王相海 張文雅 邢俊宇 呂 芳 穆振華

1（遼寧師范大學(xué)地理科學(xué)學(xué)院 遼寧大連 116029）

2（遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 遼寧大連 116029）

盡管分?jǐn)?shù)階微積分與整數(shù)階微積分幾乎同時(shí)期出現(xiàn)，但分?jǐn)?shù)階微積分不像整數(shù)階微積分一般具有較直觀的幾何含義和物理意義，這樣在發(fā)展初期，分?jǐn)?shù)階微積分由于缺少物理和工程等背景學(xué)科的支持，幾乎很少受到工程領(lǐng)域界的關(guān)注[1-2].隨著對分?jǐn)?shù)階微積分及分?jǐn)?shù)階微分方程研究的不斷深入，特別是當(dāng)物理及工程領(lǐng)域中遇到的一些實(shí)際問題難以通過整數(shù)階微積分和整數(shù)階微分方程準(zhǔn)確地反映其復(fù)雜特性時(shí)，而分?jǐn)?shù)階微積分具有的諸如記憶性和非局部性等特性可為相應(yīng)問題的解決奠定很好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[3-4]，分?jǐn)?shù)階微積分被物理、工程、金融經(jīng)濟(jì)和生物學(xué)等諸多領(lǐng)域重視并得以應(yīng)用[5-7].近年來對于圖像處理領(lǐng)域，得益于分?jǐn)?shù)階微積分對圖像邊緣、紋理信息的獨(dú)特應(yīng)用，即分?jǐn)?shù)階微分可在有效提高圖像高頻信息的同時(shí)，非線性地保留圖像的低頻信息；而分?jǐn)?shù)階積分則可在有效提高圖像低頻信息的同時(shí)非線性地保留圖像的高頻信息[8]，使得分?jǐn)?shù)階微積分被應(yīng)用于諸如圖像增強(qiáng)、圖像去噪、圖像配準(zhǔn)和圖像識(shí)別等重要領(lǐng)域，取得了很好的處理效果[9-10].

分?jǐn)?shù)階微積分問題的討論最早可追溯到Newton和Leibniz 創(chuàng)立的微積分時(shí)代，但直到19 世紀(jì)末其理論體系才被建立并逐漸發(fā)展，直到20 世紀(jì)后期分?jǐn)?shù)階微積分的應(yīng)用性研究才得以快速發(fā)展.不同于傳統(tǒng)的整數(shù)階微積分，分?jǐn)?shù)階微積分的定義通常會(huì)依據(jù)所研究問題的角度而給出不同的表現(xiàn)形式，目前比較經(jīng)典的3 種定義形式[11-12]有：G-L（Grünwald-Letnikov）型、R-L（Riemann-Liouville）型和Caputo 型定義.其中，G-L 型分?jǐn)?shù)階微積分通過對整數(shù)階微積分差分近似公式的極限來定義，該種類型的分?jǐn)?shù)階微積分將“微分”和“積分”統(tǒng)一為一種表達(dá)方式，通過階數(shù)參數(shù)的正、負(fù)取值來分別表示函數(shù)的分?jǐn)?shù)階微分和分?jǐn)?shù)階積分，并且具有計(jì)算的實(shí)值性、連續(xù)性和線性等特性，同時(shí)可通過卷積運(yùn)算來完成其數(shù)值計(jì)算；R-L 型分?jǐn)?shù)階微積分在一定意義上可以看成是對G-L 型分?jǐn)?shù)階微積分的改進(jìn)和擴(kuò)充，該類型分?jǐn)?shù)階微積分以變限積分形式給出，這樣可通過分部積分公式和Taylor展開對其進(jìn)行級數(shù)表示，從而簡化了計(jì)算過程，特別對于確定一些簡單函數(shù)分?jǐn)?shù)的解析解具有較大優(yōu)勢；Caputo 型分?jǐn)?shù)階微積分也可以看成是G-L 型分?jǐn)?shù)階微積分的改進(jìn)，其表現(xiàn)形式也是一種變限積分形式，但不同的是R-L 型分?jǐn)?shù)階微積分是先積分再微分，而Caputo 型分?jǐn)?shù)階微積分是先微分再積分，避免了R-L 型的超奇異特性，同時(shí)Caputo 定義方便解決分?jǐn)?shù)階微分方程的初邊值問題，從而為工程領(lǐng)域分?jǐn)?shù)階微積分的有效應(yīng)用奠定了基礎(chǔ).盡管3 種分?jǐn)?shù)階微積分的定義從不同角度各有側(cè)重，但其在一定條件下具有等價(jià)性，具體理論分析可參見文獻(xiàn)[11].

