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基于改進(jìn)貝葉斯的重型數(shù)控機(jī)床可靠性研究

2023-02-15 08:40:16陳紅霞張俊峰馬愛(ài)博李宏悅李晨光
關(guān)鍵詞:參數(shù)估計(jì)貝葉斯數(shù)控機(jī)床

陳紅霞,張俊峰*,馬愛(ài)博,李宏悅,李晨光

(1. 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 呼和浩特 010051;2. 內(nèi)蒙古自治區(qū)先進(jìn)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 呼和浩特 010051)

重型數(shù)控機(jī)床對(duì)現(xiàn)代軍工、航天、船舶、軌道交通、發(fā)電設(shè)備等重工業(yè)發(fā)展有重要意義[1]。目前,研究人員大多借鑒中小型數(shù)控機(jī)床的可靠性模型對(duì)重型數(shù)控機(jī)床進(jìn)行可靠性分析[2]。重型數(shù)控機(jī)床具有加工工況復(fù)雜、故障溯源困難、維護(hù)成本較高、故障樣本數(shù)據(jù)匱乏等特點(diǎn),這對(duì)重型數(shù)控機(jī)床的可靠性評(píng)估及后續(xù)研究都造成極大困難[3]。小樣本數(shù)據(jù)下的重型機(jī)床可靠性評(píng)估,是目前可靠性研究的一個(gè)難題[4]。

數(shù)控機(jī)床的可靠性研究最早開始于20 世紀(jì)70 年代[5],前蘇聯(lián)專家對(duì)建立機(jī)床參數(shù)模型和機(jī)床工藝可靠性方面進(jìn)行了相關(guān)研究[6]。近些年來(lái),一些專家將貝葉斯理論引入小樣本條件下的重型數(shù)控機(jī)床可靠性建模[7],根據(jù)先驗(yàn)信息和主觀經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行模型參數(shù)估計(jì)[8]。文獻(xiàn)[9]采用威布爾雙參數(shù)和三參數(shù)分布對(duì)重型數(shù)控機(jī)床零部件或系統(tǒng)建模[9]。文獻(xiàn)[10]采用極大似然估計(jì)法和Edgeworth 級(jí)數(shù)法對(duì)重型數(shù)控機(jī)床的故障模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì),并解釋參數(shù)估計(jì)結(jié)果與數(shù)據(jù)擬合的關(guān)系。文獻(xiàn)[11]利用第二類極大似然方法得到折合因子的貝葉斯估計(jì)[11]。文獻(xiàn)[12]在馬爾科夫鏈蒙特卡洛方法(Markov Chain Monte Carlo, MCMC)方法的基礎(chǔ)上針對(duì)數(shù)據(jù)的多源性,建立多源異種數(shù)據(jù)融合模型,為小樣本的可靠性建模提供新思路。上述研究對(duì)小樣本數(shù)據(jù)下的可靠性建模問(wèn)題提出了不同的方法,給重型數(shù)控機(jī)床可靠性建模及評(píng)估奠定了理論基礎(chǔ)。

本文基于改進(jìn)的貝葉斯方法對(duì)重型數(shù)控機(jī)床進(jìn)行可靠性建模與評(píng)估。首先,選取雙參數(shù)的威布爾分布對(duì)機(jī)床故障數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,采用極大似然參數(shù)估計(jì)法和貝葉斯參數(shù)估計(jì)法對(duì)可靠性模型求解。其次,對(duì)傳統(tǒng)的貝葉斯估計(jì)法進(jìn)行改進(jìn),得到分層貝葉斯模型,通過(guò)對(duì)比分析及仿真實(shí)驗(yàn),證明改進(jìn)后的貝葉斯模型在小樣本數(shù)據(jù)條件下更具有優(yōu)越性。最后,利用分層貝葉斯模型對(duì)該機(jī)床進(jìn)行可靠性評(píng)估,得到其理論故障間隔時(shí)間。

