石智鋒,姜志杰,姚 達,顧夏煒

(南通大學交通與土木工程學院,江蘇 南通 226019)

1 概述

在工程實際應用中,經(jīng)常會出現(xiàn)移動載荷的情況,如汽車過橋、座椅電梯運行以及軌道運輸?shù)?一般這些問題可以視為移動荷載作用下梁的橫向振動響應問題。這時的載荷作用位置沿行進方向隨時間發(fā)生變化,在控制方程中常借用狄拉克函數(shù)來表達,從而給力學求積帶來了一些麻煩。同時,隨著人們生產(chǎn)和生活需求的不斷提升,不斷地對承受移動荷載的梁也提出了更高的性能要求。功能梯度梁(Functionally Graded Beam,FGB)就是一種為滿足在極限環(huán)境下能反復地正常工作而發(fā)展起來的一種新型功能材料梁。通過材料設計,可以使其功能、性能隨內部位置的變化而變化,從而使優(yōu)化構件的整體性能得以滿足，所以功能梯度梁的應用越來越廣泛。而當移動載荷遇到功能梯度材料梁,兩者在力學計算中都具有一定地挑戰(zhàn)性,如何通過快速力學計算,優(yōu)化此類產(chǎn)品設計是一個非常重要且亟需解決的問題。

目前,移動荷載作用下梁的響應研究已經(jīng)得到了很多學者的關注。文獻[1]采用多尺度法和Galerkin法分析移動載荷作用下 Euler 梁的頻率響應曲線。文獻[2]研究了梁的跨長對移動荷載下梁穩(wěn)態(tài)響應的影響,所得結論有助于更深入地理解移動荷載作用下有限長梁的響應以及梁結構影響線問題。更有研究者[3]提出了一種計算單個移動質量作用下兩層簡支梁動力響應的簡便方法,并分析了質量大小、移動質量速度、溫克爾層彈簧的剛度和阻尼對系統(tǒng)動力響應的影響。龔云軒等[4]基于鐵木辛科梁理論,采用連續(xù)體傳遞矩陣法計算了階梯梁的受迫振動響應。文中研究了轉動效應的影響因素，指出移動載荷的質量相較于移動速度和加速度而言,是最主要的轉動效應影響因素。當移動載荷的質量較大時,必須要考慮速度和加速度引起的是轉動慣性的影響。閆鏡宇等[5]利用奇異函數(shù)推導了簡支梁在移動載荷作用下的撓曲線微分方程,并研究了橫向強迫振動下簡支梁的響應問題。指出隨移動載荷的速度增大,將使簡支梁的撓度最大值和位移最大值呈拋物線形分布。而對于指定截面而言,最大靜撓度和載荷移動速度無關。目前,基于功能梯度材料梁的研究相對不多,且對于物性參數(shù)的變化主要考慮的是沿厚度方向的梯度變化。張靖華等[6]研究了外加集中力沿著梁的軸向移動時功能梯度材料梁的動力響應規(guī)律。基于模態(tài)疊加法和經(jīng)典梁理論,解析求得簡支梁的基礎頻率和振型,并研究了共振特性及其影響因素。

以上研究表明,移動載荷下結構的響應問題不管是理論研究還是數(shù)值求解均受到了國內外學者的廣泛關注,尤其是對材料性能梯度變化的功能梯度梁而言,準確預測移動荷載作用下結構的振動響應具有重要的理論意義和工程實用價值。但是對于大多數(shù)動態(tài)響應問題,分析計算的關鍵在于選取合理的時間步長。時間步長太小會浪費計算資源,而時間步長太大也將使得高階模態(tài)產(chǎn)生誤差。因此,基于選取合理的時間步長的考慮,本文將采用弱式求積單元法進行研究。

弱式求積單元法最初是由Striz等[7]提出的,經(jīng)過多年的發(fā)展已逐漸成為一種全新的數(shù)值解法來求解初邊值問題。由于在推導單元矩陣時采用了微分求積法的權系數(shù)公式,這樣可以得到節(jié)點數(shù)可以變化的單元矩陣的顯式計算式,便于編程的同時也提高了數(shù)值計算的效率[8]。本文借助弱式求積單元法的快速高效的優(yōu)異特點,對移動載荷下功能梯度梁的動態(tài)響應進行力學算法研究。只要集中載荷作用在結點處,就可以很方便的采用弱式求積單元法進行求解。