圖像增強(qiáng)的目的是有選擇地突出圖像中的重要特征，同時(shí)衰減和抑制圖像中不需要的噪聲，改善圖像質(zhì)量，為進(jìn)一步的圖像分析和理解奠定基礎(chǔ)，圖像增強(qiáng)作為圖像處理的一個(gè)重要分支一直受到重視[13-14].在圖像增強(qiáng)過程中，圖像的紋理、邊緣等有用特征一般都需要保護(hù)和增強(qiáng)，而污染的噪聲則需要去除.近年來隨著基于分?jǐn)?shù)階微積分圖像處理研究的不斷深入，越來越多的基于分?jǐn)?shù)階微分的圖像增強(qiáng)方法被提出[15-16].目前基于分?jǐn)?shù)階微積分的圖像增強(qiáng)方法總體包括變換域方法和空間域方法2 大類.變換域方法利用諸如分?jǐn)?shù)Fourier 變換和分?jǐn)?shù)Wavelet 變換等分?jǐn)?shù)變換[17-18]將圖像變換到分?jǐn)?shù)頻率域，依據(jù)各分?jǐn)?shù)變換的特性對頻率域系數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)以達(dá)到圖像增強(qiáng)的目的[19-21].由于分?jǐn)?shù)變換具有較強(qiáng)的處理非平穩(wěn)信號的能力，該類方法通常能很好地提高圖像的對比度并獲得理想的紋理效果，該類方法的不足在于在對圖像進(jìn)行變換處理的過程中通常會(huì)有少量噪聲被引入.基于空間域的方法是直接對圖像的像素實(shí)施分?jǐn)?shù)階微分操作以實(shí)現(xiàn)圖像增強(qiáng)[22-25]，在實(shí)現(xiàn)圖像增強(qiáng)的同時(shí)避免了噪聲的引入，同時(shí)具有較快的計(jì)算速度.在該類方法中，分?jǐn)?shù)階微分掩模算子的設(shè)計(jì)顯得尤為重要[22,26-28].然而，由于分?jǐn)?shù)階微積分圖像處理的研究相對較晚，再加上分?jǐn)?shù)階微積分目前還缺少一個(gè)統(tǒng)一的定義形式，而不同定義形式的分?jǐn)?shù)階微分掩模算子研究進(jìn)展不平衡且表現(xiàn)出一定的差異性，比如目前相對于G-L 型和R-L 型定義形式，基于Caputo型定義形式的微分掩模算子相對較少，而G-L 型和RL 型形式的分?jǐn)?shù)階微分盡管對圖像紋理細(xì)節(jié)具有較好的增強(qiáng)效果，但對圖像對比度的提升較少[29].這樣對適應(yīng)不同定義形式分?jǐn)?shù)階微分掩模算子的研究就顯得更為有意義，同時(shí)也為實(shí)際應(yīng)用所需要.

本文對高階次Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分算子進(jìn)行研究，給出了一種基于向前差分的(1,2)階、(2,3)階次Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分掩模算子的表現(xiàn)形式，并進(jìn)行了誤差證明，同時(shí)對更高階Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分算子的一般形式進(jìn)行了分析和討論；在此基礎(chǔ)上將本文所提出的Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分掩模算子應(yīng)用于圖像增強(qiáng)處理中，針對不同階次、不同大小模板掩模算子進(jìn)行了圖像增強(qiáng)實(shí)驗(yàn).研究結(jié)果表明，高階次Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分算子對于提升圖像增強(qiáng)處理的整體質(zhì)量具有很好的效果，特別對于提升圖像的對比度、清晰度和平均梯度具有較為明顯的優(yōu)勢.

1 相關(guān)工作

1.1 Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分定義及其工程應(yīng)用分析

在3 種經(jīng)典的分?jǐn)?shù)階微積分定義形式中，由意大利物理學(xué)家Caputo 提出的Caputo 型分?jǐn)?shù)階微積分定義是距今最新的一種，其定義形式為[11,30]：

設(shè)函數(shù)f(x)定義在區(qū)間(a,b)上，n為整數(shù)，v為(n?1,n)間的分?jǐn)?shù)，定義f(x)的Caputo 型v階導(dǎo)數(shù)為式（1）

這里Γ(·)是Euler Gamma 函數(shù).

Caputo 型導(dǎo)數(shù)又可分為左側(cè)Caputo 型導(dǎo)數(shù)和右側(cè)Caputo 型導(dǎo)數(shù)，具體形式分別如式（2）和式（3）所示：

定義f(x)的Caputo 型v階積分為[11,31]

如果G-L 型和R-L 型表現(xiàn)形式在分?jǐn)?shù)階微積分理論和純數(shù)學(xué)應(yīng)用方面發(fā)揮著重要作用，Caputo 型表現(xiàn)形式則在現(xiàn)代工程應(yīng)用方面更加實(shí)用，其中的一個(gè)主要原因是由于在實(shí)際工程應(yīng)用中所構(gòu)建的分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)通常要求利用物理上可解釋的初始條件，比如f(a) ，f′(a)等，而這一點(diǎn)只有Caputo 型表現(xiàn)形式可以做到，具體原因?yàn)椋?/p>

假設(shè)0≤n?1a，函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,T]內(nèi)有n+1階連續(xù)有界的導(dǎo)數(shù)，則對式（1），由分部積分公式有

可以看出，Caputo 型微分定義不僅能像G-L 型和R-L型那樣提供整數(shù)階導(dǎo)數(shù)之間的插值，同時(shí)包含Caputo導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階微分方程的初始條件，呈現(xiàn)出與整數(shù)階微分方程相同的形式，而函數(shù)整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的物理意義是清晰和明確的，這一點(diǎn)對于工程應(yīng)用領(lǐng)域中選擇適當(dāng)?shù)腖aplace 變換公式求解實(shí)際問題中的分?jǐn)?shù)階微分方程十分重要.

