金花 呂小紅 張子豪 王昕

(蘭州交通大學(xué)機電工程學(xué)院,蘭州 730070)

引言

齒輪傳動是機械設(shè)備中廣泛使用的動力傳動裝置,其工作性能對整個機器有著重要的影響.因此,齒輪系統(tǒng)動力學(xué)的研究引起了許多學(xué)者的關(guān)注.由于輪齒之間不可避免地存在嚙合側(cè)隙,使齒輪傳動系統(tǒng)的動態(tài)特性表現(xiàn)出典型的非光滑特征[1-3].隨著振動理論的發(fā)展,研究者又在齒輪系統(tǒng)動力學(xué)模型中探索齒面摩擦、時變嚙合剛度、時變嚙合側(cè)隙和綜合傳遞誤差等各種非線性因素[4-10],使齒輪傳動系統(tǒng)成為一類分段非線性的參數(shù)振動系統(tǒng),具有非常豐富的動力學(xué)行為.

多吸引子共存是引起非光滑系統(tǒng)具有豐富動力學(xué)行為的一個重要因素.文獻(xiàn)[11-13]提出了計算齒輪系統(tǒng)共存吸引子吸引域的有效方法.新的共存吸引子的出現(xiàn)改變了舊吸引子的全局特性.多吸引子共存時,運動工況的變化以及不可避免的擾動都可能導(dǎo)致齒輪傳動系統(tǒng)在不同運動行為之間跳躍變換,對整個機器產(chǎn)生不良的影響,有時還會引起系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的毀壞.因此,非常有必要研究齒輪傳動系統(tǒng)的全局動力學(xué),揭示共存吸引子出現(xiàn)和消失的機制,為齒輪副參數(shù)設(shè)計與優(yōu)化、故障預(yù)警等提供參考.

在齒輪系統(tǒng)動力學(xué)研究領(lǐng)域,單自由度直齒圓柱齒輪傳動系統(tǒng)的動力學(xué)模型一直受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注,形成了齒輪系統(tǒng)動力學(xué)研究的理論體系和分析方法,主要包括多尺度法[14]、增量諧波平衡法[15]、A-算符法[16]和偽不動點追蹤法[17]等.Wei 等[18]改進(jìn)區(qū)間諧波平衡法,解決了齒隙非線性和不確定時變嚙合剛度齒輪系統(tǒng)的動力學(xué)問題.陳思雨等[19]研究了不同的嚙合間隙模型對齒輪系統(tǒng)動力學(xué)的影響.茍向鋒等[20-21]研究了齒輪系統(tǒng)在兩參數(shù)空間的運動形式及其存在的參數(shù)區(qū)域.Yang 等[22]研究了含非線性間隙單自由度齒輪副的動力學(xué).

在非線性動力系統(tǒng)中,混沌激變是一種常見的不連續(xù)分岔行為,包括內(nèi)部激變和邊界激變.近年來,關(guān)于非線性系統(tǒng)的激變研究取得了一些成果[23-25],而對于齒輪傳動系統(tǒng)激變行為的研究很少.

綜合已有的研究論文可發(fā)現(xiàn),單自由度直齒圓柱齒輪傳動系統(tǒng)具有大量的多吸引子共存現(xiàn)象.然而,傳統(tǒng)的單參數(shù)分岔分析不能揭示系統(tǒng)的全局動力學(xué).隨著計算機技術(shù)的發(fā)展,研究者開始運用胞映射的思想研究齒輪系統(tǒng)在參數(shù)耦合和狀態(tài)空間耦合下的多穩(wěn)態(tài)行為[26-27],但這些研究沒有考慮共存的不穩(wěn)定吸引子,一些小參數(shù)區(qū)間存在的穩(wěn)定吸引子信息沒有被發(fā)現(xiàn),共存吸引子出現(xiàn)和消滅的機制沒有被完全揭示.打靶法是一種求解非線性系統(tǒng)周期解及穩(wěn)定性的常用方法[28].Chong 等[23]和Jiang 等[29]結(jié)合延續(xù)算法和直接數(shù)值仿真在非光滑系統(tǒng)動力學(xué)領(lǐng)域取得了許多有價值的成果.本文應(yīng)用延拓打靶法和數(shù)值仿真兩種方法求解單自由度直齒圓柱齒輪傳動系統(tǒng)共存吸引子的穩(wěn)定性與分岔,應(yīng)用胞映射法計算共存吸引子的吸引域,試圖去發(fā)現(xiàn)一些新的動力學(xué)行為,揭示共存吸引子(包括穩(wěn)定和不穩(wěn)定)出現(xiàn)和消滅的機制以及可能發(fā)生的不連續(xù)分岔.

