馬下平 楊 梅 景 慧 賀小星 林超才

(1. 西安科技大學 測繪科學與技術學院, 陜西 西安 710054;2. 西咸新區(qū)自然資源和規(guī)劃局, 陜西 西安 712000;3. 江西理工大學 土木與測繪學院, 江西 贛州 341000;4. 湖南省有色地質勘查局二四七隊, 湖南 長沙 410129)

0 引言

根據(jù)含有誤差的觀測向量,依一定的數(shù)學模型,按一定的準則求出未知參數(shù),在數(shù)理統(tǒng)計中稱為參數(shù)估計,在測量中稱為平差[1-2]。測量平差中所建立的模型包括函數(shù)模型和隨機模型。函數(shù)模型是描述觀測量和待求未知參數(shù)之間數(shù)學關系的函數(shù)模型,而隨機模型是描述平差問題中隨機量具有先驗統(tǒng)計信息的參數(shù)及其相互間統(tǒng)計相關性質(先驗的方差與協(xié)方差)的模型[3-5]。函數(shù)模型又分為經典平差和廣義平差函數(shù)模型。經典平差函數(shù)模型有條件平差模型、間接平差模型、帶參數(shù)的條件平差模型和附有約束條件的間接平差模型[6-7]。

目前,已有很多學者進行了測量平差中基本模型和概括模型之間轉換關系的研究。謝波[8]等區(qū)分了控制網中的兩類不同性質的數(shù)據(jù),通過控制網中的觀測數(shù)據(jù)和基準數(shù)據(jù)分別建立了誤差方程和基準方程,建立了概括平差模型。張書畢等[9]用實例指出概括平差模型在解決一些特殊情況時存在不完善地方,并給出改進的解決方法;劉根友等[10]將附有參數(shù)先驗精度信息的平差問題擴展為參數(shù)約束平差,給出了參數(shù)約束平差法在數(shù)值計算上可以統(tǒng)一自由網平差的新概念;趙超英等[11]在研究兩種概括模型的基礎上進一步指出附有未知參數(shù)的條件平差在某種條件下也是一種概括模型,揭示了各種經典平差模型的內在聯(lián)系;王新洲[12]通過對條件平差、間接平差、附有條件的間接平差、附有未知數(shù)的條件平差和附有限制條件的條件平差5種經典平差模型研究揭示它們之間的區(qū)別和內在聯(lián)系。除了最小二乘算法外,Teunissen[13]等在隨機模型中引入了一種遞推形式精度的廣義卡爾曼濾波器,可以應用于隨機模型被錯誤指定的情況;Felus[14]提出了總體最小二乘法,解釋了如何使用廣義最小二乘法將誤差包含在所有變量中,介紹了總體最小二乘問題及其公式和求解步驟?？祲裑15]在以后的參數(shù)平差模型中引入線性泛函,構建其統(tǒng)一的幾何模型。

目前基于最小二乘算法的經典平差仍然很受歡迎,但以往對經典平差模型中參數(shù)的估計,往往是一種模型進行一次公式推導,為了克服這種推導方法所產生的不必要的麻煩,本文以經典測量平差中的條件平差和間接平差這兩個基本平差方法的函數(shù)模型為基礎,詳細推導帶參數(shù)的條件平差、附有約束條件的間接平差函數(shù)模型中的參數(shù)估計公式,總結出了經典測量平差的通用函數(shù)模型,推導出該模型的參數(shù)估計公式,并證實了通用平差模型和經典測量平差模型之間的關系。

1 經典測量平差模型

函數(shù)模型分為線性模型和非線性模型兩類。當函數(shù)模型為非線性函數(shù)時,總是將其用泰勒公式展開,并取其一次項化為線性形式。高斯—馬爾柯夫模型(G-M模型)是測量平差中最基本、最典型、應用也是最廣的一種線性模型。根據(jù)G-M函數(shù)模型,可以得出以下幾種經典測量平差中常用的函數(shù)模型。

1.1 間接平差模型

間接平差是通過選定t個獨立的未知向量,并將m個觀測值分別表示成這個參數(shù)的函數(shù),其函數(shù)模型為

(1)

將式(2)代入式(1),得

(4)

可知JA為一冪等陣,I-JA也是冪等陣,有

(5)

1.2 條件平差模型

條件平差主要是利用觀測值之間的幾何條件建立的方程為函數(shù)模型的平差方法。設觀測值之間的幾何條件的個數(shù)為r個。則函數(shù)模型可表示為

(6)

式中,B為r×m階系數(shù)矩陣,rank(B)=r;wB為r維閉合差向量。

1.3 帶參數(shù)的條件平差模型

在條件平差中,加入u個獨立的未知參數(shù),并建立未知參數(shù)與觀測值之間的幾何關系為函數(shù)模型的平差方法稱為帶參數(shù)的條件平差法。函數(shù)模型為

(9)

式(9)可以分兩步解算,得出f的改正數(shù)向量Vf、f的協(xié)因數(shù)矩陣Qf和權陣Pf分別為

(13)

