單雪昀（新疆師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院）

一、問題提出

“會當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小”對于高觀點下的初等數(shù)學(xué)來說意味著：要站得高、看得遠(yuǎn)，才能將初等數(shù)學(xué)問題剖析得簡單明了。事實上，自菲利克斯·克萊因提出這一觀點后，中國的數(shù)學(xué)教育也在經(jīng)歷著改革，最直觀可見的是高中數(shù)學(xué)教材新增以大學(xué)數(shù)學(xué)知識為背景的內(nèi)容，選修教材居多。因此，研究高中數(shù)學(xué)教師的“高觀點數(shù)學(xué)知識”理解水平現(xiàn)狀是有必要的。下面以新疆地區(qū)高中數(shù)學(xué)教師和某大學(xué)數(shù)學(xué)教育方向研究生為測試對象，分成三個數(shù)學(xué)知識維度（如表1），擬從初等數(shù)學(xué)問題與大學(xué)數(shù)學(xué)“what”思想或方法有聯(lián)系的問題入手，探究新疆地區(qū)高中數(shù)學(xué)教師對“高觀點數(shù)學(xué)知識”的理解水平的現(xiàn)狀。

表1 數(shù)學(xué)知識維度具體特征

二、研究設(shè)計

1.研究對象

為方便調(diào)查師范類準(zhǔn)教師與預(yù)備教師，針對準(zhǔn)高中教師（新疆某大學(xué)數(shù)學(xué)教育方向研究生），以及新疆高中在職數(shù)學(xué)教師，包括新疆烏魯木齊市某高中教師、新疆南疆地區(qū)暑期國培班高中教師（2018年），采取分層抽樣方法，共計發(fā)放問卷40份，具體如表2、表3所示。

表2 試卷收集情況

表3 被試教師信息分布情況

2.研究工具

（1）評價框架建構(gòu)。

為建構(gòu)合理的評價模型，將CIPP教育評價模型作為評價理論基礎(chǔ)，以研究問題“高觀點數(shù)學(xué)知識”為核心驅(qū)動目標(biāo)，擬劃分三個理解水平維度：操作性、初概念性和探究性，如圖1、圖2所示。

圖1 數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)韋恩圖

圖2 數(shù)學(xué)理解水平金字塔

這里針對圖2中數(shù)學(xué)理解水平的劃分標(biāo)準(zhǔn)進行解釋。一級操作性理解水平：教師知道數(shù)學(xué)的某個事實、概念與方法，但受制于數(shù)學(xué)教材的初等方法，僅能合情推理，缺乏數(shù)學(xué)宏觀意識。二級初概念性理解水平：教師了解數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)等，能演繹推理，但易犯循環(huán)論證而不自知，無法運用高觀點思想窺探初等數(shù)學(xué)本質(zhì)。三級探究性理解水平：教師已具備初概念性理解，并能遷移大學(xué)數(shù)學(xué)方法揭示本質(zhì)解決初等問題，進而縱橫地認(rèn)識數(shù)學(xué)。

（2）“高觀點數(shù)學(xué)知識”水平測試卷。

測試內(nèi)容選擇與確定考慮最基本問題，以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》為依據(jù)，將內(nèi)容劃分為集合、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)與平面向量、數(shù)列與不等式、解析幾何、立體幾何與空間向量、統(tǒng)計與概率、其他部分，又基于彭翕成《從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)（第1卷）》的觀點，將考查視角轉(zhuǎn)到初等數(shù)學(xué)教材本身，選擇函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列與不等式、解析幾何、立體幾何與空間向量、其他部分（二項式定理）5個模塊重點考查。采用Microsoft Office Excel數(shù)據(jù)處理器對被試進行編碼錄入、匯總，運用SPSS數(shù)據(jù)軟件計算被試關(guān)于概念、命題、解題三個方面“高觀點數(shù)學(xué)認(rèn)知”分別劃分探究性、初概念性和操作性層次水平并進行分析。

