王繼爭(zhēng)，王 成,2+，陳建偉，李海波，賴(lài)雄鳴，王 鑫，何 霆

(1.華僑大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，福建 廈門(mén) 361021；2.西安交通大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710049；3.圣地亞哥州立大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，美國(guó) 加利福尼亞州 圣地亞哥 92182；4.華僑大學(xué) 機(jī)電及自動(dòng)化學(xué)院，福建 廈門(mén) 361021)

0 引言

結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析的主要問(wèn)題之一就是工作模態(tài)分析，識(shí)別如模態(tài)振型、阻尼比、固有頻率等模態(tài)參數(shù)，多年來(lái)，模態(tài)分析被廣泛地應(yīng)用于線(xiàn)性動(dòng)力系統(tǒng)的特征分析。盲源分離(Blind Source Separation, BSS)目的是在不了解混合過(guò)程和源信號(hào)的情況下，將源信號(hào)從混合信號(hào)中分離出來(lái)，BSS技術(shù)由于其直觀(guān)、計(jì)算效率高、非參數(shù)化等優(yōu)點(diǎn)被越來(lái)越多的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)研究人員關(guān)注，并將其引入到僅通過(guò)系統(tǒng)響應(yīng)信號(hào)識(shí)別模態(tài)參數(shù)問(wèn)題當(dāng)中。

基于獨(dú)立分量分析[1-2]、二階盲識(shí)別[3]等傳統(tǒng)的BSS工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法，建立了分離成分和模態(tài)參數(shù)之間的映射關(guān)系，但這些方法基本假設(shè)在正定或超定(即觀(guān)測(cè)傳感器數(shù)等于或大于模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)個(gè)數(shù))情況下，其在實(shí)際工程應(yīng)用中存在較大的局限性，例如成本和安裝傳感器困難等問(wèn)題，基于傳統(tǒng)的BSS工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法無(wú)法應(yīng)用于欠定工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別中。因此，對(duì)于開(kāi)發(fā)用于結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)分析的欠定盲源分離(Underdetermined Blind Source Separation, UBSS)技術(shù)，在有限傳感器的情況下處理識(shí)別高階模態(tài)具有十分重要的研究意義。

稀疏成分分析(Sparse Component Analysis, SCA)為解決欠定盲源問(wèn)題提供了有效的方法[4-5]，并且近年來(lái)SCA在欠定工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別中也得到了廣泛的應(yīng)用[6-7]。SCA的主要假設(shè)是源信號(hào)在時(shí)域或轉(zhuǎn)換域稀疏，由于大多數(shù)信號(hào)在時(shí)域非稀疏，SCA通常通過(guò)變換域的稀疏實(shí)現(xiàn)，基于短時(shí)傅里葉變換(Short Time Fourier Transform, STFT)[8]、離散余弦變換(Discrete Cosine Transform, DCT)[9]、小波變換(Wavelet Transform, WT)[10]等正交基稀疏變換方法已經(jīng)成功應(yīng)用于模態(tài)參數(shù)識(shí)別。SCA方法主要由兩步法組成：混合矩陣估計(jì)和源信號(hào)恢復(fù)。第一步在源信號(hào)的混合方式和數(shù)目未知的情況下，利用正交基將時(shí)域響應(yīng)信號(hào)轉(zhuǎn)換到頻域或時(shí)頻域，并使用單源點(diǎn)檢測(cè)和聚類(lèi)算法對(duì)混合矩陣進(jìn)行估計(jì)得到模態(tài)振型[11-12];第二步在第一步的基礎(chǔ)上，由已知的混合矩陣?yán)肔1范數(shù)最小化[13-14]以及光滑L0范數(shù)[8]等方法重構(gòu)源信號(hào)得到模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)，最后利用單自由度技術(shù)從模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)中提取固有頻率和阻尼比?；赟CA的欠定工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法主要依賴(lài)信號(hào)在稀疏變換域的稀疏性進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，對(duì)稀疏性要求較高，但正交基變換方法往往不能使信號(hào)在變化域足夠稀疏[14]，使得模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)的重構(gòu)精度降低，并且基于L1范數(shù)最小化等模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)重構(gòu)方法對(duì)噪聲敏感。