1 力學(xué)模型及Poincaré映射

單自由度直齒圓柱齒輪傳動系統(tǒng)的動力學(xué)模型如圖1 所示.圖中,Ii,rbi和 θi(i=1,2) 分別表示主、從動齒輪的轉(zhuǎn)動慣量、基圓半徑和扭轉(zhuǎn)角位移,Cg表示嚙合阻尼,k(t) 表 示嚙合剛度,e(t)=eacos(ωt+?e)表示綜合傳遞誤差,2D為嚙合側(cè)隙.根據(jù)文獻(xiàn)[17],系統(tǒng)的無量綱運動微分方程為

圖1 直齒輪副的力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of a spur gear pair

式中,x為無量綱相對位移,ξ為阻尼比,ε為時變嚙合剛度幅值,ω為嚙合頻率,Pm為靜態(tài)嚙合力,Pa為時變激勵幅值.g(x)為側(cè)隙非線性函數(shù)

其中,d為無量綱嚙合側(cè)隙的一半.

在不同的系統(tǒng)參數(shù)條件下,齒輪系統(tǒng)可能出現(xiàn)三種不同的沖擊狀態(tài): 齒面接觸無碰撞、脫嚙單邊碰撞和齒背接觸雙邊碰撞.令u:=(x,x˙)T∈R2,定義邊界函數(shù):h1(u)=x?d,h2(u)=x+d,則非光滑界面Σ1={u:h1(u)=0}和Σ2={u:h2(u)=0}把系統(tǒng)的狀態(tài)空間 劃分為G1={u:h1(u)>0},G2={u:h1(u)<0∩h2(u)>0}和G3={u:h2(u)<0}.方程(1)和(2)寫成如下規(guī)范形式

由于系統(tǒng)(3)在各子空間的向量場光滑,因此映射Pi(i=1,2,3)是光滑的同胚映射,其Jacobi 矩陣DPi的求解可轉(zhuǎn)換為以下矩陣微分方程初值問題

式中,u0i和t0i為軌線在子空間Gi的初值.

2 延拓打靶法

本文應(yīng)用基于Poincaré映射的打靶法求解系統(tǒng)(3)可能共存的周期吸引子.周期n運動在Poincaré截面的點滿足

式中,T=2π/ω,n=1,2,3. 因此,周期吸引子求解問題可轉(zhuǎn)化為映射P的不動點問題,即

設(shè)分岔參數(shù)為v,考察區(qū)間v∈[v1,v2],延拓打靶法追蹤共存周期吸引子的方法描述如下.

(1) 在Poincaré截面上選擇一個考察區(qū)域H=將區(qū)域H劃分為m×m=M個小網(wǎng)格,以每個小網(wǎng)格中心點的值作為一個初始不動點u0,應(yīng)用打靶法計算v=v0(v1

(2) 以 ?v為步長遞增遞減變化參數(shù)v,應(yīng)用延拓打靶法依次追蹤每個共存的周期吸引子在v∈[v1,v2]的穩(wěn)定性與分岔.為了提高計算效率,在追蹤過程中對初始不動點先用Euler 法進(jìn)行預(yù)估,然后用打靶法迭代校 正.設(shè)v=vk時的周 期解為uk,則預(yù)估v=vk+1=vk+?v時的初始不動點為

3 全局動力學(xué)分析

3.1 共存周期吸引子的分岔

取系統(tǒng)參數(shù)(1): ε=0.1,ξ=0.06,Pm=0.1,Pa=0.15ω2和d=1.0,應(yīng)用延拓打靶法求解系統(tǒng)在ω ∈[0.4,1.2]的響應(yīng)如圖2 所示.圖中,實線和虛線分別表示穩(wěn)定和不穩(wěn)定的周期吸引子;PD 和SNi分別表示倍周期和鞍結(jié)分岔點,下標(biāo)i表示鞍結(jié)分岔的發(fā)生次序;Pn和UPn分別表示穩(wěn)定和不穩(wěn)定的周期n吸引子,用下標(biāo)a,b,c 區(qū)分周期n行為的不同分支.

