李中奇 周 靚 楊 輝

動(dòng)車組的自動(dòng)駕駛系統(tǒng)是智能高速鐵路發(fā)展的關(guān)鍵技術(shù)之一[1],如何在動(dòng)車組運(yùn)行速度越來(lái)越快、運(yùn)行環(huán)境越來(lái)越復(fù)雜多變的情況下設(shè)計(jì)出效果好的控制器仍然是個(gè)難點(diǎn).

針對(duì)動(dòng)車組運(yùn)行控制問(wèn)題,國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)發(fā)表了眾多的研究成果,大體上分為基于模型和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的控制方法.其中,基于模型的控制方法研究有: 文獻(xiàn)[2]利用有效性評(píng)價(jià)指標(biāo)確定最優(yōu)的預(yù)測(cè)模型個(gè)數(shù),然后采用減法聚類方法(一種用來(lái)估計(jì)一組數(shù)據(jù)中的聚類個(gè)數(shù)以及聚類中心位置的單次算法)建立多模型集合,設(shè)計(jì)了多模型廣義預(yù)測(cè)控制器,但文章只是建立了列車運(yùn)行過(guò)程的線性模型,對(duì)于模型參數(shù)不確定性沒(méi)有很好的體現(xiàn)出來(lái);文獻(xiàn)[3]嘗試采用極大似然估計(jì)法對(duì)列車模型的非線性部分進(jìn)行系數(shù)辨識(shí),取得了不錯(cuò)的效果,但極大似然法有可能在計(jì)算時(shí)陷入局部收斂,并且需要了解系統(tǒng)的部分特性.以上方法研究對(duì)象為單質(zhì)點(diǎn)列車,與單質(zhì)點(diǎn)模型相比多質(zhì)點(diǎn)模型更接近列車實(shí)際運(yùn)行狀態(tài).文獻(xiàn)[4]提出了一種列車制動(dòng)過(guò)程的辨識(shí)方法.首先通過(guò)分析多質(zhì)點(diǎn)列車實(shí)際制動(dòng)過(guò)程,并將該過(guò)程描述為單點(diǎn)時(shí)延模型,隨后將基于Picard 迭代的辨識(shí)方法(常微分方程解的一種主要近似計(jì)算方法)應(yīng)用于該時(shí)滯系統(tǒng).文獻(xiàn)[5]分析了列車運(yùn)行的動(dòng)態(tài)過(guò)程,考慮車廂類型及運(yùn)行狀態(tài),建立了列車非線性多質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)模型,對(duì)其設(shè)計(jì)速度環(huán)自適應(yīng)魯棒非線性預(yù)測(cè)控制器.文獻(xiàn)[6]建立高速動(dòng)車組的強(qiáng)耦合模型,設(shè)計(jì)分布式神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂撇呗?其運(yùn)用到的子空間辨識(shí)方法對(duì)模型結(jié)構(gòu)先驗(yàn)知識(shí)需求較少,但本質(zhì)上還是基于模型的控制方法.文獻(xiàn)[7]提出了一種自適應(yīng)數(shù)值方法來(lái)解決列車最優(yōu)控制問(wèn)題,通過(guò)對(duì)控制輸入引入二元函數(shù),對(duì)其進(jìn)行松弛,并對(duì)松弛施加懲罰函數(shù),將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題.文獻(xiàn)[8]分析了貨運(yùn)列車的控制原理,包括安全要求、快速運(yùn)行、周期性制動(dòng)等,提出了一種快速列車運(yùn)行仿真算法.上述文獻(xiàn)的控制策略設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性分析往往需要預(yù)先獲取系統(tǒng)模型參數(shù),或者需要對(duì)系統(tǒng)非線性部分進(jìn)行線性化逼近.倘若系統(tǒng)模型未知或者存在較大擾動(dòng)等情況,這些方法很難適用.

