肖穎琛，陳 剛

貴州大學(xué) 管理學(xué)院，貴陽 550025

21 世紀(jì)以來，SARS、H1N1、Ebola、Covid-19 等發(fā)病原因不明的傳染病，給全球公共衛(wèi)生防控體系帶來嚴(yán)峻的考驗(yàn)[1]。由于發(fā)病原因不明，感染人數(shù)是不確定的，且不確定程度隨著時間波動，很難通過現(xiàn)有技術(shù)進(jìn)行預(yù)測。傳染病大規(guī)模爆發(fā)前，設(shè)立定點(diǎn)醫(yī)院足夠滿足治療需求，一旦傳染病大規(guī)模爆發(fā)，短時間內(nèi)感染患者人數(shù)快速增長，醫(yī)療資源的供給將會出現(xiàn)“短缺”，為了有效地阻止病毒的傳播，我國選擇方艙醫(yī)院對患者進(jìn)行隔離治療[2]。方艙醫(yī)院的建設(shè)速度快、規(guī)模大和成本低[3]，為我國公共衛(wèi)生應(yīng)急保障做出了重要貢獻(xiàn)。我國救援的首要任務(wù)是保障人民生命安全，將有限的醫(yī)療資源分配給感染者，可以最大限度地保證人民群眾的生命安全，大幅降低傳染事件產(chǎn)生的損失。因此，本文要解決的問題是如何在感染人數(shù)隨時間波動且不確定情況下，進(jìn)行方艙醫(yī)院選址決策，最大限度地滿足感染者的治療需求，并降低疾病傳播的風(fēng)險。

目前已有大量學(xué)者對應(yīng)急選址問題開展研究，主要內(nèi)容集中在確定選址問題、不確定選址問題和動態(tài)選址問題。確定選址問題是需求數(shù)量確定情況下的選址決策。Zhu等[4]考慮創(chuàng)傷中心的成本、響應(yīng)能力、覆蓋范圍和治療能力，構(gòu)建了改進(jìn)的集合覆蓋應(yīng)急選址模型，并設(shè)計蟻群算法求解。Fritze等[5]通過求解最大覆蓋選址模型，重新規(guī)劃了奧地利應(yīng)急醫(yī)療服務(wù)站點(diǎn)（emergency medical service station，EMSS），較原方案覆蓋范圍更廣，且EMSS 站點(diǎn)數(shù)量更少。Sina 等[6]提出了邊緣設(shè)施部分覆蓋邊最大的救護(hù)車選址問題，引入經(jīng)驗(yàn)貝葉斯方法觀察交通事故碰撞頻率，以減少因碰撞的隨機(jī)性產(chǎn)生的誤差。Liu等[7]考慮了不同類型的救護(hù)車輛，以最大覆蓋需求點(diǎn)為目標(biāo)，建立了城市路網(wǎng)交叉口交通事故致人身傷害應(yīng)急服務(wù)模型，并采用遺傳算法求解。Sudtachat等[8]以期望覆蓋率最大為目標(biāo)，引入馬爾可夫穩(wěn)態(tài)概率，制定不同救護(hù)車數(shù)量的最優(yōu)選址策略。李周清等[9]以成本最小和運(yùn)輸時間最小為目標(biāo)，建立了應(yīng)急物資儲備庫選址-配給模型，并設(shè)計了改進(jìn)的多目標(biāo)遺傳算法求解。肖俊華等[10]考慮了選址的公平性、效率和成本，建立了多目標(biāo)應(yīng)急設(shè)施選址模型，并設(shè)計貪婪算法、上升算法和遺傳算法求解。

應(yīng)急事件往往具有突發(fā)性，不能準(zhǔn)確或者不能及時預(yù)測需求，確定性選址模型在不確定的需求下可能不是最優(yōu)選擇，一些學(xué)者開始利用魯棒優(yōu)化和隨機(jī)規(guī)劃對不確定性應(yīng)急選址問題進(jìn)行研究。于冬梅等[11]引入budget不確定集刻畫共享不確定因素，建立最大覆蓋的應(yīng)急選址模型，并設(shè)計改進(jìn)灰狼優(yōu)化算法求解。陳剛等[12]以最大化傷員生存概率為目標(biāo)，考慮傷員分類和醫(yī)院分型，建立了震后移動醫(yī)院魯棒選址模型，并采用CPLEX 求解。賴志柱等[13]引入離散的情景集合描述需求、運(yùn)輸成本和運(yùn)輸時間的不確定性，建立了多目標(biāo)魯棒優(yōu)化應(yīng)急選址模型，并設(shè)計混合蛙跳算法求解。Zhang 等[14]考慮覆蓋約束置信水平，建立了最大覆蓋應(yīng)急選址模型和alpha-chance 最大覆蓋應(yīng)急選址模型，并通過實(shí)例說明了不確定性模型的有效性。Liu等[15]以總成本最小為目標(biāo)，建立了應(yīng)急服務(wù)站魯棒選址模型，并設(shè)計了逼近算法求解。Peng等[16]考慮了需求隨機(jī)性，建立了以覆蓋預(yù)期成本最小為目標(biāo)的應(yīng)急選址模型，并采用branch-and-Benders-cut算法求解。

