黎亞雨，龔 婷，陳桂玲

（西南交通大學數學學院,四川 成都 611756）

作為數學、物理及工程技術中應用最廣泛的偏微分方程，在生物數學中同樣有著不錯的應用前景[1-5]。反應擴散方程作為描述擴散現象的重要偏微分方程之一，其數學模型更加地逼近現實。生物醫(yī)學領域中大量非線性現象可以用反應擴散方程予以刻畫，如：生物分子、細胞的相互作用以及細胞的規(guī)律，傳染病的發(fā)生、傳播規(guī)律及發(fā)展趨勢等[6-7]。那么研究反應擴散方程的相關性質，是我們認識生物的相關規(guī)律的重要方法。

利用反應擴散方程可以描述不同的動力系統(tǒng)，相關研究包括初、邊值問題的整體解(包括周期解和概周期解)的存在唯一性、平衡解的存在性、平衡解的分叉以及穩(wěn)定性都取得了豐碩的成果。脈沖作為影響動力系統(tǒng)的一個重要因素，是學者致力研究的一個重點。文獻[8]通過Lyapunov-Razumikhin 泛函方法證明了脈沖線性微分方程的全局指數穩(wěn)定性；文獻[9]建立新的時滯微分不等式證明了脈沖切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性；文獻[10]通過比較定理證明了脈沖拋物型復雜網的穩(wěn)定性；文獻[11]考慮用脈沖控制的方法解決了帶有可變時滯和分布時滯的神經網絡混合同步性問題。而涉及時間延遲的脈沖被稱為時滯脈沖，關于時滯脈沖神經網絡的穩(wěn)定性，文獻[12-14]提出通過建立一個時滯脈沖微分不等式，證明了切換系統(tǒng)和神經網絡的穩(wěn)定性；文獻[15]通過構造時滯脈沖積分不等式證明了隨機時滯偏微分方程的p-階指數穩(wěn)定。文獻[16]通過加脈沖控制證明了帶有可變時滯的耦合反應擴散神經網絡的同步性，文獻[17]采用矢量Lyapunov函數法和M 矩陣理論研究了一類具有反應擴散項的變時滯復數域神經網絡的指數穩(wěn)定性。本文首次在文獻[16]的基礎上研究一類具有時滯脈沖的反應擴散方程模型：

其中x=(x1,x2,···,xq)T∈Ω ?Rq，其中Ω 是R n中的帶有光滑邊界? Ω的有界開集，Ω={x||x|≤lk,k=1,2,···,q},lk＞0 ；dmk＞0是神經元沿程傳輸的擴散系數；ym((t,x)神)經元的狀態(tài)向量；n表示神經元的個數；fjyj(t,x)是第j個神經元在時間t和空間x處的神經元激活函數，對每一個fj連續(xù)有界；cm＞0表示當斷開與網絡和外部輸入連接時，第m個神經元裝置將其電位重置為隔離的靜止狀態(tài)的速率；am j和bm j表示神經元之間的耦合強度；τ(t)是傳輸時產生的時滯且滿足是個常數且＞0 ；Jm是外部輸入；Δy(tk)=是脈沖函數；Imk(y([tk-τ]-))表示第m單元在時間tk時受到由傳輸延遲造成的脈沖。

1 準備工作

首先，我們介紹一些記號和定義。

對于任何定點x∈Ω，定義

初始條件：

邊界條件：

為了方便，我們把式(1)寫成向量的形式：

假設1Fi(y),βk(y)滿足Lipschitz 條件，即對任意u,v∈R，存在常數hi(i=1,2,···,n),rk(k=1,2,···,q)使得

引理1[18]Ω是一個立方體，滿足|xk|＜lk(k=1,2,···,m)，v(x)是實值函數，v(x)∈C1(Ω)，在邊界?Ω耗散，即v(x)|?Ω=0，則

引理2[19]若X,Y∈Rn×n是實矩陣，則存在ε ＞0使得

定義 2[9]若存在實數 λ ＞0,M＞0，使得對任意初始值φ ∈的解z(t,x)，有

則稱系統(tǒng)(3)的平衡點是全局指數穩(wěn)定的。

2 主要結果

這一部分將推導帶有脈沖時滯反應擴散方程的平衡點的全局指數穩(wěn)定的充分條件。我們定義：

定理1若假設1 和 (H1)成立，存在常數0 ＜λ ＜κ,N＞0,使得系統(tǒng)(3)的平衡點滿足

其中λ,N取決

其中

則方程(3)的平衡點是全局指數穩(wěn)定的。

證明考慮李雅普諾夫函數

下面對(11)進行估計，首先估計第一項，由格林公式和狄利克雷條件[16]以及引理1得

對式(11)的后幾項進行估計，對任意正數 ε1，ε2和 ε3由假設1和引理2可得

另一方面，當t=tk時，k∈N+，對 ?η ＞0由系統(tǒng)(3)的第2 個方程得

則V(t)滿足下列時滯脈沖不等式

其中

由脈沖形式常數變易公式得

由柯西矩陣的表示，有估計

下面對V(t)進行估計，由式(19)、式 (20)及初始條件和假設1得

下面證明對正數λ ＞0,N＞0,0 ＜λ ＜κ有

若式(23)不成立，由 |φ(0,x)|τ＜N和V(t)的連續(xù)性，一定會存在t*＞0，使得

因此由式(8)、式(21)、式(25)、式(26)得

上式的結果與式(24)矛盾，則對 ?t≥0，式(23)成立。在式(23)中令d→1，有

最后得到

因此由定義2，系統(tǒng)(3)的平衡點是全局指數穩(wěn)定的。得證。

3 示例

考慮如下反應擴散神經網絡：

滿足式(5)和式 (6)，由定理1得到系統(tǒng)(29)的平衡點是全局指數穩(wěn)定的。

4 總結

本文通過建立Lyapunov 函數，結合脈沖常數變異公式和脈沖積分不等式，分析帶有可變時滯脈沖的反應擴散方程的全局指數穩(wěn)定性的充分條件。該反應擴散方程模型可以應用到相關領域的數據分析，解決相關問題。時滯脈沖在自然界隨處可見，比如新冠病毒的傳染，新冠病毒傳染的傳播途徑傳播速率都與外界干擾以及歷史的傳染狀態(tài)有關。脈沖的影響是會破壞穩(wěn)定性還是維持穩(wěn)定性，加了時滯的脈沖對穩(wěn)定性的作用又是如何都是我們接下來要關注的問題。