1 數(shù)控機(jī)床的可靠性模型參數(shù)估計(jì)

1.1 傳統(tǒng)可靠性模型

一般地,對(duì)系統(tǒng)建立可靠性模型均采用雙參數(shù)威布爾分布。以重型數(shù)控機(jī)床故障間隔時(shí)間為參數(shù),經(jīng)過(guò)變換得到服從威布爾分布的可靠性模型。此時(shí),機(jī)床可靠性服從威布爾分布的概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)分別為:

式中,m和η 分別為威布爾分布的形狀參數(shù)和尺度參數(shù);t為機(jī)床的故障時(shí)間。

1.2 極大似然估計(jì)法

一般地,采用極大似然估計(jì)對(duì)分布函數(shù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。當(dāng)已知分布模型中有未知參數(shù)θ1,θ2,···,θk時(shí),可以建立似然函數(shù)表達(dá)式:

式中,ti為實(shí)際采集的數(shù)據(jù)子樣(i=1, 2, ···,n)。

在威布爾分布模型中,未知參數(shù)為m和η,將式(1)的威布爾分布概率密度函數(shù)代入式(3)中,建立的極大似然函數(shù)為:

1.3 基于貝葉斯理論的參數(shù)估計(jì)

由貝葉斯參數(shù)估計(jì)理論可知,在對(duì)分布函數(shù)的參數(shù)估計(jì)中,所有未知參數(shù)都被認(rèn)為是隨機(jī)變量。求解待估參數(shù)值時(shí),需要先根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)和主觀經(jīng)驗(yàn)設(shè)定其模型的先驗(yàn)分布,進(jìn)而求出參數(shù)估計(jì)結(jié)果。其中,先驗(yàn)分布的選擇優(yōu)劣會(huì)直接影響模型參數(shù)估計(jì)的精度。

基于貝葉斯理論對(duì)重型數(shù)控機(jī)床建立可靠性模型,具體思路為在研究對(duì)象樣本數(shù)據(jù)和先驗(yàn)信息的基礎(chǔ)上,建立其貝葉斯模型,計(jì)算模型參數(shù)的后驗(yàn)分布并得出相應(yīng)的概率分布。

結(jié)合貝葉斯定理分析可知,分布模型參數(shù)的后驗(yàn)分布可以表示為:

式中,θ 為待估計(jì)的參數(shù);y為基于觀測(cè)數(shù)據(jù)的信息;P(θ)為 參 數(shù) θ 的先驗(yàn) 概 率;P(y|θ)是設(shè)定 參 數(shù)θ 條件下的數(shù)據(jù)所服從的后驗(yàn)分布;P(y|θ)/P(y)為事件y對(duì)參數(shù)設(shè)定的支持程度,即似然函數(shù)。

因?yàn)檎龖B(tài)分布是威布爾分布的共軛先驗(yàn)分布模型,所以設(shè)定威布爾分布的參數(shù)m和η 服從正態(tài)分布,這里用N來(lái)表示。

經(jīng)過(guò)推導(dǎo),得到重型機(jī)床基于貝葉斯理論的可靠性模型,如式(10)所示:

1.4 層次貝葉斯模型

為了優(yōu)化貝葉斯參數(shù)估計(jì)的方法,將待估參數(shù)的先驗(yàn)分布進(jìn)一步分化,得到層次貝葉斯模型。層次貝葉斯模型理論上可以分為N層,但隨著分化層數(shù)的增加,模型的計(jì)算效率逐漸降低。為了保證計(jì)算效率,采用兩層貝葉斯模型進(jìn)行分析。

由一般貝葉斯模型可知,m~N(α1,β1)為參數(shù)m的先驗(yàn)分布, η~N(α2,β2) 為 參數(shù) η的先驗(yàn)分布。將α2~unif(α1′,β1′),β2~unif(α2′,β2′)分別作為參數(shù)m, η 的先驗(yàn)分布,這樣就得到了更進(jìn)一層的貝葉斯模型,這里稱 α2,β2為超參數(shù),unif 表示均勻分布,表達(dá)如下:

經(jīng)過(guò)上式推導(dǎo),即可得到基于層次貝葉斯理論的可靠性模型。

1.5 貝葉斯模型的求解方法

求解貝葉斯模型的參數(shù)需要計(jì)算高維積分的邊緣后驗(yàn)分布,而且隨著模型組成的復(fù)雜會(huì)使參數(shù)求解變得更加困難。通過(guò)引入 MCMC 方法對(duì)模型進(jìn)行數(shù)據(jù)模擬、迭代以提升參數(shù)求解的效率。該方法中包含多種抽樣方法,包括Metropolis-Hastings 抽樣方法和 Gibbs 抽樣方法。其中,Metropolis-Hastings抽樣方法更為高效,具體操作流程如圖1 所示。

圖1 蒙特卡洛仿真流程

通過(guò)MCMC 法處理得到模型待估參數(shù)的后驗(yàn)分布,取其期望值作為參數(shù)估計(jì)的結(jié)果,基于排序取分位數(shù)法,可以求出待估參數(shù)的置信區(qū)間。

1.6 參數(shù)估計(jì)結(jié)果分析

為了分析參數(shù)估計(jì)結(jié)果的優(yōu)劣,本文采用統(tǒng)計(jì)學(xué)中的均方根誤差值(normalized root mean square error, NRMSE),NRMSE 值越小則結(jié)果精度更優(yōu)。計(jì)算方法為:

式中:F(ti)是機(jī)床的累計(jì)故障概率,F(xiàn)(ties)是將參數(shù)估計(jì)值代入累積故障概率函數(shù)后所得到的累積故障概率值。

2 建立重型數(shù)控機(jī)床的可靠性模型

重型機(jī)床故障數(shù)據(jù)樣本量較小、數(shù)據(jù)跨度較大、故障發(fā)生具有不確定性,若采用一般統(tǒng)計(jì)學(xué)方法無(wú)法對(duì)此類問(wèn)題進(jìn)行有效分析,本文基于貝葉斯理論進(jìn)行分析,可以一定程度優(yōu)化分析結(jié)果。

2.1 故障數(shù)據(jù)預(yù)處理

本文采集某企業(yè)近3 年內(nèi),某型號(hào)重型數(shù)控機(jī)床的停機(jī)維修記錄共58 條。通過(guò)數(shù)據(jù)預(yù)處理,得到該機(jī)床的故障間隔時(shí)間,其中部分結(jié)果為22 h,23 h,24 h,···,912 h,936 h,1 248 h。

2.2 參數(shù)估計(jì)結(jié)果

將故障間隔時(shí)間代入機(jī)床的雙參數(shù)威布爾分布可靠性模型中,利用最大似然參數(shù)估計(jì)法和貝葉斯參數(shù)估計(jì)法分別對(duì)分布模型的參數(shù)進(jìn)行求解。采用最大似然參數(shù)估計(jì)法得到的結(jié)果如表1 所示,用下標(biāo)MLE 來(lái)表示。

表1 最大似然參數(shù)估計(jì)結(jié)果

將機(jī)床的故障間隔時(shí)間從大到小排列,代入式(13)所示的中位秩公式:

計(jì)算該重型機(jī)床實(shí)際的累計(jì)失效概率密度,得到其點(diǎn)位分布圖,如圖2 所示。

圖2 樣本的數(shù)據(jù)點(diǎn)分布圖

將參數(shù)估計(jì)結(jié)果代入機(jī)床的可靠性模型,得到基于威布爾分布的機(jī)床擬合累計(jì)失效概率曲線,如圖3 所示,圖中虛線為95%置信區(qū)間的上下限。通過(guò)比較兩條曲線的重合度來(lái)分析模型的擬合精度。