以上研究大部分都屬于靜態(tài)（即單周期）選址決策，但在現(xiàn)實(shí)情況中，決策環(huán)境、應(yīng)急需求往往隨時間發(fā)生變化，考慮多周期、多階段選址決策更為合理，于是一些學(xué)者進(jìn)一步研究動態(tài)選址問題。孫華麗等[17]考慮醫(yī)療設(shè)施容量、傷員生存概率和心理狀態(tài)的動態(tài)變化，建立了傷員生存數(shù)量最大和心理成本最小的多目標(biāo)應(yīng)急選址-轉(zhuǎn)運(yùn)模型，并用CPLEX 進(jìn)行求解。Rahmani 等[18]以最小化采血設(shè)施成本和存儲成本為目標(biāo)，建立了動態(tài)不確定性應(yīng)急血液網(wǎng)絡(luò)選址模型，并采用精確算法求解。Schmid等[19]考慮了救護(hù)車動態(tài)覆蓋范圍，以最大化覆蓋需求范圍為目標(biāo)，建立了救護(hù)車動態(tài)選址模型，并設(shè)計了可變領(lǐng)域搜索的元啟發(fā)式算法進(jìn)行求解。

上述大部分文獻(xiàn)的研究對象為地震災(zāi)害或城市應(yīng)急設(shè)施選址問題，很少有文獻(xiàn)研究重大傳染病環(huán)境下的應(yīng)急選址問題。關(guān)于傳染病需求預(yù)測，大部分文獻(xiàn)通過人口、受災(zāi)程度或者主動上報的方式預(yù)估感染點(diǎn)的需求量，文獻(xiàn)[20-22]通過系統(tǒng)動力學(xué)預(yù)測疾病傳播趨勢，文獻(xiàn)[23]利用歷史數(shù)據(jù)擬合需求函數(shù)進(jìn)行城市急救中心選址。但不明原因傳染病沒有歷史數(shù)據(jù)作為參考，預(yù)測需求的不確定性較大，且隨周期的推移而發(fā)生變化，增加了方艙醫(yī)院選址決策困難。目前，處理動態(tài)和不確定性環(huán)境下的優(yōu)化問題主要有兩種方法[24]：一是采用魯棒優(yōu)化（robust optimization，RO），二是采用動態(tài)追蹤優(yōu)化（tracking moving optimization，TMO）。前者用于不確定量較小的情況，但重大傳染病治療需求往往存在較大的不確定量，后者要求及時追蹤外界條件的變化，并對問題重新優(yōu)化，雖然方艙醫(yī)院的建設(shè)速度快，但仍然不能達(dá)到TMO靈敏度的要求。

鑒于此，本文研究了重大傳染病環(huán)境下，基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的多周期魯棒追蹤應(yīng)急方艙醫(yī)院選址決策方法，主要貢獻(xiàn)體現(xiàn)在：（1）將魯棒優(yōu)化和動態(tài)追蹤優(yōu)化結(jié)合，提出魯棒追蹤選址方法；（2）利用sigmoid函數(shù)對歷史診斷數(shù)據(jù)進(jìn)行學(xué)習(xí)，對未來治療需求進(jìn)行預(yù)測，并引入box不確定集合使預(yù)測結(jié)果在擾動區(qū)間內(nèi)波動，提高預(yù)測的可靠性；（3）充分融入數(shù)據(jù)驅(qū)動的建模思想，構(gòu)建了一類應(yīng)急設(shè)施動態(tài)選址框架模型，而非傳統(tǒng)的災(zāi)后一次性選址決策。

1 問題描述

發(fā)病原因不明的重大傳染病經(jīng)過發(fā)生期、發(fā)展期、衰退期三個階段，而每階段的疾病傳播速度不相同。在發(fā)生期，傳染速度變化較為緩慢；發(fā)展期，傳染速度變化加快；衰退期，傳染速度變化趨于緩慢，最終傳播速度為0。發(fā)展規(guī)律如圖1所示。

圖1 重大傳染病發(fā)展規(guī)律Fig.1 Evolution of serious infectious diseases

由于新出現(xiàn)的傳染疾病沒有歷史數(shù)據(jù)作為參考，不能準(zhǔn)確預(yù)測其傳播速度等參數(shù)情況。現(xiàn)有預(yù)測技術(shù)雖然能夠預(yù)測感染人數(shù)和傳播趨勢，但樣本數(shù)量較小時，擬合情況存在誤差（如圖2 所示），預(yù)測結(jié)果呈現(xiàn)波動性，影響應(yīng)急決策的可靠性。