無(wú)模型自適應(yīng)控制(Model-free adaptive control,MFAC)僅利用被控系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行控制器設(shè)計(jì),是一種典型的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)控制方法,由侯忠生在其博士論文中提出[9].MFAC 在滿足一定假設(shè)條件的基礎(chǔ)上,通過(guò)引入偽偏導(dǎo)數(shù)概念,在離散系統(tǒng)的每個(gè)工作點(diǎn)處,建立一個(gè)等價(jià)的動(dòng)態(tài)線性化模型,然后利用這個(gè)動(dòng)態(tài)線性化模型設(shè)計(jì)控制器、結(jié)構(gòu)自適應(yīng)律以及構(gòu)建穩(wěn)定性分析等.經(jīng)過(guò)多年發(fā)展,已經(jīng)在許多實(shí)際系統(tǒng)中得到了成功應(yīng)用[10-16]: 例如文獻(xiàn)[14-15]將MFAC 運(yùn)用到汽車軌跡跟蹤問(wèn)題上;文獻(xiàn)[13,16]將MFAC 運(yùn)用到機(jī)器人等不確定系統(tǒng)中;還有與其他控制方法相結(jié)合的研究,文獻(xiàn)[12]考慮將MFAC 與滑?？刂葡嘟Y(jié)合,設(shè)計(jì)不確定機(jī)器人系統(tǒng)的無(wú)模型自適應(yīng)滑?？刂?為MFAC與其他控制方法的結(jié)合提供參考.將MFAC 運(yùn)用到軌道交通領(lǐng)域的研究有: 文獻(xiàn)[17]結(jié)合動(dòng)態(tài)線性化技術(shù)和預(yù)測(cè)控制,通過(guò)在線求解列車系統(tǒng)每個(gè)采樣點(diǎn)的有限域閉環(huán)最優(yōu)控制問(wèn)題,得到當(dāng)前控制量;文獻(xiàn)[18]將列車輸入輸出數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為緊格式數(shù)據(jù)模型,在速度和牽引/制動(dòng)力約束下,提出了基于執(zhí)行器故障的無(wú)模型自適應(yīng)容錯(cuò)控制方法;文獻(xiàn)[19]將傳統(tǒng)無(wú)模型自適應(yīng)控制用于單質(zhì)點(diǎn)列車速度跟蹤控制當(dāng)中.以上方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理時(shí),僅考慮了系統(tǒng)下一時(shí)刻的輸出變化量與當(dāng)前輸入變化量之間的關(guān)系.原系統(tǒng)中所有可能的復(fù)雜行為,如非線性、參數(shù)時(shí)變或結(jié)構(gòu)時(shí)變等,都?jí)嚎s融入時(shí)變參數(shù)中.所以該方法運(yùn)用到實(shí)際系統(tǒng)中時(shí),需要設(shè)計(jì)更為復(fù)雜的時(shí)變參數(shù)估計(jì)算法才能獲得較好的控制效果,加大了設(shè)計(jì)難度,且缺乏設(shè)計(jì)靈活性;文獻(xiàn)[20]針對(duì)高速列車運(yùn)行控制中的牽引/制動(dòng)力約束和執(zhí)行器故障問(wèn)題,提出了基于偏格式動(dòng)態(tài)線性化的無(wú)模型自適應(yīng)容錯(cuò)控制.上述方法的研究對(duì)象均為單質(zhì)點(diǎn)列車/地鐵列車系統(tǒng),與實(shí)際情況中多質(zhì)點(diǎn)/多動(dòng)力單元系統(tǒng)不符,且均未考慮能量損耗指標(biāo).

基于以上分析,本文提出了一種改進(jìn)的適用于高速動(dòng)車組的偏格式動(dòng)態(tài)線性化無(wú)模型自適應(yīng)控制(Partial form dynamic linearization-improved model-free adaptive control,PFDL-iMFAC)方法.

