嚴 飛，祁 健，劉銀萍，吳 迪，于 強，劉 佳

（1. 南京信息工程大學 自動化學院，江蘇 南京 210044；2. 南京信息工程大學 大氣物理學院，江蘇 南京 210044；3. 江蘇省大氣環(huán)境與裝備技術協(xié)同創(chuàng)新中心，江蘇 南京 210044）

引言

光學三維測量技術在眾多測量技術中具有重要意義。條紋投影輪廓術具有結構簡單、精度高、速度快等優(yōu)點，使之在工業(yè)和科學研究等較多領域都有廣泛的應用[1-4]。通過將條紋投影到被測物體表面，經由相機采集物體表面高度調制的圖像，并進行相位分析、系統(tǒng)標定，最終測得物體的三維面形數據。相移法因為需要進行反正切運算，所以分析獲取的相位被限制在(-π，π]之間，因此解得的相位被稱為截斷相位。為了實現全場相位的連續(xù)性，需要對截斷相位進行展開。相位展開的方法主要分為空間相位展開方法[5-7]和時間相位展開方法[8-10]。時間相位展開方法對每個像素獨立進行計算，解決了空間相位解包裹誤差傳遞的問題，可用于測量表面非連續(xù)的物體。由于格雷碼是一種誤差最小化的編碼方式，因此基于格雷碼的三維成像技術具有良好的魯棒性和抗噪性，于是提出了基于格雷碼結合相移技術的時間相位展開方法。

格雷碼條紋圖像在投影和采集過程中容易受到設備噪聲以及其他環(huán)境噪聲的影響，格雷碼黑白邊界不是理想的二值分布，因此解碼后的條紋級次與截斷相位亦無法處于理想的對齊狀態(tài)，因此進行相位展開后的絕對相位值存在跳變誤差。為了避免級次跳變誤差，LAUGHNER 等人通過投影額外的全白和全黑圖像來點對點確定二值化閾值[11]；ZHENG 等人通過投影儀離焦方法[12-13]利用一幅二值圖像產生灰度為“0.5”的圖案作為閾值；WU 等人則利用正弦相移條紋的均值作為二值化閾值，不需投影額外的圖像[14]。

上述方法對測量靜態(tài)場景的測量有較好的效果，但是在動態(tài)場景測量時，級次跳變誤差出現的區(qū)域寬度增大，此時通過濾波或是單調性探測的方法難以消除邊沿誤差所帶來的跳變。針對上述問題，SUN 和ZHANG 等人提出了一種互補格雷碼的編碼方式[15-16]。相比于傳統(tǒng)格雷碼編碼方法，該方法多投影一幅格雷碼，使得碼字標記為正弦周期的一半，利用傳統(tǒng)碼字和附加碼字的不同來互補邊界跳變[17]，使得邊沿錯誤區(qū)域寬度小于半個條紋周期寬度時，誤差可以被避免。

為了降低設備以及其他環(huán)境噪聲對于條紋邊界的偏移影響，使得邊沿跳變區(qū)域的容錯寬度更大，有效地避免級次跳變誤差，本文提出一種基于格雷碼的分區(qū)間相位展開方法。在互補格雷碼基礎上增加一幅輔助的格雷碼圖像，利用所有格雷碼解得附加碼字，通過對附加碼字進行不同位移量的條紋級次映射，得到與傳統(tǒng)方法解得條紋級次的多個互補的條紋級次。并利用條紋級次的互補對截斷相位進行分區(qū)間相位展開，獲得了無級次跳變誤差的展開相位。本文通過對傳統(tǒng)正弦相移條紋進行二次相移，以構造不同程度的邊沿錯誤區(qū)域，且通過實驗對比了本文方法與傳統(tǒng)格雷碼方法以及互補格雷碼方法的級次跳變誤差結果。

1 格雷碼結合相移法原理

1.1 相移技術

相移技術[18]由于其精度高，且不受物體表面劇烈變化或斷裂影響等優(yōu)點被廣泛應用。將正弦相移條紋投影至被測物體表面，相機采集回物體表面形貌調制產生變形的條紋圖像。采集的相移圖像可以表示為

式中：(x，y)為像素坐標；In為采集到的正弦相移條紋圖像，下標n為采集圖像的序號；A為背景光強；B為調制光強；φ為待解的相位主值；N表示N步相移。圖1 以四步相移、周期為4 的正弦條紋為例，通過（2）式可以計算出截斷相位：