圖2 小樣本預(yù)測誤差較大Fig.2 Large prediction error of small samples

重大傳染病發(fā)生期，感染人數(shù)少，醫(yī)療資源相對“充足”，通過現(xiàn)有的醫(yī)院服務(wù)能力足夠應(yīng)對治療需求，但隨著疾病傳播速度變快，一旦疾病大規(guī)模爆發(fā)，現(xiàn)有的醫(yī)療服務(wù)不能滿足整個傳染周期的治療需求。在現(xiàn)有醫(yī)療服務(wù)能力不能滿足預(yù)期治療需求時，國家應(yīng)急管理部決定在受災(zāi)地區(qū)提前分批次設(shè)立方艙醫(yī)院。為了滿足整個周期不斷變化的治療需求且不造成資源浪費(fèi)，選址決策時盡可能以最小的服務(wù)能力最大可能地滿足治療需求，同時考慮到交叉感染風(fēng)險，盡可能使感染者到方艙醫(yī)院的加權(quán)距離最短。因此，本文問題可描述為：在感染數(shù)量隨時間波動且高度不確定條件下，如何根據(jù)現(xiàn)有的診斷數(shù)據(jù)進(jìn)行學(xué)習(xí)，預(yù)測未來的治療需求，并通過魯棒優(yōu)化控制預(yù)測精度，進(jìn)行多周期方艙醫(yī)院的選址決策，提高決策的魯棒性，使得在最壞的情況下以預(yù)期最小的服務(wù)能力最大限度滿足治療需求，同時使預(yù)期總加權(quán)距離最小。

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 模型假設(shè)

本研究的模型假設(shè)如下：（1）服務(wù)能力小于預(yù)測需求時進(jìn)行新建方艙醫(yī)院選址決策，否則按就近原則將患者進(jìn)行分配。分配順序?yàn)槎c(diǎn)醫(yī)院>已建方艙醫(yī)院>新增方艙醫(yī)院；（2）醫(yī)院服務(wù)能力用床位數(shù)量表示，每位感染者都會占用1個床位，進(jìn)行隔離觀察；（3）方艙醫(yī)院建成最小時間為2天（武漢市衛(wèi)健委防控動態(tài)公布方艙醫(yī)院平均建成時間為1.5天），至少2天后方艙醫(yī)院才能投入使用；（4）患者不能自行就診，只能由相關(guān)部門統(tǒng)一安排送到指定的方艙醫(yī)院進(jìn)行隔離治療；（5）沒有外來的患者，本地患者未到異地治療。

2.2 符號說明

2.2.1 集合

T表示周期集合，T={0,1,…,|T|},t∈T；

I表示感染點(diǎn)集合，I={1,2,…,|I|},i∈I；

J表示備選點(diǎn)集合，J∈{1,2,…,|J|},j∈J；

2.2.2 參數(shù)

cj表示備選點(diǎn)j設(shè)立方艙醫(yī)院的服務(wù)能力；

sij表示感染點(diǎn)i到備選點(diǎn)j的距離；

Pt表示周期t建立方艙醫(yī)院數(shù)量的閾值。

2.2.3 變量

αt表示0-1控制變量，取1時表示進(jìn)行選址決策，否則取0。

2.3 數(shù)據(jù)驅(qū)動的魯棒追蹤選址模型

重大傳染病環(huán)境下，需要根據(jù)感染者人數(shù)提前設(shè)立應(yīng)急方艙醫(yī)院，但感染點(diǎn)的精確感染人數(shù)無法提前獲得，因此數(shù)據(jù)驅(qū)動的魯棒追蹤應(yīng)急方艙醫(yī)院選址模型分為預(yù)測階段和決策階段。

2.3.1 預(yù)測階段

在預(yù)測階段，用sigmoid 函數(shù)基于時間序列對方艙醫(yī)院選址決策前的傳染病診斷數(shù)據(jù)進(jìn)行學(xué)習(xí)，并將實(shí)時數(shù)據(jù)輸入預(yù)測器作為歷史數(shù)據(jù)，改善預(yù)測模型的精度，同時引入box不確定集合控制預(yù)測結(jié)果的準(zhǔn)度。sigmoid函數(shù)是生物學(xué)中常見的S型函數(shù)，也稱為S型生長曲線或Logistic 函數(shù)，一般用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的激活函數(shù)。由于sigmoid 函數(shù)與疾病傳播趨勢的相似性，故本文用該函數(shù)進(jìn)行擬合，通過計算得到重大疾病的治療需求人數(shù)，作為方艙醫(yī)院選址決策的重要參考依據(jù)。其表達(dá)式如下：

其中，P(t)表示周期t累計診斷人數(shù)；P0表示初始累計診斷人數(shù)；K表示最終累計診斷人數(shù)，即增長到最后累計診斷人數(shù)能夠達(dá)到的極限；r表示增長速度，在不同周期，根據(jù)擬合情況選取合適的值，使得sigmoid函數(shù)可以較好地模擬重大傳染病的各個階段，特別是病患人數(shù)急劇增長的“發(fā)展期”。因此，本文用“sigmoid 函數(shù)”做預(yù)測具有一定的合理性。