圖2 延拓打靶法計算的分岔圖Fig.2 Bifurcation diagram calculated by continuation shooting method

由圖2 可見,系統(tǒng)在多處發(fā)生鞍結(jié)分岔,引起共存周期吸引子的出現(xiàn)或消失.增大ω,在 ω=0.60424242(SN1)時,系統(tǒng)經(jīng)鞍結(jié)分岔出現(xiàn)一對新的周期1 吸引子,分別用P1b和UP1a表示.此后,3 個周期1 吸引子共存.取 ω=0.62,共存周期運動的相圖、Poincaré映射和吸引域見圖3(a)和圖3(b).圖中,相圖與Poincaré映射的顏色與圖2 對應(yīng)周期吸引子的顏色相同,實線為穩(wěn)定周期運動的相軌跡,虛線為不穩(wěn)定周期運動的相軌跡.在吸引域圖中,“●”和“+”表示穩(wěn)定周期吸引子,“▲”表示不穩(wěn)定周期吸引子,青色和黃色區(qū)域分別為P1a和P1b吸引子的吸引域.可見,共存的三個周期吸引子均表現(xiàn)為單邊碰撞狀態(tài),P1b運動(藍(lán)色實線)對應(yīng)的幅值明顯大于P1a運動(紅色實線)的幅值,UP1a吸引子位于吸引域邊界.繼續(xù)增大ω,P1b吸引子的吸引域逐漸擴大壓縮P1a吸引子的吸引域,同時,P1a吸引子與UP1 吸引子相互靠近,見圖3(c).當(dāng) ω=0.65406587(SN2)時,系統(tǒng)再次發(fā)生鞍結(jié)分岔,P1a與UP1a吸引子碰撞并消失.鞍結(jié)分岔SN1和SN2在P1a與P1b吸引子的轉(zhuǎn)遷過程中產(chǎn)生遲滯現(xiàn)象,形成遲滯區(qū).

圖3 相圖、Poincaré映射和吸引域Fig.3 Trajectories,Poincaré maps and basins of attraction

P1b運動在 ω=0.97007516(PD)處通過倍周期分岔失穩(wěn).當(dāng) ω=1.0614534(SN3)時,系統(tǒng)發(fā)生鞍結(jié)分岔出現(xiàn)一對新的周期2 吸引子P2a和UP2.此后,3 個周期2 吸引子與1 個不穩(wěn)定周期1 吸引子共存.共存周期運動的相圖、Poincaré映射和吸引域見圖3(d)～圖3(f).進(jìn)一步增大ω,P2b與UP2 吸引子在ω=1.1509583(SN4)處碰撞并消失.分岔點SN3和SN4之間形成遲滯區(qū).由圖3 可見,鞍結(jié)分岔引起共存吸引子的吸引域較為集中分布,且邊界線光滑,說明系統(tǒng)的終態(tài)對初始條件的敏感性較弱,周期吸引子只在局部范圍內(nèi)不穩(wěn)定.

3.2 不連續(xù)分岔

取ξ=0.01,其余參數(shù)保持參數(shù)(1)不變,系統(tǒng)在ω ∈[0.4,1.2]的響應(yīng)如圖4(a)所示.圖中,GRi,PDi和SNi分別表示擦邊、倍周期和鞍結(jié)分岔點.采用4 階變步長Runge-Kutta 法的數(shù)值仿真只能求解系統(tǒng)的穩(wěn)定周期解和混沌響應(yīng).采用延拓打靶法可追蹤穩(wěn)定和不穩(wěn)定的周期解及其演化,并確定分岔值和分岔類型,但前提是給定周期數(shù)n.圖4(a)的計算過程描述如下: 首先數(shù)值仿真計算ω遞增和遞減變化的分岔圖,得到系統(tǒng)的穩(wěn)定周期解及混沌響應(yīng);然后應(yīng)用打靶法計算可能存在的共存吸引子及其穩(wěn)定性;最后應(yīng)用延拓打靶法追蹤共存的周期1 和周期2 吸引子的分岔.所有計算結(jié)果的合成分岔圖如圖4(a)所示.圖中,延拓打靶法和數(shù)值仿真兩種方法計算得到的穩(wěn)定周期吸引子P1a,P1b,P2a和P2b分支完全重合,相互驗證了兩種計算方法的正確性;其余穩(wěn)定的周期吸引子及混沌由數(shù)值仿真方法計算得到,不穩(wěn)定周期吸引子由延拓打靶法計算得到.圖4(b)為圖4(a)①處的放大.

