張 琥(正高級(jí)教師 特級(jí)教師)

(北京外國語大學(xué)附屬蘇州灣外國語學(xué)校)

1 考試內(nèi)容分析

概率與統(tǒng)計(jì)是中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的主要內(nèi)容之一,?普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)?對(duì)這部分內(nèi)容的設(shè)置較?普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))?有所增加.2022年高考全國卷中概率與統(tǒng)計(jì)試題重在對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查,突出對(duì)數(shù)學(xué)思想方法、統(tǒng)計(jì)與概率的基本原理的理解和應(yīng)用.2022年高考全國卷中考查概率與統(tǒng)計(jì)的主要內(nèi)容如表1所示.

表1

從表1可以看出,在6份全國卷中,對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)的考查,題型均是2 道小題和1 道大題,共3道題,所占分值均是22分.新高考Ⅱ卷考查了條件概率,其他5份試卷均考查的是古典概型;新高考Ⅱ卷、全國(甲、乙)卷文科、全國乙卷理科均考查了用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征.

2 試題特點(diǎn)分析

6份全國卷中的概率與統(tǒng)計(jì)題特點(diǎn)鮮明,涉及知識(shí)點(diǎn)有排列組合、二項(xiàng)式定理、古典概型、樣本平均數(shù)、樣本方差、線性回歸、正態(tài)分布、獨(dú)立性檢驗(yàn)等.在以統(tǒng)計(jì)知識(shí)為背景下考查概率問題,還常常在與函數(shù)知識(shí)的交會(huì)處命題,命題背景多與生產(chǎn)生活聯(lián)系,體現(xiàn)一定的綜合性和應(yīng)用性.

2.1 知識(shí)考查重理解

例1 (2022年全國甲卷理15)從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4 個(gè),則這4 個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為________.

2.2 方法考查重積累

例2(2022年新高考Ⅱ卷19)在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查,隨機(jī)調(diào)查了100 位某種疾病患者的年齡,得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖(如圖1).

圖1

(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);

(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20,70)的概率;

(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40,50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該地區(qū)中任選一人,若此人的年齡位于區(qū)間[40,50),求此人患這種疾病的概率(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率,精確到0.0001).

(2)由頻率穩(wěn)定于概率的原理,用樣本的頻率作為概率的估計(jì)值,設(shè)A＝{一人患這種疾病的年齡在區(qū)間[20,70)},根據(jù)對(duì)立事件的概率公式P(A)＝1－P(ˉA),可求出年齡位于區(qū)間[20,70)的概率為0.89.

(3)根據(jù)條件概率公式即可求出此人患這種疾病的概率約為0.0014.

2.3 技能考查重熟練

例3(2022年北京卷18)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上,只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽,比賽成績(jī)達(dá)到9.50m以上(含9.50m)的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主,收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī),并整理得到如下數(shù)據(jù)(單位:m).

甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;

乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;

丙:9.85,9.65,9.20,9.16.

假設(shè)用頻率估計(jì)概率,且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立.

(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率;

(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù),估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E(X);

(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中,甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大? (結(jié)論不要求證明)

(2)求解出X的分布列,從而可計(jì)算出X的數(shù)學(xué)期望為

(3)計(jì)算出甲、乙、丙得最高成績(jī)的概率,再根據(jù)其最高成績(jī)可判斷出丙獲得冠軍的概率估計(jì)值最大.

3 解題分析

例4(2022年新高考Ⅰ卷5)從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù),則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為( ).

例5(2022年全國甲卷文6)從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回地隨機(jī)抽取2張,則抽到的2 張卡片上的數(shù)字之積是4 的倍數(shù)的概率為( ).

例6(2022年新高考Ⅱ卷5)有甲、乙、丙、丁、戊5 名同學(xué)站成一排參加文藝匯演,若甲不站在兩端,丙和丁相鄰,則不同排列方式共有( ).

A.12種 B.24種 C.36種 D.48種

例7(2022年全國乙卷文14、理13)從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作,則甲、乙都入選的概率為________.

例9(2022年北京卷8)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0,則a0＋a2＋a4＝( ).

A.40 B.41 C.－40 D.－41

例10(2022年全國甲卷文、理2)某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識(shí).為了解講座效果,隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民,讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類知識(shí)問卷,這10 位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖2 所示,則( ).

圖2

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

例11(2022年全國乙卷文4)分別統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩位同學(xué)16 周的各周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)(單位:h),得到如圖3所示的莖葉圖,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( ).

圖3

A.甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本中位數(shù)為7.4

B.乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)大于8

C.甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值大于0.4

D.乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值大于0.6

綜上,選C.

例12(2022年新高考Ⅱ卷13)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(2＜X≤2.5)＝0.36,則P(X＞2.5)＝________.

例13(2022年新高考Ⅰ卷20)一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系,在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例(稱為病例組),同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人(稱為對(duì)照組),得到如表2所示的數(shù)據(jù).

表2

(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異?

(2)從該地的人群中任選一人,A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”,B表示事件“選到的人患有該疾病的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo),記該指標(biāo)為R.