2.3.2 決策階段

在決策階段，通過預(yù)測獲得周期t感染點(diǎn)i的床位需求人數(shù)，且表示周期t感染點(diǎn)i的名義需求人數(shù)，為擾動量，其不確定性集合為U={ξ:|ξi|≤ψi}，其中ξi表示不確定因素，ψi為可調(diào)整的不確定性水平參數(shù)。如果現(xiàn)有醫(yī)院提供的床位數(shù)量大于或等于預(yù)測需求床位數(shù)量，只進(jìn)行分配決策，否則進(jìn)行方艙醫(yī)院選址決策，使有限的醫(yī)療資源滿足未來治療需求的同時使加權(quán)距離最小。第t周期的魯棒追蹤選址決策模型如下：

目標(biāo)函數(shù)式（2）表示最壞情況下分配感染者的預(yù)期總加權(quán)距離最?。皇剑?）表示在醫(yī)療資源有限的前提下，使預(yù)期分配人數(shù)最大；式（4）表示在醫(yī)療資源有限的前提下，用最小的方艙醫(yī)院服務(wù)能力滿足預(yù)期治療需求。約束條件式（5）表示被分配到方艙醫(yī)院的感染者數(shù)量不能超過其服務(wù)能力；式（6）表示如果進(jìn)行選址決策，有且只有能力建立Pt個方艙醫(yī)院；式（7）表示不會有感染者被分配到未被選中的候選點(diǎn)；式（8）表示所有感染點(diǎn)的感染者的分配比例不會超過1；式（9）表示決策變量為0-1變量；式（10）表示分配比例是介于0和1之間的數(shù)；式（11）表示模型控制變量，取1時進(jìn)行選址決策，否則取0。

目前沒有較好的算法求解魯棒優(yōu)化，但可以根據(jù)魯棒對等式轉(zhuǎn)換（robust counterpart）理論[25]，將魯棒模型轉(zhuǎn)化為等價的混合整數(shù)規(guī)劃進(jìn)行求解，轉(zhuǎn)化后模型如下：

目標(biāo)函數(shù)式（13）、約束條件式（15）和（16）是根據(jù)魯棒對等式轉(zhuǎn)換理論得到的等價形式。其中zt為輔助變量。

2.4 模型求解

圖3 給出了數(shù)據(jù)驅(qū)動的魯棒追蹤選址模型求解框架，它包括預(yù)測部分和求解部分。本文采用Python軟件進(jìn)行編程，預(yù)測部分調(diào)用SCIPY模塊，使用sigmoid函數(shù)和最小二乘法，按照時間序列對累計確診、死亡、治愈數(shù)據(jù)進(jìn)行學(xué)習(xí)并預(yù)測，計算得到未來n天名義床位需求量。其中參數(shù)r、需求量預(yù)測值的調(diào)整更新完全是由數(shù)據(jù)驅(qū)動。求解部分采用分層序列法調(diào)用GUROBIPY模塊進(jìn)行多目標(biāo)的計算。其中分層序列法是對多目標(biāo)按其重要性分類，然后用分支切割算法對最重要的目標(biāo)求最優(yōu)解集，在這些最優(yōu)解集基礎(chǔ)上再去對次重要目標(biāo)求最優(yōu)解或有效解集，以此類推。由于切斷疾病傳播途徑或者減小疾病傳播風(fēng)險最重要，結(jié)合就近治療的原則，將目標(biāo)函數(shù)f1設(shè)置為最重要；在實(shí)際救援過程中，我國遵循“應(yīng)治盡治”的原則，將f2設(shè)置為次重要；在醫(yī)療資源有限的條件下，為了使最少的醫(yī)療資源服務(wù)最多的感染者，故將f3設(shè)置為一般重要。具體求解過程如下：

圖3 數(shù)據(jù)驅(qū)動的魯棒追蹤選址模型求解框架Fig.3 Solution framework of robust tracking location model based on data-driven

步驟1初始化程序，t=0。

步驟2將歷史診斷數(shù)據(jù)輸入預(yù)測器，預(yù)測器對數(shù)據(jù)進(jìn)行學(xué)習(xí)，通過預(yù)測得到周期t+n名義需求數(shù)據(jù)。

步驟3判斷周期t+n預(yù)測需求是否得到滿足?是，轉(zhuǎn)入步驟4；否，轉(zhuǎn)入步驟5。

步驟4進(jìn)行分配決策，將感染者分配給現(xiàn)有設(shè)施，更新歷史診斷數(shù)據(jù)并修正預(yù)測器中的r值，t=t+1，轉(zhuǎn)入步驟2。