1)與文獻(xiàn)[19]采用的緊格式線性化(Compact form dynamic linearization,CFDL)數(shù)據(jù)模型相比,本文采用的偏格式線性化方法綜合考慮下一時(shí)刻輸出變化量與固定長(zhǎng)度滑動(dòng)時(shí)間窗口內(nèi)的輸入變化量之間的關(guān)系,而非籠統(tǒng)地將原系統(tǒng)所有可能的復(fù)雜行為特征都融入到偽偏導(dǎo)數(shù)(Pseudo partial derivative,PPD)中.PFDL 數(shù)據(jù)模型中偽梯度的維數(shù)雖然增加了,但每個(gè)分量的動(dòng)態(tài)行為變得更簡(jiǎn)單,復(fù)雜性相較于PPD 更低,參數(shù)估計(jì)算法的設(shè)計(jì)和選擇也更加容易.本文豐富了動(dòng)車組運(yùn)行控制理論,也給其他一些運(yùn)行控制方法提供節(jié)能策略(如最優(yōu)控制等).

2)與文獻(xiàn)[19-20]使用的單質(zhì)點(diǎn)列車模型相比,本文考慮的多動(dòng)力單元模型更符合列車的實(shí)際情況.此外,考慮在輸入準(zhǔn)則函數(shù)中加上對(duì)能量函數(shù)的懲罰項(xiàng),為動(dòng)車組的跟蹤精度和能量損耗提供了一種折中的方法.

3)與文獻(xiàn)[4-5]相比,本文的算法不依賴動(dòng)車組動(dòng)力學(xué)模型,是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)控制算法.

本文結(jié)構(gòu)如下: 第1 節(jié)給出了高速動(dòng)車組模型結(jié)構(gòu)(為列車運(yùn)行仿真提供數(shù)據(jù)支持);第2 節(jié)提出了改進(jìn)的動(dòng)車組無(wú)模型自適應(yīng)控制器,并對(duì)其穩(wěn)定性和收斂性進(jìn)行了嚴(yán)格的證明;第3 節(jié)是仿真分析;第4 節(jié)是總結(jié)和展望.

1 動(dòng)車組運(yùn)行過(guò)程動(dòng)力學(xué)分析

動(dòng)車組的牽引制動(dòng)系統(tǒng)是由多個(gè)相對(duì)獨(dú)立的動(dòng)力單元組成的[21].其運(yùn)行過(guò)程各動(dòng)力單元除了受自身控制力(牽引/制動(dòng)力)的影響外,還受相鄰單元的車鉤作用,其縱向動(dòng)力學(xué)描述如圖1 所示[22].圖中中間車廂(輪子為黑色的車廂)為裝備了牽引單元的動(dòng)力機(jī)車,首尾兩節(jié)車廂為拖車.

圖1 動(dòng)車組運(yùn)行過(guò)程動(dòng)力學(xué)描述Fig.1 Dynamic description of electric multiple unit operation process

以六動(dòng)兩拖的CRH380A 動(dòng)車組為對(duì)象進(jìn)行研究,該動(dòng)車組有T1+M1+M2+M3+M4+M5+M6+T2三個(gè)獨(dú)立的牽引動(dòng)力單元[22],編組方式如圖2 所示.根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)學(xué)定律分析列車動(dòng)力單元的受力情況,各動(dòng)力單元上均受到了牽引力或制動(dòng)力、基本阻力、車間作用力.

圖2 CRH380A 型動(dòng)車組動(dòng)力單元分布Fig.2 Distribution of CRH380A electric multiple unit power unit

綜上,根據(jù)各動(dòng)力單元的動(dòng)力學(xué)過(guò)程分析,將列車三動(dòng)力單元模型的數(shù)學(xué)方程表示為:

ui(i=1, 2, 3) 為列車在不同工況下第i動(dòng)力單元產(chǎn)生的牽引力或制動(dòng)力;mi(t) 、vi(t) 、xi(t) 分別為第i節(jié)動(dòng)力單元的質(zhì)量、速度和位移;FNi(t) 為列車運(yùn)行時(shí)第i動(dòng)力單元所受到的基本阻力,ai、bi、ci為運(yùn)行阻力系數(shù);FZi(t) 為第i動(dòng)力單元和第i+1 節(jié)動(dòng)力單元間的車間作用力,k為相鄰動(dòng)力單元的彈性系數(shù),d為阻尼系數(shù).