對比圖2 和圖4 可知,減小ξ使系統(tǒng)的動力學(xué)行為更加復(fù)雜,主要體現(xiàn)在以下幾個方面: 首先,減小ξ,分岔點SN1～SN4對應(yīng)的ω值減小,使得在相同的ω區(qū)間出現(xiàn)了由P2a吸引子的倍周期序列產(chǎn)生的混沌響應(yīng);其次,兩個遲滯區(qū)內(nèi)出現(xiàn)了倍周期分岔,使得共存周期吸引子的類型更加豐富;最后,遲滯區(qū)內(nèi)發(fā)生了擦邊及亞臨界倍周期誘導(dǎo)的分岔,進(jìn)一步豐富了齒輪系統(tǒng)的動力學(xué).

圖4 兩種方法計算的合成分岔圖Fig.4 Composite bifurcation diagram calculated by two methods

由圖4(a)可見,增大ω當(dāng) ω=0.5875851(GR1)時,系統(tǒng)發(fā)生擦邊分岔引起P1a行為由齒面接觸無碰撞狀態(tài)轉(zhuǎn)遷為嚙合輪齒接觸、脫離、再接觸的單邊碰撞狀態(tài).GR1點處共存周期運動的相圖和Poincaré映射見圖5(a).P1a運動在GR1點的擦邊分岔是連續(xù)的,但是緊接著發(fā)生的倍周期分岔PD1(ω=0.61180134)使P1a吸引子失穩(wěn).GR1點與PD1點之間的距離 ? ω=0.02421624,產(chǎn)生于GR1點的對應(yīng)單邊碰撞狀態(tài)的穩(wěn)定周期1 運動存在的區(qū)間很窄,因此,倍周期分岔PD1是擦邊GR1誘導(dǎo)的分岔,可稱為倍周期型擦邊分岔(GR1-PD1).繼續(xù)增大ω,不穩(wěn)定的周期1 吸引子經(jīng)倍周期分岔PD2(ω=0.62573255)恢復(fù)穩(wěn)定.文獻(xiàn)[29]研究了碰撞振子擦邊誘導(dǎo)的倍周期分岔和鞍結(jié)分岔,但是關(guān)于齒輪傳動系統(tǒng)擦邊誘導(dǎo)的分岔研究還未見報道.

圖5 相圖和Poincaré映射Fig.5 Trajectories and Poincaré maps

在分岔點SN3和SN4之間的遲滯區(qū)內(nèi),系統(tǒng)發(fā)生了周期2 吸引子P2b的倍周期分岔.增大ω當(dāng) ω=1.00325965(PD4) 時,Floquet 特征乘子為λ1=?1.0,λ2=?0.221 83,由Floquet 理論可知,系統(tǒng)發(fā)生倍周期分岔,P2b運動失穩(wěn).然后在 ω=1.05091356(PD5) 時,Floquet 特征乘子為 λ1=?0.999 96,λ2=?0.238 27,系統(tǒng)再次發(fā)生倍周期分岔,不穩(wěn)定的周期2 吸引子UP2b恢復(fù)為P2b.

在PD4點,系統(tǒng)終態(tài)由P2b運動跳躍為P4a運動,因此,分岔PD4為亞臨界倍周期分岔.P2b與P4a吸引子的轉(zhuǎn)遷細(xì)節(jié)由圖4(b)描述.應(yīng)用延拓打靶法詳細(xì)計算可知,倍周期分岔PD4是連續(xù)的,P2b運動連續(xù)地轉(zhuǎn)遷為周期4 運動P4b.但是,P4b吸引子存在的ω區(qū)間非常窄,? ω=0.000 001 3.當(dāng) ω=1.00326095(SN5) 時,Floquet 特征乘子為 λ1=1.0,λ2=0.057 71,系統(tǒng)發(fā)生鞍結(jié)分岔,P4b吸引子失穩(wěn)發(fā)出朝后彎曲的不穩(wěn)定分支UP4.此后,減小ω當(dāng)ω=1.00288072(SN6) 時,Floquet特征乘子為λ1=1.000 03,λ2=0.049 45,系統(tǒng)再次發(fā)生鞍結(jié)分岔使UP4 吸引子變?yōu)橄颚卦龃蠓较蜓由斓姆€(wěn)定周期4 吸引子P4a.UP4 運動的相圖和Poincaré映射見圖5(b),共存的P4a運動由圖5(c) 描述.增大ω,P4a運動在 ω=1.048915(GR2)處發(fā)生擦邊分岔,隨后經(jīng)倍周期分岔PD5返回P2b運動.P4a擦邊運動的相圖和Poincaré映射見圖5(d).

