存在較大的預測誤差時，UW(x)值越小，因此可以通過計算侯選樣本池中樣本點的UW，取其中最小值對應的樣本點x添加到當前訓練樣本集中，以優(yōu)化加權(quán)代理模型。

3.2 收斂準則

在本文中，依照加權(quán)代理模型特性，采用基于方差與失效概率的收斂準則，取ε0=0.05，且滿足連續(xù)2 次迭代成立即收斂，定義失效概率停止收斂準則如下：

式中：

本文中設置置信度k=2。

3.3 本文提出算法流程

為所提出方法的流程如圖1所示。步驟如下：

圖1 所提結(jié)構(gòu)可靠性分析方法流程圖Fig.1 The flowchart of the proposed structure reliability analysis method

步驟1.采用拉丁超立方(LHS)生成少量的初始樣本點訓練集X=[x1,x2,x3,···,xn]；

步驟2.利用真實模型或函數(shù)計算相應響應值Y；

步驟3.利用樣本集{X,Y}同時訓練Kriging 模型和PC-Kriging 模型，并計算兩種模型全局留一交叉驗證誤差eLOO，通過式(19)計算各模型加權(quán)集成系數(shù)，構(gòu)建加權(quán)代理模型，構(gòu)建兩種代理模型采用Matlab工具UQLAB[23]；

步驟4.取式(20)計算侯選樣本集S對應學習函數(shù)值UW，取UW最小值的點作為新樣本點xnew，真實模型或功能函數(shù)計算相應響應值ynew=GW(xnew)，添加至初始樣本集中，X=X∪xnew，Y=Y∪xnew；

步驟5.通過式(23)利用已構(gòu)建代理模型計算失效概率Pf；

步驟6.重復步驟3～步驟5，直到滿足收斂準則式，停止并計算失效概率。

4 算例分析

本節(jié)采用極限狀態(tài)函數(shù)的非線性程度、隨機變量維數(shù)、復雜程度不同的算例[12, 24-25]進行可靠性分析。

4.1 二隨機變量算例

該算例是一個四邊界串聯(lián)系統(tǒng)[12,24]，其具有很強的非線性行為，該系統(tǒng)表達為：

其中，x1和x2的分布服從正態(tài)分布，如表1所示。

表1 四邊界串聯(lián)系統(tǒng)的分布參數(shù)特征Table1 Distributed parameter characteristics of four boundary series systems

采用MCS方法根據(jù)參數(shù)分布生成106隨機樣本作為侯選樣本池S，采用拉丁超立方抽樣的方法生成20個侯選樣本點。執(zhí)行所提出的學習算法，并通過所提出的學習函數(shù)依次添加新樣本，直到滿足停止標準。運算結(jié)果如表2所示。

表2 四邊界串聯(lián)系統(tǒng)的計算結(jié)果Table2 Calculation resultsof four boundary series system

表2可知，所提方法與基于U 學習函數(shù)的AK-MCS方法和基于EFF學習函數(shù)的AK-MCS方法比較。結(jié)果表明，所提方法能夠顯著減少系統(tǒng)模型下對其性能函數(shù)的調(diào)用次數(shù)，迭代20次時，逐漸收斂至真實失效概率。以106次MCS結(jié)果作為結(jié)構(gòu)可靠性分析結(jié)果的參考解，在相同初始試驗設計條件下，取停止閾值為0.05時，所提方法調(diào)用性能函數(shù)97次，比AK-MCS+U 和AK-MCS+EFF在調(diào)用次數(shù)上降低2%和14.8%，在精確程度上提升88.9%和71.3%；當取停止閾值為0.03時，所提方法調(diào)用性能函數(shù)113次，在調(diào)用次數(shù)上大致相同，在精確程度上分別提升61.2%和0%。圖2表示所提方法在迭代過程的集成系數(shù)變化和失效概率收斂過程。

圖2 所提方法：集成系數(shù)變化曲線和失效概率收斂曲線Fig.2 The proposed method:Ensemble coefficient variation curve and failure probability convergence curve

圖3和圖4分別給出了AK-MCS+U 與所提方法擬合模型失效邊界的過程，在增加樣本點25次時，AK-MCS+U 方法僅擬合一條失效邊界，而所提方法可實現(xiàn)大致擬合四條失效邊界，提升收斂效率。在滿足收斂準則后，較AK-MCS+U，所提方法擬合邊界更精確、迭代次數(shù)更少。

圖3 失效邊界擬合過程：AK-MCS+UFig.3 Failure boundary fitting process:AK-MCS+U

圖4 失效邊界擬合過程：所提方法Fig.4 Failure boundary fitting process:The proposed method

4.2 六隨機變量算例

六隨機變量算例是一個高非線性振子系統(tǒng)[12,25]，該系統(tǒng)如圖5所示。

圖5 高非線性振子系統(tǒng)Fig.5 Highly nonlinear vibration subsystem

算例中采用MCS生成樣本數(shù)為106的計算結(jié)果為標準，進行對比分析，其極限狀態(tài)函數(shù)(功能函數(shù))為：

表3 高非線性振子系統(tǒng)的參數(shù)分布特征Table 3 Parameter distribution of highly nonlinear vibration subsystem

