屈 瑞 宋 友 李國(guó)賓 劉志江 鄧 麗 段 然

1. 北京航空航天大學(xué)軟件學(xué)院，北京 100191 2. 中國(guó)科學(xué)院國(guó)家空間科學(xué)中心復(fù)雜航天系統(tǒng)電子信息技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190

0 引言

無(wú)源定位是一種在自身不發(fā)射電磁波的情況下，利用被探測(cè)目標(biāo)自身所發(fā)出的信號(hào)進(jìn)行定位的目標(biāo)探測(cè)技術(shù)。目前基于多星系統(tǒng)的無(wú)源定位已廣泛應(yīng)用于軍事和民用領(lǐng)域[1-3]，包括無(wú)線通信[2]、布站[4]、雷達(dá)[5]、導(dǎo)航等[6-8]。隨著大規(guī)模衛(wèi)星星座網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，開(kāi)展多星聯(lián)合定位，有效提升定位精度越來(lái)越重要。

多星定位可以利用的參數(shù)包括到達(dá)角(Angel of Arrival，AOA)、到達(dá)時(shí)間(Time of Arrival，TOA)、到達(dá)時(shí)間差(Time Difference of Arrival，TDOA)、到達(dá)頻率差(Frequency Difference of Arrival，F(xiàn)DOA)等。聯(lián)合多種測(cè)量參數(shù)的定位體制可以融合不同參數(shù)的優(yōu)勢(shì)，提升對(duì)目標(biāo)輻射源信號(hào)類(lèi)型的適應(yīng)能力，并在一定程度上提高定位精度。

HO等首次提出TDOA/FDOA算法是對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行定位的經(jīng)典兩階加權(quán)的最小二乘(weighted least squares, WLS)算法[9]并推導(dǎo)了多星TDOA/FDOA聯(lián)合定位的誤差CRLB，通過(guò)此方法計(jì)算出了無(wú)偏估計(jì)器中最優(yōu)無(wú)偏估計(jì)器能夠產(chǎn)生的最小的定位誤差[10]。CHOU等計(jì)算了雙星聯(lián)合定位的幾何精度因子(geometric dilution of precision, GDOP)和方差，得出TDOA/FDOA定位曲面與地球表面夾角為直角時(shí)定位誤差最小的結(jié)論[11]。常新亞等根據(jù)雙星時(shí)差/頻差(TDOA/FDOA)的定位原理，推導(dǎo)了目標(biāo)定位精度模型，分析了目標(biāo)定位精度與誤差源之間的關(guān)系，且通過(guò)分析得知FDOA測(cè)量精度和衛(wèi)星速度測(cè)量精度是影響雙星定位的關(guān)鍵因素之一[12]。豐澤斌等在應(yīng)用GPS、北斗等系統(tǒng)進(jìn)行定位時(shí)，使用通過(guò)信號(hào)質(zhì)量、仰角的選擇并結(jié)合模糊綜合評(píng)判的一系列選星策略，來(lái)高效選取最佳衛(wèi)星組合[13]?？祰?guó)華等提出了一種基于M-W組合觀測(cè)值進(jìn)行自適應(yīng)估計(jì)觀測(cè)噪聲的方法，通過(guò)對(duì)觀測(cè)噪聲統(tǒng)計(jì)實(shí)時(shí)估計(jì)觀測(cè)噪聲[14]。任凱強(qiáng)等針對(duì)三星時(shí)差定位系統(tǒng)中，由星歷誤差和時(shí)間同步誤差導(dǎo)致無(wú)法精確定位的問(wèn)題，提出一種基于正交投影的兩步迭代有源校正算法[15]。

上述研究側(cè)重于定位算法的改進(jìn)和優(yōu)化，對(duì)星座構(gòu)型特別是星下點(diǎn)構(gòu)型對(duì)定位精度的影響分析研究較少。本文基于TDOA/FDOA對(duì)地面輻射源目標(biāo)的定位原理，建立了多星TDOA/FDOA聯(lián)合定位模型和定位精度分析模型。針對(duì)三星和四星系統(tǒng)的不同星下點(diǎn)構(gòu)型，仿真分析了5種三星系統(tǒng)星下點(diǎn)構(gòu)型和4種四星系統(tǒng)星下點(diǎn)構(gòu)型的目標(biāo)定位精度。

1 多星TDOA/FDOA定位的基本原理

多星TDOA/FDOA定位是通過(guò)配置有接收和處理模塊的多顆衛(wèi)星同時(shí)接收運(yùn)動(dòng)的目標(biāo)輻射源的發(fā)射信號(hào)，根據(jù)信號(hào)到達(dá)不同衛(wèi)星的時(shí)間差、多普勒頻移差來(lái)確定目標(biāo)的位置。

設(shè)地面輻射源目標(biāo)的位置坐標(biāo)為u。衛(wèi)星的位置坐標(biāo)為si，i為衛(wèi)星序號(hào)，假設(shè)選取1號(hào)衛(wèi)星為主參考星(以下簡(jiǎn)稱(chēng)“主星”)，其他星為副星，在計(jì)算TDOA與FDOA時(shí)副星均以主星為參考，衛(wèi)星與目標(biāo)的相對(duì)位置為ri，相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度為vi。TDOA/FDOA定位原理表示如式(1)。