2 基本公式

考慮圖1所示的歐拉-伯努利功能梯度梁,受移動集中載荷作用。圖1中梁的長度、移動集中荷載、荷載的移動速度以及時間分別用L，P，v和t來表示,而h和b則分別代表梁的厚度以及寬度。材料性能沿梁高梯度變化趨勢和文獻[9]一致,采用冪指數(shù)的形式。由于時間變化,集中載荷的作用點也不斷變化,所以需要先根據(jù)等效變換的做法,把集中載荷等效到各個結點上。

假設解耦后的位移場如下：

(1)

其中,u*(x,z,t)和w*(x,z,t)分別是軸向和橫向位移分量,u*(x,e,t)=0,e為幾何中面和物理中面間的距離。

功能梯度材料歐拉梁的彎曲應變能可以寫為：

(2)

研究中基于歐拉梁理論,忽略轉動慣量和耦合的影響,功能梯度材料梁的動能寫為：

(3)

外載荷P作的功可以寫為：

W=Pw(vt) (0≤t≤L/v)

(4)

研究基于高效的弱式求積單元法,采用一個歐拉梁單元進行計算。為了使后期計算步長最長且合理,因此選用擴展的切比雪夫(E-Chebyshev)結點。圖2給出了一個11結點的弱式求積歐拉梁單元的示例。

(5)

其中,[m]和[k]分別為歐拉梁單元的質量矩陣和剛度矩陣；{f(t)}為載荷向量。之后采用中心差分法求解該二階常微分方程組,囿于篇幅,此處不再贅述。

3 算例和討論

功能梯度材料梁的跨中位移和彎矩的動態(tài)放大因子為Wam和Mam定義如下[10]：

(6)

圖5給出了S-S功能梯度材料梁的跨中彎矩的動態(tài)放大因子Mam。單元節(jié)點數(shù)仍從11變化到21。α取值為0.25，對比發(fā)現(xiàn)，收斂性方面，彎矩的收斂性要比位移的略低。從這一角度看，和常規(guī)有限單元法求解的應力和位移在精度方面的結論是一致的。也再次說明了，本質上，弱式求積單元法也是一種高階有限元方法。

圖6,圖7給出了兩端固定(C-C)時，跨中位移和彎矩的動態(tài)放大因子Wam和Mam。因為解析解無法獲得，所以采用改進的微分求積法結果來進行比較。可以看到，隨著參數(shù)α的變化，兩種方法中，Wam彼此相近，而Mam也幾乎完全相同。表明N-節(jié)點弱式求積歐拉FGB單元可以用較少的結點快速得到準確的位移和彎矩。

而對于一端簡支，一端固支的情況，從圖8,圖9也可以得到相似的結論。弱式求積單元法的計算結果和微分求積法的幾乎完全吻合，但由于邊界條件不同，跨中位移和彎矩的數(shù)據(jù)結果也不同。隨著參數(shù)α的增大，跨中位移和彎矩大致都呈先增大后減小的趨勢，說明移動速度的影響不可忽略。且不論哪種邊界支承條件，同一個參數(shù)α下功能梯度梁跨中的Wam和Mam與材料梯度參數(shù)均無關。這對工程實踐應用來說，就可以借助各向同性材料梁的計算結果，大大減少計算工作量。

4 結語

采用弱式求積單元法可以很方便地進行功能梯度材料梁的動態(tài)力學分析,結點數(shù)目較少時也可以快速獲得準確的計算結果。移動載荷作用在功能梯度梁上時,梁的動態(tài)響應與兩端的支承條件以及點載荷移動的速度有較大的關系。在固定綜合體現(xiàn)點載荷移動速度和材料屬性的無量綱參數(shù)α下,功能梯度材料梁跨中位移和彎矩的最大動態(tài)放大因子與材料梯度參數(shù)無關,可以考慮借助各向同性材料梁的結果來計算功能梯度材料梁。