步驟6判斷sigmoid 曲線是否逼近K值?否，轉(zhuǎn)入步驟4；是，傳染疾病得到有效控制，曲線走勢趨于平緩，輸出選址結(jié)果，終止程序。

3 算例分析

3.1 數(shù)據(jù)來源

本文以2020 年初武漢新冠肺炎應(yīng)急醫(yī)療救援為例，數(shù)據(jù)來源于湖北省衛(wèi)生健康委員會官方網(wǎng)站（https：//wjw.hubei.gov.cn/）的動態(tài)要聞和武漢市衛(wèi)生健康委員會官方網(wǎng)站（http：//wjw.wuhan.gov.cn/）的防控要聞-通知公告。其中武漢市累計確診、治愈和死亡人數(shù)根據(jù)湖北省衛(wèi)健委官網(wǎng)動態(tài)要聞中公布數(shù)據(jù)整理得到。2020 年2 月21 日至2020 年3 月4 日武漢市各行政區(qū)的累計確診、治愈和死亡數(shù)據(jù)根據(jù)武漢市衛(wèi)健委官網(wǎng)通知公告中公布數(shù)據(jù)整理得到。

由于疫情早期患者數(shù)量持續(xù)增加，醫(yī)護(hù)人員救治壓力巨大，客觀上存在遲報、漏報和誤報現(xiàn)象，且少數(shù)醫(yī)療機(jī)構(gòu)未能與疾病預(yù)防控制信息系統(tǒng)對接，疫情信息報送工作未同步跟上醫(yī)療機(jī)構(gòu)擴(kuò)容收治的進(jìn)度等原因，武漢市并未公布2020 年2 月21 日之前各行政區(qū)的累計確診、治愈和死亡數(shù)據(jù)。因此，武漢市各行政區(qū)2020 年1月20日至2020年2月20日的數(shù)據(jù)是根據(jù)湖北省衛(wèi)健委公布的武漢市累計數(shù)據(jù)及2020年2月21日之后武漢市衛(wèi)健委公布的各行政區(qū)數(shù)據(jù)，結(jié)合新冠肺炎疫情的發(fā)展趨勢合理推測得到，可能與實(shí)際數(shù)據(jù)有所差異，這對目標(biāo)函數(shù)f1加權(quán)距離值有一定影響，但是否新建方艙醫(yī)院是根據(jù)武漢市整體累計診斷數(shù)據(jù)進(jìn)行選址決策，故不會影響模型的本質(zhì)。

3.2 案例背景

在武漢新冠肺炎疫情初期，分批次設(shè)立定點(diǎn)醫(yī)院，共計提供8 597 張床位，可以滿足隔離治療需求。隨著新冠肺炎疫情傳播，現(xiàn)有床位數(shù)量逐漸不能滿足治療需求，2020年2月4日后，陸續(xù)投入方艙醫(yī)院，以滿足床位需求，直到2020年3月12日患者出院，全部休倉。

圖4 描述了累計確診人數(shù)、每日確診人數(shù)、實(shí)際提供床位數(shù)量和所需床位數(shù)量的情況，其中床位需求數(shù)為累計確診人數(shù)減去累計出院人數(shù)與累計死亡人數(shù)之和，實(shí)際供給數(shù)為武漢市衛(wèi)健委官網(wǎng)公布的定點(diǎn)醫(yī)院床位數(shù)量和方艙醫(yī)院實(shí)際提供的床位數(shù)量之和。從圖中可以看出，累計確診趨勢與sigmoid函數(shù)圖形趨勢一致；實(shí)際決策所提供的床位數(shù)量能夠較好地滿足治療需求，但短暫出現(xiàn)“供不應(yīng)求”情況；衰退期病毒傳播速度小于治愈速度，治療需求能夠全部滿足，實(shí)現(xiàn)“床等人”，但仍然投入3家方艙醫(yī)院，造成“供過于求”情況。

圖4 武漢新冠肺炎疫情數(shù)據(jù)（不含臨床確診）Fig.4 Diagnostic data of Covid-19 in Wuhan（excluding clinical diagnosis）

考慮到我國應(yīng)急救援目標(biāo)是將人民的生命安全放在第一位以及武漢市疫情防控的實(shí)際情況，在外力的有效干預(yù)下，預(yù)測結(jié)果選擇時偏向樂觀，即預(yù)測值偏小。本文以行政區(qū)為單位作為感染點(diǎn)，感染點(diǎn)編號如表1所示?？紤]到患者就診方便、遠(yuǎn)離人口密集居住區(qū)、醫(yī)院占地面積等特點(diǎn)，在武漢市各個區(qū)內(nèi)篩選出23 個符合條件的體育館、健身中心、學(xué)校、工廠倉庫等場地作為方艙醫(yī)院備選點(diǎn)，備選點(diǎn)編號及容量情況如表2所示。感染點(diǎn)和備選點(diǎn)之間的距離可根據(jù)各點(diǎn)的經(jīng)緯度數(shù)據(jù)并調(diào)用Python的GEOPY模塊計算得到。