圖3 最大似然估計(jì)下的威布爾模型分布函數(shù)

由圖3 可知,通過(guò)極大似然估計(jì)得到的機(jī)床可靠性模型分布曲線,部分與參考數(shù)據(jù)點(diǎn)位重合,沒(méi)有重合的部分也基本分布在置信區(qū)間內(nèi)。

基于貝葉斯理論得到的參數(shù)估計(jì)結(jié)果如表2 所示,其中,用下標(biāo)GBR 表示一般貝葉斯參數(shù)估計(jì)的結(jié)果,用下標(biāo)HBR 表示分層貝葉斯參數(shù)估計(jì)的結(jié)果。

表2 一般貝葉斯和層次貝葉斯參數(shù)估計(jì)結(jié)果

通過(guò)對(duì)參數(shù)進(jìn)行多層迭代,輸入不同的初始值,構(gòu)造馬爾科夫鏈然后觀察其抽樣迭代過(guò)程是否收斂,運(yùn)算迭代過(guò)程如圖4、圖5 所示。將α1=1,α2=200,β1=β2=0.5代 入 式(10),α1=1,β1=0.5,α1′=α2′=0,β1′=100,β2′=1代入式(11),得到待估參數(shù)的后驗(yàn)分布,如圖6、圖7 所示。

圖4 基于一般貝葉斯模型的仿真迭代軌跡圖

圖5 基于分層貝葉斯模型的仿真迭代軌跡圖

圖6 基于一般貝葉斯模型的參數(shù)后驗(yàn)分布概率密度函數(shù)

圖7 基于分層貝葉斯模型的參數(shù)后驗(yàn)分布概率密度函數(shù)

從待估參數(shù)的后驗(yàn)分布圖中可以看出,分層貝葉斯參數(shù)估計(jì)的結(jié)果更加集中。將參數(shù)估計(jì)結(jié)果分別代入式(1)、式(13)中,得到圖8、圖9 所示的分布曲線。由此可知,貝葉斯模型與傳統(tǒng)的模型相比,其擬合曲線與真實(shí)數(shù)據(jù)的重合度更高。

圖8 一般貝葉斯估計(jì)下的曲線分布

圖9 分層貝葉斯估計(jì)下的曲線分布

2.3 結(jié)果分析

將機(jī)床的3 種可靠性模型代入式(12),計(jì)算得到NRMSE 值,結(jié)果分別為MLE=0.097 1,GBR=0.121 0,HBR=0.090 0。對(duì)比結(jié)果可知:分層貝葉斯模型相對(duì)于其他兩個(gè)模型來(lái)說(shuō)誤差值更小,數(shù)據(jù)擬合效果更優(yōu);基于極大似然估計(jì)法模型的NRMSE值低于一般貝葉斯模型的NRMSE 值。雖然此處傳統(tǒng)可靠性模型精度比一般貝葉斯模型更優(yōu),可是隨著經(jīng)驗(yàn)信息的豐富,優(yōu)化參數(shù)先驗(yàn)信息的設(shè)定后,可以逐漸改善參數(shù)估計(jì)的精確性。

2.4 不同樣本量下的3 種參數(shù)估計(jì)方法對(duì)比

改變數(shù)據(jù)樣本的容量,分別使用上述3 種參數(shù)估計(jì)方法,經(jīng)過(guò)計(jì)算求出不同樣本容量下的標(biāo)準(zhǔn)均方根誤差值,結(jié)果如圖10 所示。