近年來(lái)，壓縮感知(Compressed Sensing, CS)[16]理論已經(jīng)成為研究的熱點(diǎn)，在健康監(jiān)測(cè)[17]和源信號(hào)重構(gòu)[18-19]等方面都得到了廣泛的應(yīng)用。CS技術(shù)將信號(hào)采集和數(shù)據(jù)壓縮相結(jié)合，可以利用部分采樣信號(hào)高概率的重構(gòu)源信號(hào)。在UBSS模型中，欠定混合過(guò)程類(lèi)似于壓縮采樣，根據(jù)UBSS與CS的等效模型，可以利用CS技術(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)欠定盲源分離問(wèn)題，并且CS為信號(hào)的稀疏表示提供了強(qiáng)大的框架[20]，促進(jìn)了UBSS的快速發(fā)展。BLUMENSATH等[21]建立了BSS和CS之間的聯(lián)系，并指出搜索信號(hào)的稀疏字典是有效分離的關(guān)鍵?；趬嚎s感知的源信號(hào)恢復(fù)方法，利用稀疏字典對(duì)源信號(hào)進(jìn)行稀疏表示，然后結(jié)合CS的稀疏系數(shù)重構(gòu)算法可以較好地重構(gòu)源信號(hào)。

壓縮感知的稀疏表示方法主要分為兩種：

(1)通過(guò)STFT、DCT、WT等來(lái)獲得稀疏表示字典，為一種固定正交基字典策略。XU等[20]首先利用固定正交基字典開(kāi)發(fā)了基于CS的框架，利用CS和固定正交基字典進(jìn)行盲源分離，但由于固定正交基字典稀疏表示能力的限制，其源分離的效果較差。GUAN等[22]提出了基于壓縮感知的欠定工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法，通過(guò)正交基變換對(duì)模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)進(jìn)行稀疏表示，當(dāng)信號(hào)在正交基稀疏變換較差時(shí)，其識(shí)別的模態(tài)參數(shù)效果也較差。

(2)自適應(yīng)稀疏字典學(xué)習(xí)方法[23-24]，通過(guò)字典學(xué)習(xí)得到的字典原子具有不同信號(hào)的特征，對(duì)信號(hào)具有更強(qiáng)的稀疏表示能力。余豐等[18]將CS和字典學(xué)習(xí)方法相結(jié)合用于欠定盲源分離，但該方法需要源信號(hào)的先驗(yàn)信息作為字典學(xué)習(xí)的訓(xùn)練樣本，限制了字典學(xué)習(xí)方法在BSS上的應(yīng)用。在文獻(xiàn)[25-26]中，通過(guò)使用混合信號(hào)構(gòu)造訓(xùn)練樣本(Mixture-Trained Dictionary, MTD)以及利用DCT字典進(jìn)行預(yù)分離構(gòu)造訓(xùn)練樣本(Estimated Source-Trained Dictionary, ESTD)等方法來(lái)實(shí)現(xiàn)無(wú)監(jiān)督的字典學(xué)習(xí)，但這些方法從每個(gè)源捕獲的特征不那么準(zhǔn)確，從而導(dǎo)致源信號(hào)重構(gòu)精度較低。

本文將自適應(yīng)字典引入基于壓縮感知的欠定工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別中，并利用濾波分離方法構(gòu)造字典學(xué)習(xí)的訓(xùn)練樣本，提出了一種基于自適應(yīng)字典壓縮感知(Adaptive Dictionary Compressed Sensing, ADCS)的欠定工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法。

1 基于壓縮感知的欠定工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別

1.1 工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別理論

在振動(dòng)學(xué)理論中，對(duì)于ndof自由度(Degree of Freedom, DOF)的線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，運(yùn)動(dòng)控制方程可以寫(xiě)為：

(1)

