孫竟耀，李 程

（上海工程技術(shù)大學(xué)航空運輸學(xué)院，上海 201620）

0 引 言

灰色系統(tǒng)理論是針對信息不完全或不確定的系統(tǒng)的控制理論，自上世紀(jì)八十年代創(chuàng)立以來，完善了對“小樣本數(shù)據(jù)”、“貧信息”的不確定性系統(tǒng)的研究。 隨著研究的深入，GM（1，1）也開發(fā)出許多分支模型。 但是，為了解決GM模型在實際應(yīng)用過程中對不同數(shù)據(jù)類型適用性低，預(yù)測精度不理想的情況，寄希望以不同的初始值優(yōu)化方法和不同的背景值取值方式提高GM 模型的適應(yīng)性和分析預(yù)測精度。 在背景值求解方式的優(yōu)化方面，蔣玉婷等學(xué)者（2020）［1］在背景值的求解方式上將牛頓插值法和柯特斯公式相結(jié)合進行計算，并在實例驗證中取得良好的效果。 王正新等學(xué)者（2008）［2］在非齊次指數(shù)序列擬合函數(shù)的基礎(chǔ)上重新推導(dǎo)背景值表達式。蔣詩泉等學(xué)者（2014）通過GM 模型背景值幾何意義的研究，給出了基于函數(shù)逼近理論和復(fù)合梯形公式的背景值優(yōu)化公式。 張彬等學(xué)者（2013）［4］論證了基于背景值和邊值協(xié)同優(yōu)化對GM 模型的預(yù)測精度提升有效。 高媛媛等學(xué)者（2020）［5］通過將背景值調(diào)整為連續(xù)化后的原始序列函數(shù)，從而提高了灰色微分方程和白化方程的適配度，給出了新的優(yōu)化思路。 王承慶（2017）［6］在正弦變換和誤差最小化原理的前提下實現(xiàn)對GM 模型初始條件和背景值的優(yōu)化，并在國內(nèi)水產(chǎn)品總產(chǎn)量的預(yù)測問題上得到較好驗證。 龍釗等學(xué)者（2021）［7］計算三參數(shù)重構(gòu)背景值，并進一步引入二次項優(yōu)化灰色作用量，實現(xiàn)了背景值和灰色作用量的綜合優(yōu)化。 張可等學(xué)者（2010）［8］基于粒子群算法對GM（1，1） 模型背景值系數(shù)動態(tài)尋優(yōu)，實現(xiàn)了預(yù)測精度的提升。

同時，李守軍（2018）［8］對GM（1，1） 優(yōu)化的模型結(jié)構(gòu)進行整合提煉，增加冪函數(shù)項得到全階時間冪灰色預(yù)測模型FOTP－GM（1，1），在初始值序列的特征提取下實現(xiàn)模型結(jié)構(gòu)和參數(shù)的動態(tài)改變，對近似非齊次指數(shù)序列具有較好的預(yù)測效果。 FOTPGM（1，1）模型較傳統(tǒng)GM（1，1） 模型在結(jié)構(gòu)上用冪函數(shù)結(jié)構(gòu)替換常數(shù)項b，隨著被模擬數(shù)列的特征變化，冪函數(shù)結(jié)構(gòu)也隨之變形為DGM（1，1）、NGM（1，1，k）、NDGM、SAIGM 等模型。 由此可見，F(xiàn)OTP－ GM（1，1） 模型能夠靈活變動結(jié)構(gòu)，具有對不同序列數(shù)據(jù)的適應(yīng)性。而FOTP－ GM（1，1） 的背景值由于先連續(xù)化、后離散化的求解方式，因此在轉(zhuǎn)換求解過程中必然存在誤差，這也為預(yù)測精度的提升提供可能。

綜上，本文將著重在拓展模型FOTP－GM（1，1）上進行優(yōu)化，構(gòu)建時利用智能算法對背景值的系數(shù)設(shè)定動態(tài)尋優(yōu)，將背景值系數(shù)設(shè)定為0 到1 之間的變量，利用粒子群算法在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)動態(tài)尋優(yōu)，實現(xiàn)提高FOTP－GM（1，1）模型精度的目的。

1 模型基礎(chǔ)及優(yōu)化

1.1 傳統(tǒng)GM（1，1）模型

定義1設(shè)非負(fù)原始序列為X（0）＝（x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）），其中x（0）（k） ≥0，k ＝1，2，…，n則稱X（1）＝（x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）），其中：

稱Z（1）為X（1）的緊鄰均值生成序列，其中：

定義2設(shè)序列X（0），X（1）和Z（1）滿足定義1，則GM（1，1）模型的基本形式為：

1.2 FOTP－GM（1，1）的建模與求解

定義 3設(shè)非負(fù)初始值序列X0＝{x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）}，n∈N＋對應(yīng)的1－AGO 序列定義為：

