☉陸紅梅

數(shù)形結(jié)合不僅是一種最基本的數(shù)學(xué)思想方法，也是教師常用的教學(xué)策略——把直觀形象的事物呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，由此引發(fā)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)觀察、思考，進(jìn)而得出抽象的數(shù)學(xué)知識。當(dāng)然，在小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，也只有將直觀與抽象緊密結(jié)合起來，才能讓他們對于數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)具有深度?；诖?，筆者從數(shù)學(xué)思想方法的基本內(nèi)涵、實踐價值與方法思考三個方面進(jìn)行相關(guān)闡述。

一、數(shù)形結(jié)合的基本思想內(nèi)涵

就數(shù)學(xué)的本質(zhì)而言，數(shù)形結(jié)合指的就是把直觀形象與抽象數(shù)量進(jìn)行一一對應(yīng)，它不僅有具體生動的形象，還有一定的數(shù)量變化與空間形式。當(dāng)然，在對于形象事物的觀察時能夠抽象出數(shù)學(xué)的本質(zhì)東西來，還需要學(xué)習(xí)者有一定的數(shù)感能力與空間意識。因而，在小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教師要能緊緊依托可供數(shù)學(xué)觀察的形象來引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動，這樣才能讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程化難為易、化繁為簡。

數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵體現(xiàn)在以下兩個層面：一是以數(shù)表形，即用數(shù)字來表示事物的數(shù)量，或是用數(shù)量的增減變化來表達(dá)事物的多少；二是借形表數(shù)，即用形象化的事物來表示數(shù)量或數(shù)量之間的關(guān)系。從低年級起，小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就常常用到數(shù)形結(jié)合思想方法，例如，學(xué)習(xí)《認(rèn)識10以內(nèi)的數(shù)》《20以內(nèi)加減法》等知識時，就用到以數(shù)表形或借形表數(shù)的方法。

二、數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的實踐價值

（一）強(qiáng)化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解

眾所周知，唯有讓學(xué)生進(jìn)行多感官體驗式學(xué)習(xí)，其才有可能實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程中，教師就要依據(jù)教學(xué)內(nèi)容，聯(lián)系學(xué)生的生活實際，引發(fā)學(xué)生對學(xué)習(xí)問題的思考，促進(jìn)學(xué)生自主提出數(shù)學(xué)問題、分析問題，乃至解決問題，讓他們經(jīng)歷一個完整的、系統(tǒng)化的數(shù)學(xué)探究過程。在這樣的數(shù)學(xué)探究活動中，學(xué)生對這些客觀事物進(jìn)行觀察與思考，繼而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識，也讓數(shù)與形有機(jī)結(jié)合起來，使他們數(shù)學(xué)思維能力與創(chuàng)新意識得到漸進(jìn)式生長。

現(xiàn)行的部編版小學(xué)數(shù)學(xué)教材也是以數(shù)與形的方式進(jìn)行編排的，更多地契合了小學(xué)生喜愛感性事物的心理特征，遵循了這個階段學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。例如，關(guān)于行程類應(yīng)用題教材的編排中，不僅有具體的文字語言敘述，還伴隨著線段圖的思考填空。這樣的編排就能引發(fā)學(xué)生將應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系用直觀形象的線段來進(jìn)行合理建構(gòu)。在教學(xué)完這樣的習(xí)題之后，學(xué)生不僅能夠掌握畫線段圖的方法，還能獲得一定的操作體驗，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也自然就有了深度。