振動(dòng)位移響應(yīng)X(t)=[x1(t),…,xndof(t)]T可以在模態(tài)坐標(biāo)中分解為

(2)

式中：Φ∈Rndof×ndof為模態(tài)振型矩陣，每一列向量代表結(jié)構(gòu)的某一階振型，即Φ=[φ1,…,φndof]T；Q(t)=[q1(t),…,qndof(t)]T為各階模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)。結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)時(shí)各階模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)可以表示為:

qi(t)=uie-ξiωitcos(ωit+θi),i=1,…,ndof。

(3)

式中：ωi和ξi分別是第i階振型的頻率和阻尼比；ui和θi是初始條件下的常數(shù)，工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別的目的即從已知的結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號(hào)X(t)中分解得到未知的模態(tài)振型Φ和模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)矩陣Q(t)，然后利用單自由度技術(shù)從Q(t)中提取得到固有頻率ω和阻尼比ξ。

工程中，觀(guān)測(cè)信號(hào)X(t)由n個(gè)位移傳感器測(cè)得。此時(shí)，需要從理論模態(tài)振型矩陣Φ中抽取n個(gè)振動(dòng)響應(yīng)傳感器位置對(duì)應(yīng)的行組成工程模態(tài)振型矩陣Φ∈Rn×ndof。

傳感器個(gè)數(shù)n與系統(tǒng)自由度ndof之間的關(guān)系可以分為3種情況：①當(dāng)n>ndof，表示超定情況；②當(dāng)n=ndof，表示正定情況；③當(dāng)n

1.2 欠定盲源分離

欠定盲源分離的任務(wù)是利用觀(guān)測(cè)信號(hào)對(duì)信源進(jìn)行恢復(fù)，在不考慮噪聲的情況下，欠定盲源分離問(wèn)題的線(xiàn)性瞬時(shí)混合模型如式(4)和圖1所示。

(4)

式中：A=Rn×m表示混合矩陣并且未知，X(t)∈Rn×T表示離散時(shí)間n個(gè)觀(guān)測(cè)信號(hào)在T個(gè)時(shí)刻帶來(lái)的采樣樣本，S(t)∈Rm×T代表m個(gè)源信號(hào)在T個(gè)時(shí)刻點(diǎn)上的采用樣本組成的矩陣。在欠定情況下，觀(guān)測(cè)信號(hào)個(gè)數(shù)n小于源信號(hào)數(shù)m，即n

式(3)和式(4)在數(shù)學(xué)表達(dá)式上存在相似性，其中模態(tài)振型矩陣Φ對(duì)應(yīng)混合矩陣A，模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)矩陣Q(t)對(duì)應(yīng)源信號(hào)S(t)。因此，UBSS技術(shù)可以較好地應(yīng)用于欠定工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別，對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖2所示。

1.3 基于壓縮感知的欠定工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別模型

首先利用短時(shí)傅里葉變換將響應(yīng)信號(hào)從時(shí)域變換到時(shí)頻域，并結(jié)合單源點(diǎn)檢測(cè)(Single-Source Points, SSPs)技術(shù)[27]和模糊C均值聚類(lèi)(Fuzzy C-Means, FCM)[8]算法可以估計(jì)混合矩陣得到模態(tài)振型。在已知混合矩陣的基礎(chǔ)上，UBSS模型和CS模型都是求解欠定線(xiàn)性方程組問(wèn)題，將UBSS模型式(4)展開(kāi)如下：

(5)

得到混合矩陣A后，可以將UBSS模型重構(gòu)為CS模型，將式(5)改寫(xiě)為

(6)

式中Λij是以aij對(duì)角的T×T的對(duì)角矩陣，即

(7)

式(6)可以表示為

y=Λθ。

(8)

式(8)正是經(jīng)典的壓縮感知模型，Λ為測(cè)量矩陣，Λ∈RnT×mT；y為源信號(hào)θ的測(cè)量向量，y為nT×1的列向量；θ為mT×1的列向量，假設(shè)θ在字典D上可以稀疏表示，即

θ=Dg。

(9)