圖10 不同樣本量下的建模NRMSE 值

從圖中可以看出,隨著樣本容量的增加,經(jīng)過(guò)3 種參數(shù)估計(jì)方法得到的可靠性模型NRMSE 值均在下降,說(shuō)明建模誤差在降低,精度越來(lái)越好,當(dāng)數(shù)據(jù)量趨于大數(shù)據(jù)樣本時(shí),貝葉斯方法依然有良好的可靠性。但當(dāng)數(shù)據(jù)量較小時(shí),其NRMSE 值更小,分層貝葉斯參數(shù)估計(jì)法有顯著優(yōu)勢(shì)。特別是在樣本量趨于0 時(shí),基于極大似然估計(jì)建模得到的NRMSE 值近似于1,而基于貝葉斯理論建模得到NRMSE 值依然小于1,說(shuō)明在樣本量很小時(shí),傳統(tǒng)的方法幾乎失去精確性,而基于貝葉斯理論得到的結(jié)果依然有效。綜上所述,在數(shù)據(jù)量不足時(shí),分層貝葉斯模型的擬合效果更優(yōu)。

2.5 仿真驗(yàn)證

基于matlab 軟件,將服從形狀參數(shù)Beta=2 及尺度參數(shù)Eta=1 的雙參數(shù)威布爾分布函數(shù)隨機(jī)篩選10 組數(shù)據(jù),把產(chǎn)生的小樣本量代入到3 種參數(shù)估計(jì)方法中,得到表3 的結(jié)果。

表3 仿真估計(jì)結(jié)果對(duì)比

經(jīng)過(guò)仿真分析也可以驗(yàn)證分層貝葉斯在進(jìn)行小樣本參數(shù)估計(jì)方面的優(yōu)勢(shì),其估計(jì)的參數(shù)相對(duì)來(lái)說(shuō)最接近真實(shí)值。

3 可靠性評(píng)估

平均故障間隔時(shí)間(mean time between failures,MTBF)是常用的可靠性評(píng)價(jià)指標(biāo)之一,是指產(chǎn)品從發(fā)生故障到下一次發(fā)生故障的平均工作時(shí)間,其表達(dá)式為:

式中,f(t)為概率密度函數(shù)。

將層次貝葉斯參數(shù)估計(jì)結(jié)果代入式(14)后,求得機(jī)床平均故障間隔時(shí)間為M TBF=210.215 h。分析可知,計(jì)算得到的MTBF 值小于所采集數(shù)據(jù)中的最大值1 248.000 h,210.215 h 大于所采集數(shù)據(jù)中的60%,經(jīng)過(guò)排序分析處于中上位置。由此可見,平均故障間隔時(shí)間對(duì)于機(jī)床預(yù)防故障和維修保養(yǎng)有參考意義,說(shuō)明了貝葉斯理論對(duì)于重型機(jī)床可靠性建模的有效性。

4 結(jié) 束 語(yǔ)

本文在重型數(shù)控機(jī)床故障數(shù)據(jù)小樣本條件下,基于貝葉斯理論建立服從威布爾分布的可靠性模型,并對(duì)傳統(tǒng)貝葉斯模型進(jìn)行改進(jìn),得到分層貝葉斯模型。引入MCMC 算法求解貝葉斯模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果,對(duì)比極大似然估計(jì)法與貝葉斯參數(shù)估計(jì)的優(yōu)劣,結(jié)果顯示這兩種參數(shù)估計(jì)結(jié)果近似,但貝葉斯參數(shù)估計(jì)法得到的參數(shù)置信區(qū)間更窄。采用NRMSE 分析參數(shù)估計(jì)結(jié)果精度,隨著樣本數(shù)據(jù)容量增大,傳統(tǒng)參數(shù)估計(jì)法與貝葉斯參數(shù)估計(jì)法趨于一致,當(dāng)數(shù)據(jù)樣本較小時(shí),分層貝葉斯模型得到的建模精度更高。對(duì)貝葉斯理論模型進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),結(jié)果表明貝葉斯參數(shù)估計(jì)是有效的。利用貝葉斯可靠性模型對(duì)該重型數(shù)控機(jī)床進(jìn)行可靠性評(píng)估,在機(jī)床故障數(shù)據(jù)小樣本條件下,其評(píng)估結(jié)果更精確有效,對(duì)重型數(shù)控機(jī)床的可靠性研究有重要意義。

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