(ⅱ)利用該調(diào)查數(shù)據(jù),給出P(A|B),P(A|ˉB)的估計(jì)值,并利用(ⅰ)的結(jié)果給出R的估計(jì)值.

表3

又P(K2≥6.635)＝0.01,24＞6.635,所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.

(2)(ⅰ)因?yàn)?/p>

例14(2022 年全國乙卷理10)某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤,各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1,p2,p3,且p3＞p2＞p1＞0.記該棋手連勝兩盤的概率為p,則( ).

A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)

B.該棋手在第二盤與甲比賽,p最大

C.該棋手在第二盤與乙比賽,p最大

D.該棋手在第二盤與丙比賽,p最大

記該棋手在第二盤與乙比賽,且連勝兩盤的概率為p乙,則

記該棋手在第二盤與丙比賽,且連勝兩盤的概率為p丙,則

即p甲＜p乙,p乙＜p丙,則該棋手在第二盤與丙比賽,p最大,所以D 正確,B 和C 錯(cuò)誤.p與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關(guān),所以A 錯(cuò)誤.

綜上,選D.

例15(2022年全國乙卷文、理19)某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理,已將荒山改造成了綠水青山.為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量,隨機(jī)選取了10棵這種樹木,測(cè)量每棵樹的根部橫截面積(單位:m2)和材積量(單位:m3),得到如表4所示的數(shù)據(jù).

表4

(1)估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量;

(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01);

(3)現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積,并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比,利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值.

(3)設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值為Ym3,又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比,可得解得Y＝1209 m3,則該林區(qū)這種樹木總材積量估計(jì)為1209m3.

例16(2022年全國甲卷文17)甲、乙兩城之間長(zhǎng)途客車均由A和B兩家公司運(yùn)營,為了解這兩家公司長(zhǎng)途客車的運(yùn)行情況,隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次,得到列聯(lián)表如表5所示.

表5

(1)根據(jù)上表,分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率;

(2)能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)?

表6

(2)列聯(lián)表如表7所示.

表7

根據(jù)臨界值表可知,有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān).

例17(2022年全國甲卷理19)甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽,比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目,每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分,負(fù)方得0分,沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后,總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率;

(2)用X表示乙學(xué)校的總得分,求X的分布列與期望.

(2)依題可知,X的可能取值為0,10,20,30,所以

即X的分布列如表8所示.

表8

4 命題趨勢(shì)

通過對(duì)近年全國高考卷,特別是近三年新高考卷的分析與研究,我們預(yù)計(jì)2023年高考對(duì)概率與統(tǒng)計(jì)的考查將繼續(xù)秉持新高考卷的命題風(fēng)格,強(qiáng)調(diào)對(duì)基本概念和基本公式的理解、應(yīng)用,突出對(duì)運(yùn)算求解能力和數(shù)據(jù)處理能力的考查.

4.1 考查排列組合的內(nèi)容

排列組合部分仍會(huì)突出對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列組合等基本知識(shí)的考查,多以選擇題、填空題為主,如2021年全國乙卷理科第6題.

4.2 考查二項(xiàng)式定理的內(nèi)容

高考中對(duì)二項(xiàng)式定理的考查主要是基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算,以小題形式出現(xiàn),沒有難題.因?yàn)槎?xiàng)式定理的應(yīng)用比較廣泛,在復(fù)習(xí)過程中,我們還要關(guān)注與二項(xiàng)展開式中的系數(shù)有關(guān)的最值和二項(xiàng)式定理的逆用的問題.

4.3 考查概率的內(nèi)容

概率部分試題形式基本穩(wěn)定,考點(diǎn)比較集中,以傳統(tǒng)優(yōu)秀文化、生產(chǎn)生活實(shí)際為背景的概率問題屢見不鮮.古典概型、隨機(jī)事件概率的計(jì)算和正態(tài)分布等考點(diǎn)均會(huì)出現(xiàn)在客觀題中,2021年新高考Ⅰ,Ⅱ卷中是以多選題形式出現(xiàn),考查的重點(diǎn)還是古典概型.如2019年全國Ⅰ卷理科第7題就是從我國古代典籍?周易?中的“卦”演變而來,需要考生認(rèn)真審題與閱讀,抓住概率類型,運(yùn)用古典概型公式快速求解.條件概率、隨機(jī)變量的分布列與數(shù)字特征、二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布仍然是命題的重點(diǎn),且多以解答題形式出現(xiàn).如2022年新高考Ⅰ卷第20 題,新高考Ⅱ卷第19題,全國甲卷理科第19題等對(duì)條件概率、隨機(jī)變量分布列與數(shù)字特征、二項(xiàng)分布都進(jìn)行了深入的考查.

4.4 考查統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容

統(tǒng)計(jì)思想與原理的廣泛應(yīng)用是數(shù)學(xué)與生產(chǎn)生活實(shí)際聯(lián)系的重要紐帶.在近幾年的高考卷中,有關(guān)統(tǒng)計(jì)方面的試題更多關(guān)注時(shí)代熱點(diǎn),如新農(nóng)村建設(shè)、醫(yī)療衛(wèi)生、藥品安全、質(zhì)量檢測(cè)等.如2018年全國Ⅰ卷理科第3題就是典型的新時(shí)代新農(nóng)村經(jīng)濟(jì)建設(shè)問題,要求考生對(duì)現(xiàn)有數(shù)據(jù)進(jìn)行分析與處理.