在借助于數(shù)形結(jié)合思想方法來解決數(shù)學(xué)問題的過程中，教師還要能夠促進(jìn)學(xué)生掌握一定的解題路徑，這樣才能讓解題方法真正在學(xué)生的頭腦中形成建構(gòu)。例如，在教學(xué)《梯形的面積計算》這一課內(nèi)容時，教師就要有序開展活動，形成一定的步驟：1.數(shù)學(xué)猜想，得出計算方法；2.動手操作，用兩個完全一樣的梯形拼成平行四邊形；3.數(shù)學(xué)觀察，分析拼成的平行四邊形與梯形之間的數(shù)量關(guān)系；4.探討梯形面積計算方法，加以實踐應(yīng)用。在此過程中，教師引領(lǐng)學(xué)生借助于數(shù)形結(jié)合的思想，將計算方法與推導(dǎo)的過程一一對應(yīng)起來，讓學(xué)生在自己的頭腦中形成清晰的認(rèn)知：將S梯形＝（a＋b）×h÷2這一公式與其推導(dǎo)的兩個完全一樣的梯形拼成平行四邊形的相關(guān)示意圖建構(gòu)起來。這樣，也就讓學(xué)生的頭腦中留下了“兩個完全一樣的梯形拼成平行四邊形，每個梯形面積是這個平行四邊形面積的一半”這一具體形象，同時也讓學(xué)生能夠?qū)⒆帜阜柟竭M(jìn)行簡要表達(dá)。

（二）助推學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力發(fā)展

數(shù)學(xué)思維就是指人用數(shù)學(xué)的方法來思考問題，也是人腦對數(shù)學(xué)問題的反應(yīng)。數(shù)學(xué)思維的品質(zhì)往往體現(xiàn)在靈活性、準(zhǔn)確性、邏輯性等幾個層面。倘若一個人具有了良好的思維品質(zhì)，那么他就能在解決數(shù)學(xué)問題的過程中表現(xiàn)出超乎常人的速度，不光是解決問題的方法選擇比較靈活，解決問題的過程也合乎邏輯，得出的結(jié)論也是比較精準(zhǔn)的。當(dāng)然，良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)培養(yǎng)，需要借助于“數(shù)形結(jié)合”的方法來實現(xiàn)，需要學(xué)生從直覺思維走向創(chuàng)造性思維發(fā)展。

借助于數(shù)形結(jié)合，學(xué)生可以通過圖形來找到數(shù)量間的多種關(guān)系，進(jìn)而能根據(jù)相關(guān)的數(shù)量建立運算關(guān)系，從而能夠?qū)?shù)學(xué)知識問題進(jìn)行有效解決。長此利用數(shù)形結(jié)合這一思想方法，學(xué)生的直覺思維可以得到長遠(yuǎn)的發(fā)展，抽象思維也能夠以此為基點不斷進(jìn)行生長。在數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗與數(shù)學(xué)知識積累也是成正比遞增的。通過數(shù)形結(jié)合思想的運用，學(xué)生還可以從多個方向與多個層面來分析問題，打破常規(guī)思維的局限性，進(jìn)而走向創(chuàng)新。

例如，在教學(xué)運算規(guī)律的相關(guān)知識時，教師就可以放手讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)算式的計算與觀察，引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)算式中的共同特征，并能用創(chuàng)新思維來表示出運算規(guī)律：有的孩子用圖形來表示加法交換律與結(jié)合律，有的孩子用字母來表示加法交換律與結(jié)合律……這也是學(xué)生在形象思維方面的創(chuàng)新，他們嘗試著運用字母、符號、圖形與實物等對數(shù)學(xué)規(guī)律的存在形式進(jìn)行建構(gòu)。通過研究也發(fā)現(xiàn)，表象是具象思維的基本形式，而表象的載體也就涵括在圖形與符號兩種形式之中。

在面對抽象的數(shù)學(xué)問題時，教師就要引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會用建構(gòu)表象的方式來表達(dá)數(shù)學(xué)規(guī)律與形式，促進(jìn)學(xué)生通過猜想來獲得數(shù)學(xué)初步結(jié)論，繼而開展操作與觀察活動，進(jìn)行合理驗證，并加以應(yīng)用，讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的直接性經(jīng)驗。與此同時，學(xué)生在建構(gòu)知識的過程中將相關(guān)的數(shù)與形有機(jī)結(jié)合起來，讓抽象的邏輯推理與數(shù)量之間的關(guān)系更加具象化，從而對獲得的知識形成深刻記憶。