1.2 分?jǐn)?shù)階微分掩模算子分析

隨著分?jǐn)?shù)階微積分算子研究的不斷深入，人們對相應(yīng)掩模算子進(jìn)行了積極的研究，其中Tiansi 算子作為一種經(jīng)典的G-L 型分?jǐn)?shù)階微分掩模算子較早被提出[32-33]，該算子依托一元信號f(t)（持續(xù)期為[a,t]）的G-L 型v階微分的差分形式（按間隔為1 進(jìn)行持續(xù)時(shí)間等分）[34]：

進(jìn)一步，對二維圖像信號，分別以圖像的長和寬區(qū)間作為x和y方向信號的持續(xù)期，選取各自方向信號按式（4）分解的前3 項(xiàng)，采取5×5的分?jǐn)?shù)階掩模構(gòu)造了如圖1 所示的8 方向的分?jǐn)?shù)階微分掩模算子-Tiansi 算子，并將其應(yīng)用于圖像的邊緣提取，取得了較好的效果.由于Tiansi 算子本身是對分?jǐn)?shù)階微分的近似表示，這樣便為構(gòu)造更加精準(zhǔn)的微分掩模算子提供了進(jìn)一步改進(jìn)的空間，比如文獻(xiàn)[35]將8 方向的Tiansi 掩模算子分解為8 個(gè)具有獨(dú)立方向的3×3小模板，對于每一個(gè)像素可獲得按照這8 個(gè)模板的加權(quán)平均值，通過對這8 個(gè)值進(jìn)行分組處理獲得增強(qiáng)幅值的3 種方法，文獻(xiàn)[35]方法被用于巖石節(jié)理縫隙圖像的紋理信息增強(qiáng)取得了較好的效果.

Fig.1 G-L fractional order differential Tiansi operator圖1 G-L 型分?jǐn)?shù)階微分Tiansi 算子

進(jìn)一步，文獻(xiàn)[36]從G-L 型和R-L 型分?jǐn)?shù)階微分定義的去極限和去積分等近似表示入手，從便于計(jì)算和提高精度的角度給出了2 種類型分?jǐn)?shù)階微分的不同近似表現(xiàn)形式，針對各種近似表現(xiàn)形式的系數(shù)構(gòu)建了一類分?jǐn)?shù)階微分掩模算子，該類掩模算子共包括6 種形式，每種形式給出了負(fù)x軸方向、負(fù)y軸方向、正x軸方向、正y軸方向、左下對角線、右上對角線、左上對角線和右下對角線8 個(gè)方向的分?jǐn)?shù)微分掩模，取得了較傳統(tǒng)整數(shù)階微分算子更好地處理紋理信息等精細(xì)結(jié)構(gòu)的能力.該類掩模算子在受到重視的同時(shí)，人們也在對其不斷地完善和改進(jìn)，比如文獻(xiàn)[37]針對其沒有考慮分?jǐn)?shù)階的優(yōu)化問題提出一種無監(jiān)督優(yōu)化算法用于分?jǐn)?shù)階參數(shù)的選擇，并將改進(jìn)后的掩模算子應(yīng)用于圖像增強(qiáng)[38].此外，Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分算子的數(shù)值計(jì)算和掩模算子也受到重視，文獻(xiàn)[29]從一維信號的Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分定義出發(fā)，按照前向差分格式確定其差分近似表達(dá)式，并通過將表達(dá)式轉(zhuǎn)換為簡單的加法、乘法運(yùn)算將其視為信號與系數(shù)函數(shù)的卷積，獲得卷積模板系數(shù)；進(jìn)一步將此過程推廣到二維圖像獲得8 個(gè)方向的卷積模板系數(shù)；最后通過將8 個(gè)方向的模板系數(shù)進(jìn)行合并形成最終的Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分掩模算子.文獻(xiàn)[39]針對左側(cè)Caputo 型導(dǎo)數(shù)進(jìn)行了數(shù)值化研究，通過基于分段兩次插值逼近實(shí)現(xiàn)了一種L1-2 離散方案；而文獻(xiàn)[40]則對右側(cè)Caputo 型導(dǎo)數(shù)的數(shù)值化進(jìn)行了研究，通過對右側(cè)α(0<α<1)階Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行L2-1 離散，獲得了逼近格式，這些結(jié)果為進(jìn)一步構(gòu)造高效的掩模算子奠定了基礎(chǔ).