背景值序列定義為：

其中，z（1）（k ＋1）＝αx（1）（k）＋（1－α）x（1）（k ＋1），k ＝1，2，…，n －1。

定義4根據(jù)定義3，給出全階時間冪灰色預(yù)測的定義式：

其中，－ a是模型背景值系數(shù)；bi（i ＝1，2，…，h） 是模型的灰色作用量；bith－i是模型的時間冪項；h為模型時間冪項的階數(shù)。

定義5根據(jù)灰導(dǎo)數(shù)信息覆蓋原理，這里定義FOTP－GM（1，1）模型的離散形式可轉(zhuǎn)換為連續(xù)的微分方程形式，稱之為FOTP－GM（1，1）模型白化方程：

就模型發(fā)展系數(shù)－ a，灰色作用量bi的求解做出定義，若（a，b1，b2，…，bh）T是待估參數(shù)序列，則：

則FOTP－GM（1，1）模型的最小二乘估計滿足：

根據(jù)參數(shù)估計結(jié)果，整理后FOTP－ GM（1，1）模型的時間響應(yīng)函數(shù)為：

在一階累加序列x（1）（k） 和時間響應(yīng)序列離差平方和最小的背景下，得模型最優(yōu)迭代初值為：

為避免在參數(shù)求解過程中的矩陣病態(tài)性問題FOTP－GM（1，1）模型的階數(shù)h有固定的上限值，通過計算實對稱矩陣BTB的譜條件數(shù)cond（BTB）2。若cond（BTB）2｜h ＝p ＜1012且cond（BTB）2｜h ＝p＋1＞1012，則h ＝p。

2 FOTP－GM（1，1）模型背景值優(yōu)化

2.1 FOTP－GM（1，1）模型誤差分析

以2 階模型h＝2 為例，對定義5 中模型的式（8）白化方程在區(qū)間［k －1，k］ 進行積分，并簡化后得：

與式（13）的h ＝2 階形式比較，可得：

根據(jù)積分的幾何意義分析，背景值的實際值曲線應(yīng)是底邊長在區(qū)間［k －1，k］ 上的曲邊梯形面積，而實際計算過程中因微分方程的求解過程中存在的誤差，此為誤差來源。

2.2 動態(tài)背景值a 粒子群算法尋優(yōu)

粒子群算法（PSO）最早啟發(fā)于人類對鳥類覓食行為的思考，鳥類以單一個體進行單獨覓食，在一定區(qū)域內(nèi)搜尋最近的食物位置，利用自身經(jīng)驗判斷最佳位置，并在判斷的過程中不斷與鳥群共享信息，使得鳥群最終找到最佳覓食位置。

粒子群尋優(yōu)算法的核心公式如下：

其中，ω是慣性因子，旨在對粒子的局部最優(yōu)和整體區(qū)間最優(yōu)兩者進行權(quán)重協(xié)調(diào)；c1和c2是分別是學(xué)習(xí)因子1 和2，學(xué)習(xí)因子調(diào)節(jié)每個粒子在尋優(yōu)過程中的檢索步長；r1和r2為存在于［0，1］區(qū)間的隨機數(shù)。 綜合上述定義，粒子群尋優(yōu)算法中，粒子群中由m個粒子組成的X ＝（x1，x2，…，xm），第i個粒子在空間中的位置表示為Xi ＝（xi1，xi2，…，xim），單一粒子尋優(yōu)速度為Vi ＝（vi1，vi2，…，vim）T，每個粒子單體最佳位置為Pi ＝（pi1，pi2，…，pim）T，整體尋優(yōu)后的最優(yōu)位置為Pg ＝（pg1，pg2，…，pgm）T。

在模型的常規(guī)求解過程中1－AGO 背景值序列系數(shù)a通常取值0.5，這種賦值情況經(jīng)過諸多案例證明可以得到較為理想的預(yù)測精度，但賦值仍缺少有力依據(jù)。因此在FOTP－ GM（1，1） 模型的背景值劃定取值范圍在［0，1］區(qū)間，利用粒子群算法在區(qū)間內(nèi)進行尋優(yōu)。

尋優(yōu)依據(jù)為計算輸出模擬數(shù)據(jù)的平均相對百分誤差（MAPE），以平均相對百分誤差最小值為篩選標(biāo)準(zhǔn)，MAPE計算公式為：