圖1 相移技術Fig. 1 Phase shift technology

由于（2）式為反正切運算，所以計算出的相位被截斷在(-π，π]之間，被稱為截斷相位，因此需要將截斷的相位恢復成連續(xù)相位。

1.2 格雷碼結合相移方法

傳統(tǒng)格雷碼條紋為二值條紋圖像，而二值條紋圖像的離散特性限制了重建的點云數據分辨率，研究者提出了格雷碼結合相移的方法。因為投影的正弦條紋具有連續(xù)的相位分布特性，所以將相移技術引入三維測量可以得到更高的空間分辨率。n幅格雷碼圖案可以被用來標記被2n次截斷的條紋級次k。

圖2 以四步相移、周期為16 的正弦條紋為例，需4 幅格雷碼標記條紋級次。利用（3）式計算n幅格雷碼對應的十進制碼字V，采用（4）式查找計算十進制碼字V和解碼碼字k之間的關系，并通過（5）式對截斷相位進行展開，將其恢復成連續(xù)相位。

圖2 格雷碼結合相移方法Fig. 2 Method of Gray code combined with phase shift

式中：φ為解得的相位主值；Φ為展開的相位值。

與傳統(tǒng)的格雷碼方法相比，互補格雷碼方法需在最后額外多投一幅格雷碼圖案，使得該格雷碼圖案計算出的碼字寬度為正弦條紋周期的一半。圖3 以四步相移、周期為16 的正弦條紋為例，按照傳統(tǒng)的解碼方式解出前4 幅對應的條紋級次k1，同時對全部5 幅條紋進行解碼，得到對應的條紋級次k2，k1和k2級次邊沿剛好錯開正弦條紋半個周期。在用格雷碼輔助截斷相位展開時，按照（6）式進行計算。

圖3 互補格雷碼方法Fig. 3 Complementary Gray code method

式中：φ為解得的相位主值；Φ為展開的相位值。

顯然（6）式中僅使用k1和k2中間部分的碼字，而不使用邊沿部分的碼字，主動避免使用邊沿部分的碼字帶來的相位解析錯誤。k1和k2級次邊沿錯開正弦條紋半個周期，使得邊沿錯誤區(qū)域寬度在正弦條紋半個周期內，級次跳變誤差可以被避免。

2 基于格雷碼的分區(qū)間相位展開方法

當設備以及環(huán)境噪聲對于條紋邊界的偏移影響較大時，將導致邊沿錯誤區(qū)域寬度進一步增加。同時格雷碼圖像之間將產生偏移，互補格雷碼方法的容錯寬度將減小，或不能達到理想的半個周期。本文利用一幅輔助的格雷碼圖案，將解得的碼字細分，利用不同權值映射條紋級次，以獲得相對錯開1/4 個周期的多個錯位級次。在展開截斷相位時，只利用所有條紋級次的中間部分進行分區(qū)間展開。由于解得條紋級次中間部分的質量較高，因此可以避免使用條紋級次邊沿碼字而產生的級次跳變誤差。該方法屬于預先避免錯誤產生的方法，即使物體本身具有陡變區(qū)域，仍可以進行測量。

以具有4 個周期的4 幅正弦相移條紋為例，圖4展示了4 幅格雷碼模式的編碼。通過相移法分析得到截斷相位，前2 幅格雷碼按照傳統(tǒng)解碼方式得到級次k1；利用前3 幅格雷碼解得碼字V1，按照（7）式解碼得到與k1錯開半個周期的級次k2；增加1 幅輔助的格雷碼，利用全部格雷碼解得碼字V2，按照（8）式形成與k1向左位移1/4 個周期的級次k3；通過改變（8）式中取整運算的常數項權值，利用（9）式形成與k1向左位移3/4 個周期的級次k4。

圖4 4 幅格雷碼模式編碼獲取不同位移的條紋級次Fig. 4 Four-piece Gray code mode encoding to obtain fringe levels with different displacements

式中：floor[]表示向下取整運算。

于是利用k1對截斷相位的中間部分進行展開，同時利用k2、k3、k4對截斷相位的跳變區(qū)域進行展開，通過（10）式進行相位展開操作，使得邊沿錯誤區(qū)域寬度小于3/4 個條紋周期寬度時，誤差都可以被避免，如圖5 所示。

圖5 級次跳變誤差校正原理圖Fig. 5 Schematic diagram of level hopping error correction

3 實驗結果與分析

3.1 測量系統(tǒng)

為了驗證所述方法的可行性，開展與傳統(tǒng)相移格雷碼方法的對比實驗，實驗中采用的正弦條紋周期數設置為16。實驗所搭建的測量系統(tǒng)主要包括輸出分辨率為1 280 pixel×800 pixel 的DLP 投影儀（Light Crafter 4500），及分辨率為1 280 pixel×1 024 pixel的工業(yè)相機（Point Grey FL3-U3-13Y3M-C）。