三、數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的實踐原則

（一）對等性

在數(shù)學(xué)中，數(shù)字與圖形之間具有著緊密的聯(lián)系，兩者所表達(dá)的意義往往存在著對等的關(guān)系，并且在特定的條件下可以相互替代或轉(zhuǎn)換。因而，筆者認(rèn)為，在數(shù)形結(jié)合的實踐應(yīng)用中應(yīng)遵循對等性原則。具體而言，在對圖形類數(shù)學(xué)問題的解題分析時，學(xué)生要將其面積或周長的計算方法與數(shù)量之間建構(gòu)好聯(lián)系，并保持好對等關(guān)系。

例如，在利用平行四邊形的面積計算公式求面積時，學(xué)生就要找準(zhǔn)底邊和與其對應(yīng)的高，并與公式中的符號或文字進(jìn)行對等起來，依據(jù)模型來進(jìn)行解題。當(dāng)然，在面臨一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時，教師也應(yīng)啟發(fā)學(xué)生通過圖形來表達(dá)問題中的數(shù)量，并從圖形中直觀發(fā)現(xiàn)數(shù)量間的運算關(guān)系，進(jìn)而得出解題的具體方法。例如，解決這樣一個問題：“將一個平行四邊形通過割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化為一個邊長為4分米的正方形，求原來平行四邊形的面積?！惫P者就設(shè)計了如下教學(xué)環(huán)節(jié)：1.首先，畫出轉(zhuǎn)化后的正方形；2.接著，假設(shè)補(bǔ)出的部分（三角形），并還原；3.觀察還原后的平行四邊形；4.得出觀察結(jié)論，如平行四邊形的面積與轉(zhuǎn)化后的正方形面積不變、正方形的邊長與原來平行四邊形的底相等、正方形的邊長與原來平行四邊形的高相等；5.將圖形與數(shù)量之間建立對應(yīng)關(guān)系，平行四邊形的底是4分米長，平行四邊形的高也是4分米長，最終得出計算方法。

當(dāng)然，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生只有真正找到圖形的基本要素與數(shù)量之間的對等關(guān)系，才能將數(shù)學(xué)問題的解決過程與方法之間達(dá)成契合，不斷提升數(shù)學(xué)思維能力。

（二）互換性

互換性是指在數(shù)形結(jié)合的過程中，既可以用數(shù)來代替圖形，也可以用圖形來表示數(shù)。筆者發(fā)現(xiàn)，數(shù)與形也是各有優(yōu)勢的，“數(shù)”彰顯其獨特的抽象性，“形”具有學(xué)生所受的直觀性。通過代數(shù)可以讓復(fù)雜的問題簡單化、理性化，可以形成邏輯關(guān)系；通過圖形，可以讓抽象的形式直觀化、具體化，清晰可見、一目了然。因而，在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，教師要能依據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容，靈活運用好數(shù)形結(jié)合思想方法，做到“數(shù)”中有“形”，“形”中有“數(shù)”［2］。例如，在教學(xué)低年級比較大小時，教師就可以用圖形的多少來讓學(xué)生建構(gòu)起數(shù)量的大?。辉诮虒W(xué)長方形的周長時，教師就可以用數(shù)量關(guān)系來讓學(xué)生建構(gòu)起長方形周長的大小，等等。

簡而言之，在數(shù)學(xué)問題的解決中，教師要積極貫徹互換性原則，或用“數(shù)”來表示“形”，或用“形”來呈現(xiàn)“數(shù)”，真正讓“數(shù)”與“形”相互配合起來。學(xué)生經(jīng)歷這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，才能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得靈活的數(shù)學(xué)思維。

四、數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的實踐應(yīng)用

（一）借助數(shù)形結(jié)合，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識的理解

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)概念的形成與基本算理的理解是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是解決數(shù)學(xué)問題的重要前提。對于低年級學(xué)生來說，最為重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，就是獲得數(shù)學(xué)概念的通透理解與基本算理的明晰，由此展開數(shù)學(xué)應(yīng)用活動，提升數(shù)學(xué)綜合能力。在這一學(xué)段中，就需要常常借助于數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生在有趣的數(shù)學(xué)活動中獲得感性的數(shù)學(xué)知識。到了小學(xué)高年級，數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系變得相對復(fù)雜，教師僅僅依靠簡單的講解就想讓學(xué)生對數(shù)學(xué)概念與算理理解得十分通透，是不可能的。此時，也更加需要將“數(shù)”與“形”有效結(jié)合起來，借助于直觀的圖形把數(shù)量間的運算關(guān)系表達(dá)清楚；反之，也需要以“數(shù)”的形式來簡潔表示出復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。為了實現(xiàn)這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，教師就要充分利用學(xué)生“由感性思維向理性思維發(fā)展”的這一規(guī)律來構(gòu)建生活化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)模式，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的深度理解。