(1)

式中：TDOAi為主星與i號(hào)副星的到達(dá)時(shí)間差，F(xiàn)DOAi為主星與i號(hào)副星的到達(dá)頻率差。f為探測(cè)頻率，c為光速。通過(guò)衛(wèi)星探測(cè)數(shù)據(jù)得到的兩星之間的時(shí)差和頻差，聯(lián)合求解非線性方程組，計(jì)算出目標(biāo)位置。該方程屬于非線性的三元高次方程，一般通過(guò)數(shù)值迭代和多維搜索取得一定精度下的近似解。國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了很多進(jìn)行解算的方法，包括降元法、基于泰勒級(jí)數(shù)法的求解法、牛頓迭代求解法等。本文不對(duì)其求解方法進(jìn)行討論，主要對(duì)該方法的定位精度進(jìn)行分析。

2 多星構(gòu)型的定位精度分析

目標(biāo)的定位精度受多種因素影響，包括星座構(gòu)型、測(cè)量因素和目標(biāo)輻射源本身特性，如圖1所示。星下點(diǎn)構(gòu)型主要影響基線長(zhǎng)度和基線方向。

圖1 目標(biāo)定位精度影響因素

這里以三星定位為例，基于多星TDOA/FDOA定位原理，可以進(jìn)一步推導(dǎo)出目標(biāo)定位精度模型。由式(1)可知，

(2)

利用全微分法對(duì)其影響因素對(duì)定位精度的影響進(jìn)行建模。對(duì)式(2)中的變量TDOA2,TDOA3,FDOA2,FDOA3,(x,y,z),(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),(x3,y3,z3),(vx1,vy1,vz1),(vx2,vy2,vz2),(vx3,vy3,vz3)進(jìn)行一階線性近似展開(kāi)，可得其定位精度評(píng)定模型。

(3)

將式(3)改寫(xiě)為：

(4)

(5)

設(shè)K1=B1+B2+B3,K2=B2,K3=B3,K4=B4,K5=B5,K6=B6, 并認(rèn)為兩顆衛(wèi)星的位置測(cè)量精度、速度測(cè)量精度、TDOA測(cè)量精度、FDOA測(cè)量精度互不相關(guān)，則利用矩陣相關(guān)運(yùn)算得到：

(6)

式中：M為T(mén)DOA和FDOA測(cè)量精度的相關(guān)矩陣；Ei為位置測(cè)量精度和速度測(cè)量精度的相關(guān)矩陣。從上面的分析結(jié)果可以看出，計(jì)算定位精度需要計(jì)算TDOA和FDOA測(cè)量精度相關(guān)矩陣M、位置測(cè)量精度及速度測(cè)量精度相關(guān)矩陣Ei。

假設(shè)信號(hào)TDOA和FDOA的測(cè)量精度均值為0，且互不相關(guān)，則TDOA和FDOA的測(cè)量精度相關(guān)矩陣為：

(7)

這里認(rèn)為絕對(duì)位置測(cè)量精度分量 dxi, dyi,dzi是各自獨(dú)立的隨機(jī)變量，因此衛(wèi)星不同時(shí)刻的絕對(duì)位置測(cè)量精度相關(guān)矩陣為

(8)

式中:σas為主星的絕對(duì)位置測(cè)量精度。2號(hào)副星及3號(hào)副星相對(duì)于1號(hào)主星的相對(duì)位置測(cè)量精度相關(guān)矩陣為

(9)

式中:σrs為相對(duì)位置測(cè)量精度。三星的速度測(cè)量精度相關(guān)矩陣表示為

Ei=diag(D(dvxj),D(dvyj),D(dvzj)),
i=4,5,6,j=1,2,3

(10)

式中：D(dvxj),D(dvyj),D(dvzj)分別表示1號(hào)主星、2號(hào)副星和3號(hào)副星在x、y、z方向上的速度測(cè)量精度。

目標(biāo)定位精度σ用式(8)計(jì)算出的3個(gè)正交方向上的測(cè)量精度σx,σy,σz表示，即：

(11)

以上為三星定位系統(tǒng)的目標(biāo)定位精度模型，四星定位系統(tǒng)的目標(biāo)定位精度模型與之同理，這里就不再贅述。

3 仿真校驗(yàn)

3.1 仿真輸入

仿真軌道高度600km圓軌道，波束角40°，探測(cè)區(qū)域1000km，多顆衛(wèi)星近似在同一軌道面內(nèi)。

各項(xiàng)測(cè)量精度指標(biāo)為：目標(biāo)輻射信號(hào)頻率為3GHz，TDOA測(cè)量精度為100ns，F(xiàn)DOA測(cè)量精度為20Hz，速度測(cè)量精度為10m/s，絕對(duì)位置測(cè)量精度為100m，相對(duì)位置測(cè)量精度為10m。各個(gè)測(cè)量量彼此相互獨(dú)立。