傻子毛二一臉惶恐，擔(dān)著兩個大四鼻陶罐下了井臺。罐子里的水晃蕩著往外淌。毛二的步子在陽光下開始變得瘦小。像一陣風(fēng)，瞬間，消失在小巷盡頭的竹林里。

表1 感染點(diǎn)編號Table 1 Serial number of infection areas

表2 備選點(diǎn)編號及容量Table 2 Serial number and capacity of alternatives

由于武漢新冠肺炎疫情逼近K值用時29 個周期，故本文以“天”為周期單位，模擬29 個周期的決策過程。由于方艙醫(yī)院建設(shè)需要2天時間，故本文所提及決策日期為t，投入日期為t+2。各周期各感染點(diǎn)的感染人數(shù)由武漢市衛(wèi)健委官網(wǎng)公布數(shù)據(jù)整理獲得。為了模擬感染人數(shù)波動的不確定性，假設(shè)擾動量比例分別為5%、10%、20%，擾動比例越大說明預(yù)測結(jié)果波動越大。各周期方艙醫(yī)院的建設(shè)數(shù)量受醫(yī)療資源影響，根據(jù)武漢救援實(shí)際，假設(shè)閾值P的取值范圍為1～3，閾值越大說明醫(yī)療資源越不受限，建設(shè)方艙醫(yī)院的能力越強(qiáng)。此外，為了分析方便，假設(shè)各感染點(diǎn)不確定水平ψ的變化幅度相等且為整數(shù)。

3.3 結(jié)果分析

通過Python3.7 對魯棒追蹤選址模型進(jìn)行編程，在Intel i5-8265U 1.80 GHz，8 GB RAM環(huán)境下進(jìn)行求解。根據(jù)數(shù)據(jù)驅(qū)動的魯棒追蹤選址模型的求解框架，以2020年2月1日之前的數(shù)據(jù)及實(shí)時發(fā)生數(shù)據(jù)作為歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行學(xué)習(xí)并擬合，部分?jǐn)M合及預(yù)測情況如圖5所示。雖然樣本數(shù)量較小，通過引入box 不確定性集合，可以縮小擬合過程中的誤差，使預(yù)測結(jié)果在擾動區(qū)間內(nèi)波動，提高應(yīng)急決策的可靠性。

圖5 引入box不確定集的預(yù)測情況Fig.5 Prediction with box uncertainty set

不同增長速度r對預(yù)測結(jié)果的影響如圖6所示，值得一提的是，增長速度r并不等于疾病傳播速度，它是預(yù)測模型中的內(nèi)生變量，也可以稱為樂觀系數(shù)。r值越大，說明預(yù)測結(jié)果越樂觀，sigmoid函數(shù)以較快的速度逼近K值，最終累計診斷人數(shù)越小。r值越小，疾病發(fā)生期預(yù)測的診斷人數(shù)越多，需求量預(yù)測結(jié)果偏大。本文選取的r值隨周期變動，根據(jù)擬合情況不斷修正，以提高預(yù)測的精度。

圖6 sigmoid函數(shù)不同增長速度預(yù)測走勢Fig.6 Prediction trend of sigmoid function with different growth rates

為了論證本文模型和方法的有效性，并分析不同不確定水平及醫(yī)療資源狀態(tài)對選址決策的影響，按表3所示設(shè)置9個情景。情景1～3中取ψ=0，說明床位需求預(yù)測結(jié)果較為精準(zhǔn)，預(yù)測值未出現(xiàn)波動，此時魯棒追蹤選址模型等價于動態(tài)追蹤選址模型。情景1～3 下動態(tài)追蹤選址提供的床位數(shù)量如圖7所示，不同情景下床位供給曲線相近，資源越充足提供的床位數(shù)量越多，受到預(yù)測結(jié)果的限制，資源狀態(tài)對床位供給影響不明顯。不確定條件下的動態(tài)追蹤選址只能滿足小部分周期治療需求，在傳染病發(fā)生期，由于疾病的發(fā)病原因不明或可參考的歷史數(shù)據(jù)較少，現(xiàn)有技術(shù)手段不能有效地預(yù)測未來的治療需求，預(yù)測結(jié)果不確定性較大，導(dǎo)致提供的床位數(shù)量不能滿足治療需求；在疾病衰退期，由于預(yù)測過于樂觀，致使3 個周期提供的床位數(shù)不能滿足治療需求。但動態(tài)追蹤選址相較于實(shí)際選址，未造成資源浪費(fèi)的現(xiàn)象，說明sigmoid函數(shù)預(yù)測具有一定的準(zhǔn)確性，以及動態(tài)追蹤選址的科學(xué)性。

圖7 情景1～3下動態(tài)追蹤選址提供床位數(shù)量情況Fig.7 Inpatient bed provision of dynamic tracking location under scenario 1～3