將FZi(t) 和FNi(t) 代入式(1),得到高速動(dòng)車組縱向動(dòng)力學(xué)模型[23]:

各動(dòng)力單元的控制力作為輸入,其速度作為輸出,共同構(gòu)成動(dòng)車組多輸入多輸出(Multiple-input multiple-output,MIMO)系統(tǒng).動(dòng)車組實(shí)際運(yùn)行中,易受環(huán)境、路段變化的影響,列車模型中質(zhì)量參數(shù)、阻力系數(shù)、彈簧系數(shù)及阻尼系數(shù)都存在不確定性,同時(shí)模型中還存在著非線性項(xiàng)[24].若采用非數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)控制方法設(shè)計(jì)控制器需考慮各動(dòng)力單元的耦合關(guān)系,計(jì)算量巨大.為此本文設(shè)計(jì)改進(jìn)的偏格式動(dòng)態(tài)線性化無(wú)模型自適應(yīng)控制器,對(duì)動(dòng)車組進(jìn)行速度跟蹤控制.

2 改進(jìn)的動(dòng)車組無(wú)模型自適應(yīng)控制器

本節(jié)結(jié)合無(wú)模型自適應(yīng)控制與PFDL 數(shù)據(jù)模型,并加上對(duì)列車能量消耗的限制,設(shè)計(jì)出了一種新的列車節(jié)能控制方案,即PFDL-iMFAC.該算法不僅考慮了列車速度的跟蹤誤差還考慮列車能量的損耗.PFDL-iMFAC 不需要精確的列車動(dòng)力學(xué)模型,是一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的控制算法,適用于強(qiáng)非線性,強(qiáng)耦合的系統(tǒng).

2.1 動(dòng)態(tài)線性化

傳統(tǒng)的CFDL 方法僅考慮了系統(tǒng)在下一時(shí)刻的輸出變化量與當(dāng)前時(shí)刻的輸入變化量之間的關(guān)系[25].然而,動(dòng)車組運(yùn)行系統(tǒng)的輸出不僅僅取決于某一個(gè)時(shí)刻的控制輸入.基于以上考慮,在對(duì)數(shù)據(jù)線性化處理時(shí),可將一個(gè)固定長(zhǎng)度滑動(dòng)時(shí)間內(nèi)的所有輸入變化量對(duì)下一時(shí)刻輸出變化量的影響都考慮進(jìn)來(lái),這即是PFDL 數(shù)據(jù)處理方法.理論上,使用該方法可以很好地捕獲原系統(tǒng)中存在的復(fù)雜動(dòng)態(tài),并且該動(dòng)態(tài)線性化方法可有效地將系統(tǒng)復(fù)雜性分散降低[26].

動(dòng)車組的輸入輸出數(shù)據(jù)集合可等效如下多輸入多輸出離散時(shí)間非線性系統(tǒng):

式中,u(t)∈Rm,v(t)∈Rm分別表示系統(tǒng)t時(shí)刻的輸入和輸出;nu,nv為輸入和輸出階數(shù);g(·) 為一個(gè)非線性且時(shí)變的函數(shù).定義為滑動(dòng)時(shí)間窗口 [t-L+1,t] 內(nèi)的所有控制輸入組成的一個(gè)矩陣,形式如下:

滿足t≤0 時(shí),有其中L為控制輸入線性化的長(zhǎng)度整數(shù).

對(duì)形如式(5)的系統(tǒng),可以給出如下2 個(gè)假設(shè).

假設(shè)1.非線性時(shí)變函數(shù)g(·) 對(duì)系統(tǒng)輸入u(t)的偏導(dǎo)數(shù)為連續(xù)的.

由假設(shè)1 和假設(shè)2 可得到定理1.

定理1.如果非線性時(shí)變系統(tǒng)(5) 滿足假設(shè)1和假設(shè)2,當(dāng)則一定存在一個(gè)叫做偽分塊雅可比矩陣的參數(shù)矩陣ΦP,L(t),使得系統(tǒng)可以等價(jià)為偏格式動(dòng)態(tài)線性化的數(shù)據(jù)模型式(9)[27-28],L為給定維數(shù):

任意時(shí)刻t,時(shí)變參數(shù)矩陣ΦP,L(t)=[Φ1(t),···,ΦL(t)]均為有界,相應(yīng)的子方陣:

式中,i=1,···,L. 當(dāng)L=1 時(shí),PFDL 數(shù)據(jù)模型轉(zhuǎn)換為CFDL 模型.