由于SN5點距離PD4點非常近,因此,鞍結(jié)分岔SN5是由倍周期分岔PD4誘導(dǎo)的分岔,分岔PD4可定義為鞍結(jié)型亞臨界倍周期分岔(PD4-SN5).分岔SN5的發(fā)生引起P2b與P4a吸引子轉(zhuǎn)遷的跳躍與遲滯,使倍周期分岔PD4呈現(xiàn)亞臨界特性,這個分岔行為與光滑動力系統(tǒng)的亞臨界倍周期分岔明顯不同.目前,關(guān)于倍周期分岔誘導(dǎo)的分岔研究還未見報道.

如圖4(a)所示,系統(tǒng)在 ω=0.89451253(SN3)處因鞍結(jié)分岔出現(xiàn)P2a和UP2a吸引子,與已有的P1b吸引子共存.在PD3(ω=0.89730321)點,P1b運動變?yōu)镻2b運動.圖5(e)和5(f)表明,P2a和UP2a運動的幅值大于P2b運動的幅值.

文獻(xiàn)[21,31]應(yīng)用幅值波動云圖和安全盆的方法研究了系統(tǒng)參數(shù)對圖1 所示系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振幅、沖擊狀態(tài)及運行穩(wěn)定性的影響.由圖2～圖5 可知,隨著嚙合頻率ω的遞增變化,因鞍結(jié)分岔出現(xiàn)的穩(wěn)定周期吸引子的幅值大于已有周期運動的幅值,使得系統(tǒng)在一部分初值條件下的運動可能變得不安全,從而影響齒輪運行的穩(wěn)定性.或者,齒輪傳動系統(tǒng)因工況變化或擾動從一種周期運動跳躍到另一種周期運動,同時伴有運動幅值的跳躍,這種跳躍直接影響齒輪系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運行,甚至引起系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的毀壞.

4 時變激勵幅值的影響

取 ω=0.4,其余參數(shù)與參數(shù)(1)相同,計算系統(tǒng)隨時變激勵幅值Pa變化的分岔圖如圖6(a)所示.開始于Pa=0.02 的周期1 吸引子用P1a表示.在Pa=0.04034294(SN1)和Pa=0.05442717(SN2)處,兩次鞍結(jié)分岔使系統(tǒng)出現(xiàn)2 對新的周期1 吸引子,用P1b和UP1b及P1c和UP1a表示.3 個穩(wěn)定周期1 吸引子的分岔細(xì)節(jié)見圖6(b).隨著Pa的增大,P1a與UP1a吸引子在Pa=0.06011385(SN3)處相遇并消失;P1c吸引子經(jīng)開始于Pa=0.06233423(PD1)處的倍周期序列變?yōu)榛煦缥?然后經(jīng)邊界激變消失,P1c吸引子的穩(wěn)態(tài)分岔分支終止.

增大Pa追蹤在PD1點失穩(wěn)的不穩(wěn)定周期1 吸引子UP1c.當(dāng)Pa=0.09149646(PD2)時,UP1c吸引子經(jīng)倍周期分岔恢復(fù)穩(wěn)定,用P1d表示.由圖6(c)可知,P1d吸引子存在的區(qū)間非常窄,在Pa=0.09151304(SN4)處與UP1b吸引子相遇并消失.

P1b吸引子在Pa=0.07022021(PD3)時經(jīng)倍周期分岔產(chǎn)生一個穩(wěn)定吸引子P2a的分岔分支和一個不穩(wěn)定吸引子UP1e的分岔分支.首先追蹤UP1e吸引子分支的分岔.當(dāng)Pa=0.12330612(PD4)時,倍周期分岔使UP1e吸引子變?yōu)榉€(wěn)定,然后一直持續(xù)到Pa=0.2,用P1e表示.特別強調(diào)的是,分岔PD4為P1e吸引子的鞍結(jié)型亞臨界倍周期分岔.當(dāng)參數(shù)Pa減小時,P1e吸引子在PD4點發(fā)生倍周期分岔產(chǎn)生穩(wěn)定的周期2 運動(存在的區(qū)間太窄 ?Pa=0.0000024,圖中沒有顯示).隨后在Pa=0.12330588 處經(jīng)鞍結(jié)分岔發(fā)出朝Pa增大方向延續(xù)的不穩(wěn)定周期2 吸引子UP2e,一直到Pa=0.2.