表3 情景設(shè)置參數(shù)Table 3 Parameters of different scenarios

情景4 不同擾動比例提供的床位數(shù)量如圖8 所示。由于閾值P=1，資源稀缺床位供給能力低，選址決策時按照最大床位供給能力建設(shè)方艙醫(yī)院，此時床位供給曲線與實(shí)際需求曲線貼近，各擾動比例下提供的床位數(shù)量接近。擾動比例5%時的選址方案出現(xiàn)2個周期床位數(shù)量不能滿足治療需求，說明重大疾病發(fā)展期的數(shù)據(jù)預(yù)測波動性較大，預(yù)測結(jié)果偏小。情景4大部分周期都能滿足治療需求，說明本文提出的魯棒追蹤選址模型在醫(yī)療資源相對“稀缺”時仍具有較強(qiáng)的魯棒性。

圖8 情景4各擾動比例提供的床位數(shù)量情況Fig.8 Inpatient bed provision of each disturbance proportion under scenario 4

情景5 不同擾動比例提供的床位數(shù)量如圖9 所示，由于資源供給能力較情景4增強(qiáng)，在滿足整個周期治療需求的同時，供給曲線與實(shí)際需求曲線間距增大，且以更短的周期逼近需求曲線的最大值，各擾動比例的供給曲線相似，更進(jìn)一步說明本文預(yù)測具有強(qiáng)的魯棒性。由于情景6的資源供給能力更強(qiáng)，供給曲線會以更短的周期逼近需求曲線的最大值，也能夠滿足整個周期的治療需求，因此不再討論。

圖9 情景5各擾動比例提供的床位數(shù)量情況Fig.9 Inpatient bed provision of each disturbance proportion under scenario 5

情景7 不確定水平高，此時ψ=5，閾值P=1，治療需求量波動比情景4 更大，由于受到建設(shè)能力限制，此時選址決策也按照最大床位供給能力建設(shè)方艙醫(yī)院，各擾動比例下提供的床位數(shù)量與情景4 情況下提供的數(shù)量一致。

情景8 不同擾動比例提供的床位數(shù)量如圖10 所示。此時ψ=5,閾值P=2,不確定程度高，模型提供的床位數(shù)量能夠滿足整個周期的治療需求，不同擾動比例的曲線接近，僅提供的床位數(shù)量略有區(qū)別，且以最快的供給速度接近于需求峰值，并未造成供不應(yīng)求或者供過于求的情況，說明本文提出的魯棒追蹤選址模型在預(yù)測不確定性較大時仍具有強(qiáng)的魯棒性。情景9較情景8的資源供給能力更強(qiáng)，供給曲線與需求曲線間距進(jìn)一步增大，整個周期治療需求能夠更好地被滿足，因此不再討論。

圖10 情景8各擾動比例提供的床位數(shù)量情況Fig.10 Inpatient bed provision of each disturbance proportion under scenario 8

接下來分析方艙醫(yī)院建成天數(shù)n對選址結(jié)果的影響，以情景4擾動比例5%為例。如圖11所示，方艙醫(yī)院建成天數(shù)n越大，需要提前決策的周期越靠前，方艙醫(yī)院實(shí)際投入周期越靠后，床位“供給曲線”向右移動；方艙醫(yī)院建成天數(shù)n越大，預(yù)測的需求結(jié)果的波動越大，影響決策的準(zhǔn)確度，n≥3 天時，出現(xiàn)大部分周期都不能滿足治療需求的情況。反之，方艙醫(yī)院建設(shè)速度越快，決策的準(zhǔn)確度越高。

圖11 情景4下不同建成時間提供床位數(shù)量的情況Fig.11 Inpatient bed provision in different completion time under scenario 4

3.4 對比分析

通過以上分析可知，模型求解結(jié)果受醫(yī)療資源狀態(tài)（閾值P）影響較大，因此下面重點(diǎn)分析其他參數(shù)不變情況下（取ψ=1，擾動比例為5%），不同閾值P下本文提出的GUROBIPY 求解結(jié)果與LINGO 求解結(jié)果及實(shí)際選址方案的對比，如表4 所示。P值越大，床位數(shù)量供給能力越強(qiáng)，P=1 時決策次數(shù)較多，絕大多數(shù)決策是按照最大建設(shè)能力供給床位數(shù)。P≥2 時決策次數(shù)少，GUROBIPY和LINGO求解的結(jié)果均在醫(yī)療資源充足的情況下能夠滿足整個階段預(yù)測和實(shí)際需求，但LINGO求解結(jié)果更為保守，每階段提供的累計床位數(shù)量均大于GUROBIPY 求解結(jié)果，在滿足治療需求的前提下造成資源的“相對”浪費(fèi)。LINGO在求解多目標(biāo)時會出現(xiàn)目標(biāo)2和3無可行解的情況，而GUROBIPY能夠更好地平衡三個目標(biāo)，使得求解結(jié)果更貼近真實(shí)的治療需求。本文提出的選址模型在傳染病衰退期未進(jìn)行無效決策，而實(shí)際決策在現(xiàn)有服務(wù)能力能夠滿足治療需求的前提下，仍進(jìn)行了三次方艙醫(yī)院的選址，證明本文提出的數(shù)據(jù)驅(qū)動的魯棒追蹤選址模型的合理性。