3 實證分析

FOTP－GM（1，1）模型可以完成對存在指數(shù)變化規(guī)律的序列數(shù)據(jù)進行模擬預(yù)測。 本節(jié)將在四階FOTP－GM（1，1）模型的基礎(chǔ)上參考李守軍［1］設(shè)定的4 組典型指數(shù)序列進行實證分析。 數(shù)據(jù)序列包括齊次指數(shù)序列，帶有常數(shù)項的非齊次指數(shù)序列、帶有速度項和常數(shù)項的非齊次指數(shù)序列以及帶有加速度、速度和常數(shù)項的非齊次指數(shù)序列、實證分析環(huán)節(jié)將上述四種序列數(shù)據(jù)類型均作為輸入數(shù)據(jù)在傳統(tǒng)GM（1，1）模型和四階FOTP－GM（1，1）模型進行模擬，然后利用粒子群算法在［0，1］范圍內(nèi)對四階模型進行背景值系數(shù)尋優(yōu)，最后對4 種模型的模擬數(shù)據(jù)和預(yù)測數(shù)據(jù)計算平均相對百分誤差并綜合比較，論證背景值優(yōu)化后的模型預(yù)測精度。

3.1 初始數(shù)據(jù)處理

（1）設(shè)定齊次指數(shù)序列X1：x（0）＝0.9×1.8k，k ＝1，2，…，15。X1數(shù)據(jù)序列k ＝1，2，…，10 作為初始值數(shù)據(jù)用于建模，經(jīng)1－AGO 后得到序列X（1）1 ，緊鄰均值系列Z（1）1 ：

（2）設(shè)定帶常數(shù)項非齊次指數(shù)序列X2：x（0）＝1.2×1.9k ＋1.5，k ＝1，2，…，15。X2數(shù)據(jù)序列k ＝1，2，…，10 作為初始值建模，經(jīng)1－AGO 后得到序列，緊鄰均值系列：

（3）設(shè)定帶有速度項和常數(shù)項的非齊次指數(shù)序列X3：x（0）＝1.6×2.1k ＋0.5k ＋1.2，k ＝1，2，…，15，X3數(shù)據(jù)序列k ＝1，2，…，10 作為初始值建模，經(jīng)1－AGO 后得到序列，緊鄰均值系列：

（4）設(shè)定帶有加速度、速度和常數(shù)項的非齊次指數(shù)序列X4：x（0）＝1.2×1.5k ＋0.3k2＋1.5k ＋1.1，k ＝1，2，…，15。X4數(shù)據(jù)序列k ＝1，2，…，10 作為初始值建模，經(jīng)1－AGO 后得到序列，緊鄰均值系列：

3.2 模型參數(shù)估計與背景值尋優(yōu)

得到上述數(shù)據(jù)后，運用式（9）建立矩陣Y和B利用最小二乘估計法求解（a，b1，b2，b3，b4）T＝BTB－1）BTY得到模型參數(shù)，經(jīng)粒子群算法尋優(yōu)后背景值參數(shù)見表1。

表1 四階FOTP－GM（1，1）模型參數(shù)估計表Tab. 1 Parameter estimation table for the fourth－order FOTP－GM（1，1） model

3.3 模型精度對比

將參數(shù)估計結(jié)果和粒子群算法尋優(yōu)后，利用得到的優(yōu)化后的背景值系數(shù)帶入建模分析。 劃定序列數(shù)據(jù)k ＝1，2，…，10 為初始值測試集數(shù)據(jù)，k ＝10，…，15 為預(yù)測集數(shù)據(jù)。 4 組指數(shù)序列數(shù)據(jù)經(jīng)過傳統(tǒng)GM（1，1）模型FOTP－GM（1，1）模型和基于背景值改進的FOTP－GM（1，1）模型，計算模擬數(shù)據(jù)和預(yù)測數(shù)據(jù)相對誤差，對k ＝1，2，…，15 模擬相對誤差計算平均相對模擬百分誤差，計算結(jié)果整理見表2 ～表5。

表2 齊次指數(shù)數(shù)序列計算結(jié)果Tab. 2 Calculation results of chi－square exponential number series

表3 帶常數(shù)項的非齊次指數(shù)數(shù)序列計算結(jié)果Tab. 3 Calculation results of non－simultaneous exponential number series with constant terms

表4 帶速度項和常數(shù)項的非齊次指數(shù)數(shù)序列計算結(jié)果Tab. 4 Calculation results of non－simultaneous exponential number series with velocity term and constant term

表5 帶加速度、速度、常數(shù)項的非齊次指數(shù)序列計算結(jié)果Tab. 5 Calculation results of non－simultaneous exponential series with acceleration，velocity，and constant terms