增大Pa追蹤P2a吸引子分支的分岔.當(dāng)Pa=0.09102000(PD5)時,P2a吸引子失穩(wěn)產(chǎn)生一個穩(wěn)定周期4 吸引子分支和一個不穩(wěn)定周期2 吸引子UP2a分支.穩(wěn)定周期4 吸引子經(jīng)倍周期序列變?yōu)榛煦缥?藍(lán)色),然后經(jīng)邊界激變消失.UP2a吸引子在Pa=0.11809877(PD6)處經(jīng)倍周期分岔恢復(fù)穩(wěn)定,用P2b表示.P2b吸引子的分岔細(xì)節(jié)由圖6(d)描述.可見,P2b吸引子由兩個倍周期分岔點PD6和PD7限制.分岔PD6為鞍結(jié)型亞臨界倍周期分岔,而分岔PD7為超臨界倍周期分岔.減小Pa,開始于PD6點的穩(wěn)定周期4 運動在SN5點失穩(wěn)發(fā)出朝Pa增大方向延續(xù)的不穩(wěn)定周期4 吸引子UP4.此后,增大Pa,UP4 吸引子與產(chǎn)生于Pa=0.14453066(PD7)處的穩(wěn)定周期4 運動在SN6點相遇,系統(tǒng)終態(tài)經(jīng)鞍結(jié)分岔變?yōu)榛煦珥憫?yīng).繼續(xù)增大Pa,在Pa=0.15877421(SN7)處,系統(tǒng)經(jīng)鞍結(jié)分岔出現(xiàn)一對新的周期2 吸引子.穩(wěn)定周期2 吸引子經(jīng)開始于Pa=0.16210200(PD8)處的倍周期序列通向混沌,而不穩(wěn)定周期2 吸引子在Pa=0.16448391(SN8)處經(jīng)鞍結(jié)分岔消失.

圖6 隨Pa 變化的分岔圖和相圖Fig.6 Bifurcation diagram of displacement as a function of Pa and trajectories

圖6 顯示系統(tǒng)存在大量的多吸引子共存現(xiàn)象.鞍結(jié)分岔是周期吸引子出現(xiàn)或消失的主要原因,混沌邊界激變是周期吸引子的分岔終止的一個重要因素.圖7 計算了共存吸引子的吸引域演化以揭示鞍結(jié)分岔和邊界激變的分岔結(jié)構(gòu).圖7(a) 中,P1a和P1b吸引子分別用“●”和“+”表示,其吸引域分別用青色和黃色表示,UP1b吸引子位于吸引域邊界.共存周期運動的相圖和Poincaré映射見圖6(e).可見,P1a運動表現(xiàn)為齒面接觸無碰撞狀態(tài),UP1b運動表現(xiàn)為單邊碰撞狀態(tài),而P1b運動表現(xiàn)為雙邊碰撞狀態(tài).增大Pa,P1b吸引子的吸引域逐漸擴大,而P1a吸引子的吸引域逐漸縮小.SN2點后,共存的吸引子增加了P1c和UP1a.穩(wěn)定周期1 吸引子P1c的出現(xiàn)破壞了P1a吸引子的吸引域結(jié)構(gòu),使得系統(tǒng)在一部分初值下的P1a響應(yīng)跳躍為P1c響應(yīng),見圖7(b).P1c吸引子的吸引域用粉紅色表示.P1a與P1c吸引子的吸引域邊界呈現(xiàn)一定的自相似分形結(jié)構(gòu).繼續(xù)增大Pa,P1b和P1c吸引子的吸引域逐漸擴大,壓縮P1a吸引子的吸引域.P1a與UP1a吸引子在SN3點相遇并消失.P1c吸引子經(jīng)倍周期序列通向混沌.此后,系統(tǒng)的終態(tài)為P1b與混沌吸引子共存.圖7(c)中紅色表示的混沌吸引子很小,其吸引域用灰色表示,共存的UP1b吸引子仍然位于吸引域邊界,而UP1c吸引子位于灰色吸引域內(nèi).由圖7(c)～圖7(e) 可見,其中圖7(d1)為圖7(d)的局部放大,進(jìn)一步增大Pa,混沌吸引子逐漸長大,混沌的吸引域逐漸減小,混沌與UP1b吸引子相互靠近.在PD2點,P1b吸引子分岔為P2a吸引子,系統(tǒng)的終態(tài)變?yōu)镻2a與混沌吸引子共存.當(dāng)Pa=0.073963 時,混沌吸引子與UP1b吸引子碰撞,系統(tǒng)發(fā)生邊界激變導(dǎo)致混沌吸引子及其吸引域突然消失,系統(tǒng)終態(tài)只表現(xiàn)為P2a運動.