有效定位區(qū)域：滿(mǎn)足目標(biāo)定位精度小于或等于10km的區(qū)域。定位因子：有效定位區(qū)域占探測(cè)區(qū)域的比值。

3.2 三星構(gòu)型的目標(biāo)定位精度分析

對(duì)比5種典型的衛(wèi)星星下點(diǎn)構(gòu)型的定位精度分布情況，每種構(gòu)型中的最長(zhǎng)基線均為900km。5種構(gòu)型星下點(diǎn)分布分別為直線型、頂角為30°的等腰銳角三角形、等邊三角形、頂角為90°的等腰直角三角形、頂角為120°的等腰鈍角三角形。

探測(cè)區(qū)域?yàn)槿嵌ㄎ幌到y(tǒng)中心星下點(diǎn)為中心，經(jīng)仿真分析，其探測(cè)區(qū)域內(nèi)的定位精度如圖2所示，其中圓圈代表衛(wèi)星的星下點(diǎn)位置分布，箭頭表示各衛(wèi)星的速度。

圖2 三星不同星下點(diǎn)構(gòu)型時(shí)探測(cè)區(qū)域的GDOP圖

3.3 四星構(gòu)型的定位精度分析

對(duì)比4種典型的衛(wèi)星星下點(diǎn)構(gòu)型的定位精度分布情況，每種構(gòu)型中的最長(zhǎng)基線均為900km。4種典型構(gòu)型的星下點(diǎn)分布為：直線型、近似等腰直角三角形、等邊三角形和凸四邊形。仿真分析，探測(cè)區(qū)域的定位精度如圖3所示，其中圓圈代表衛(wèi)星的星下點(diǎn)位置分布，箭頭表示各衛(wèi)星的速度。

圖3 四星不同星下點(diǎn)構(gòu)型時(shí)探測(cè)區(qū)域的GDOP圖

3.4 數(shù)據(jù)分析

經(jīng)仿真計(jì)算得到的三星構(gòu)型和四星構(gòu)型的定位精度和定位因子如表1所示：

表1 不同構(gòu)型的定位精度均值及定位因子

三星定位系統(tǒng)中，星下點(diǎn)等邊三角形構(gòu)型的定位精度分布最優(yōu)，在定位區(qū)域內(nèi)的定位有效區(qū)域達(dá)到100%，且在定位區(qū)域內(nèi)的平均定位精度達(dá)到6.1m。直線型構(gòu)型定位精度最差。三星星下點(diǎn)位置越分散，目標(biāo)區(qū)域內(nèi)的定位精度越高。

四星定位系統(tǒng)中，星下點(diǎn)凹四邊形構(gòu)型的定位精度分布最優(yōu)，在定位區(qū)域內(nèi)的定位有效區(qū)域達(dá)到100%，且在定位區(qū)域內(nèi)的平均定位精度達(dá)到5.9m；其次是星下點(diǎn)凸四邊形構(gòu)型，在定位區(qū)域內(nèi)的定位有效區(qū)域同樣達(dá)到100%，在定位區(qū)域內(nèi)的平均定位精度為6.3m，構(gòu)型2的定位精度相對(duì)構(gòu)型3和構(gòu)型4較低，定位精度為7.8m。構(gòu)型1直線型，存在定位盲區(qū)，且定位精度較差，有效定位區(qū)域內(nèi)的定位精度為639.5m。同樣可以看出，四星星下點(diǎn)位置越分散，目標(biāo)區(qū)域內(nèi)的定位精度越高。

對(duì)比四星定位和三星定位，衛(wèi)星數(shù)量的增減，能提升定位精度。三星及四星定位系統(tǒng)中，當(dāng)衛(wèi)星構(gòu)型為非直線型時(shí)，其定位精度能達(dá)到米級(jí)左右。在觀測(cè)范圍內(nèi)，星下點(diǎn)位置越分散，目標(biāo)區(qū)域內(nèi)的定位精度越高。

因此，為了獲得更高的精度，應(yīng)該盡量應(yīng)用非直線型的三星及四星定位系統(tǒng)對(duì)目標(biāo)進(jìn)行觀測(cè)，同時(shí)，各衛(wèi)星之間的基線盡可能拉長(zhǎng)。

4 結(jié)論

大規(guī)模衛(wèi)星星座的發(fā)展，使得目標(biāo)定位精度的分析更為重要。目標(biāo)定位受多種因素影響，包括星座構(gòu)型、測(cè)量因素和目標(biāo)輻射源本身特性。本文在假定測(cè)量因素確定的條件下，針對(duì)性地分析了多顆衛(wèi)星不同星下點(diǎn)構(gòu)型對(duì)定位精度的影響。定位衛(wèi)星數(shù)量的增加，可以提高定位精度。星下點(diǎn)位置越分散，目標(biāo)區(qū)域內(nèi)的定位精度越高，盡量避免選用星下點(diǎn)直線型的三星及四星定位系統(tǒng)。在未來(lái)利用大規(guī)模衛(wèi)星星座進(jìn)行目標(biāo)定位時(shí)，本文研究為針對(duì)性地選取可視衛(wèi)星和定位精度分析提供了有效支撐。