黃 瑞

在拓撲學中，與“連通”相關的拓撲空間有很多，如本科階段點集拓撲教材會重點介紹的連通空間、局部連通空間和道路連通空間，而局部道路連通空間教材一般只是簡單介紹或直接放在課后習題中.

學者也對相關此類問題進行研究，如田蘇妹［1］研究了強連通空間和局部強連通空間.鄭春燕［2］研究了局部強序列連通空間.王小霞［3］研究了局部δ-連通空間.汪賢華［4］研究了局部θ-連通空間等等.局部道路連通空間與局部連通空間的定義非常相似，同時它們也有一些相似的平行性質，文獻［5-9］研究了它們的性質，包括等價刻畫、拓撲不變性質、有限可積性質等.

基于已有的研究，本文首先研究了拓撲空間道路連通分支的性質，指出道路連通分支與連通分支之間的關系，即拓撲空間連通分支的道路連通分支就是這個拓撲空間的道路連通分支.隨后，不同于文獻［6］的方法，證明了局部道路連通空間的連通分支與道路連通分支等價，局部道路連通性對開子空間可遺傳等.還證明了局部道路連通性是可商性質，并給出點集拓撲教材中的上述四個拓撲空間之間蘊涵關系不成立的例子.文章中的概念和符號均可見文獻［7］，文中不再一一說明.

1 預備知識

定義1［7］設X是一個拓撲空間，x，y∈X.若X中有一個連通子集同時包含x和y，則稱x，y在X中是連通的.

定義2［7］設X是一個拓撲空間，x，y∈X.若X中有一條從x到y(tǒng)的道路，則稱x，y在X中是道路連通的.

引理1 若y1，y2在拓撲空間X的子空間Y中是（道路）連通的，則y1，y2在X中是（道路）連通的.

證明 由定義1 可知，連通的情形顯然成立，下面證明道路連通的情形.

設f是Y中從y1到y(tǒng)2的道路，則存在連續(xù)映射f:[0,1] →Y，滿足f(0) =y1，f(1) =y2.

構造映射g:[0,1] →X，滿足?t∈[0,1]，f(t) =g(t)，則g是X中從y1到y(tǒng)2的一條道路，即y1，y2在X中是道路連通的.

引理1 的逆不成立.例如1，5 在實數(shù)空間中是（道路）連通的，但1，5 在實數(shù)空間的子空間Y=（0，2）∪（4，6）中卻不是（道路）連通的.

根據引理1 得到定義2 的等價定義.

定義3 設X是一個拓撲空間，x，y∈X.若X中有一個道路連通子集同時包含x和y，則稱x，y在X中是道路連通的.

由定義1 和定義3 可以推出，拓撲空間中點的道路連通關系蘊涵點的連通關系.

引理2［9］設(Y,Γ|Y)是(X,Γ)的開子空間，V?Y，則V∈Γ?V∈Γ|Y.

引理3 設Y是拓撲空間X的開子空間，y∈Y,U?Y，則U是y在X中的鄰域?U是y在Y中的鄰域.

引理4 設{Aγ}γ∈Γ是拓撲空間X的道路連通子集構成的一個集族. 若則是X的一個道路連通子集.

2 道路連通分支的性質

定理1 設D是拓撲空間X的一個道路連通分支，則

（1）若Y是X的一個道路連通子集，且Y∩D≠?，則Y?D.

（2）D是X的道路連通子集.

證明（1）取a∈Y∩D.?y∈Y，則X中的道路連通子集Y同時包含a，y，根據定義3 得到a，y在X中是道路連通的.又a∈D，因此得到y(tǒng)∈D.

（2）?x，y∈D.由定義3，X中存在一個道路連通子集Yxy同時包含x，y.顯然有Yxy∩D≠?，應用定理1 的（1）得到Yxy?D.最后根據引理1 得到x，y在D中是道路連通的，因此D是X的道路連通子集.

（道路）連通分支是拓撲空間中“極大”的（道路）連通子集，即拓撲空間的任意一個（道路）連通子集必定完全含在拓撲空間的某一個（道路）連通分支中.拓撲空間的連通分支一定是閉集，但道路連通分支未必是閉集.

例1 在歐氏平面R2中，令則S、T和T*都是R2中的道路連通子集. 令S1=S∪T，文獻［3］指出S1是連通的，但不是局部連通的，也不是道路連通的.易見S1的道路連通分支是S和T，而=S1，因此S1的道路連通分支S不是閉集.

令=S∪T∪T*.應用引理4，是R2中的道路連通子集，但是在T- {(0,0)}中的每一個點的任何一個不包含(0,0)點的鄰域不連通也不道路連通，因此既不是局部連通的也不是局部道路連通的.

定理2 設D是拓撲空間X的連通分支C的一個道路連通分支，則D也是拓撲空間X的道路連通分支.

證明 根據定理1 的（2）可得，D是C的道路連通子集，因此D也是拓撲空間X的一個道路連通子集.不妨設D含在X的道路連通分支D*之中，即D?D*.

由定理1 的（2）可得，D*是X的一個道路連通子集，從而D*也是X的一個連通子集.

易見D*∩C?D∩C=D≠?，由連通分支是極大的連通子集可得D*?C.將D*看成C的道路連通子集，D*∩D=D≠?，再根據定理1 的（1）得到D*?D.

綜上，D=D*.

推論1 拓撲空間中道路連通的連通分支同時也是這個拓撲空間的一個道路連通分支.

定理3 設X是拓撲空間，X的道路連通分支D必定含在X的某個連通分支C中，即D?C，且D是C的一個道路連通分支.