近年來，人們在不斷挖掘有效的分?jǐn)?shù)階微分掩模算子，將其應(yīng)用于不同的圖像處理領(lǐng)域.比如，文獻(xiàn)[41]從G-L 型分?jǐn)?shù)階微積分定義出發(fā)，依據(jù)式（2）的近似表示系數(shù)和圖像像素間的局部相關(guān)性構(gòu)建了8 方向的3×3 掩模，并將其求和，形成最終的3×3 掩模算子，該算子被用于腦部醫(yī)學(xué)核磁共振（magnetic resonance imaging,MRI）圖像的增強(qiáng)；文獻(xiàn)[42]基于R-L 型分?jǐn)?shù)階微積分的卷積表示系數(shù)，構(gòu)建了一種具有自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階優(yōu)化的R-L 型微分掩模算子，并將其應(yīng)用于尺度不變特征變換（scale-invariant feature transform,SIFT）算法；文獻(xiàn)[43]依據(jù)R-L 型分?jǐn)?shù)階微積分的2階后向差分表示方案對傳統(tǒng)的8 方向微分掩模算子進(jìn)行了改進(jìn)并將其應(yīng)用于指紋圖像增強(qiáng)；文獻(xiàn)[44]對Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分提出一種基于Lagrange 差值的近似方案，給出了其局部截?cái)嗾`差分析，并將其應(yīng)用于一類拓展的邊值方法來求解問題.

1.3 (0,1)區(qū)間分?jǐn)?shù)階微分掩模算子分析

對于Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分定義（參見式（1）），對于階數(shù)v∈(0,1)，此時(shí)定義式中的n=1；不失一般性，選取a=0，即f(x)的定義域區(qū)間為[0,x]，將[0,x]進(jìn)行N等分（每個(gè)等分大小為?x=x/N），并令xk=k?x=kx/N，則按照前向差分格式獲得相應(yīng)的一維信號(0,1)區(qū)間Caputo 分?jǐn)?shù)階微分的差分格式（此時(shí)可設(shè)h=?x=1）[29]：

其中

進(jìn)一步，對二維圖像f(x,y)分別沿x，y方向進(jìn)行微分的近似差分近似表示，其中沿x，y方向定義域區(qū)間的間隔步長 ?x和 ?y均選為1，獲得f(x,y) 沿x，y方向(0,1)區(qū)間Caputo 型分?jǐn)?shù)階偏微分的差分格式，其表示如式（7）:

為了使掩模算子在圖像處理中具有抗旋轉(zhuǎn)性，與上述x，y正方向的分解系數(shù)相似，獲取0°，45°，90°，135°，180°，225°，270°，315°，共8 個(gè)方向的偏導(dǎo)數(shù)分解系數(shù)，并據(jù)此構(gòu)建如圖2 所示的5×5 Caputo 型微分掩模算子.

Fig.2 Caputo fractional order differential mask operator with order in (0,1)圖2 (0,1)區(qū)間Caputo 分?jǐn)?shù)階微分掩模算子

2 分?jǐn)?shù)階微積分算子階數(shù)對信號的影響

對于平方可積的能量函數(shù)f(x)∈L2(R)，其Fourier變換為

對f(x)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階v(v∈R+)微分[45]:

進(jìn)一步，由Fourier 變換特性可得

為了進(jìn)一步分析分?jǐn)?shù)階微積分中階數(shù)的大小對信號分析的影響，圖3 和圖4分別依據(jù)對v∈(0,3)的分?jǐn)?shù)階微分算子和v∈(?3,0)的分?jǐn)?shù)階積分算子的幅頻特征曲線進(jìn)行了繪制，其中橫軸代表頻率 ω，縱軸代表幅值

Fig.3 Amplitude frequency characteristic curves of fractional order differential圖3 分?jǐn)?shù)階微分的幅頻特征曲線

Fig.4 Amplitude frequency characteristic curves of fractional order integral圖4 分?jǐn)?shù)階積分的幅頻特征曲線

由圖3 可以看出，對于信號的高頻部分（ω>1），分?jǐn)?shù)階微分算子對信號具有增強(qiáng)作用，且隨著階數(shù)的提高，幅值在一定程度上也隨之增加，比如屬于(1,2)和(2,3)區(qū)間階的分?jǐn)?shù)階微分算子的高頻幅值明顯高于(0,1)區(qū)間階的分?jǐn)?shù)微分算子的高頻幅值;同時(shí)對于信號的低頻部分（ω<1），分?jǐn)?shù)階微分算子對信號具有一定的非線性削減作用，且隨著階數(shù)的提高，削減的幅度在一定程度上得以減少，比如屬于(2,3)和(1,2)區(qū)間階的分?jǐn)?shù)階微分算子的低頻幅值要低于(0,1)區(qū)間階的分?jǐn)?shù)階微分算子的低頻幅值.這樣基于高階次的分?jǐn)?shù)階微分算子較低階次的分?jǐn)?shù)階微分算子在圖像處理過程中總體上具有可更加有效地對高頻信息進(jìn)行區(qū)分和對低頻信息進(jìn)行保護(hù)的特性，從而為提高諸如在圖像增強(qiáng)、圖像分割和圖像識(shí)別等圖像處理的質(zhì)量奠定了基礎(chǔ).