定理1 已被嚴(yán)格證明[27],選擇不同的線性化長(zhǎng)度常數(shù)L可以得到不同的PFDL 數(shù)據(jù)模型,合理選擇時(shí)變參數(shù)矩陣和L可以提高數(shù)據(jù)模型對(duì)原系統(tǒng)描述時(shí)的靈活性.

2.2 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

在文獻(xiàn)[19]的基礎(chǔ)上,使用PDFL 方法,再考慮能量函數(shù)的懲罰項(xiàng),PFDL-iMFAC 選擇新的性能指標(biāo)函數(shù):

式中,vd為參考輸出; Λ＞0 為權(quán)重因子,作用是限制控制輸入的變化;ζ‖u(t)‖2是為了限制列車的能量損耗.根據(jù)式(7),可以將式(9) 寫成:

將式(10)對(duì)u(t) 求一階偏微分并令其為0,可得如下控制律表達(dá)式:

由于式(11)中包含矩陣求逆,當(dāng)系統(tǒng)維數(shù)較大時(shí),運(yùn)算量過(guò)大.為此,可參考單輸出的控制算法,簡(jiǎn)化后的算法為:

式中,ρi ∈(0, 1),加入的作用是使得算法PFDLiMFAC 更具一般性.

接著,需要對(duì)時(shí)變參數(shù)矩陣ΦP,L(t) 進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì),引入?yún)?shù)估計(jì)準(zhǔn)則函數(shù)[27-28]:

式中,μ＞0 作用是約束相鄰參數(shù)的變化率.

極小化參數(shù)估計(jì)準(zhǔn)則函數(shù)(13),并同理式(12)的推導(dǎo),可得到以下參數(shù)估計(jì)算法:

為了增強(qiáng)參數(shù)估計(jì)算法的魯棒性,給出一種參數(shù)重置算法[27-28]:

式中,b1、b2為較小的正數(shù),滿足 |Φij1(t)|≤b1,b2≤|Φii1(t)|且≤ab2,1≤a;初始化值,初始化值; s ign(·) 為符號(hào)函數(shù).

綜上所述,由控制律(12)、估計(jì)算法(14)和重置算法(15)共同構(gòu)成動(dòng)車組的節(jié)能控制器PFDLiMFAC.將控制律(12)寫成如下形式:

式中,α1、α2、α3如式(12)所示.

改進(jìn)的列車無(wú)模型自適應(yīng)控制結(jié)構(gòu)框圖見(jiàn)圖3.

圖3 改進(jìn)的動(dòng)車組無(wú)模型自適應(yīng)控制結(jié)構(gòu)框圖Fig.3 An improved block diagram of model-free adaptive control structure for electric multiple unit

將所求的控制序列代入各動(dòng)力單元模型(4)中,即可得到各動(dòng)力單元速度.由式(16)可以看出,列車節(jié)能控制算法在控制的過(guò)程中只需各動(dòng)力單元模型所產(chǎn)生的輸出數(shù)據(jù),因此該算法是數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)控制算法.此外,控制律中的增益α3會(huì)被偽偏導(dǎo)數(shù)的更新算法影響,換句話說(shuō),PFDL-iMFAC 的增益會(huì)根據(jù)系統(tǒng)時(shí)變信息實(shí)時(shí)更新.因此,與傳統(tǒng)控制算法的固定增益相比,PFDL-iMFAC 控制方案更具有優(yōu)勢(shì).

注1.選擇不同的控制輸入線性化長(zhǎng)度常數(shù)L可以得到不同的PFDL 數(shù)據(jù)模型.通過(guò)合理地選擇ΦP,L(t)和L可提高動(dòng)態(tài)線性化數(shù)據(jù)模型對(duì)原非線性系統(tǒng)進(jìn)行等價(jià)描述時(shí)的靈活性.