例如，在教學(xué)《圖形的變換方式》時，很多學(xué)生在畫圖操作時會將格數(shù)數(shù)錯。究其原因，就是學(xué)生未能將“數(shù)”與“形”真正對應(yīng)起來。為了幫助學(xué)生深刻理解平移、對稱與旋轉(zhuǎn)這三種圖形的變換方式，教師就要借助于生活中的實物圖形進(jìn)行操作，讓學(xué)生從直觀觀察中看到數(shù)量的變化，引發(fā)學(xué)生將“數(shù)”與“形”有效對應(yīng)起來。如：將一個直角三角板圍繞它的直角頂點旋轉(zhuǎn)90°，請畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形。筆者讓學(xué)生用直角三角板自主操作，進(jìn)行數(shù)學(xué)觀察，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)后三角形與旋轉(zhuǎn)前的位置變化關(guān)系與數(shù)量持恒情況，讓學(xué)生將旋轉(zhuǎn)后三角形與旋轉(zhuǎn)前三角形邊的長度對應(yīng)起來，旋轉(zhuǎn)后的邊與旋轉(zhuǎn)前的邊對應(yīng)起來，同時將“數(shù)”與“形”有效結(jié)合，強(qiáng)化了學(xué)生對圖形變換方式的真正理解。

（二）借助數(shù)形結(jié)合，促進(jìn)數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)

在小學(xué)數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程中，并非都是讓學(xué)生建立計算性、規(guī)律性的模型知識結(jié)構(gòu)，往往還有一些集具象與抽象為一體的概念，需要學(xué)生在頭腦中形成合理的建構(gòu)。［3］當(dāng)然，同時讓學(xué)生將抽象與具象集一體化的知識記憶深刻，還是具有一定困難的。因為學(xué)生的具象思維與抽象思維并非完全融合在一起的。例如，在借助于圖形掌握了運算知識后，學(xué)生往往就只會記住算理，形成了知識建構(gòu)。此時，他們也就習(xí)慣于用抽象的算理來解決問題，不會再去借助直觀思維解決問題。

例如，在教學(xué)長度單位時，教師就要促進(jìn)學(xué)生具象性地認(rèn)識到：大拇指指甲的長度大約1厘米、1個粉筆盒的底邊長約1分米……在教學(xué)面積單位長度時，教師就要促進(jìn)學(xué)生記憶住：1平方厘米有一個手指頭的大小、1平方分米大約有1個巴掌大小……唯有學(xué)生對這些單位性概念深刻記憶，他們才能對長度、面積等概念形成知識建構(gòu)。通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，小學(xué)階段的學(xué)生往往會對長度、面積與體積知識混淆，原因就在于他們對基本單位沒有形成有效的建構(gòu)。

在信息教育時代，數(shù)形結(jié)合思想方法的運用，并非僅僅靠教師與學(xué)生的動手操作就能完全實現(xiàn)，往往還要借助信息化技術(shù)手段。例如，在教學(xué)較為復(fù)雜的圖形面積計算中，教師就可以利用信息技術(shù)將面積相等的部分圖形用動畫的方式，直觀呈現(xiàn)，這樣才能讓學(xué)生更為深刻透徹地理解。

綜上所述，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動過程中，數(shù)形結(jié)合思想的運用是無時不在、無處不在的，教師要充分利用好數(shù)形結(jié)合思想，創(chuàng)新數(shù)學(xué)教學(xué)新路徑，遵循小學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律，開展有效的數(shù)學(xué)探究活動，引領(lǐng)他們走進(jìn)深度學(xué)習(xí)，不斷發(fā)展其數(shù)學(xué)思維能力。