同理由圖4 的分?jǐn)?shù)階積分算子的幅頻特征曲線也可獲得相應(yīng)的結(jié)論.該算子對于信號低頻信息的敏感程度遠(yuǎn)大于分?jǐn)?shù)階微分算子信號低頻信息的敏感程度，同時(shí)可以非線性地對高頻信號進(jìn)行精細(xì)化處理，從而為諸如圖像去噪等圖像處理應(yīng)用提供了有效工具.

3 高階次Caputo 分?jǐn)?shù)階微分算子研究

3.1 (1,2)區(qū)間階 Caputo 分?jǐn)?shù)階微分掩模算子

對于階數(shù)v∈(1,2)的Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分，其定義為

將f(x)的定義域區(qū)間[0,x]進(jìn)行N等分，令h=x/N，記xk=kh，其中k∈{0,1,···,N}，0=x0

進(jìn)一步通過(xN?ξ)進(jìn)行換元可得

由向前差分格式可得

對于圖像信號，相鄰像素之間的間距為1，故可令微分步長h=1，從而有n=[x/h]h=1=[x]，xk=kh=k，此時(shí)式（12）變換為

其中

引理1.設(shè)函數(shù)f(x)∈C2[0,x]，將區(qū)間[0,x]進(jìn)行n等分，令h=x/n，xk=kh，0 ≤k≤n，0=x0

其中

證明.對區(qū)間[xk?1,xk]?[0,x] 及ξ ∈[xk?1,xk]，對f(xn?ξ)進(jìn)行線性插值，有

進(jìn)而有

可以看出，一階向前差分格式可以看成對應(yīng)端點(diǎn)線性插值的一階導(dǎo)數(shù).

進(jìn)一步，有

由分部積分法可得

其中

而由插值余項(xiàng)定理可得

定理1.設(shè)函數(shù)f(x)∈C3[0,x]，將區(qū)間[0,x]進(jìn)行n等分，令h=x/n，xk=kh，0 ≤k≤n，0=x0

證明.令g(x)=f′(x)，α=v?1，則有α ∈(0,1)，g(x)∈C2[0,x].

由階數(shù)在(1,2)區(qū)間的Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分的定義（參見式（11））可得

由引理有：

對二維圖像按對其x和y方向進(jìn)行分離，可分別獲得沿著這2 個(gè)方向的式（13）的離散格式，進(jìn)一步可利用其前3 項(xiàng)分解系數(shù)構(gòu)造如圖5 所示的(1,2)區(qū)間階5×5 Caputo 型微分掩模算子.

Fig.5 Caputo fractional order differential mask operator with order in (1,2)圖5 (1,2)區(qū)間Caputo 分?jǐn)?shù)階微分掩模算子

3.2 (2,3)區(qū)間階Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分掩模算子

對于階數(shù)v∈(3,4)區(qū)間的分?jǐn)?shù)階微分，根據(jù)定義有：

將區(qū)間[0,x]進(jìn)行n等分，令h=x/n，xk=k h，0 ≤k≤n，即0=x0

由向前差分格式可得

考慮圖像處理情況中行或列相鄰像素之間單位間距為1，這樣離散過程中可選取h=1，從而有xk=kh=k(0 ≤k≤n).此時(shí)，式（19）可化簡為式（20）.由此我們得到階數(shù)在（2,3）區(qū)間的Caputo 分?jǐn)?shù)階微分的離散形式為式（21）.

其中

定理2.設(shè)函數(shù)f(x)∈C4[0,x]，將區(qū)間[0,x]進(jìn)行n等分，令h=x/n，xk=kh，0 ≤k≤n，0=x0

其中

證 明.令φ(x)=f′′(x)，β=v?2，則 有β ∈(0,1)，φ(x)∈C2[0,x].

由階數(shù)在（3,4）區(qū)間的Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分的定義（參見式（15））可得

由引理有

同理對二維圖像，可按對其x和y方向進(jìn)行分離，分別獲得沿著這2 個(gè)方向的離散格式.在此基礎(chǔ)上可構(gòu)造如下的（2,3）區(qū)間階Caputo 型微分掩模算子：

1）3×3 型掩模算子

取式（17）的前2 項(xiàng)分解系數(shù)，即f(x) 和f(x?1)項(xiàng)的系數(shù)，按照如圖6 所示的形式構(gòu)造（2,3）區(qū)間階Caputo 微分的3×3 型掩模算子.

Fig.6 Caputo fractional order differential 3×3-type mask operator with order in (2,3)圖6 （2,3）階Caputo 分?jǐn)?shù)階微分3×3型掩模算子

2）5×5 型掩模算子

取式（17）的前3 項(xiàng)分解系數(shù)，即f(x) ，f(x?1)，f(x?2)項(xiàng)的系數(shù)，按照如圖7 所示的形式構(gòu)造（2,3）區(qū)間階Caputo 微分的5×5 型掩模算子，其中

Fig.7 Caputo fractional order differential 5×5-type mask operator with order in (2,3)圖7 （2,3）階Caputo 分?jǐn)?shù)階微分5×5 型掩模算子

事實(shí)上對于式（20）的（2,3）區(qū)間的Caputo 分?jǐn)?shù)階微分的離散形式，理論上可以依據(jù)其n+1 系數(shù)（參見式（18））構(gòu)造其(n+1)×(n+1)型的分?jǐn)?shù)階微分掩模算子，但實(shí)際圖像處理應(yīng)用中由于圖像所具有的局部相關(guān)性，該掩模算子一般不宜過大.