其中：D為一個(gè)稀疏表示字典，g為θ在D域的稀疏變換系數(shù)。結(jié)合式(8)和式(9)可以得到

y=ΛDg。

(10)

根據(jù)CS理論，若Λ和D約束等距性條件(Restricted Isometry Property, RIP)，且g在D域中是稀疏的，通過(guò)正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)算法求解式(10)得到稀疏系數(shù)g。

min||g||0。

(11)

將求得的稀疏系數(shù)g代入式(9)得到源信號(hào)，即可重構(gòu)得到模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)，然后利用單自由度技術(shù)可以得到固有頻率和阻尼比。

2 基于自適應(yīng)字典壓縮感知的欠定工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法

2.1 自適應(yīng)字典學(xué)習(xí)

傳統(tǒng)的稀疏表示方法是利用信號(hào)在正交基字典的稀疏性對(duì)信號(hào)進(jìn)行稀疏表示，往往不能使信號(hào)在變換域足夠稀疏，因此尋找信號(hào)的更稀疏表示域成為分離源信號(hào)的關(guān)鍵，本文使用K均值奇異值分解(K-means Singular Value Decomposition,K-SVD)算法和層次耦合字典訓(xùn)練策略訓(xùn)練得到自適應(yīng)字典。

2.1.1 基于K-SVD的字典學(xué)習(xí)

K-SVD對(duì)于給定的一組訓(xùn)練信號(hào)，通過(guò)求解最優(yōu)化問(wèn)題實(shí)現(xiàn)源信號(hào)的稀疏表示，在稀疏約束條件下訓(xùn)練得到自適應(yīng)字典，相比正交基固定字典能夠自適應(yīng)地根據(jù)訓(xùn)練信號(hào)提取其特征，具有較強(qiáng)的稀疏表示能力。

字典學(xué)習(xí)基本思想是基于估計(jì)源信號(hào)的訓(xùn)練字典和基于當(dāng)前字典之間更新交替的過(guò)程，隨著字典自學(xué)習(xí)過(guò)程的不斷深入，經(jīng)過(guò)訓(xùn)練的字典對(duì)源信號(hào)的擬合性越來(lái)越好，從而提高源信號(hào)的分離精度。

K-SVD的算法模型描述為：

s.t.

?k,||γk||0≤q。

(12)

式中：T為由訓(xùn)練信號(hào)組成的訓(xùn)練樣本矩陣；D為訓(xùn)練字典；Γ為稀疏系數(shù)矩陣；γk為Γ的第k列;q為稀疏度，也是OMP算法的迭代次數(shù)。該算法旨在對(duì)字典進(jìn)行迭代改進(jìn)，實(shí)現(xiàn)信號(hào)的稀疏表示。

具體步驟如下：

步驟1字典初始化，從樣本T中隨機(jī)挑選L列作為初始化字典D。

步驟2稀疏編碼，使用OMP算法計(jì)算稀疏系數(shù)。

步驟3字典更新，字典進(jìn)行逐列更新，用Ek表示字典第k列的誤差，則

(13)

式中：dj為字典的第j個(gè)原子，Γj為Γ的第j個(gè)行向量。奇異值分解Ek，有Ek=U∑VT，用U的第一列更新dj，重復(fù)步驟2，對(duì)D進(jìn)行逐列更新。

2.1.2 層次耦合字典訓(xùn)練策略

分別對(duì)m組訓(xùn)練矩陣進(jìn)行自適應(yīng)字典學(xué)習(xí)，訓(xùn)練策略如圖3所示。

K-SVD算法訓(xùn)練得到一個(gè)規(guī)模為L(zhǎng)×L的字典，字典以L(fǎng)/2樣本重疊的對(duì)角形式排列得到規(guī)模為T(mén)×T的自適應(yīng)字典矩陣D1，其他字典D2,…,Dm以同樣的方式生成，最后的字典矩陣將這m個(gè)字典以對(duì)角線(xiàn)排列的形式組成字典D。由于信號(hào)分割成小向量，通常會(huì)出現(xiàn)邊界問(wèn)題，即兩個(gè)不相鄰塊的連接區(qū)域不連續(xù)性導(dǎo)致出現(xiàn)尾影，為了避免這種情況，將向量乘以一個(gè)漢明窗，在邊界處光滑信號(hào)。