從上述表2～5 可以分析得到，經(jīng)過背景值優(yōu)化后的四階FOTP－GM（1，1）模型在預(yù)測精度上得到明顯提高，齊次指數(shù)序列預(yù)測精度較前2 種模型精度分別提高了98.37%和97.15%；帶常數(shù)項非齊次指數(shù)序列預(yù)測精度較前2 種模型精度分別提高了97.05%和78.36%；帶速度項、常數(shù)項非齊次指數(shù)序列預(yù)測精度分別提高了97.65%和85.21%；帶加速項、速度項、常數(shù)項非齊次指數(shù)序列預(yù)測精度提高了19.64%和40.37%，精度均得到了顯著提升。 將3 種模型按照輸出結(jié)果繪制模擬數(shù)據(jù)序列曲線和相對誤差曲線如圖1～圖8 所示。

圖1 3 種灰色模型對齊次指數(shù)序列模擬曲線Fig. 1 Simulation curve of chi－square exponential series

圖2 3 種灰色模型對齊次指數(shù)序列模擬相對誤差曲線Fig. 2 Simulation of relative error curves

圖3 3 種灰色模型對帶常數(shù)項非齊次指數(shù)序列模擬曲線Fig. 3 Simulation curve of non－simultaneous exponential series with constant terms

圖4 3 種灰色模型對帶常數(shù)項非齊次指數(shù)序列相對誤差曲線Fig. 4 Simulation of relative error curves

圖5 3 種灰色模型對帶速度項、常數(shù)項非齊次指數(shù)序列模擬曲線Fig. 5 Simulation curve of non－simultaneous exponential series with velocity term and constant term

圖6 3 種灰色模型對帶速度項、常數(shù)項非齊次指數(shù)序列相對誤差曲線Fig. 6 Simulation of relative error curves with velocity term and constant term

圖7 3 種灰色模型對帶加速度項、速度項和常數(shù)項非齊次指數(shù)序列模擬曲線Fig. 7 Simulation curve of non－simultaneous exponential series with acceleration，velocity and constant terrms

圖8 3 種灰色模型對帶加速度項，速度項，常數(shù)項非齊次指數(shù)序列相對誤差曲線Fig. 8 Simulation of relative error curves with velocity term and constant term

從上述圖1 ～8 分析可得背景值優(yōu)化后的FOTP－GM（1，1）模型與實際曲線更貼合，相對誤差曲線較傳統(tǒng)GM（1，1）模型和FOTP－GM（1，1）模型波動更小，背景值優(yōu)化效果得到體現(xiàn)。 通過精度對比，以誤差精度小于10%為標(biāo)準(zhǔn)進行篩選，得數(shù)據(jù)序列類型與灰色模型之間的適配關(guān)系見表6。

表6 模型與數(shù)據(jù)類型適配表Tab. 6 Model and data type adaptation table

4 結(jié)束語

全階時間冪灰色預(yù)測模型因為其自身的結(jié)構(gòu)特點使得對近似非齊次指數(shù)特征的數(shù)據(jù)序列具有較好的預(yù)測精度。 但是在背景值構(gòu)造過程中缺少理論依據(jù)，因此模型精度存在提高的可能。 本文將模型背景值α ＝0.5 更新為［0，1］內(nèi)的動態(tài)值，利用粒子群優(yōu)化算法在動態(tài)變化范圍內(nèi)按照相對百分誤差最小為原則進行尋優(yōu)，以尋求得到最合理的背景值α。得到最優(yōu)背景值α后，帶入模型進行擬合輸出并與傳統(tǒng)GM（1，1）模型和未優(yōu)化背景值的FOTP－GM（1，1）模型比較預(yù)測精度的變化情況。 以齊次指數(shù)序列、帶常數(shù)項的非齊次指數(shù)序列、帶速度項、常數(shù)項的非齊次指數(shù)序列和帶加速度項、速度項和常數(shù)項的非齊次指數(shù)數(shù)列為例，分別進行背景值的粒子群算法優(yōu)化。 結(jié)果表明，經(jīng)過背景值優(yōu)化后4 種不同類型數(shù)據(jù)序列模擬精度以及預(yù)測精度均得到提高，齊次指數(shù)序列、帶常數(shù)項非齊次指數(shù)序列預(yù)測精度提升最為明顯，背景值優(yōu)化后平均相對百分誤差只有0.02%和1.48%，帶加速度項、速度項、常數(shù)項的非齊次指數(shù)序列預(yù)測精度也得到了提升。 所以，F(xiàn)OTP－GM（1，1）模型本身可以適用于上述4 種數(shù)據(jù)類型，而這種將固定參數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)橐欢ǚ秶鷥?nèi)的動態(tài)值利用粒子群算法進行尋優(yōu)，可以實現(xiàn)預(yù)測精度的顯著提升，也為相關(guān)灰色預(yù)測模型的改進優(yōu)化提供了思路和研究方向。