3.3 關(guān)于更高階Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分算子的討論

對于v階（0

將區(qū)間[0,x]進(jìn)行n等分，令h=x/n，xk=kh,0 ≤k≤n，0=x0

進(jìn)一步按照向前差分格式可得

其中

實(shí)際應(yīng)用中可令h=1，n=[x/h]h=1=[x]，則有

由此便可根據(jù)m來確定其分?jǐn)?shù)階微分算子.然而，式（25）的表現(xiàn)形式還是很復(fù)雜，從而給具體應(yīng)用帶來困難.本文對其做進(jìn)一步的簡化，給出基于矩陣化的表現(xiàn)形式.為此令

其中Qk為關(guān)于參數(shù)k的m+2維行向量，Cm為關(guān)于參數(shù)m的m+2維列向量，即有

簡化 式（26）的 計(jì)算 中，對Qk中k?(m?i)<0或k?(m?i)>n(i=1,2,···,m?1,m)的情況，令(k?(m?i))m?v=0.

4 Caputo 分?jǐn)?shù)階微分算子的圖像增強(qiáng)應(yīng)用

分?jǐn)?shù)階微分可以增強(qiáng)圖像高頻部分的幅值并同時(shí)非線性保留低頻信息，因此分?jǐn)?shù)階微分算子常被應(yīng)用于圖像增強(qiáng).具體通過將掩模算子與像素點(diǎn)所對應(yīng)的區(qū)域依次進(jìn)行卷積操作實(shí)現(xiàn)圖像的空間濾波.

4.1 評價(jià)指標(biāo)及實(shí)驗(yàn)圖像

本文實(shí)驗(yàn)中對圖像增強(qiáng)質(zhì)量采用主、客觀評價(jià)方式評判，其中客觀評價(jià)采用了平均梯度、信息熵、清晰度和對比度4 種指標(biāo).具體計(jì)算方法為：

設(shè)圖像I的大小為M×N，I(i,j)為圖像中(i,j)位置處像素的灰度值，其中i=0,1,···,M?1；j=0,1,···,N?1.

2）信息熵（S）

S反映圖像中的紋理豐富程度，圖像越平滑信息熵越小；紋理越豐富信息熵越大.其定義為

其中Pi j是模板內(nèi)具有與I(i,j)相同灰度值的概率.

3）清晰度（D）

D反映圖像的局部信息及邊界的清晰程度，圖像中邊緣輪廓越模糊，清晰度越低，而邊緣輪廓越清晰，清晰度則越高，其定義為

其中Ix(i,j) 和Iy(i,j)分別表示圖像I在x和y方向上的導(dǎo)數(shù).

4）對比度（C）

C表示圖像從黑到白的漸變層次，對比度越大圖像的漸變層次越多，色調(diào)越豐富.其計(jì)算公式為

其中δ(i,j)=|i?j|表示相鄰像素間灰度值的差值，Pδ(i,j)表示相鄰像素灰度值差值為δ(i,j)的分布概率.實(shí)驗(yàn)圖像選擇了如圖8 所示的3 幅灰度圖像.

Fig.8 Experimental images圖8 實(shí)驗(yàn)圖像

4.2 Caputo 微分掩模算子的其他表現(xiàn)形式

對于3.2 節(jié)中給出的(2,3)階Caputo 微分掩模算子的表現(xiàn)形式（參見圖7），本文依據(jù)其對實(shí)驗(yàn)圖像進(jìn)行了增強(qiáng)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)增強(qiáng)后的圖像在邊緣處會(huì)出現(xiàn)一些“偽影”現(xiàn)象，并且隨著模板尺寸的增大而變得明顯.進(jìn)一步，本文給出了(2,3)階Caputo 微分掩模算子的其他表現(xiàn)形式（參見圖9），其中{e1,e2,e3}參見式（21）.

Fig.9 The other forms of Caputo differential mask operator圖9 Caputo 微分掩模算子的其他種表現(xiàn)形式

圖10 列出了利用2 種（2,3）階Caputo 微分掩模算子模板分別對“輪胎”圖像增強(qiáng)后的結(jié)果，其中，第1 種模板參見圖6、圖7；第2 種模板參見圖9.

從圖10 的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，第2 種（2,3）階Caputo 微分掩模算子模板不僅沒有“偽影”現(xiàn)象，無論是3×3形式模板，還是5×5形式模板，均能使增強(qiáng)后圖像的紋理邊緣較原圖更加清晰，可以清楚看到輪胎銜接處紋理及凹凸變化處的邊緣.值得說明的是第2 種算子模板形式是在第1 種算子模板形式的基礎(chǔ)上通過系數(shù)“收縮”微調(diào)，并通過大量仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證獲得.以下對比實(shí)驗(yàn)中關(guān)于（2,3）階Caputo 微分掩模算子均采用了第2 種模板形式.

