聶啟紅，周永輝

(1.貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽 550025；2.貴州師范大學(xué) 大數(shù)據(jù)與計算機科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

0 引言

在金融市場中，擁有私人信息的市場參與者，稱為內(nèi)部人，常常會利用這些信息使得自己效用最大化。1985年，Kyle[1]首次提出了一類風(fēng)險資產(chǎn)的多階段內(nèi)部交易模型，并得到一類線性均衡的存在性。在該模型中，內(nèi)部人在噪聲交易者的掩護下與做市商之間進行博弈，以使自身利潤最大化；而做市商對風(fēng)險資產(chǎn)進行半強有效性定價。進一步，Holden等[2]將Kyle的模型擴展到多個知情內(nèi)部人多階段的內(nèi)部交易博弈模型，并得到序貫線性均衡的閉式解。此外，Gong等[3]還給出了領(lǐng)導(dǎo)者、追隨者等可能角色互換的序貫公平Stackelberg博弈的市場均衡。之后，Yang等[4]還考慮了兩階段投資者與“后手”投資者之間策略互動的內(nèi)部交易模型，分別得到了純策略、混合策略下的博弈均衡。其他多階段單一內(nèi)部人交易市場均衡研究，可見文獻[5-6]等。

1992年，Back[7]將Kyle模型推廣到連續(xù)時間內(nèi)部交易情形，利用動態(tài)規(guī)劃原理證明了一類市場均衡的存在性。Back等[8]假定內(nèi)部人僅知道資產(chǎn)價值分布，通過學(xué)習(xí)逐漸了解相關(guān)信息,得到內(nèi)部交易策略與定價組合均衡。Cho[9]考慮了不同風(fēng)險偏好的內(nèi)部人在受歷史交易信息定價下影響的策略均衡。Campi等[10]研究了一類內(nèi)部人還知道隨機破產(chǎn)時間的內(nèi)部交易模型，發(fā)現(xiàn)均衡時的內(nèi)部交易是不顯著的。Caldentey等[11]研究了風(fēng)險資產(chǎn)受布朗運動驅(qū)動而交易隨機停止的情況。后來，Aase等[12]運用變分原理和濾波方法給出了線性均衡的閉式解。Ma等[13]進一步給出了一類受O-U型隨機微分方程驅(qū)動的風(fēng)險資產(chǎn)在連續(xù)時間內(nèi)部交易的市場均衡的必要條件，并得到了一類新的隨機微分方程在特定情形下的Q0-弱解。相關(guān)單個內(nèi)部人連續(xù)內(nèi)部交易研究，可見文獻[14-18]等。

2000年，Back等[19]首次研究了連續(xù)時間多個非完美信息的內(nèi)部人進行的內(nèi)部交易模型，并得到一類線性市場均衡的存在性。Zhou[20]指出，當(dāng)兩個內(nèi)部人擁有風(fēng)險資產(chǎn)的完美信息，并在連續(xù)時間上進行古諾博弈時，市場不存在某種線性策略均衡。關(guān)于連續(xù)時間博弈下內(nèi)部交易可見文獻[21]。

在市場中，內(nèi)部人之間的關(guān)系復(fù)雜多變。本文主要研究兩個內(nèi)部人在連續(xù)時間進行Stackelberg主從博弈，并討論一類市場均衡的存在性。

1 模型

在本文中所有隨機變量或過程均定義在同一個濾子化的概率空間上(Ω,F,{Ft},Ρ)，并且滿足通常性假設(shè)條件[22]。

(i)噪聲交易者：不知道資產(chǎn)價值v的任何信息，在t時刻隨機提交交易量zt

滿足[7]

(1)

其中，B是一個與v相互獨立的標(biāo)準(zhǔn)布朗運動；σZ是一個[0,T]上連續(xù)可微的、正的實函數(shù)。

(ii)領(lǐng)導(dǎo)者：知道風(fēng)險資產(chǎn)價值v，并提交交易量xLt滿足[1]

dxLt=(v-Ρt)βLtdt

(2)

