馮路明 路坤鋒 劉曉東

1.北京航天自動控制研究所，北京 100854 2.宇航智能控制技術國家級重點實驗室，北京 100854

0 引言

空間航天器在執(zhí)行對目標跟蹤與觀測、編隊飛行、空間交會對接、軌道轉(zhuǎn)移等空間任務時，需要航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)精確地跟蹤指令坐標系。姿態(tài)控制系統(tǒng)的設計效果對在軌服務性能的穩(wěn)定性和可靠性有著十分重要的影響[1]，因此姿態(tài)控制系統(tǒng)研究一直是空間科學和技術領域的一個熱點問題。

航天器執(zhí)行任務期間需要從初始姿態(tài)過渡到指令姿態(tài)并實現(xiàn)姿態(tài)指令的穩(wěn)定跟蹤，描述飛行器的姿態(tài)運動通常采用歐拉角法和四元數(shù)法。由于航天器姿態(tài)機動范圍大，當采用歐拉角法時，歐拉方程將出現(xiàn)奇異點。而四元數(shù)微分方程是代數(shù)方程，在計算過程中不會出現(xiàn)奇異點的情況，因此本文采用四元數(shù)描述航天器姿態(tài)運動及姿態(tài)跟蹤方法。

目前姿態(tài)跟蹤控制器設計方法通常有LQR控制、滑模變結(jié)構(gòu)非線性控制以及自適應控制方法。LQR基于姿態(tài)運動的線性化模型，通過最小化某一性能指標求出控制量，但該方法在實現(xiàn)姿態(tài)控制的同時不可避免地帶來系統(tǒng)線性化誤差?；Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制雖能有效地抑制外界干擾和系統(tǒng)不確定性，但因其采用三通道控制，不能實現(xiàn)能量最小控制。自適應控制通過設計動態(tài)的自適應控制器可以逐漸調(diào)整一部分系統(tǒng)參數(shù)，適應航天器內(nèi)部系統(tǒng)參數(shù)具有較大不確定性的情況，因此廣泛應用在航天器姿態(tài)控制問題上[2-3]。

目前，航天器的四元數(shù)姿態(tài)控制方法研究大多集中在解決姿態(tài)控制性能需求方面。本文基于現(xiàn)代控制理論，將復雜的非線性航天器姿態(tài)運動模型轉(zhuǎn)化成一個特征結(jié)構(gòu)可以任意配置的線性定常狀態(tài)空間模型。利用極點配置具有很大自由度的特點，通過極點配置法實現(xiàn)線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性，該方法的應用性和自由度都很高，設計靈活。

1 基于誤差四元數(shù)的姿態(tài)機動模型

1.1 航天器姿態(tài)跟蹤的四元數(shù)描述

航天器相對慣性空間以角速度ω1旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)四元數(shù)為qd。設期望坐標系相對慣性空間以角速度ωr旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)四元數(shù)為qr。定義由期望坐標系到航天器坐標系的旋轉(zhuǎn)四元數(shù)為誤差四元數(shù)qe，則[4]：

(1)

圖1 航天器運動四元數(shù)與指令四元數(shù)關系

航天器姿態(tài)運動的四元數(shù)微分方程為：

(2)

誤差四元數(shù)微分方程方程為：

(3)

則式(3)可以表示為：

(4)

定義：

(5)

根據(jù)剛體運動學理論，航天器姿態(tài)運動的動力學方程為：

(6)

(7)

將式(7)代入式(6)，整理可得：

(8)

將式(5)表示的ω1代入式(8)，整理得：

(9)

1.2 基于四元數(shù)的姿態(tài)跟蹤控制系統(tǒng)模型

定義誤差四元數(shù)矢量部分：q=[qe1qe2qe3]T，由公式(3)可得：

(10)

對公式(10)求導，將一階的姿態(tài)運動學模型轉(zhuǎn)化成姿態(tài)動力學模型：

(11)

由式(4)得：

(12)

因此：

(13)

令：

則角速度ωe1可以表示為：

(14)

為了簡化推導，假設飛行器各通道之間轉(zhuǎn)動慣量無耦合，即：J1=diag(Jx1，Jy1，Jz1)

令：J=[Jx1Jy1Jz1]T

將ωe1、J1代入式(9)得：

(15)

其中：

則：

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

將式(16)～ (20)代入式(11)，得到由誤差四元數(shù)描述的姿態(tài)控制系統(tǒng)模型：

(21)

1.3 基于誤差四元數(shù)的姿態(tài)跟蹤問題描述

針對式(21)描述的關于q的航天器二階系統(tǒng)模型，其控制問題的提法是設計適當?shù)目刂坡蓇：

u=f(q)=f(q1,q2,q3)

(22)

使得閉環(huán)系統(tǒng)

(23)

滿足:

(24)

