蔣亞軍

?浙江省寧波市第四中學

復習課是查漏補缺、完善技能、落實素養(yǎng)的基本課型，而一題多解、一題多變是常見的一種模式.傳統(tǒng)復習課以教師講學生聽為主，學生的探究學習體驗少，沒有體現(xiàn)學生的主體地位，忽視了學生活動經(jīng)驗的積累.本文中通過一節(jié)關于橢圓中兩直線斜率和(積)為定值與直線過定點的復習課，探究一題多解優(yōu)化運算凸顯問題本質(zhì)，實現(xiàn)一題多變，多角度理解數(shù)學對象形成通法，引發(fā)對“一題一課、多解變式”復習課的教學思考.

1 題目呈現(xiàn)及前期準備

這是一道橢圓中的定點定值問題，題目難度適中，適合學生自主完成解答.考慮到課堂重心在于學生理解問題的本質(zhì)，形成優(yōu)化后的通性通法，將問題以作業(yè)的形式前置，便于了解學生的解答情況.

2 教學環(huán)節(jié)

2.1 一題多解凸顯本質(zhì)

師：本題的已知條件和目標要求是如何聯(lián)系起來的呢？

生1：先將PA，PB的斜率表示出來，再利用斜率和等于-1即可.當然最主要的還是在計算上不要出錯.

生2：思路和方法我都會，就是計算的時候經(jīng)常會出錯，特別是在對斜率之和通分與代入化簡的過程中，稍不留神就會出錯.有沒有一種能減少計算量的解法呢？

生3：kPA和kPB的結(jié)構(gòu)是一樣的，要出現(xiàn)含有y-1和x的式子，只需對橢圓和直線分別進行轉(zhuǎn)化就可以了.

師：很好！你能對橢圓方程進行轉(zhuǎn)化嗎？

師：現(xiàn)在已經(jīng)將橢圓和直線方程都轉(zhuǎn)化為含有x和y-1的式子，接下來怎么辦呢？聯(lián)立方程，消元，利用韋達定理？

生4：這樣不是與前面的解法一樣了嗎？計算量沒有減少.

生5：橢圓方程兩邊同時除以x2！

生6：不行的，次數(shù)不統(tǒng)一，又不是齊次式.

師：那該怎么辦呢？

生7：我還有新的想法，因為直線方程是自己構(gòu)建的，所以把直線方程設為mx+n(y-1)=1，就不會出現(xiàn)分母m-1了.

師：同學們都很棒，從減少計算量這一目標出發(fā)，不斷修正解題過程，最后圓滿完成設定目標.數(shù)學解題就是一個不斷深入本質(zhì)、優(yōu)化方法的過程,讓我們一起整理一下優(yōu)化后的解法——“齊次化”法.

點評：將學生的解法投屏，展示其思維過程，對題目的已知和所求進行分析，聯(lián)系已有知識對所求目標進行轉(zhuǎn)化和化歸，架起解決問題的橋梁.學生出現(xiàn)了對斜率是否存在未討論，或在聯(lián)立直線和橢圓方程消元得到韋達定理時計算出錯，或在代入斜率公式計算時出錯等問題.通過對比，說明學生的運算求解能力需要加強.通過學生暴露出來的計算問題，以減少計算量提高準確率為目的，引導學生發(fā)現(xiàn)斜率之和(積)為定值這類問題的本質(zhì)，構(gòu)造關于目標斜率的齊二次方程，利用韋達定理進行轉(zhuǎn)化和求解.這樣就能使問題較快地得到解決，形成優(yōu)化解法.

2.2 一題多變注重通法

師：用“齊次化”的方法可以有效減少計算量，但需注意的是要配成齊二次的形式.如果把條件kPA+kPB=-1換成kPA·kPB=-1，你能否很快解決嗎？

師：很好！“齊次化”的本質(zhì)就是構(gòu)建關于斜率的韋達定理.如果改變條件和結(jié)論的順序，你能證明嗎？

師：將點P從橢圓上移到橢圓外，得到變式3，你能求出定點嗎？對更一般情況的變式4，你還能證明嗎？拋物線和雙曲線中還能用這種方法嗎？

3 教學反思

3.1 基于學情選擇合適的例題

復習課的定位應該是“基礎知識的掌握、基本技能的提高、基本思想方法的落實、基本活動經(jīng)驗的積累”.因此,例題的選擇要根據(jù)教學目標著眼于學生的最近發(fā)展區(qū)，“跳一跳，能摘到”，為學生提供適合的內(nèi)容，調(diào)動學生積極性，發(fā)揮其潛能[2].解析幾何中的定點定值問題是考試的熱點，學生往往有思路、會方法，但由于計算問題不能順利解出答案.針對這一現(xiàn)象，從一道高考改編題入手，通過師生互動啟發(fā)，生生互動完善，挖掘定點與定值問題的本質(zhì)，構(gòu)造目標斜率的齊二次方程，在學生原有的解法上進行優(yōu)化，總結(jié)形成解決這類問題的通性通法——“齊次化”.

3.2 基于學情進行合理變式

變式教學的目的就是突出數(shù)學本質(zhì)、提煉解題方法，實現(xiàn)解一題通一類、解一類用一法的效果，使知識網(wǎng)絡化、方法程序化.通過改變條件、結(jié)論、順序等，有意識地引導學生思考變式怎么變、為什么這么變、還可以怎么變，激發(fā)學生的學習興趣.圍繞著“齊次化”這一通性通法，將定點定值問題深層次的本質(zhì)挖掘出來.任何解決數(shù)學問題的方法背后都是有思考過程的，而理解又是思考的基礎，因此對問題本源的思考與分析在課堂教學中是非常重要的[3].

4 結(jié)束語

圓錐曲線中的定點定值問題，是高考和?？嫉臒狳c問題，學生往往有思路而解不出最終答案，因此得分率不高.直接運算是數(shù)學運算的低級水平，往往伴隨著大量繁雜的計算；合理運算是數(shù)學運算的中級水平，利用轉(zhuǎn)化化歸的思想，減少計算量達到求簡的目的；創(chuàng)新運算是數(shù)學運算的高級水平，既快又準地得到答案，追求至簡的目標.通性通法重要，是學生必須掌握的方法和技能，在此基礎上通過合理轉(zhuǎn)化，往往會減少計算量.