Fig.10 Comparison of image enhancemental effects of two kinds of Caputo differential mask operator templates with order in (2,3)圖10 2 種(2,3)階Caputo 微分掩模算子模板的圖像增強(qiáng)效果對比

4.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證本文所提出(1,2)，(2,3)區(qū)間階次Caputo型分?jǐn)?shù)階微分掩模算子的有效性，將其與G-L 型分?jǐn)?shù)階微分掩模算子[35]、R-L 型分?jǐn)?shù)階微分掩模算子[46]以及(0,1)區(qū)間階次Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分掩模算子[33]進(jìn)行了圖像增強(qiáng)實(shí)驗(yàn)對比.實(shí)驗(yàn)環(huán)境為：操作系統(tǒng)Windows 10，處理器Inter?CoreTMi7-4790CPU@ 3.60 GHz，內(nèi)存16.0 GB.

4.3.1 3 種類型算子的對比實(shí)驗(yàn)

從主觀視覺效果來看（參見圖11～13），總體而言Caputo 型掩模算子能夠使增強(qiáng)后圖像的邊緣信息更加豐富，同時(shí)圖像也更加清晰，R-L 型掩模算子次之，G-L 型掩模算子相對最差；同時(shí)對于相同階數(shù)，5×5模板的增強(qiáng)效果總體上要好于3×3模板的增強(qiáng)效果.

Fig.11 Enhancemental effects of different differential mask operator templates on Fig.8(a)圖11 不同微分掩模算子模板對圖8（a）的增強(qiáng)效果

從客觀評價(jià)指標(biāo)效果來看，依據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的占優(yōu)情況（參見表1～3 的黑體數(shù)字指標(biāo)），表4～6 分別對3 種類型掩模算子的總體占優(yōu)率及分項(xiàng)評價(jià)指標(biāo)占優(yōu)率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì).從表4～6 統(tǒng)計(jì)表可以看出: 1）從表4 中實(shí)驗(yàn)的總體指標(biāo)來看，Caputo 型算子的占優(yōu)率最高，占48.61%，其次是R-L 型算子，占31.94%，最后是G-L 算子，占19.94%，這與主觀評價(jià)的結(jié)果一致；同時(shí)從整體的平均梯度、信息熵、清晰度和對比度來看，G-L 型算子的信息熵的占優(yōu)率為77.78%，明顯高于其他2 種算子，而Caputo 型算子的其他3 項(xiàng)指標(biāo)占優(yōu)率均達(dá)到了50%以上.2）從表5 中實(shí)驗(yàn)的3×3模板和5×5 模板指標(biāo)分別來看，總體趨勢與表4 相一致，特別是G-L 型算子信息熵的占優(yōu)率在仍延續(xù)了占優(yōu)優(yōu)勢的情況下，5×5 模板的信息熵占優(yōu)率達(dá)到了100%，明顯高于3×3 模板信息熵占優(yōu)率的55.56%.3）從表6 中掩模算子的階數(shù)來看，階數(shù)為0.3 時(shí)，Caputo 型算子的平均梯度、清晰度和對比度的占優(yōu)率均為最高，而G-L 型算子和R-L 型算子的信息熵要高于 Caputo 算子；階數(shù)為1.9 時(shí)，R-L 型算子的平均梯度、清晰度和對比度的占優(yōu)率均為最高，而G-L型算子的信息熵要高于其他2 個(gè)算子；階數(shù)為2.4時(shí)，Caputo 型算子的平均梯度、清晰度和對比度的占優(yōu)率呈現(xiàn)最高的情況，而G-L 型算子的信息熵則為最高.

Fig.12 Enhancemental effects of different differential mask operator templates on Fig.8 (b)圖12 不同微分掩模算子模板對圖8（b）的增強(qiáng)效果

4.3.2 與其他類型算子的對比實(shí)驗(yàn)

為了進(jìn)一步說明本文提出的高階次Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分掩模算子的效果，將其與經(jīng)典的Laplacian算子和直方圖均衡化方法進(jìn)行了圖像增強(qiáng)對比實(shí)驗(yàn).

Fig.13 Enhancemental effects of different differential mask operator templates on Fig.8 (c)圖13 不同微分掩模算子模板對圖8（c）的增強(qiáng)效果

圖14 給出了實(shí)驗(yàn)圖像通過Laplacian 算子和直方圖均衡化方法處理后的可視化效果，表7 是與之對應(yīng)的客觀評價(jià)指標(biāo)計(jì)算結(jié)果.為了更明顯突出算法特征，經(jīng)Laplacian 算子處理后的實(shí)驗(yàn)圖像并未進(jìn)行歸一化處理.

