陳雪麗,何鑫海,楊晗

(西南交通大學數(shù)學學院,四川 成都 611756)

1.引言

本文研究如下帶有空間導數(shù)型冪非線性項的時間分數(shù)階σ-發(fā)展方程的Cauchy問題

分數(shù)階微分方程相對于整數(shù)階微分方程,適用于刻畫具有記憶和遺傳性質的材料和過程,有助于解決在面對復雜系統(tǒng)和復雜現(xiàn)象時整數(shù)階方程遇到的困難.因此關于分數(shù)階微分方程的研究受到了國內外學者的廣泛關注.本文所研究的問題(1.1)可以看作是經典的熱方程和波動方程相應問題的推廣[1,12?14].

當α=0,σ=1,γ=0時,對于如下半線性熱傳導方程的Cauchy問題

文[1]研究了問題(1.2)解的整體存在性及爆破問題,給出了在小初值情形下的臨界指數(shù)=.文[1]證明了p >時問題(1.2)解的整體存在性以及當1

當α ∈(0,1),σ=1,γ=0時,對于如下半線性時間分數(shù)階波動方程的Cauchy問題

文[2]給出了問題(1.3)在小初值情形下解的整體存在性的臨界指數(shù)

證明了當p>pc時,問題(1.3)存在唯一的整體解,而在1

當α ∈(0,1),σ ≥1,γ=0時,對于如下半線性分數(shù)階σ-發(fā)展方程的Cauchy問題

其中m ≥0,p >1.文[3]研究了非線性項指數(shù)p以及質量項對問題(1.4)解的整體存在性的影響,在初值具不同正則性條件下,給出了非線性項冪指數(shù)p的范圍,利用整體迭代法證明了在小初值條件下解的整體存在唯一性.

受已有關于半線性分數(shù)階發(fā)展方程研究結果的啟發(fā),本文考慮非線性項為|?γu|p的情形,當γ=1時,問題(1.1)在一定條件下對應Hamilton-Jacobi方程,其研究見文[8-9,11].本文主要目標是研究在小初值條件下,非線性項指數(shù)p對問題(1.1)解的整體存在性的影響.利用改進的Bessel函數(shù)得到相應線性齊次問題解的能量估計,通過整體迭代法,研究非線性項指數(shù)滿足一定條件的情況下解的整體存在唯一性.在特殊情形下,本文所得到的非線性項指數(shù)p的極限情形與問題(1.2)得到的臨界指數(shù)一致.文章安排如下: 第二節(jié)給出本文主要結論,證明結論所需的線性估計和引理在第三節(jié)給出,之后在第四節(jié)給出本文主要結論的證明.

2.主要結論

在給出主要結論之前,先介紹本文使用的符號.

記Hk,q(Rn),k ≥0,q ∈[1,∞]為Sobolev空間,定義為

記˙Hk,q(Rn),k ≥0,q ∈[1,∞]為齊次Sobolev空間,定義為

記f?g表示存在正常數(shù)C,使得f ≤Cg.

下面給出本文主要結論.

那么存在ε>0,δ >0,使得對任意初值滿足‖u0‖Hγ,r∩Hγ,∞≤ε時,問題(1.1)存在唯一整體解

且對q ∈[r,],解有估計

那么存在ε>0使得對任意初值滿足時,問題(1.1)存在唯一整體解

且對于q ∈[r,∞]解滿足以下估計

注2.1令問題(1.1)中α →0+,r=1,σ=1,γ=0,有,這與文[1]中得到的臨界指數(shù)一致.

3.預備知識

由于假設ut(0,x)=0,那么問題(1.1)可以通過關于時間做積分寫成如下問題

其中α ∈(0,1),σ ≥1.那么問題(1.1)的解與問題(3.1)的解一致.由文[3]可知,問題(3.1)解可表為

這里{Gα,σ(t)}t≥0表示的是由傅里葉變換定義的半群算子

由(3.2)可以得到齊次問題(3.5)解可表為

現(xiàn)對于上述線性齊次問題解的估計進行討論.在做線性估計之前,先介紹一些有用的引理.