圖7 吸引域Fig.7 Basins of attraction

圖7(f)、圖7(f1)和圖7(g)描述了系統(tǒng)終態(tài)為周期1 運動P1e與混沌共存的吸引域演化.用紫色表示的混沌吸引子由開始于PD8點的倍周期序列產(chǎn)生,吸引域用黃色表示.P1e吸引子的吸引域用青色表示,UP2e吸引子位于吸引域邊界.增大Pa,混沌吸引子與UP2e吸引子相互靠近.當(dāng)Pa=0.172925 時,混沌吸引子與UP2e吸引子碰撞,同時與吸引域邊界相切,系統(tǒng)發(fā)生邊界激變導(dǎo)致混沌吸引子及其吸引域突然消失,系統(tǒng)終態(tài)只表現(xiàn)為P1e運動.

5 結(jié)論

本文考慮單自由度直齒圓柱齒輪傳動系統(tǒng),構(gòu)建由局部映射復(fù)合的Poincaré映射,推導(dǎo)了Jacobi 矩陣特征值計算的半解析解.應(yīng)用數(shù)值仿真、延拓打靶法和Floquet 特征乘子求解共存吸引子的穩(wěn)定性與分岔,應(yīng)用胞映射法計算分析了共存吸引子的吸引域演化,討論了嚙合頻率、阻尼比和時變激勵幅值對系統(tǒng)動力學(xué)的影響,揭示了倍周期型擦邊分岔、亞臨界倍周期分岔誘導(dǎo)的鞍結(jié)分岔和邊界激變等不連續(xù)分岔行為.

倍周期分岔誘導(dǎo)的鞍結(jié)分岔引起相鄰周期吸引子相互轉(zhuǎn)遷的跳躍與遲滯,使倍周期分岔呈現(xiàn)亞臨界特性,這個分岔行為與光滑動力系統(tǒng)的亞臨界倍周期分岔明顯不同.鞍結(jié)型亞臨界倍周期分岔的發(fā)現(xiàn)和定義將進(jìn)一步豐富非光滑系統(tǒng)的動力學(xué).

鞍結(jié)分岔是共存周期吸引子出現(xiàn)或消失的主要原因,邊界激變是周期吸引子的分岔終止的一個重要因素.擦邊分岔和倍周期分岔對吸引域結(jié)構(gòu)沒有影響,不影響系統(tǒng)的全局特性,而鞍結(jié)分岔由于產(chǎn)生了新的穩(wěn)定周期吸引子,改變了舊吸引子的吸引域結(jié)構(gòu).鞍結(jié)分岔產(chǎn)生的不穩(wěn)定周期吸引子位于穩(wěn)態(tài)吸引子的吸引域邊界.當(dāng)分岔參數(shù)變化時,混沌吸引子與位于吸引域邊界的不穩(wěn)定周期行為發(fā)生碰撞使系統(tǒng)發(fā)生邊界激變,混沌吸引子及其吸引域突然消失,對應(yīng)周期吸引子的分岔終止.

為了保證齒輪傳動系統(tǒng)的運行安全,其運轉(zhuǎn)過程中的振動幅值必須控制在合理的范圍內(nèi).當(dāng)鞍結(jié)分岔引起新的周期吸引子出現(xiàn)時,其運動的幅值可能遠(yuǎn)大于已有周期運動的幅值.此時,擾動會使系統(tǒng)終態(tài)及振動幅值發(fā)生跳躍,影響齒輪系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運行,甚至引起系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的毀壞.

單自由度直齒輪傳動系統(tǒng)表現(xiàn)出非常豐富的動力學(xué)行為,本文以新的視角發(fā)現(xiàn)了許多復(fù)雜的新現(xiàn)象,對進(jìn)一步揭示齒輪傳動系統(tǒng)的振動特性具有重要的意義.