由式(10)寫出Vf的計算式為

(14)

當需要獲取觀測量改正數(shù)向量V而不是Vf時,需要將式(14)代入式(9),得

(15)

由式(7)得

(16)

1.4 附有約束條件的間接平差模型

在間接平差中,如果未知參數(shù)之間滿足以下s個約束條件

(17)

則組成附有約束條件的間接平差的函數(shù)模型為

(18)

式中,C為s×t階系數(shù)矩陣,rank(C)=s;wc為s維約束方程常數(shù)項。

分兩步解上兩式,先解第一式,這是間接平差模型,由式(2)得

(19)

(20)

將式(20)代入式(18),得

(21)

(22)

設JC=HCC,則式(22)寫為

(23)

將式(23)代入式(20)并顧及式(19),得

(24)

將式(24)代入式(22),化簡得

(25)

2 通用平差模型

2.1 模型概述

(26)

式中,B為g×m階系數(shù)矩陣,rank(B)=g;A為g×t階系數(shù)矩陣,rank(A)=t;C為s×t階系數(shù)矩陣,rank(C)=s。

不難看出,間接平差、條件平差、帶參數(shù)的條件平差和附有約束條件的間接平差模型是通用平差模型的特殊情況。

當B=-I,C=0,f=l時,通用平差的函數(shù)模型變成間接平差的函數(shù)模型,式(26)變?yōu)槭?1);當A=0,C=0,f=wB時,通用平差的函數(shù)模型變成條件平差的函數(shù)模型,式(26)變?yōu)槭?6);當C=0時,通用平差的函數(shù)模型變成帶參數(shù)的條件平差的函數(shù)模型,式(26)變?yōu)槭?9);當B=-I,f=l時,通用平差的函數(shù)模型變成附有約束條件的間接平差的函數(shù)模型,式(26)變?yōu)槭?18)。因此,稱式(26)為通用平差模型。

分兩步解式(26),設

(27)

其權陣為式(12)。將上式代入式(26),得

(28)

這是附有約束條件的間接平差模型。

(29)

由式(7)寫出Vf的計算式為

(30)

由式(14)直接寫出V的計算式為

(31)

將Vf代入上式,得

(32)

式(28)也可以按照求解式(18)的第二中推導方法,其估計出的未知參數(shù)計算公式與式(29)完全相同。

從以上可知：間接平差模型和條件平差模型是測量平差的基本模型,由基本模型的計算公式,可以導出帶參數(shù)的條件平差、附有約束條件的間接平差和通用平差模型的計算公式。本文從基本模型出發(fā),導出了其余3種模型的計算公式,可以從通用平差模型出發(fā),導出其余4種模型的計算公式。

2.2 通用平差模型可行性驗證

2.2.1 實驗數(shù)據(jù)

現(xiàn)結合實際的實驗數(shù)據(jù),通過比較分析不同模型計算的各待定點的高程平差值對模型進行可行性和性能分析。如圖1為一水準網,已知點高程HA=105.016 m,HB=106.016 m,高差觀測值h1=+1.359 m,h2=+2.009 m,h3=+0.657 m,h4=+1.012 m,h5=+0.363 m,h6=+0.238 m,h7=-0.595 m。 路線長度S1=1.1 km,S2=1.7 km,S3=2.4 km,S4=2.7 km,S5=2.3 km,S6=1.4 km,S7=2.6 km?，F(xiàn)采用條件平差和間接分別進行解算。

圖1 水準網示意圖

(1)條件平差：列出條件方程式、定權、組成法方程并解算,計算高差觀測值的改正數(shù)進而求得各待定點的高程的平差值。

(2)間接平差：選參數(shù)并計算參數(shù)近似值、定權、列平差值方程和誤差方程,組成法方程并解算,計算未知參數(shù)的平差值進而求得各待定點的高程平差值。

2.2.2 結果的分析與比較

表1列出了條件平差和間接平差兩種模型的計算結果。

表1 高程平差值計算結果 單位：m

由表1可得條件平差和間接平差所求得的結果完全相同,E點高程平差值有差值是因為進位誤差引起的,可忽略不計,即證明條件平差和間接平差都是通用平差模型的特殊情況。

3 結束語

本文通過對經典測量平差的函數(shù)模型及通用函數(shù)模型計算公式的推導,得出以下結論：

(1)間接平差和條件平差是最基本的經典測量平差模型,由這兩個平差函數(shù)模型的計算公式可以推導出帶參數(shù)的條件平差模型、附有約束條件的間接平差模型和通用平差模型的計算公式。

(2)通用平差模型是其余四種平差模型的一般形式,其他四種平差模型是通用平差模型的特殊形式;由通用平差模型的計算公式可以推導出其余4種模型的參數(shù)估計公式。

(3)本文雖然由基本模型推導了通用平差模型,也給出了他們之間的轉換關系。但本文推導是基于最小二乘原理,對于其他參數(shù)估計方法平差模型之間的等價性證明將是未來研究的重點。