從實(shí)驗(yàn)的視覺效果來看，Laplacian 算子作為經(jīng)典的整數(shù)階微分算子，在圖像增強(qiáng)處理中更傾向于邊緣的銳化，對邊緣更敏感，但顯然對噪聲也比較敏感；直方圖均衡化作為圖像增強(qiáng)的基本方法，其能夠提升圖像的對比度，且操作可逆，但會(huì)導(dǎo)致圖像細(xì)節(jié)的丟失，這一現(xiàn)象在圖8（b）的平坦區(qū)域體現(xiàn)得較為明顯.總體而言高階次Caputo 型掩模算子能夠在對高頻信息進(jìn)行區(qū)分的同時(shí)對低頻信息進(jìn)行保護(hù)，達(dá)到更好的效果；而從客觀評價(jià)指標(biāo)來看，Laplacian算子與高階次Caputo 型掩模算子性能指標(biāo)差距不是很大，且對實(shí)驗(yàn)圖像的類型要求較為穩(wěn)定，而不同類型實(shí)驗(yàn)圖像均對直方圖均衡化方法的性能有較大影響.

Table 1 Comparison Results of the Objective Indicators of Enhancemental Effects on Fig.8 (a)表1 圖8（a）增強(qiáng)效果的客觀指標(biāo)結(jié)果對比

Table 2 Comparison Results of the Objective Indicators of Enhancemental effects on Fig.8 (b)表2 圖8（b）增強(qiáng)結(jié)果的客觀指標(biāo)結(jié)果對比

續(xù)表 2

Table 3 Comparison Results of the Objective Indicators of Enhancemental Effects on Fig.8 (c)表3 圖8（c）增強(qiáng)結(jié)果的客觀指標(biāo)結(jié)果對比

Table 4 Statistics of Overall Dominance Rate of Objective Indicators of Experimental Images表4 實(shí)驗(yàn)圖像客觀指標(biāo)總體占優(yōu)率統(tǒng)計(jì)%

Table 5 The Dominant Rate Statistics of Objective Indicators of Experimental Images According to the Size of Template表5 按模板大小統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)圖像客觀指標(biāo)占優(yōu)率%

Table 6 The Dominance Rate Statistics of Objective Indicators of Experimental Images According to Different Orders表6 按不同階數(shù)統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)圖像客觀指標(biāo)占優(yōu)率%

Fig.14 Enhancement effects of Laplacian operator and histogram equalization method on experimental images圖14 Laplacian 算子和直方圖均衡化方法對實(shí)驗(yàn)圖像的增強(qiáng)效果

Table 7 The Objective Indicators Results of the Enhancemental Effects of Laplacian Operator and Histogram Equalization Method on Experimental Images表7 Laplacian 算子和直方圖均衡化方法對實(shí)驗(yàn)圖像的增強(qiáng)效果客觀指標(biāo)結(jié)果

5 結(jié)束語

分?jǐn)?shù)階微積分所具有的記憶性、非局部性等為相應(yīng)工程問題的解決奠定了很好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).近年來得益于分?jǐn)?shù)階微積分對圖像邊緣、紋理信息的獨(dú)特應(yīng)用，其在圖像處理領(lǐng)域受到關(guān)注.不同于傳統(tǒng)的整數(shù)階微積分，分?jǐn)?shù)階微積分的定義通常會(huì)依據(jù)所研究問題的角度而呈現(xiàn)不同的表現(xiàn)形式，每種形式又各有側(cè)重.由于分?jǐn)?shù)階微積分圖像處理的研究相對較晚，從目前常見的G-L 型、R-L 型和Caputo 型3種定義形式來看，基于Caputo 型定義形式的微分掩模算子相對較少，而G-L 型和R-L 型形式的分?jǐn)?shù)階微分盡管對圖像紋理細(xì)節(jié)具有較好的增強(qiáng)效果，但對圖像對比度、清晰度的提升相對較弱.目前針對圖像處理的Caputo 型微分掩模算子多限于對（0,1）范圍內(nèi)的低階情況，而對高階次情況的研究相對較少，本文對（1,2）階次和（2,3）階次的Caputo 型微分掩模算子進(jìn)行了研究，給出了具體掩模算子的表現(xiàn)形式，同時(shí)對更高階Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分算子的一般形式進(jìn)行了分析和討論；在此基礎(chǔ)上將其應(yīng)用于圖像增強(qiáng)處理中，針對不同階次、不同模板大小的應(yīng)用情況進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)分析和對比.研究結(jié)果表明，高階次Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分算子對于提升圖像增強(qiáng)處理的質(zhì)量，特別是提升圖像的對比度、清晰度和平均梯度具有良好的效果.

作者貢獻(xiàn)聲明:王相海負(fù)責(zé)提出論文思路、研究工作指導(dǎo)和論文修改；張文雅負(fù)責(zé)理論推導(dǎo)、實(shí)驗(yàn)程序設(shè)計(jì)及論文撰寫；邢俊宇負(fù)責(zé)定理的證明；呂芳負(fù)責(zé)理論推導(dǎo)與數(shù)據(jù)分析；穆振華負(fù)責(zé)實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析與整理.