劉世雙,蔡暢,李彥哲

(廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,廣西 南寧 530004)

1.引言

Moran集一直是分形幾何中極為重要的一個研究對象,它在數(shù)學(xué)的眾多分支(例如: 動力系統(tǒng)[1]、度量數(shù)論[2]、重分形[3]以及擬對稱映射[4]等)都有著重要的應(yīng)用.在這些應(yīng)用中,齊次Moran集的維數(shù)起到了重要的作用,也正因?yàn)槿绱?最近二十多年里,齊次Moran集的維數(shù)問題被眾多研究者所廣泛研究.FENG等[5]在1997年得到了一維齊次Moran集Hausdorff維數(shù)、packing維數(shù)以及上盒維數(shù)的具體范圍.而后WEN和WU[6]又研究了一類對基本區(qū)間間隔做要求的一維齊次Moran集: 齊次完全集,并且在一定條件下得到了其Hausdorff維數(shù)的具體表達(dá)式,之后WANG和WU[7]在相同條件下又求得了這一類分形集的packing維數(shù)和上盒維數(shù)的具體表達(dá)式.HU[8?9]通過連通分支和基本間隔定義了{(lán)mk}-擬齊次Cantor集,并得到了它們的Hausdorff維數(shù)、packing維數(shù)和上盒維數(shù)表達(dá)式.ZHANG等[10]通過連通分支和基本間隔構(gòu)造了一類比{mk}-擬齊次Cantor集和齊次完全集更廣泛的一維齊次Moran集:{mk}-擬齊次完全集,并在一定條件下得到了它們的Hausdorff維數(shù)與上盒維數(shù)表達(dá)式.與一維情況相比,關(guān)于高維齊次Moran集的維數(shù)問題的研究結(jié)果相對較少.YAN[11]在2002年研究了一類d-維齊次Moran 集(?d ∈N+)的Hausdorff維數(shù)、packing維數(shù)和上盒維數(shù),之后HU[12]在d-維齊次Moran集中通過連通分支構(gòu)造了一類特殊的高維齊次Moran 集:-擬齊次Cantor集,并得到了這一類分形集的Hausdorff維數(shù)的精確表達(dá)式.

本文中,我們利用d-維齊次Moran集(?d ∈N+)的基本立方體以及其在各邊上的正交投影形成的連通分支,構(gòu)造出一類特殊的d-維齊次Moran集:-擬齊次完全集,并在一定條件下得到了這一類分形集的一些維數(shù)結(jié)果,推廣了文[12]的一個結(jié)論.

本文在第二節(jié)介紹一些預(yù)備知識,包括一維齊次Moran集,d-維齊次Moran集與{mk}-擬齊次Moran集的定義,并構(gòu)造出-擬齊次完全集.第三節(jié)給出本文的主要結(jié)果.第四節(jié)對主要結(jié)果進(jìn)行證明.

2.預(yù)備知識

首先,我們回顧一下齊次Moran集與一維齊次Moran集的定義.

設(shè){nk}k≥1為一列正整數(shù)序列,{ck}k≥1為一列正實(shí)數(shù)序列,并且對任意的k ∈N+滿足nk ≥2和nkck ≤1.對任意的k ∈N+,記Dk={i1i2···ik:1≤ij ≤nj,1≤j ≤k}并且D=∪k≥0Dk,這里D0=?.

如果σ=σ1σ2···σk ∈Dk,τ={τ1τ2···τm: 1≤τi ≤nk+i,1≤i ≤m},記σ ?τ=σ1σ2···σkτ1τ2···τm ∈Dk+m.

定義2.1[13](齊次Moran集) 設(shè)I ?Rd為有界閉集且內(nèi)點(diǎn)非空,稱I的閉子集族I={Iσ:σ ∈D}具有齊次Moran結(jié)構(gòu),如果它滿足:

1)I?=I.

2) 對任意的k ∈N+和σ ∈Dk?1,1≤j ≤nk,存在相似映射Sσ?j: Rd →Rd使得Iσ?j=Sσ?j(I).

3) 對任意的k ∈N+和σ ∈Dk?1,Iσ?1,Iσ?2,···,Iσ?nk是Iσ的閉子集,并且int(Iσ?i)∩int(Iσ?j)=?(i/=j),這里int(A)表示A的內(nèi)部.

4) 對任意的k ∈N+和σ ∈Dk?1,1≤j ≤nk,

其中|A|表示集合A的直徑.

令

稱非空緊集E:=E(I)為齊次Moran集.用M(I,{nk},{ck})表示由I,{nk}k≥1,{ck}k≥1生成的齊次Moran集類.令I(lǐng)k={Iσ:σ ∈Dk},則I=∪k≥0Ik={Iσ:σ ∈D},Ik中的元素Iσ稱為E的k階基本元.

若I是實(shí)直線上的閉區(qū)間,則稱E ∈M(I,{nk},{ck})為一維齊次Moran集.此時,稱Ik={Iσ:σ ∈Dk}為E的k階基本區(qū)間族,I為E的初始區(qū)間.更多有關(guān)一維齊次Moran集的介紹可以參考文[5].