當被控航天器的姿態(tài)誤差四元數(shù)矢量部分q從初始值到達平衡點qe=[0 0 0]T時，控制系統(tǒng)完成了航天器姿態(tài)跟蹤控制問題。

2 基于誤差四元數(shù)的姿態(tài)跟蹤控制器

控制器設計的目的是在系統(tǒng)存在干擾的情況下，實現(xiàn)航天器姿態(tài)的穩(wěn)定與跟蹤，因此，對于系統(tǒng)確定性擾動，通過設計補償控制器來實現(xiàn)姿態(tài)控制系統(tǒng)的擾動抑制能力，因此控制器設計如下所述：

u=uf+uc

(25)

其中，uc補償是為了抑制系統(tǒng)的確定性干擾設計的補償控制器，uf為狀態(tài)反饋控制律。

2.1 擾動補償控制器

將式(25)設計的控制器代入式(21)描述的閉環(huán)系統(tǒng)，當選擇

即：

(26)

2.2 控制器設計

經(jīng)過擾動補償后，控制系統(tǒng)的二階模型可以表示為：

(27)

狀態(tài)反饋控制量：

(28)

擾動補償后的閉環(huán)控制系統(tǒng)模型變?yōu)椋?/p>

(29)

其中：

對式(29)表示的系統(tǒng)進行線性變換[5]：

(30)

其中：

則式(28)和式(29)系統(tǒng)的求解問題，可以轉(zhuǎn)化為式(31)描述的Sylvester方程求解問題：

(31)

其中：

式(31)系統(tǒng)左右互質(zhì)分解及其解為[6-7]：

(32)

Z∈Rn×2n是自由參數(shù)，可根據(jù)具體的指標進行優(yōu)化求解。

F∈R2n×2n是自由的待定參數(shù)，用于配置系統(tǒng)特征根，可以根據(jù)系統(tǒng)指標進行優(yōu)化求解。

2.3 控制量優(yōu)化求解

由于式(31)描述的穩(wěn)定系統(tǒng)系數(shù)矩陣F可以自由配置，因此可以通過優(yōu)化某一特定的性能指標Jopt求解狀態(tài)反饋控制器uf。

對于線性系統(tǒng)，通常以系統(tǒng)特征根靈敏度作為優(yōu)化指標[8-9]，因此選擇系統(tǒng)特征根的二范數(shù)作為優(yōu)化指標，即：

(33)

式(33)的優(yōu)化問題，可以通過式(32)描述的帶約束非線性規(guī)劃方法求解：

minJopt(F,Z)

(34)

利用Matlab優(yōu)化工具箱進行求解，可以得到λi，則

F=diag(λ1,λ2,…,λ2n)

優(yōu)化出F、Z后，即可求解狀態(tài)反饋增益矩陣Kf，進而根據(jù)確定性擾動與狀態(tài)反饋控制量求解出系統(tǒng)的控制律：

(35)

將u代入式(6)，即可實現(xiàn)航天器姿態(tài)跟蹤的閉環(huán)控制。

3 仿真驗證

3.1 仿真條件

假設微型航天器初始時刻處于空間靜止狀態(tài)，指令坐標系以角速度ωr旋轉(zhuǎn)。

(36)

描述指令坐標系的四元數(shù)初值：

qr(0)=[0.5000 -0.6456 0.4655 0.3412]T

描述飛行器本體坐標系的四元數(shù)初值：

qd(0)=[1.0 0.0 0.0 0.0]T

誤差四元數(shù)初值為：

[0.5000 0.6456 -0.4655 -0.3412]T

在機動過程中，假設航天器的慣量矩陣不變，且各軸之間無交聯(lián)耦合。

Jx1=0.014kg·m2
Jy1=0.025kg·m2
Jz1=0.018kg·m2

通過極點配置后的閉環(huán)系統(tǒng)矩陣為：

F=diag(-0.18，-0.2，-0.22，-0.35，-0.44，-0.5)

仿真時間150s，控制周期20ms。

3.2 仿真結(jié)果

依據(jù)3.1節(jié)仿真條件進行仿真，結(jié)果如下所示：

圖2 qd與qr隨時間變化曲線

圖3 誤差四元數(shù)標量q0隨時間變化曲線

圖5 誤差四元數(shù)矢量導數(shù)隨時間變化曲線

圖6 控制力矩隨時間變化曲線

4 結(jié)論

建立了基于誤差四元數(shù)的微型航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)該模型，同時基于狀態(tài)反饋控制器，通過配置系統(tǒng)的極點，滿足飛行器對姿態(tài)控制系統(tǒng)的性能需求。數(shù)學仿真驗證表明：通過四元數(shù)狀態(tài)反饋設計的控制器能夠穩(wěn)定地以高精度跟蹤姿態(tài)指令。