其中，βL為[0,T)的連續(xù)函數(shù)。

(iii)追隨者：也知道風(fēng)險資產(chǎn)價值v，在時刻t接收到領(lǐng)導(dǎo)者的交易信息交交易量xFt，滿足[1]

dxFt=(v-Ρt)βFtdt

(3)

其中βF為關(guān)于βL的連續(xù)函數(shù)；βi(i=L,F)稱為內(nèi)部人i在信息優(yōu)勢(v-Ρt)下的交易強度。

(iv)做市商：知道風(fēng)險資產(chǎn)價值v的分布，在t時刻收到市場交易訂單總量yt

yt=xLt+xFt+zt

(4)

(但不能區(qū)分噪聲交易者和內(nèi)部人的交易量)，并根據(jù)交易總量制定價格Ρt滿足[1]

Ρt=λtdyt

其中λ是關(guān)于時間[0,T)的連續(xù)可微函數(shù),稱為市場流動性[1]。

假設(shè)做市商是完美競爭和風(fēng)險中性的，那么市場定價滿足

(5)

注意，對于給定內(nèi)部人和做市商的三元策略組(βL,βF,λt)∈(ΘL,ΘF,Λ)，其中ΘL,ΘF,Λ分別為領(lǐng)導(dǎo)者、追隨者和做市商的策略集，還需滿足條件

(6)

于是，對于內(nèi)部人來說，他們的期望利潤分別為

(7)

(8)

定義三元組(βL,βF,λt)∈(ΘL,ΘF,Λ)稱為市場的一個線性均衡，如果滿足以下條件：

(i)最大化利潤：給定λ，函數(shù)βi(i=L,F)分別使得(7)、(8)式達到最優(yōu)；

(ii)半強有效性定價：給定βi(i=L,F)，λ滿足

2 線性均衡的存在性定理

下面給出存在性定理，證明將留在下一節(jié)。

定理1存在唯一的線性均衡(βL,βF,λt)∈(ΘL,ΘF,Λ)：

(9)

對應(yīng)的內(nèi)部人最大利潤為

(10)

對應(yīng)的剩余信息為

(11)

評注定理1表明，當(dāng)市場處于均衡時，領(lǐng)導(dǎo)者不參與交易；而追隨者壟斷整個市場，相當(dāng)于文獻[12]中所描述的單個內(nèi)部人的內(nèi)部交易市場特征。這可能是兩者之間在連續(xù)時間上博弈，領(lǐng)導(dǎo)者及其他所有信息時刻被追隨者所追蹤，而領(lǐng)導(dǎo)者又必須遵從這種主從博弈結(jié)構(gòu)所致；由此領(lǐng)導(dǎo)者期望利潤遠小于追隨者的期望利潤，這與文獻[3]中所描述的單階段Stackelberg博弈下的內(nèi)部交易均衡特征相似。

3 存在性定理的證明

定理1的證明將分為4個步驟。首先考慮市場半強有效性定價的必要條件。其次，注意,對于追隨者的隨機控制問題，狀態(tài)方程為反饋系統(tǒng)，其應(yīng)用最大值原理和動態(tài)規(guī)劃原理求解是等價的[23]；這里，我們將應(yīng)用動態(tài)規(guī)劃原理，給出追隨者最優(yōu)線性策略的必要條件。第三,由于兩個內(nèi)部人遵從Stackelberg博弈結(jié)構(gòu)，作為領(lǐng)導(dǎo)者，其策略需在每一時刻考慮追隨者的歷史信息，動態(tài)規(guī)劃原理求解不再適用；在此，我們將應(yīng)用最大值原理，求解領(lǐng)導(dǎo)者的最優(yōu)線性策略的必要條件。最后，整合前面步驟的結(jié)論得到存在性定理。