3.2 實驗結果與討論

為了驗證所提出方法的有效性，采用傳統(tǒng)格雷碼相移方法以及互補格雷碼方法和所提出方法進行測量對比實驗。對一標定板進行測量，截斷相位與條紋級次偏移較小時，實驗結果如圖6 所示。從圖6 中展開相位以及重建結果可以看出，當截斷相位與條紋級次偏移較小時，圖6（a）傳統(tǒng)格雷碼方法已經出現輕微級次跳變誤差，此時通過濾波或是單調性探測的方法可以消除誤差。而圖6（b）互補格雷碼方法以及圖6（c）本文方法無需進行額外濾波等操作，均可避免級次跳變誤差。

圖6 標定板實驗重建結果Fig. 6 Experimental reconstruction results of calibration plate

為評價所提方法測量精度，對直徑為50.814 0 mm的標準球進行測量，在測量點云數據基礎上擬合標準球，擬合誤差分布結果如圖7 所示。擬合的球體直徑為50.814 0 mm，圖7（a）互補格雷碼方法的均方根誤差為0.154 6 mm，圖7（b）本文方法的均方根誤差為0.157 4 mm。標準球擬合誤差結果表明，所提方法實際測量中不會降低測量精度。

圖7 標準球擬合誤差結果Fig. 7 Fitting error results of standard sphere

為了進一步驗證對于測量實際物體，且在邊沿錯誤區(qū)域超過半個周期情況下，本文方法仍能較好地避免級次跳變誤差。實驗中測量系統(tǒng)和待測物相對靜止，將相移圖像再次向左移相2π/3，此時截斷相位于級次邊沿錯誤區(qū)域將超過半個周期，以構造截斷相位與級次偏移場景。對物體形貌差別較大的兩件物品進行測量，展開相位測量結果如圖8 所示。

由圖8 可以看出，當邊沿錯誤區(qū)域超過半個周期時，圖8（a）傳統(tǒng)格雷碼方法出現嚴重的級次跳變誤差。同時圖8（b）互補格雷碼方法也出現了較寬區(qū)域的級次跳變誤差，此時通過格雷碼所解得的碼字并非正確，也意味著解得的2 個互補級次較截斷相位邊界偏移較大無法互補，導致解相錯誤。而圖8（c）本文方法利用更密的碼字，以不同常數項權值映射級次，即利用原本錯誤的碼字產生偏移于原本級次半個周期以上的級次，使得互補區(qū)間更大。利用這樣相對位移更小的多個條紋級次質量較好的中間部分對截斷相位進行展開，當邊沿錯誤區(qū)域超過半個周期且小于最大互補區(qū)間時，可有效避免級次跳變誤差。

圖8 展開相位測量結果Fig. 8 Measurement results of unwrapped phase

展開相位準確性分析結果如表1 所示，本文所提出的方法展開相位中錯誤點占比為1.08%，相對于傳統(tǒng)格雷碼以及互補格雷碼方法的錯誤點占比都較小。實驗結果表明，當邊沿錯誤區(qū)域寬度較大時，本文方法能夠有效地避免級次跳變誤差，從而提高相位展開的準確性。

表1 展開相位準確性分析結果Table 1 Analysis results of unwrapped phase accuracy

此外，本文提出的方法對于三步相移法適應性較強。由于三步相移方法位移周期為2/3 個周期，因此本文方法對三步相移的任一截斷相位進行相位展開，均可以獲取正確的展開相位。對一石膏頭像進行測量，重建結果如圖9 所示。三步相移法可以依次解得三個截斷相位，圖9（a）、圖9（b）和圖9（c）分別是用傳統(tǒng)格雷碼方法、互補格雷碼方法和本文方法對每一個截斷相位的展開結果。實驗結果表明，提出的方法對于三步相移順序圖像生成的任一截斷相位都能夠正確進行相位展開，并獲取較為正確的重建結果。

圖9 不同截斷相位重建結果Fig. 9 Reconstruction results of different wrapped phases

4 結論

本文提出了一種基于格雷碼的分區(qū)間相位展開方法，利用一幅輔助的格雷碼圖案，將解得的碼字細分。在此基礎上，利用不同權值映射條紋級次，以獲得相對錯開1/4 個周期的多個錯位級次，使得互補的區(qū)間更大。利用所有條紋級次的中間部分進行分區(qū)間展開，當邊沿錯誤區(qū)域寬度較大時，能夠保證相位展開的準確性。實驗中，所提出方法展開相位錯誤點占比為1.08%，較傳統(tǒng)格雷碼結合相移方法以及互補格雷碼方法均較小，實驗數據驗證了本文方法的有效性。在測量設備以及環(huán)境噪聲對于條紋邊界的影響較大時，該方法可以提高格雷碼結合相移方法的相位展開容錯，使邊沿跳變區(qū)域的容錯寬度進一步拓寬至3/4 個條紋周期寬度，為測量過程中避免級次跳變誤差提供了保障。