因此，式(11)中θ在字典D上的稀疏表示可以表示為：

(14)

式中：gj表示稀疏系數(shù)向量，Dj是sj的稀疏表示自適應(yīng)字典。

2.2 濾波分離構(gòu)造訓(xùn)練樣本

使用字典學(xué)習(xí)方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行稀疏表示很重要的一步就是構(gòu)造字典學(xué)習(xí)的訓(xùn)練樣本，但在工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別中，只有傳感器測(cè)得的響應(yīng)信號(hào)，沒(méi)有任何模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)的先驗(yàn)知識(shí)，即無(wú)法已知源信號(hào)構(gòu)造訓(xùn)練樣本。RUAN等[25]和XU等[26]使用混合信號(hào)以及DCT字典預(yù)分離等方法構(gòu)造訓(xùn)練樣本，但這些方法從每個(gè)源捕獲的特征不那么準(zhǔn)確，導(dǎo)致信號(hào)重構(gòu)精度較低。本文利用濾波分離構(gòu)造訓(xùn)練樣本，實(shí)現(xiàn)無(wú)監(jiān)督的字典學(xué)習(xí)。其步驟為：

步驟1將時(shí)域響應(yīng)信號(hào)xi(t)進(jìn)行傅里葉變換得到頻域響應(yīng)信號(hào)xi(ξ)。

2.3 方法的流程步驟

將測(cè)得的時(shí)域響應(yīng)信號(hào)利用短時(shí)傅里葉(STFT)轉(zhuǎn)換到稀疏域(頻域)，然后利用FCM算法在稀疏域估計(jì)混合矩陣從而得到模態(tài)振型；其次，使用字典學(xué)習(xí)方法訓(xùn)練得到具有更強(qiáng)稀疏表示能力的自適應(yīng)字典，并使用壓縮感知模型恢復(fù)源信號(hào)得到模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)；最后利用單自由度技術(shù)從模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)中提取固有頻率和阻尼比。

本文提出的基于自適應(yīng)字典壓縮感知的欠定工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別的整體步驟如圖5所示。

2.4 方法的理論分析與比較

傳統(tǒng)的二階盲識(shí)(Second-Order Blind Identification, SOBI)[3]等基于BSS的工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法只能識(shí)別出小于或等于傳感器個(gè)數(shù)的模態(tài)參數(shù)，但在實(shí)際工程應(yīng)用中存在較大的局限性?；赟CA[6-7]的欠定工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法利用信號(hào)在正交基稀疏變換域的稀疏性識(shí)別出高于傳感器個(gè)數(shù)的高階模態(tài)，但信號(hào)的稀疏變換效果受到正交基稀疏變換方法的限制，當(dāng)信號(hào)在正交基字典不是足夠稀疏時(shí)，SCA方法識(shí)別精度降低[28]。本文提出的基于自適應(yīng)字典壓縮感知(ADCS)的欠定工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法，利用CS的壓縮重構(gòu)特性[16]識(shí)別出高于傳感器個(gè)數(shù)的高階模態(tài)。在CS框架下通過(guò)K-SVD字典學(xué)習(xí)[23]方法自適應(yīng)提取信號(hào)特征訓(xùn)練得到自適應(yīng)字典，利用層次耦合字典訓(xùn)練策略來(lái)降低字典學(xué)習(xí)的時(shí)間復(fù)雜度，該方法使用自適應(yīng)字典對(duì)信號(hào)進(jìn)行稀疏表示，相比傳統(tǒng)的DCT等正交基變換方法能夠自適應(yīng)根據(jù)訓(xùn)練信號(hào)提取特征，因此具有更高的稀疏變換效果，相比基于正交基壓縮感知[22]的欠定工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法具有更高的識(shí)別精度。ADCS采用濾波分離的方法構(gòu)造自適應(yīng)字典實(shí)現(xiàn)無(wú)監(jiān)督的字典學(xué)習(xí)，并且能夠過(guò)濾掉低幅值分量頻率的高斯白噪聲，相比混合信號(hào)構(gòu)造訓(xùn)練樣本(MTD)和DCT字典預(yù)分離構(gòu)造訓(xùn)練樣本(ESTD)的訓(xùn)練樣本構(gòu)造方法[25-26]能夠更好地捕獲每個(gè)源的特征，具有更好的魯棒性。綜上所述，表1對(duì)不同方法進(jìn)行了比較。