2.3 算法收斂性證明

注2.PFDL-iMFAC 的控制律具有遺忘因子α1,這使得原型PFDL-MFAC 的收斂性分析方法不再適用.此外,遺忘因子與PPD 參數(shù)和懲罰因子有關(guān),這使得以下的收斂性分析比原型MFAC 更為復(fù)雜.

ΦP,L(t)的有界性已被證明[27-28],下面證明系統(tǒng)輸出誤差收斂.當(dāng)L=1 時(shí),PFDL-iMFAC 轉(zhuǎn)換為CFDL-iMFAC.為方便描述,以下給出m=1,L=1情況的穩(wěn)定性分析,其他情況證明過(guò)程類似.

根據(jù)式(12),給出m=1、L=1 時(shí)的控制律:

同理,時(shí)變參數(shù)矩陣ΦP,L(t),式中為時(shí)變參數(shù)Φ(t)的估計(jì)值.類同假設(shè)1 和假設(shè)2,給出以下假設(shè).

假設(shè)3.對(duì)于形如式(5)的單輸入單輸出系統(tǒng),非線性時(shí)變函數(shù)g(·) 對(duì)系統(tǒng)輸入u(t) 的偏導(dǎo)數(shù)為連續(xù)的.

假設(shè)4.對(duì)于任意時(shí)刻 0≤t1/=t2和u(t1)/=u(t2)有|v(t1+1)-v(t2+1)|≤b|u(t1)-u(t2)|,即系統(tǒng)滿足廣義的Lipschitz 條件.其中b為一個(gè)大于0 的常數(shù).

引理1.如果非線性時(shí)變系統(tǒng)滿足假設(shè)3 和假設(shè)4,采用節(jié)能控制方法iMFAC,則有任意t=0, 1,···,T,當(dāng)t趨于無(wú)窮時(shí),輸出誤差收斂到一個(gè)與ζ有關(guān)的常數(shù)σ.即 l imt→∞|e(t)|≤σ;當(dāng)ζ=0,limt→∞|e(t)|=0.

證明.首先定義輸出誤差:

由式(18)和模型 Δv(t+1)=Φ(t)Δu(t) 可得:

重寫控制律(17):

進(jìn)一步,式(20)可以寫成以下形式:

將式(21)代入式(19),推導(dǎo)出:

顯而易見(jiàn),如果g(t+1) 是收斂的,那么|e(t+1)|同樣也是收斂的.根據(jù)式(30),可推出:

引入PPD 的有界性,任意時(shí)刻t,Φ (t)≤常數(shù)b,該有界性已被證明[9].

進(jìn)而,可知以下關(guān)系:

將式(36)代入式(35),推導(dǎo)得出:

式中,ω=d2u(0).

根據(jù)式(37)和 0＜M2＜1,不難得到:

因?yàn)?0＜d1＜1,所以如果ω=d2=0,也就是ζ=0,那么就能得出收斂性結(jié)論:

3 仿真實(shí)現(xiàn)及分析

以濟(jì)南到徐州東區(qū)間運(yùn)行的CRH380A 動(dòng)車組為對(duì)象進(jìn)行仿真研究.列車牽引單元的最大輸出為500 kN,制動(dòng)單元的最大輸出為500 kN,車間最大耦合力為1 000 kN,列車牽引力/制動(dòng)力變化量最大允許值為60 kN/s.列車車廂實(shí)際速度可以通過(guò)傳感器獲得.仿真系統(tǒng)具體參數(shù)如表1 所示.

表1 CRH380A 型動(dòng)車組模型參數(shù)Table 1 The CRH380A electric multiple unit model parameters

注3.模型(4)只產(chǎn)生所需數(shù)據(jù),本身不參與控制器設(shè)計(jì).

分別采用CFDL-MFAC[19]、PFDL-MFAC、PFDL-iMFAC 三種方法進(jìn)行仿真驗(yàn)證.對(duì)比分析速度跟蹤效果、控制力變化、加速度變化情況以及能量損耗等指標(biāo),驗(yàn)證本文方法的優(yōu)勢(shì).