根據(jù)文[3]中引理7.2,可得

由文[4]中命題5可得

結合(3.9)和(3.10)可以得到(3.8).

命題3.2假設u0∈Hk,r(Rn)∩Hk,∞(Rn),n ≥1,r ≥1,0<α<1,k ≥0.那么對于問題(3.5) 的解

對t ≥0以及任意取定的充分小δ >0,滿足下面的估計

證由引理3.1和引理3.2可得

再根據(jù)引理3.1和命題3.1可得

下面將利用文[3]中命題5.2的證明方法來證明(3.11).當t ∈(0,1]時,在(3.12)中令s=q,可以得到下面的估計

否則,對取定的δ,在(3.13)中令s為以下方程的解

那么可以得到,當t ≥1時,有估計

結合(3.14)和(3.15)可以得到(3.11).

下面介紹在處理非線性項時需要用到的引理.

引理3.3[5]假設a ∈[0,1),b ≥0,那么存在常數(shù)C=C(a,b)>0使得對任意的t>0下面的不等式成立

證利用引理3.3來證明(3.17).令

由于0<1?α<1,θ >1,那么根據(jù)(3.16)可得

將ω(s)帶入Ik,q(t)中,并且由于,那么再次使用(3.16)可以得到

即(3.17)成立.

根據(jù)已經得到的關于問題(1.1)線性齊次問題解的估計,下面研究非線性問題解的整體存在性.

4.主要結論的證明

在證明結論之前,先對本文所利用的整體迭代法進行簡要說明.

對于一個給定空間X,其范數(shù)‖·‖X有限,對?u ∈X,由(1.1)對應線性方程的Cauchy問題定義一個映照

若能證明當ε>0充分小時,存在正常數(shù)C,有

以及P將X映照到自身且具某種壓縮性,那么根據(jù)整體迭代法可知問題(1.1)在X上存在唯一解.

定理2.1的證明對于任意的以及充分小δ >0,可知,存在常數(shù)=(δ)∈(r,∞)使得以下等式成立

對于常數(shù)M >0,定義空間

對任意的u ∈X(T),定義算子

其中ulin=(Gα,σ ?u0)(t,x).下面證明對任意的u,v ∈X(T)有以下不等式成立

下面對Iγ,q(t)進行估計.注意到p(βγ,p,δ ?α)>1當且僅當

此時,令上式中q分別為r,帶入X(T)范數(shù)定義中可得

因此(4.2)成立.

下面證明(4.3).令q ∈[r,],設u,v ∈X(T),p′是p的共軛指數(shù),那么由Hlder不等式可得

令上式中q分別為r,可得

綜上有

則存在充分小δ >0,使得對任意[r,∞]有

因此,在這種情形下,

對于常數(shù)M >0,定義空間

對任意的u ∈X(T),定義算子

其中ulin=(Gα,σ ?u0)(t,x).下面證明對任意的u,v ∈X(T)有以下不等式成立

首先證明(4.7).對于‖ulin‖X(T),由式(3.11)可得

因此,由(4.9)及βγ,pq ≥βγ,p,對于q ∈[r,∞]有

由(3.4),(3.8),(3.11)以及(4.10),對于t ∈[0,T],q ∈[r,∞]有

將上式帶入(4.11)可得

此時,令上式中q分別等于r,∞帶入X(T)范數(shù)定義中可得

那么(4.7)成立.

下面證明(4.8).令q ∈[r,∞],p′是p的共軛指數(shù),那么對任意u,v ∈X(T),由Hlder 不等式,同定理2.1的證明可得

令上式中q分別等于r,∞可得

即(4.8)成立.且上述證明過程中不等式的常系數(shù)均不依賴于T,令T →∞,則問題(1.1)存在唯一整體解