表4將非線性振子系統(tǒng)中所提方法與AKMCS+U 方法和AK-MCS+EFF方法結(jié)果進行了比較。結(jié)果表明，所提方法能夠顯著減少模型對其性能函數(shù)的調(diào)用次數(shù)，以106次MCS結(jié)果作為結(jié)構(gòu)可靠性分析結(jié)果的參考解，在相同初始試驗設計條件下，取停止閾值為0.05、0.03時，所提方法調(diào)用性能函數(shù)次數(shù)分別為36、56，分別比AKMCS+U 和AK-MCS+EFF在調(diào)用次數(shù)上降低69.2%和79.8%，52.1%和68.5%。取停止閾值為0.3時，所提方法在精確程度上均提升100%。圖6表明，所提方法在迭代過程的集成系數(shù)變化和失效概率收斂過程，經(jīng)歷10次迭代時，預測值開始接近參考解。表5比較不同方法CPU 計算時間，所提方法計算效率較優(yōu)。綜上，所提方法適用于非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。

表5 高非線性振子系統(tǒng)的CPU 計算時間Table5 CPU calculation time of highly nonlinear vibration subsystem

圖6 所提方法：集成系數(shù)變化曲線和失效概率收斂曲線Fig.6 The proposed method:Ensemble coefficient variation curve and failure probability convergence curve

表4 高非線性振子系統(tǒng)的計算結(jié)果Table 4 Calculation resultsof highly nonlinear vibration subsystem

4.3 九自由度模型算例

如圖7所示，該算例為一個懸臂圓筒結(jié)構(gòu)[24-25]的九個變量問題，對懸臂結(jié)構(gòu)施加3個外力和1個扭轉(zhuǎn)。為包含一組不同的隨機變量，本文考慮三種類型的分布情況：正態(tài)分布、Gumbel 分布和均勻分布，具體參數(shù)如表6所示。其功能函數(shù)定義如下：

表6 懸臂式圓筒結(jié)構(gòu)的分布參數(shù)特征Table 6 Distribution parameter characteristicsof cantilever cylinder structure

圖7 懸臂式圓筒結(jié)構(gòu)Fig.7 Cantilever cylinder structure

式中：S表示為結(jié)構(gòu)屈服強度；σmax為結(jié)構(gòu)在原點所受最大應力，表示為：其中：θ1=5°，θ2=10°，A=[d2-(d-2t)2]π/4是管的截面面積；M=F1L1cosθ1+F2L2cosθ2為所受彎矩；I=[d4-(d-2t)4]π/64為截面慣性矩；τzx為扭轉(zhuǎn)應力，τzx=Td/2J，J=2I；c=d/2為圓筒半徑。

該結(jié)構(gòu)可靠性分析計算結(jié)果如表7與圖8所示，表8比較各方法的CPU 計算效率。所提算法在迭代21次失效概率收斂于MCS參考值，計算效率較高。在給定的閾值下，所有考慮的方法的候選設計樣本S和初始訓練點保持相同。結(jié)果表明，所提方法是求解高維問題有效的方法。實際上，與AK-MCS+U 和AK-MCS+EFF方法相比，所提方法對功能函數(shù)的調(diào)用次數(shù)分別減少了54%和36%，47%和29%。在停止閾值為0.05時，調(diào)用次數(shù)與預測真實的失效概率效果最好，可能是過擬合所致。綜上結(jié)果，證明了所提方法在非線性程度和隨機變量維數(shù)不同復雜性系統(tǒng)中的適用性。

表7 懸臂式圓筒結(jié)構(gòu)的計算結(jié)果Table7 Calculation resultsof cantilever cylinder structure

表8 懸臂式圓筒結(jié)構(gòu)的CPU 計算時間Table 8 CPU calculation time of highly nonlinear vibration subsystem

圖8 所提方法：集成系數(shù)變化曲線和失效概率收斂曲線Fig.8 The proposed method:Ensemble coefficient variation curveand failure probability convergence curve

5 結(jié)論

本文提出基于自適應集成學習代理模型的結(jié)構(gòu)可靠性分析方法，并用算例驗證了該方法的合理性，具體如下：

(1)將Kriging 模型與PC-Kriging模型進行留一交叉驗證，建立集成學習代理模型。綜合兩種模型的優(yōu)勢，應用于結(jié)構(gòu)可靠性分析。

(2)利用Kriging 模型與PC-Kriging 模型提供的預測點的統(tǒng)計特征，基于U學習函數(shù)，提出一種新的學習函數(shù)UW。該算法提高了選點的效率。

(3)通過3個非線性數(shù)值算例，對本文提出的基于自適應集成學習代理模型的結(jié)構(gòu)可靠性分析方法，大幅減少了對功能函數(shù)的調(diào)用次數(shù)，以及準確地估計失敗概率，減少錯誤率。

需要說明的是，本文方法在建模、計算中沒有對結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的非線性形式、隨機變量數(shù)量做特定假設。因此，理論上，該方法能夠應用于工程中非線性程度較高、隨機變量復雜的情況。且通常情況下，真實結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)模型較代理模型的擬合過程要遠遠費時，構(gòu)造多個代理模型所產(chǎn)生的額外計算量很小，并不會影響算法計算效率。