3.1 仿真設(shè)置

采樣周期設(shè)置為1 s,采樣樣本為4 750 個(gè).各個(gè)控制方法對(duì)比時(shí),使用同一模型用以產(chǎn)生輸出數(shù)據(jù).系統(tǒng)的初始條件設(shè)置為v1(1)=v2(1)=v3(1)=vd.CFDL-MFAC、PFDL-MFAC、PFDL-iMFAC 參數(shù):Λ=0.02,ρ=ρ1=ρ2=0.9,μ=1,η=1,b1=b2=0.5. 各方案的參數(shù)矩陣初值分別為Φ1(1)=0.5ones(3, 3),ΦP,L(1)=[0.5I,0.5I,0]T,ones為全1 矩陣.PFDL-iMFAC 的能量限制常數(shù)ζ=0.0225.

3.2 本文方法與其他方法的速度跟蹤及誤差對(duì)比

圖4 為CFDL-MFAC[19]、PFDL-MFAC、PFDL-iMFAC 三種方法的速度跟蹤對(duì)比圖,圖5 為其速度跟蹤誤差對(duì)比圖.

由圖4(c)和圖5(c)可以看出,由于只考慮當(dāng)前時(shí)刻輸入對(duì)輸出的影響,傳統(tǒng)CFDL-MFAC 在列車啟動(dòng)階段效果較差,而且誤差要比PFDL-MFAC和PFDL-iMFAC 大,跟蹤誤差變化不平穩(wěn),具有較大突變,只能穩(wěn)定在[-0.516 km/h,0.459 km/h]之內(nèi);另外,由速度跟蹤對(duì)比圖4(a)和圖4(b)以及各動(dòng)力單元誤差圖5(a)、圖5(b)可以看出,PFDLMFAC和PFDL-iMFAC 兩種控制方法的跟蹤性能所差無(wú)幾,整個(gè)過(guò)程各動(dòng)力單元速度誤差范圍分別穩(wěn)定在[-0.151 km/h,0.134 km/h] 和[-0.151 km/h,0.150 km/h] 之內(nèi),這是由于PFDL-iMFAC 控制方法是一種既考慮跟蹤精度,又考慮能量損耗的方法.能量損耗情況在第3.4 節(jié)處討論.

圖4 本文方法與其他方法速度跟蹤曲線對(duì)比Fig.4 The velocity tracking curves of the proposed method are compared with those of other methods

圖5 本文方法與其他方法各動(dòng)力單元速度跟蹤誤差對(duì)比Fig.5 The velocity tracking errors of the proposed method are compared with those of other methods

3.3 本文方法與其他方法控制力及加速度變化對(duì)比

圖6 為各個(gè)控制方案的單位控制力變化圖,可以看出,在啟動(dòng)、制動(dòng)、惰性時(shí)本文提出的PFDLiMFAC 和PFDL-MFAC 方案各動(dòng)力單元給出的單位控制力滿足恒牽引力啟動(dòng)、恒功率運(yùn)行等要求[29],牽引/制動(dòng)力范圍分別在[-43 N/kN,36 N/kN]和[-48 N/kN,42 N/kN] 內(nèi),在工況過(guò)渡階段,控制力也能以一定的速率緩和變化.傳統(tǒng)MFAC 在啟動(dòng)、制動(dòng)、經(jīng)過(guò)過(guò)分相時(shí)存在較大的控制力變化,牽引/制動(dòng)力范圍在[-50 N/kN,51 N/kN]內(nèi),給列車運(yùn)行帶來(lái)一定程度的安全問(wèn)題.

圖6 本文方法與其他方法單位控制力變化對(duì)比Fig.6 The variation of unit control force is compared with other methods

由圖7 各個(gè)控制方案的加速度變化圖可知,傳統(tǒng)MFAC 方法加速度變化過(guò)快,范圍在[-1.0849 m/s2,0.8987 m/s2],乘客的舒適度不滿足.而采用PFDLMFAC、PFDL-iMFAC 方法的高速動(dòng)車組加速度過(guò)度變化平緩,除了啟動(dòng)階段,范圍分別在[-0.6572 m/s2,0.6310 m/s2] 和[-0.7309 m/s2,0.7272 m/s2] 之間,滿足乘客的舒適度要求.列車運(yùn)行的加速度在[-1 m/s2,1 m/s2] 范圍內(nèi)時(shí),乘客感覺(jué)舒適[29].