表1 基于ADCS的欠定工作模態(tài)參數(shù)方法與其他工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法的比較

續(xù)表1

3 仿真驗(yàn)證

3.1 仿真對(duì)象和數(shù)據(jù)集介紹

為了驗(yàn)證基于自適應(yīng)字典壓縮感知的欠定工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法的正確性和精度，在MATLAB/Simulink中建立一個(gè)五自由度質(zhì)量—彈簧—阻尼模型[29]，如圖6所示。

如圖6所示的五自由度質(zhì)量—彈簧—阻尼系統(tǒng)的力學(xué)控制方程表示為：

k12x1(t)+(k12+k23)x2(t)-k23x3(t)=f2(t);

k23x2(t)+(k23+k34)x3(t)-k34x4(t)=f3(t);

k34x3(t)+(k34+k45)x4(t)-k45x5(t)=f4(t);

k45x4(t)+(k45+k5)x5(t)=f5(t)。

(15)

這里質(zhì)量矩陣設(shè)置為M=diag([1 2 2 2 3])，剛度系數(shù)分別設(shè)置為k1=0，k12=800，k23=1 600，k34=2 400，k45=3 200，k5=4 000，即剛度矩陣設(shè)置為：

K=

(16)

3.2 參數(shù)設(shè)置

稀疏字典學(xué)習(xí)的樣本構(gòu)造幀長(zhǎng)設(shè)置為L(zhǎng)=250，重疊P=249，分層耦合的分塊序列數(shù)K=4。K-SVD字典學(xué)習(xí)的初始字典用訓(xùn)練樣本表示，迭代次數(shù)為10次;系統(tǒng)：64位操作系統(tǒng);處理器：Intel(R)Core(TM)i5-8250 CPU @ 1.60 Hz 1.80 GHz;已安裝內(nèi)存(RAM)：16 GB;編程語(yǔ)言和環(huán)境：MATLAB 2016a。

3.3 評(píng)價(jià)方法與指標(biāo)

通過(guò)有限元仿真和理論推導(dǎo)的方式得到理論的模態(tài)振型、模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)、固有頻率和阻尼比。

(1)使用模態(tài)置信準(zhǔn)則(Modal Assurance Criterion，MAC)方法評(píng)估模態(tài)振型的識(shí)別精度。

(17)

式中：φi表示理論第i階模態(tài)振型，φi表示識(shí)別的第i階模態(tài)振型，MAC值越接近1,則模態(tài)振型識(shí)別精度越高。

(2)定義相關(guān)系數(shù)評(píng)估重構(gòu)的模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)的精度。

(18)

(3)固有頻率和阻尼比與理論值進(jìn)行比較評(píng)估其識(shí)別精度。

3.4 識(shí)別結(jié)果

在正定情況下，將通道1～通道5的響應(yīng)信號(hào)作為輸入，對(duì)比正交基壓縮感知(DCTCS)、DCT字典預(yù)分離構(gòu)造訓(xùn)練樣本(ESTD)、混合信號(hào)構(gòu)造訓(xùn)練樣本(MTD)、SCA、SOBI等5種方法識(shí)別的模態(tài)參數(shù)，結(jié)果如表3所示。

表3 n=5情況下，不同方法識(shí)別的模態(tài)參數(shù)對(duì)比

在欠定情況下，將通道4和通道5的響應(yīng)信號(hào)作為輸入，ADCS識(shí)別的模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)的相關(guān)系數(shù)(取五階的平均值)隨稀疏度變化如圖8所示。