三、研究結(jié)果

1.“高觀點”數(shù)學(xué)概念理解水平

如表4，從數(shù)學(xué)問題的設(shè)計角度看，被測問題屬于常規(guī)且高頻問題，教師理應(yīng)了解其背后的思想方法。

表4 “高觀點”數(shù)學(xué)理解水平占比表

具體而言，“高觀點”數(shù)學(xué)概念理解水平：探究性理解平均水平較其他數(shù)學(xué)維度的水平高出10%～18%，大部分教師“高觀點”意識高于實際水平。因此，在數(shù)學(xué)概念方面教師要注重強調(diào)對知識的理解與呈現(xiàn)，以看似合理的常識性問題為起點，脫離書本的桎梏，反向思維構(gòu)建高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的橋梁，再認(rèn)識和解決初等問題?！案哂^點”數(shù)學(xué)命題理解水平：呈現(xiàn)出被試的探究性和操作性理解水平極不穩(wěn)定，而初概念及以上理解水平穩(wěn)定在45%左右的狀態(tài)，差距大。因此，教師需打破長期教學(xué)方式表現(xiàn)的思維戀舊和循環(huán)邏輯定式錯誤，如“導(dǎo)數(shù)正（負(fù)）則單增（減）的演繹證明”不證自明等現(xiàn)象，逐步培養(yǎng)深度學(xué)習(xí)，重視并解讀學(xué)生每一次隱蔽性的數(shù)學(xué)語言。“高觀點”數(shù)學(xué)解題理解水平：處于初概念及以上水平的教師較之前兩個維度要高且穩(wěn)定，操作性理解水平相對居多。尤其幾何和代數(shù)這類高考核心問題，教師俯瞰數(shù)學(xué)問題的廣度和深度相對較強，因此“高觀點數(shù)學(xué)知識”理解呈現(xiàn)較高水平。

2.“高觀點”數(shù)學(xué)問題實例分析

問題1：以52為例，解釋無理指數(shù)冪的含義。

這是人教B版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)1必修》中“基本初等函數(shù)（Ⅰ）”第一小節(jié)的內(nèi)容。有4位教師直接類比正整數(shù)和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，認(rèn)為“52=，即個5相乘”，曲解數(shù)學(xué)概念本質(zhì)，認(rèn)知水平較低；有16位教師較重視教材涉及的合情推理，從無理數(shù)“數(shù)”的角度做無限逼近，但欠缺具體、詳盡的演繹推理過程；有10位教師是以“數(shù)軸”為工具引出夾逼準(zhǔn)則，利用不足近似和過剩近似數(shù)列逐次逼近，清楚解釋52的含義。

問題2：證明指數(shù)函數(shù)y=2x在(-∞，+∞)上是增函數(shù)（試給出每一步充分的推理依據(jù)）。

大多數(shù)教師在證明過程中極易陷入循環(huán)邏輯的怪圈：有21位教師回到單調(diào)性的定義，作差（作比），典型的循環(huán)論證，出現(xiàn)認(rèn)知慣性；另有借對數(shù)的單調(diào)性逆推指數(shù)單調(diào)性，限定了自變量的取值范圍，違反一般性；僅有2位教師運用臺階法，將自變量從整數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、有理數(shù)到無理數(shù)逐級證明（高數(shù)極限思想），符合大學(xué)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性分析。

對于解題，如問題“若已知數(shù)列的前10項3，5，7，9，11，…，21，求數(shù)列的通項”，僅有不足15%的教師能正確運用拉格朗日插值公式解釋背后原理，其余教師只是通過觀察猜想公式；“求一組組合數(shù)之和”，不足25%的教師揭示教材C0n+C1n+C2n+…+Cnn=2n賦值±1的內(nèi)涵。

四、總結(jié)與建議

1.數(shù)學(xué)概念

“廣度—深度”同步理解：數(shù)學(xué)概念本身具有高度的抽象性，對于概念教學(xué)，需要有意識地還原數(shù)學(xué)概念的數(shù)學(xué)化語言，即從學(xué)生理解的水平層次交代字面含義，結(jié)合“高觀點”認(rèn)知，最大化地為學(xué)生的概念學(xué)習(xí)提高廣度，同時注意從具體簡單到抽象復(fù)雜的逐步延伸，進而促進學(xué)生明確概念、糾正錯誤，避免元認(rèn)知導(dǎo)向錯誤。

2.數(shù)學(xué)命題

“內(nèi)修—教學(xué)”雙向提高：要實現(xiàn)學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)并創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識，教師不應(yīng)將整理好的證明直接提供給學(xué)生。教師自身的理解水平能夠達到引導(dǎo)和幫助學(xué)生進行“再創(chuàng)造”，組織自然生成的教學(xué)，學(xué)生自主完成命題的發(fā)現(xiàn)與證明。

3.數(shù)學(xué)解題

“創(chuàng)造—再創(chuàng)”一以貫之：以往教學(xué)注重問題解決方法上的“再創(chuàng)造”，但其實問題的本身更應(yīng)注意，如增添數(shù)學(xué)的為什么，探尋源問題的路上層層揭開數(shù)學(xué)的神秘之紗。另外，還可以跳出數(shù)學(xué)符號化，將文學(xué)藝術(shù)與數(shù)學(xué)符號或思想連通，在問題的根源實現(xiàn)“再創(chuàng)造”，豐富數(shù)學(xué)的問題形式和解題視角，增添趣味。

五、結(jié)束語

解釋“數(shù)學(xué)概念”、證明“數(shù)學(xué)命題”、探究“數(shù)學(xué)解題”，無不告訴教師提高自身理解水平亟待加強，觀點高了，才能看得深。另外，師范類院校數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生更要從入校起重視聯(lián)系“高觀點”對初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)，避免教學(xué)斷層。