圖7 本文方法與其他方法加速度變化對(duì)比Fig.7 The acceleration changes of the proposed method are compared with other methods

3.4 各個(gè)控制方法的若干性能指標(biāo)對(duì)比

為了直觀分析各個(gè)控制器的控制性能,考慮用均方誤差(Mean square error performance,MSE)、最大加減速度(Maximum acceleration/deceleration,MAXA)和能量損耗(Wastage,W)三個(gè)性能指標(biāo),對(duì)控制器進(jìn)行評(píng)價(jià):

表2 展示了MFAC、PFDL-MFAC、PFDLiMFAC 三種控制方法的控制性能.性能指標(biāo)的計(jì)算方式如式(40)～ 式(42)所示,式中i表示第i個(gè)動(dòng)力單元;n為動(dòng)力單元總數(shù);t和T分別為當(dāng)前采樣時(shí)間和總時(shí)間.由均方誤差指標(biāo)可以看出,PFDLMFAC 與PFDL-iMFAC 的跟蹤性能不相上下,但是PFDL-iMFAC 控制方案是最節(jié)能的.比起MFAC 控制方案,PFDL-iMFAC 可以節(jié)約9.863%的能量.從最大加/減速度可以看出,使用MFAC控制方案的列車,最大加/減速度為1.085 m/s2,變化偏大;PFDL-iMFAC和PFDL-MFAC最大加/減速度較小,分別為0.657m/s2和0.731m/s2,也意味著MFAC 不利于乘客的舒適性要求,而其他兩種可以達(dá)到要求.綜上,本文提出來(lái)的PFDLiMFAC 控制方案能讓動(dòng)車組以最低的能量消耗,較小的跟蹤誤差運(yùn)行.

表2 各個(gè)控制方法的若干性能指標(biāo)對(duì)比Table 2 Comparison of several performance indexes of each control method

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)高速動(dòng)車組自動(dòng)駕駛系統(tǒng),提出一種改進(jìn)的偏格式動(dòng)態(tài)線性化無(wú)模型自適應(yīng)控制方法.該方法在MFAC 的基礎(chǔ)上,考慮滑動(dòng)時(shí)間窗口,并在輸入準(zhǔn)則函數(shù)中加上對(duì)能量函數(shù)的懲罰項(xiàng),得到PFDL-iMFAC 控制器.通過(guò)與傳統(tǒng)MFAC、PFDLMFAC 對(duì)比,仿真結(jié)果表明PFDL-iMFAC 控制方案: 1)實(shí)現(xiàn)了比MFAC 方法對(duì)給定速度更高精度的跟蹤控制,誤差范圍在 [-0.191 km/h,0.182 km/h]之間,滿足列車速度誤差要求(30 km/h 以上不超過(guò)速度值的2%,30 km/h 以下±2 km/h),達(dá)到列車的安全且準(zhǔn)時(shí)運(yùn)行;2) 控制力變化更平穩(wěn),各動(dòng)力單元加速度變化范圍均在[-0.6572 m/s2,0.6310 m/s2],滿足乘客的舒適度要求;3)能量消耗最小,比起MFAC控制方案,PFDL-MFAC 和PFDL-iMFAC 分別可以節(jié)約5.04%和9.86%的能量;本文提出來(lái)的PFDL-iMFAC 控制方案能使動(dòng)車組以最小的能量消耗,較小的速度誤差跟蹤目標(biāo)曲線.

在本文基礎(chǔ)上,今后將進(jìn)一步做以下研究: 1)利用智能控制方法對(duì)本文控制方法設(shè)計(jì)的參數(shù)進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)[30];2)研究提升無(wú)模型自適應(yīng)控制魯棒性的方法[31].