在欠定情況下，將通道4和通道5的響應(yīng)信號(hào)作為輸入，ADCS的稀疏度設(shè)置為30，與DCTCS、ESTD、MTD、SCA、SOBI等5種方法進(jìn)行對(duì)比，模態(tài)參數(shù)的識(shí)別結(jié)果如表4所示，時(shí)間開(kāi)銷(xiāo)如表5所示。ADCS重構(gòu)的模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)時(shí)域、頻域如圖9所示。

表4 n=2情況下，不同方法識(shí)別的模態(tài)參數(shù)對(duì)比

續(xù)表4

表5 不同方法的時(shí)間開(kāi)銷(xiāo) s

在欠定情況下，給響應(yīng)信號(hào)添加不同信噪比的高斯白噪聲，將通道4和通道5的響應(yīng)信號(hào)作為輸入，對(duì)比SCA方法識(shí)別的模態(tài)參數(shù)，結(jié)果如表6所示。

表6 不同噪聲情況下，SCA和ADCS識(shí)別的模態(tài)參數(shù)對(duì)比

3.5 識(shí)別結(jié)果分析

(1)由表3的識(shí)別結(jié)果可知，在正定情況下，基于ADCS的欠定工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法具有很好的識(shí)別效果，對(duì)比DCTCS方法識(shí)別精度更高。

(2)由圖8可知，ADCS的識(shí)別精度隨稀疏度的增強(qiáng)，識(shí)別精度升高，并在稀疏度小于200時(shí)，識(shí)別精度趨向穩(wěn)定，說(shuō)明在稀疏度較高時(shí)ADCS的識(shí)別精度較好。

(3)由表4和圖9的識(shí)別結(jié)果可知，在欠定情況下，SOBI方法只能識(shí)別出等于傳感器個(gè)數(shù)的模態(tài)模態(tài)參數(shù)，DCTCS、ESTD、MTD方法的模態(tài)參數(shù)識(shí)別效果較差，ADCS可以識(shí)別出高于傳感器個(gè)數(shù)的高階模態(tài)，且比SCA方法具有更高的識(shí)別精度。

(4)由表6的識(shí)別結(jié)果可知，在噪聲情況下，隨著噪聲的增加SCA和ADCS重構(gòu)的模態(tài)響應(yīng)精度降低，但ADCS具有更好的魯棒性。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出一種基于自適應(yīng)字典壓縮感知的欠定工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法。該方法在工作模態(tài)參數(shù)識(shí)別的框架下建立UBSS與CS的統(tǒng)一模型，利用CS特性，識(shí)別出高于傳感器個(gè)數(shù)的高階模態(tài)。在無(wú)任何先驗(yàn)知識(shí)的情況下，濾波分離構(gòu)建得到訓(xùn)練樣本，并使用K-SVD字典學(xué)習(xí)方法訓(xùn)練得到自適應(yīng)字典，實(shí)現(xiàn)無(wú)監(jiān)督的字典學(xué)習(xí)。與傳統(tǒng)正交基字典不同，該算法在壓縮感知框架下利用K-SVD方法學(xué)習(xí)得到自適應(yīng)字典，求出信號(hào)的稀疏表示，對(duì)于信號(hào)的分解有更強(qiáng)的稀疏表示能力，能夠有效地提高模態(tài)參數(shù)的識(shí)別精度。仿真驗(yàn)證結(jié)果表明，對(duì)比傳統(tǒng)SCA、DCTCS、SOBI等方法，本文所提出的方法不但能夠識(shí)別出高于傳感器個(gè)數(shù)的高階模態(tài)，并且模態(tài)參數(shù)識(shí)別精度更高，魯棒性更好。

在未來(lái)工作中將對(duì)比采用更好的濾波分離算法和字典學(xué)習(xí)方法訓(xùn)練得到自適應(yīng)字典，并通過(guò)具體的工程實(shí)例來(lái)驗(yàn)證所提方法的有效性。