以頻率分布直方圖為背景考查離散型隨機(jī)變量的概率分布列與期望的計(jì)算,突出考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)解決實(shí)際生活問題的能力.以莖葉圖為背景考查概率知識(shí)、2×2列聯(lián)表考查獨(dú)立性檢驗(yàn)與概率知識(shí)等,這些問題著重考查學(xué)生從圖表中獲取信息、處理數(shù)據(jù)的能力.此類題在全國卷中多次出現(xiàn),如2022年新高考Ⅰ卷第20題,以概率與統(tǒng)計(jì)模型為背景的創(chuàng)新題今后還會(huì)考查,值得我們關(guān)注.統(tǒng)計(jì)與函數(shù)相結(jié)合的概率統(tǒng)計(jì)題綜合性強(qiáng)、難度大,最近出現(xiàn)的一次是2017年全國課標(biāo)Ⅲ卷第19題.純粹的統(tǒng)計(jì)學(xué)問題,如2016年全國課標(biāo)Ⅲ卷文、理科第18題考查了生活垃圾無害化處理問題.

5 復(fù)習(xí)建議

概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)點(diǎn)錯(cuò)綜復(fù)雜又環(huán)環(huán)相扣,試題一般不是單獨(dú)考查某一個(gè)知識(shí)點(diǎn),而是對(duì)多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合考查.因此在復(fù)習(xí)時(shí),我們既要準(zhǔn)確理解概念、公式與定理的含義,又要建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò),厘清概念、公式與定理之間的邏輯聯(lián)系.如概率的基本性質(zhì)是基于事件關(guān)系這一個(gè)前提建立的,所以我們?cè)趯W(xué)習(xí)概率的基本性質(zhì)前必須理解隨機(jī)事件這一基本概念.如果弄不清事件的關(guān)系,那么就難以正確理解和運(yùn)用概率的基本性質(zhì),同時(shí)也會(huì)影響對(duì)二項(xiàng)分布、超幾何分布的學(xué)習(xí).

5.1 加強(qiáng)對(duì)概率、統(tǒng)計(jì)概念的精準(zhǔn)理解,提升辨析概念的基本能力

概念是數(shù)學(xué)的細(xì)胞,是思維的載體,是創(chuàng)新的源泉.概念學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的核心環(huán)節(jié),整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系是建立在概念基礎(chǔ)之上的.因此,我們要注重對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)的再挖掘.深入理解統(tǒng)計(jì)學(xué)原理,領(lǐng)悟統(tǒng)計(jì)學(xué)思想,不能只停留在記住結(jié)論、公式上,要弄清結(jié)論所反映的原理是什么、公式又是如何推導(dǎo)的.高考中往往以“統(tǒng)計(jì)”為背景考查“概率”,因而概率知識(shí)是不可忽視的,概率題的突破可以從概率模型入手,分概率模型訓(xùn)練.

5.2 重視閱讀理解訓(xùn)練,培養(yǎng)數(shù)據(jù)處理及運(yùn)算能力

圖表中信息的讀取、數(shù)據(jù)的處理是解決統(tǒng)計(jì)與概率問題的關(guān)鍵所在.在統(tǒng)計(jì)與概率試題中,一般題干文字較多、信息量較大、符號(hào)圖表密集、參考數(shù)據(jù)冗長(zhǎng).讀不懂題意是造成概率統(tǒng)計(jì)試題失分的主要原因之一,因此,我們要加強(qiáng)對(duì)閱讀理解的訓(xùn)練,要學(xué)會(huì)三讀:一讀從統(tǒng)計(jì)圖表中能直接看到的信息,二讀經(jīng)過簡(jiǎn)單分析后能得到的信息,三讀超越數(shù)據(jù)本身的信息,在讀的過程中學(xué)會(huì)歸納、分析、總結(jié)、反思.

5.3 注重回歸教材與真題訓(xùn)練,提高解決實(shí)際問題的應(yīng)用能力

教材是教學(xué)之本,不少高考題的原型都源自于教材中的例題、習(xí)題.學(xué)生在復(fù)習(xí)中一定要注重對(duì)教材例題、習(xí)題的探究和利用,同時(shí),還要加強(qiáng)對(duì)高考真題的適時(shí)訓(xùn)練,并能從中發(fā)現(xiàn)試題的特點(diǎn),悟出命題規(guī)律,進(jìn)行有效復(fù)習(xí).概率統(tǒng)計(jì)源自生產(chǎn)生活,同時(shí)又能解決生產(chǎn)生活中的實(shí)際問題.這些問題的設(shè)置要求考生對(duì)所給數(shù)據(jù)進(jìn)行分析與處理,運(yùn)用所學(xué)知識(shí)來解決實(shí)際問題,考查學(xué)生的應(yīng)用能力.

(完)