第一步半強有效性定價的必要條件

引理1 假設(shè)給定(βL,βF,λt)∈(ΘL,ΘF,Λ)，若λ使得Ρt滿足市場有效性定價，則

(12)

而剩余信息γt滿足常微分方程

(13)

證明由方程(1)～ (4)可得到信號、觀察系統(tǒng)

(14)

Ρt滿足市場有效性定價(5)，由文獻[24]中定理12.1得到

(15)

第二步追隨者最優(yōu)線性策略的必要條件

證明記mt=v=Ρt，則由式(1)～(4)以及式(15)得到mt所滿足的SDE：

s∈[t,T],m∈

(16)

則對追隨者而言，對于給定的βL，λt，相應(yīng)的條件值函數(shù)為

(17)

假設(shè)JF滿足It公式的正則性條件，運用文獻[23]中的動態(tài)規(guī)劃原理，易得到JF滿足的HJB方程如下：

(18)

從而，等價地

(19)

于是

由式(19)的第二個式子可得到

(20)

由式(20)意味著

因此得到

(21)

第三步市場均衡的必要條件

引理3 假設(shè)(βL,βF,λt)∈(ΘL,ΘF,Λ)是一個市場均衡，則有

證明下面將分3個子步驟進行。

計算領(lǐng)導(dǎo)者期望利潤

(22)

注意，根據(jù)式(13)和式(21)，可改寫為

其中C0為1個常數(shù)。

為了利用最大值原理，我們將討論下列函數(shù)關(guān)于βL的變分問題

其中，ξt為[0,T]上的任意連續(xù)函數(shù)。則有下列變分式子成立：

(23)

(24)

(25)

領(lǐng)導(dǎo)者的最優(yōu)線性策略的必要條件

定義函數(shù)

(26)

由于βL為最優(yōu)策略，根據(jù)最大值原理，則g在y=0處取得最大，從而

上式運用積分交換順序化簡得到

(27)

對所有的連續(xù)函數(shù)ξt∈ΘL都成立，因此等價得到

(28)

等式兩邊關(guān)于t求導(dǎo)得到

(29)

整理得到

(30)

第四步定理1的證明

假設(shè)(βL,βF,λt)∈(ΘL,ΘF,Λ)是一個市場均衡，根據(jù)引理2及引理3得到

βLt=0

可見，在市場均衡時，領(lǐng)導(dǎo)者不參與交易，這時追隨者壟斷整個市場，即與文獻[12]所研究的單個內(nèi)部人交易市場相同。注意,對于追隨者的隨機控制問題，狀態(tài)方程為反饋系統(tǒng)，其最大值原理和動態(tài)規(guī)劃原理的求解是等價的[23]。所以，本文模型中追隨者的最優(yōu)交易強度和市場流動性與文獻[12]中應(yīng)用最大值原理所得到定理1結(jié)果一致，即

對應(yīng)的內(nèi)部人最大利潤為

對應(yīng)的剩余信息為

從而定理得證。

4 總結(jié)

本文建立了兩個內(nèi)部人在連續(xù)時間進行Stackelberg主從博弈的內(nèi)部交易模型,并給出了一類線性市場均衡的閉式解。研究發(fā)現(xiàn)，市場處于均衡時，風(fēng)險資產(chǎn)價值的所有信息體現(xiàn)在定價之中。由于內(nèi)部人之間遵循主從博弈準(zhǔn)則，追隨者時刻追蹤領(lǐng)導(dǎo)者的交易信息以完全了解風(fēng)險資產(chǎn)價值信息，導(dǎo)致領(lǐng)導(dǎo)者不參與交易，追隨者壟斷整個市場。那么，如果在實際情況下，誰都不愿意作為領(lǐng)導(dǎo)者，除非硬性要求。因此，領(lǐng)導(dǎo)者如何在真實的博弈中適當(dāng)向追隨者透露部分信息使得自身利潤最大化，我們將另行文研究。