證明 由定理1 的（2）可得，D是X的一個道路連通子集，從而D也是X的一個連通子集，因此存在X的連通分支C，D?C.下面證明D是C的一個道路連通分支.

將D看成C的道路連通子集，不妨設D含在C的道路連通分支D*之中，即D?D*.易見X的道路連通子集D*滿足D*∩D=D≠?，因此得到D*?D.

綜上，D=D*.

定理4 拓撲空間的道路連通分支就是該空間連通分支的道路連通分支.

定理5［9］拓撲空間中既開又閉的非空連通子集是連通分支.

定理6 拓撲空間中既開又閉的非空道路連通子集是連通分支也是道路連通分支.

證明 設A是拓撲空間中滿足定理條件的子集，則A滿足定理5 的條件，因此A是這個拓撲空間的連通分支.又因為A是道路連通的，所以由推論1 知結論成立.

3 局部道路連通空間的性質

定理7 局部道路連通性對開子空間可遺傳.

證明 設y是局部道路連通空間X的開子空間Y中的任意一個點，U是y在Y中的任意一個鄰域，由引理3 可得，U也是y在X中的一個鄰域.根據局部道路連通空間的定義，y在X中存在道路連通鄰域V，V?U?Y.再由引理3 可得，V是y在Y中的道路連通的鄰域，且V?U，因此Y是局部道路連通空間.

定理8 設X是拓撲空間，X是局部道路連通空間?X的任意開集的任意道路連通分支是開集.

證明 必要性. 設D是X的任意開集U的任意一個道路連通分支,下面證明D是X中的開集.?x∈D?U，則U是x在局部道路連通空間X中的一個開鄰域，于是x在X中存在一個道路連通鄰域V，x∈V?U.將V看成U中的道路連通子集，V∩D≠?.根據定理1 的（1），V?D，從而得到D是x在X中的一個鄰域.因此，D是X中的開集，再由引理2 得到D也是U中的開集.

充分性.?x∈X，設U是x在X中的任意一個鄰域，因此存在X中的開集V，x∈V?U.作V的道路連通分支，不妨設x在V中所在的道路連通分支為D，則x∈D?V?U.由條件知D是X中道路連通的開集，因此D是x在X中的道路連通鄰域，且D?U，最后由局部道路連通空間的定義知結論成立.

定理9 在局部道路連通空間中，連通分支與道路連通分支等價.

證明 道路連通分支對拓撲空間作了一個“劃分”，即拓撲空間等于若干個兩兩無交的非空道路連通分支的并.應用定理1 的（2）和定理8 得，局部道路連通空間的道路連通分支滿足定理6 中的條件，再由定理6 和定理4得結論成立.

推論2 在局部道路連通空間中，點的連通關系與點的道路連通關系等價，連通性與道路連通性等價.

定理10 設f是從拓撲空間X到拓撲空間Y的連續(xù)映射，D是Y的道路連通分支.?x∈f-1(D)，記x在X中所在的道路連通分支為Dx，則Dx?f-1(D).

證明 假設存在∈Dx，?f-1(D). 易見x,∈Dx，由道路連通性是在連續(xù)映射下保持不變的性質得，f(Dx)是Y中同時包含f(x)、f()的道路連通子集.

又由于f(x) ∈f(Dx)∩D，即f(Dx) ∩D≠?.根據定理1 的（1），f(Dx) ?D，由此得f(xˉ) ∈D，這與假設xˉ?f-1(D)矛盾.

定理11 局部道路連通性是可商性質.

證明 設（X R，ΓR）是局部道路連通空間（X，Γ）相對于X中的等價關系R而言的商空間.U是（X R，ΓR）的任意一個開集，DU是U的任意一個道路連通分支.根據定理8，要證明商空間（X R，ΓR）是局部道路連通空間，只需證明DU∈ΓR即可.由商空間的定義得DU∈ΓR?P-1(DU) ∈Γ，其中商映射P是自然投射P:(X,Γ) →(X R,ΓR).

不妨把商映射P在X的子集P-1(U) 上的限制仍然記作P，則P:P-1(U) →U也是一個連續(xù)映射.?x∈P-1(DU)，記x在P-1(U)中所在的道路連通分支為Dx. 應用定理10 得Dx?P-1(DU).

P-1(U) 是局部道路連通空間X的開子空間，由定理7 得拓撲空間P-1(U)也是局部道路連通空間.再由定理9 得，P-1(U)的每一個道路連通分支Dx都是P-1(U)中的開集，從而得P-1(DU)是X的開子空間P-1(U) 中的開集.最后根據引理2 得，P-1(DU)也是X中的開集，即P-1(DU) ∈Γ.

4 連通性、局部連通性、道路連通性和局部道路連通性之間的蘊涵關系及不成立的例子

連通性、局部連通性、道路連通性和局部道路連通性四者之間的12 個關系中只成立兩個必然的蘊涵關系，即（局部）道路連通空間一定是（局部）連通空間，其余10 個蘊涵關系不成立的例子均可在文章中的例1、例2、例3中找到.

例2 設Y=（0，2）∪（4，6）是實數(shù)空間的子空間，則Y既是局部連通空間也是局部道路連通空間，但Y既不是連通空間也不是道路連通空間.

例3［10-11］假設拓撲空間X是定義在不可數(shù)集X上的可數(shù)補空間，則X是連通空間、局部連通空間，但X不是道路連通空間、局部道路連通空間.

5 結語

文章研究了局部道路連通空間的道路連通分支、開子空間和商空間等方面的性質，列舉了連通性、局部連通性、道路連通性和局部道路連通性四者之間的10 個不成立的蘊涵關系的例子.至于局部道路連通空間的其他性質，例如和分離性公理、緊空間有關的性質，仍需作進一步研究.