李文敏,張家鋒
(貴州民族大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院,貴州 貴陽 550025)
考慮如下的Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)
其中V,K∈C(RN, R),f是連續(xù)函數(shù),l(x)是有界非負(fù)連續(xù)函數(shù),V、K是非負(fù)函數(shù),可在無窮遠(yuǎn)處消失,η> 0,是參數(shù),N≥6。
近年來,有關(guān)Schr?dinger-Poisson 系統(tǒng)的研究很多,獲得了很多很有趣的結(jié)果[1-10],但是很少有文獻(xiàn)研究具有臨界非局部項的Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)。文獻(xiàn)[7]在R3中通過山路定理和截斷函數(shù)的方法研究了臨界非局部項的Schr?dinger-Poisson系統(tǒng),得到了方程在兩種情況下都至少有一個非平凡解的存在性結(jié)果。
在文獻(xiàn)[8]中,Sun等研究了徑向位勢在無窮遠(yuǎn)處消失的漸進(jìn)線性Schr?dinger-Poisson系統(tǒng):
在λ很小、非線性f最大線性增長、位勢V(x)在無窮遠(yuǎn)處消失時得到了一個正解,并且還得到了時的非平凡正解的不存在性。
文獻(xiàn)[9]在R3中研究了如下廣義線性Schr?dinger-Poisson系統(tǒng):
利用山路定理和集中緊性原理得到了其有一個正解的結(jié)果。
在上述工作的基礎(chǔ)上,本文證明了具有臨界非局部項且位勢在無窮遠(yuǎn)處消失的系統(tǒng)(1)的非平凡解的存在性。由于臨界增長項的存在導(dǎo)致缺乏緊性,要獲得非平凡解的存在性更加困難,而且V(x)在無窮遠(yuǎn)處是勢消失的,使得研究更加有趣,本文利用截斷函數(shù)巧妙地和無窮遠(yuǎn)處消失的位勢聯(lián)系起來進(jìn)行了求解。
如果V(x)和K(x)滿足以下情況,則稱(V,K) ∈K:
(VK1)對所有的x∈RN,有V(x)> 0,K(x)> 0,其中,K∈L∞(RN)。
(VK2) 如果{An}n?RN是一個Borel序列集,使得Lebesgue meas(An) ≤R,對n∈N和R> 0, 則
此外,V(x)和K(x)還需要滿足下列情況之一:
(VK3)∈L∞(RN)。
(VK4)存在p0∈(2 , 2*),使得
關(guān)于函數(shù)V和K的假設(shè)(VK1)~(VK4)在文獻(xiàn)[10]中被首次引入,并將系統(tǒng)(1)定性為零質(zhì)量問題,有關(guān)零質(zhì)量問題的研究參考文獻(xiàn)[11-12]。
最后,假設(shè)連續(xù)函數(shù)f: R →R在原點和無窮遠(yuǎn)處的增長條件為
(f1)如果(VK3)成立,有;如果(VK4)成立,有。
(f2)。。
(f3) 存在θ∈(2, 2*),使得0 ≤θF(t) ≤tf(t),t∈R,其中F(u) =
此外,我們還對l(x)做了以下假設(shè):
(l1) 存在x0,使得l(x0)=。
(l2)l(x)=l(x0)+O(|x-x0|α),α∈(N- 2,N),x→x0。
D1,2(RN)表示“絕對光滑”空間C∞(RN)的完備化空間。
現(xiàn)在,給出我們的工作空間為E={u∈D1,2(RN):∫RNV(x)|u|2dx<+∞},其中D1,2(RN) ={u∈L2*(RN):?u∈L2(RN)},E對應(yīng)的范數(shù)為。
利用Lax-Milgram 定理可知,對于每一個u∈E,由于系統(tǒng)(1)的第二個方程存在唯一解?u∈E,我們將?u帶入系統(tǒng)(1),則系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>
方程(2)對應(yīng)的能量泛函J:E→R為
對任意φ∈E,u是方程(2)的弱解,當(dāng)且僅當(dāng)
定義所有可測函數(shù)u:RN→R構(gòu)成的Lebesgue空間(RN),且
對應(yīng)的范數(shù)為
用Bρ(0)表示以原點為中心且半徑為ρ> 0的球,S是最佳Sobolev常數(shù),即
Selection of drainage system based on analytic hierarchy process and fuzzy comprehensive evaluation
下面陳述文獻(xiàn)[10]的兩個重要結(jié)果(參考文獻(xiàn)[10]里的引理2.1和引理2.2)。
命題1.1 假設(shè)(V,K) ∈K,如果(VK3)成立,對所有p∈(2, 2*),則E緊嵌入到(RN);如果(VK4)成立,則E緊嵌入到(RN)。
命題1.2 假設(shè)f滿足(f1)~(f2)且(V,K) ∈K,設(shè){vn}在E中使得vn?v,則
和
引理1.1[6]對每一個u∈E,存在唯一解?u在RN中滿足-Δ?=|u|2?-1,并且有以下性質(zhì):
定理2.1 假定(V,K) ∈K,且f滿足(f1)~(f3),l(x)滿足(l1)和(l2)。
注記2.1 很多作者研究的都是具有次臨界非局部項Schr?dinger-Poisson 系統(tǒng),研究具有臨界非局部項的Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)的很少,而本文研究的Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)是含臨界非局部項的。與文獻(xiàn)[9]相比,本文的非局部項是不一樣的,并且文獻(xiàn)[9]是在R3中研究的,而本文研究的Schr?dinger-Poisson 系統(tǒng)是在RN中進(jìn)行研究的,因此,本文可以看作是文獻(xiàn)[9]的一個有益補充。
引理2.1 假定(V,K) ∈K,p∈[2,2*],存在C> 0使得, ?u∈E。
證明證明分為兩部分,即首先證明在(VK3)的假設(shè)下引理2.1成立,然后再證明在(VK4)的假設(shè)下引理2.1成立。假設(shè)(VK3)成立,對于p∈(2,2*),定義,那么p= 2m+ 2*(1 -m),因此有
綜上所述,引理2.1得證。
引理2.2 泛函J滿足下列結(jié)論:
i) 存在ρ,α> 0,使得當(dāng)‖u‖E=ρ時,有J(u) ≥α。
ii) 存在e∈Bρ(0),使得J(e) < 0。
證明i)分兩種情況討論
情況1 假設(shè)(VK3)成立,對任意ε> 0,從(f1)和(f2)可以得到存在Cε> 0使得
海南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)2023年3期