葉中輝

(安徽省阜陽市第五中學(xué) 236072)

1 利用二次函數(shù)求極值問題

1.1 利用一元二次函數(shù)判別式求極值

對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c，用根的判別式法，利用b2-4ac≥0，(式中含y).若y≥A，則ymin=A.若y≤A，則ymax=A.

例1汽車A以v1=20m/s速度勻速行駛，在司機的正前方100m處有另一列汽車B正以v2=10m/s速度勻速行駛，A車立即做勻減速直線運動，加速度為a.為避免兩車相撞，a應(yīng)滿足的條件是什么？

解若兩車恰好相撞，其位移關(guān)系應(yīng)為：

∵不相撞,∴Δ<0

1.2 利用配方法求極值

對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c，函數(shù)解析式經(jīng)配方可變?yōu)閥=(x-A)2+C,當(dāng)x=A時，常數(shù)為極小值；

例2電路如圖1所示，電阻R為可變電阻，電動勢為E，內(nèi)阻為r的電源，求R為何值時，電源的輸出功率有最大值？最大值是多少？

圖1

解P出=I2R

2 利用基本不等式求極值問題

例3 如圖2所示，在水平地面上固定一個半圓形光滑軌道，軌道直徑與地面相垂直.一物塊以速度v從軌道底端滑入，從軌道最高點飛出，物塊落地點與軌道下端的水平距離與軌道半徑有關(guān)，當(dāng)此距離最大時，對應(yīng)的軌道半徑為多少(重力加速度為g)( ).

圖2

解物塊做平拋運動的水平距離x為：

圖3

3 利用三角函數(shù)求極值問題

例5如圖4所示，在斜上拋運動中，斜上拋物體初速度為v，與水平方向夾角為α，在初速度一定的情況下，為α多大時水平射程最大.

圖4

3.2 當(dāng)三角函數(shù)的形式為y=asinφ+bcosφ時利用等效變化的方式，可以將上轉(zhuǎn)化為：

4 利用導(dǎo)數(shù)求極值問題

利用導(dǎo)數(shù)求物理極值可以拓寬學(xué)生的解題思路，讓學(xué)生體會物理與數(shù)學(xué)的密切關(guān)系.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)方法求極值的步驟如下：

4.1 根據(jù)物理問題所遵循的規(guī)律得出物理函數(shù)表達式；

4.2 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù);

4.3 令導(dǎo)數(shù)等于零，求解這個方程，得到自變量的解；

4.4 判斷出該解對應(yīng)的是極大值點還是極小值點；

4.5 把該解代入原方程求出對應(yīng)的極值.

例6 汽車A以v1=20m/s速度勻速行駛，在司機的正前方100m處有另一列汽車B正以v2=10m/s速度勻速行駛，A車立即做勻減速直線運動，加速度為a.為避免兩車相撞，a應(yīng)滿足的條件是什么？

解若兩車恰好相撞，其位移關(guān)系應(yīng)為：

得：a=0.5m/s2

∴要使兩車不相撞，a>0.5m/s2

5 利用圖像求極值問題

各種極值問題，還可以利用函數(shù)圖像、矢量圖、幾何圖和光路圖等進行分析和解答.圖像法和其他方法比較，不僅具有形象、直觀、簡捷和概括力強的優(yōu)點，而且對培養(yǎng)形象思維能力具有更重要的意義.在利用函數(shù)圖像求極值時，首先，應(yīng)根據(jù)各物理量的函數(shù)關(guān)系，在直角坐標(biāo)系上畫出相應(yīng)的函數(shù)圖像，然后根據(jù)交點的坐標(biāo)、斜率、截距和與坐標(biāo)軸包圍的面積等的物理意義，進行分析、推理和計算.

例7如圖5，斜面傾角為α，動摩擦因數(shù)為μ，質(zhì)量為M的小車沿斜面勻速向上運動，求拉力F與斜面夾角θ是多少時，拉力有最小值？

圖5

解小車在四個力作用下處于平衡狀態(tài)，將支持力N和摩擦力f，用其合力R代替，并設(shè)R與N的夾角為φ，把四個力轉(zhuǎn)化為三個力的平衡問題.

當(dāng)θ角變化時：Mg為恒力，R方向不變，與豎直方向成(α+φ)；F的大小和方向都變化.

根據(jù)三個力構(gòu)成的矢量三角形可以看出：當(dāng)拉力F與R成90°時，拉力最小，且θ=φ(同角的余弦相等).

拉力的最小值為Fmin=Mgsin(α+tan-1μ).

高中物理中的求極值問題可以準(zhǔn)確地考察學(xué)生對物理知識理解的程度，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力.物理學(xué)中的求極值問題屬于知識性很強，涉及面非常廣的問題，在力學(xué)、熱學(xué)、電磁學(xué)、光學(xué)中都有涉及，筆者只是選擇了幾個代表性的問題進行分析.近年來，高考加強了數(shù)學(xué)知識在物理中的運用，對學(xué)生數(shù)學(xué)方法的掌握和運算能力提出了更高的要求，要求學(xué)生能根據(jù)具體問題列出關(guān)系式并會進行相關(guān)推導(dǎo)和求解，也重視定性和半定量的分析和推理.教師在平時的教學(xué)中應(yīng)根據(jù)不同的物理問題，一點一滴地把一些數(shù)學(xué)方法滲透進去，使學(xué)生對物理規(guī)律的理解更加深刻，使數(shù)學(xué)和物理這兩門學(xué)科互相滲透、互相促進.