表4 GUROBIPY選址方案與LINGO及實(shí)際選址方案對比Table 4 Comparison of GUROBIPY with LINGO and realistic location scheme

為了進(jìn)一步說明GUROBIPY 求解方法的優(yōu)越性，將其與LINGO 周期6 的計算結(jié)果進(jìn)行對比，如表5 所示。LINGO 不能直接求解多目標(biāo)模型，故采用目標(biāo)約束法，即先求目標(biāo)函數(shù)f1的最優(yōu)解，再將其作為約束條件，求解目標(biāo)函數(shù)f2的最優(yōu)解，以此類推。因此，LINGO求解時需要運(yùn)行三個不同的程序，并且根據(jù)前一個程序手動更改下一個程序的參數(shù)，實(shí)際花費(fèi)時間必然會大于單純的計算機(jī)求解時間，而GUROBIPY 求解是一次完成，單周期求解時間比LINGO 少0.1 s，求解效率高于LINGO。此外，LINGO無多目標(biāo)求解模塊，只能使用目標(biāo)約束法，得到的是單個最優(yōu)解，這使得LINGO求解得到的目標(biāo)函數(shù)f2值遠(yuǎn)大于預(yù)估需求的最大值，求解結(jié)果過于保守；而GUROBIPY使用分層序列法，得到的是最優(yōu)解集，在此基礎(chǔ)上再優(yōu)化下一個目標(biāo)，增加了模型的魯棒性。

表5 周期6 GUROBIPY和LINGO求解結(jié)果對比Table 5 Comparison of results between GUROBIPY and LINGO in period 6

4 結(jié)束語

本文為多周期重大傳染病應(yīng)急方艙醫(yī)院的選址決策提供了數(shù)學(xué)優(yōu)化模型和求解方法，相比于確定型的追蹤選址模型，本文構(gòu)建的魯棒追蹤模型更貼近實(shí)際，更有利于提高救援決策的準(zhǔn)確度。此外，本文根據(jù)傳染病的傳播特點(diǎn)，從數(shù)據(jù)驅(qū)動的視角，利用sigmoid函數(shù)對累計確診數(shù)據(jù)進(jìn)行學(xué)習(xí)，預(yù)測感染人數(shù)及趨勢。引入不確定水平參數(shù)ψ刻畫預(yù)測感染人數(shù)的不確定性，運(yùn)用魯棒優(yōu)化控制預(yù)測數(shù)據(jù)的精準(zhǔn)度，通過魯棒對等理論將模型轉(zhuǎn)化為混合整數(shù)規(guī)劃，利用Python 軟件編程并調(diào)用GUROBIPY模塊求解。最后以武漢應(yīng)急方艙醫(yī)院的選址為例，給出最優(yōu)魯棒選址方案，并從預(yù)測模型、不確定參數(shù)和方艙醫(yī)院建設(shè)能力對選址方案的影響進(jìn)行深入分析，算例結(jié)果表明：（1）預(yù)測模型參數(shù)r值越大，預(yù)測結(jié)果越樂觀，在重大疾病發(fā)生期，應(yīng)選擇較小值，否則預(yù)測需求與實(shí)際需求偏離較大；在重大疾病衰退期，疾病傳播速度減緩，疾病得到較好的控制，r值應(yīng)選擇較大值。（2）相同不確定水平下，不同擾動比例提供的床位數(shù)量略有不同且數(shù)值差距不大，在多周期魯棒追蹤選址模型中，能夠通過參數(shù)的調(diào)整，較好地克服魯棒優(yōu)化結(jié)果的保守性。（3）在應(yīng)急資源“短缺”的情況下，模型按照方艙醫(yī)院最大建設(shè)能力供給床位，但仍在最壞的情況下進(jìn)行“最優(yōu)”的供給；在應(yīng)急資源相對“充足”的情況下，模型能夠滿足整個周期的治療需求，且不會進(jìn)行額外的決策，造成醫(yī)療資源的“過?！?。因此，本文提出數(shù)據(jù)驅(qū)動的魯棒追蹤選址模型，能夠較好地解決需求隨時間波動且高度不確定情況下，應(yīng)急方艙醫(yī)院的選址決策問題，為應(yīng)急決策者提供較好的決策參考。

在本文的研究中，預(yù)測階段并未考慮人口流動對治療需求預(yù)測的干擾，而是假設(shè)感染區(qū)域是封閉的狀態(tài)。此外，在決策階段考慮方艙醫(yī)院的服務(wù)能力是相同的，而在一些實(shí)際問題中，方艙醫(yī)院的服務(wù)能力也可能隨著周期的不同而呈現(xiàn)不確定性。因此，未來將進(jìn)一步考慮多個需求影響因素和不同服務(wù)水平的魯棒追蹤選址模型。