注2.1不失一般性,本文中若E ∈M(I,{nk},{ck})為一維齊次Moran集,則假設(shè)閉區(qū)間I=[0,1],并且對任意的k ∈N+和σ ∈Dk?1,假設(shè)Iσ?1,Iσ?2,···,Iσ?nk從左至右排列.

接下來對任意的d ∈N+,在d維歐氏空間中給出d-維齊次Moran集的定義.

記Rd中的d個坐標(biāo)軸為x1,···,xd.令Λ={x1,···,xd}.

注2.3由ak(x),bk(x)的定義可知,它們與投影所選取的坐標(biāo)軸x相關(guān).并且對任意的k ∈N+,有ak(x)≤ak,bk(x)≥bk.

注2.4由ak(x),bk(x)的定義可知,ak(x)表示在x軸上的投影集的全體k階連通分支中最大連通分支所含的基本區(qū)間數(shù)量與最小連通分支所含的基本區(qū)間數(shù)量的差值;bk(x)表示在x軸上的投影集的全體k階連通分支中最小連通分支所含的基本區(qū)間數(shù)量,由此可以看出,ak(x)+bk(x)表示在x軸上的投影集的全體k階連通分支中每個連通分支所含基本區(qū)間數(shù)量的一個上界.

3.主要結(jié)果

本文的主要結(jié)果如下:

4.主要結(jié)果的證明

證明定理3.1需要用到下面幾個引理.

第二個不等式可以由注2.4得到.本質(zhì)是因?yàn)?nk個基本區(qū)間形成了mk個連通分支,并且最小的連通分支含有bk(x)個基本區(qū)間,最大連通分支含有ak(x)+bk(x)個連通分支,因此bk(x)δkmk ≤nkδk ≤(ak(x)+bk(x))δkmk.

于是

質(zhì)量分布原理和Hausdorff維數(shù)與上盒維數(shù)的乘積不等式是定理3.1證明的重要工具,具體內(nèi)容見下面兩個引理.

引理4.2[14](質(zhì)量分布原理) 設(shè)s>0,μ是支撐在Borel集F ?Rd上的正有限測度,如果存在常數(shù)C >0和δ >0,使得對任意的集合U,在0<|U|≤δ時,都有

則dimH F ≥s.

引理4.3[14]設(shè)E ?Rn,F ?Rm,則有

下面的引理是估計(jì)上盒維數(shù)的重要工具.

引理4.4[15]設(shè)E ∈H(I,Icon,{nk},{mk},{ck},{ξk,j})為定義2.3中所定義的{mk}-擬齊次完全集,則有

接下來,我們給出證明定理3.1需要用到的幾個命題.

若l?=0,顯然有dimH Px(F)≥l?.下面假設(shè)l?>0,則對任意的0

令μ是支撐在Px(F)上的Borel概率測度,使得對任意Px(F)的k階基本區(qū)間Iσ?i(σ ∈Dk?1,1≤i ≤nk)滿足

為了應(yīng)用引理4.2,我們接下來會證明: 存在C >0,使得對任意的U ?R,0<|U|=δ ≤δK都有μ(U)≤Cδl.

容易得到g ≤3,結(jié)合引理4.1和(4.6)有

接下來,我們對定理3.1中的條件(A),(B),(C)分別進(jìn)行討論.

由引理4.1有nk ≤(ak(x)+bk(x))mk,于是有

這反映了δk?1,mkδk與nkδk在一定程度上是相互等價的,在證明中它們也可以相互替代.

又因?yàn)閷θ我獾膟1,y2>0,0

結(jié)合引理4.1,(4.6),(4.8)和(4.9)可得

此時,由引理4.1,(4.6)和(4.8)可得

由(4.7),(4.10),(4.12),(4.13)與引理4.2有dimH Px(F)≥l,再由l的任意性有dimH Px(F)≥l?.結(jié)合引理4.3有dimH F ≥ld?.

若l?=1,則結(jié)論顯然成立.不失一般性,假設(shè)l?<1,則對任意的1>l >l?,存在?>0和k1>0使得對任意的k ≥k1有

由Jensen不等式,對任意的k ∈N有

現(xiàn)在我們考慮Rd中邊長為rk的立方體S與Ak相交時所能交到Ak中元素的最大個數(shù)Sk.設(shè)sk(x)表示S在坐標(biāo)軸x上的正交投射所得的集合同(這里的定義見第二節(jié)末,本文用到的符號注記)相交時所交到中元素的最大個數(shù),則有

由坐標(biāo)軸x的任意性可得

現(xiàn)在來考慮直徑為rk的閉球Brk與Ak相交的情況.顯然,閉球Brk包含于一個邊長為rk的立方體S中,再結(jié)合(4.20)可得

由(4.19)和(4.21)有

考慮Rd中邊長為rk的立方體S與Ak相交時所能交到Ak中元素的最大個數(shù)Sk.類似條件(B)的討論可以得到

這也就是說直徑為rk的球Brk最多交個Ak中的元素,因此

定理3.1的證明結(jié)合命題4.1和命題4.2立刻可推出dimH F=ld?,結(jié)合命題4.3和命題4.4立刻可推出.證畢.