張夢(mèng)溪，馬 良，劉 勇

上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海 200093

近年來，優(yōu)化求解問題越來越復(fù)雜，計(jì)算規(guī)模日益增大，同時(shí)許多問題還具有非線性、多極值等特點(diǎn)。牛頓法、梯度下降法等傳統(tǒng)優(yōu)化算法存在依賴梯度信息和求解速度慢等缺陷，已無法滿足求解需求。而元啟發(fā)式算法具有更好的求解能力，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、靈活性高和求解效率高，因此成為了求解復(fù)雜優(yōu)化問題的有力工具。

元啟發(fā)式算法根據(jù)其實(shí)現(xiàn)機(jī)理的不同，大致可以分為三類：基于遺傳進(jìn)化的算法、基于生物種群的算法和基于特定物理機(jī)制實(shí)現(xiàn)的算法[1]?；谶z傳進(jìn)化的算法有遺傳算法（genetic algorithms，GA）[2]；基于生物種群的算法通過模擬自然界中動(dòng)植物的行為實(shí)現(xiàn)尋優(yōu)，例如鯨魚優(yōu)化算法（whale optimization algorithm，WOA）[3]、麻雀搜索算法（sparrow search algorithm，SSA）[4]等；基于物理學(xué)原理所提出的算法有根據(jù)萬有引力定律提出的引力搜索算法（gravitational search algorithm，GSA）[5]、基于多元宇宙理論的多元宇宙優(yōu)化算法（multi-verse optimizer，MVO）[6]等?；谔囟ㄎ锢頇C(jī)制的算法從物理現(xiàn)象出發(fā)，有物理學(xué)原理做基礎(chǔ)，具備良好的搜索效果。

平衡優(yōu)化器算法（equilibrium optimizer，EO）是Faramarzi等人在2019年基于物理原理提出的一種新型啟發(fā)式算法[7]。該算法將搜索種群以不同濃度的粒子表示，粒子的濃度代表優(yōu)化問題的解。同時(shí)，算法提出了平衡池候選解的概念，每次尋優(yōu)根據(jù)平衡池候選解的濃度更新粒子，最終達(dá)到濃度平衡的狀態(tài)，即尋得最優(yōu)解。EO算法具有算法參數(shù)少，易于理解和實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)。算法提出至今，已被應(yīng)用到了電網(wǎng)設(shè)計(jì)[8]和路徑規(guī)劃[9]等諸多領(lǐng)域，是解決復(fù)雜問題的新工具。但是，EO算法在平衡池階段，候選解完全根據(jù)適應(yīng)度值大小進(jìn)行選取，使得平衡池候選解存在一定的相似性，導(dǎo)致種群多樣性降低，易陷入局部最優(yōu)；同時(shí)，算法平衡全局搜索和局部開發(fā)能力的參數(shù)為固定值，可能出現(xiàn)尋優(yōu)不穩(wěn)定的現(xiàn)象；此外，粒子位置更新僅依靠濃度更新公式，使得算法局部搜索能力較強(qiáng)但全局搜索能力較弱，影響算法收斂速度和尋優(yōu)精度。針對(duì)這些問題，國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者相繼對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)。Fan等人利用反向?qū)W習(xí)機(jī)制和新的濃度更新公式，提升了算法的求解精度[10]。劉成漢等人在禁忌搜索策略中引入振蕩算子，使算法跳出局部最優(yōu)[11]。Gupta等人利用高斯變異和新的種群劃分和重構(gòu)機(jī)制改進(jìn)了EO算法[12]。Too等人利用一般學(xué)習(xí)的思想改進(jìn)了平衡池階段的缺陷[13]。Wunnava等人利用拉普拉斯分布的隨機(jī)游動(dòng)改進(jìn)了候選解的質(zhì)量，然后通過反向?qū)W習(xí)加速得到最優(yōu)解[14]。Shankar等人利用對(duì)立學(xué)習(xí)的更新機(jī)制生成新的解空間[15]。Abdel-Basset等人提出了基于線性化簡(jiǎn)分集技術(shù)的新的學(xué)習(xí)機(jī)制，同時(shí)利用局部極小消去法增加了個(gè)體的多樣性，優(yōu)化了算法的性能[16]。Ahmed等人利用了自動(dòng)學(xué)習(xí)機(jī)來尋找適合算法模型的參數(shù)值[17]。李守玉等人首先采用正弦池策略動(dòng)態(tài)平衡算法的探索和開發(fā)能力，然后引入自適應(yīng)優(yōu)先引力策略動(dòng)態(tài)平衡算法的收斂速度和方向[18]。

雖然以上學(xué)者的研究對(duì)EO算法的尋優(yōu)能力有所提升，但在收斂速度、尋優(yōu)精度、平衡局部搜索和全局開發(fā)能力等方面的優(yōu)化潛力仍可以進(jìn)一步挖掘。針對(duì)EO算法的不足，本文提出一種融合濃度平衡和菲克定律的新平衡優(yōu)化器算法（NEO），引入了三種新穎有效的改進(jìn)策略：首先，在平衡池階段引入濃度平衡機(jī)制，將不同濃度的粒子劃分為三個(gè)種群，不同濃度的粒子之間相互影響，提升種群間的信息交流能力，增強(qiáng)搜索種群的多樣性；然后，引入自適應(yīng)調(diào)整的冪函數(shù)自適應(yīng)因子和指數(shù)自適應(yīng)因子，使算法根據(jù)迭代次數(shù)動(dòng)態(tài)調(diào)整參數(shù)，平衡局部搜索和全局開發(fā)能力；最后，從菲克定律得到啟發(fā)，在粒子位置更新處引入擾動(dòng)機(jī)制，改善濃度更新公式，加快收斂速度的同時(shí)提升算法尋優(yōu)精度。本文通過求解24個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)，并將NEO算法與其他智能優(yōu)化算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比來驗(yàn)證算法改進(jìn)策略的有效性，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明NEO算法具有良好的優(yōu)化性能。

1 平衡優(yōu)化器算法介紹

1.1 種群初始化

平衡優(yōu)化器算法首先在搜索空間中隨機(jī)初始化種群。種群初始化的公式如下所示：

其中，Ci,k表示第k個(gè)粒子所在的位置，rk表示[0，1]間的隨機(jī)向量，ub和lb表示解空間中的上界和下界，k的范圍為[1,N]，N表示種群的數(shù)量。

1.2 候選解和平衡池

在粒子初始化之后，粒子不斷搜索迭代，并計(jì)算適應(yīng)度值。該算法選取當(dāng)前解中適應(yīng)度值排名前四的粒子，作為候選解，并計(jì)算這四個(gè)粒子的平均值，進(jìn)而構(gòu)建平衡池。平衡池提高了粒子全局搜索和全局的能力，其表示如下：

其中，Cpool表示平衡池；Ceq1、Ceq2、Ceq3、Ceq4表示根據(jù)適應(yīng)度值在當(dāng)前迭代找到的最優(yōu)粒子位置；Cave表示平衡了以上四個(gè)解的粒子位置。

在粒子搜索迭代的過程中，平衡池中的每個(gè)候選解都以相同的概率被隨機(jī)選擇以更新濃度，此過程可以表示為：

1.3 指數(shù)項(xiàng)

為平衡算法的全局探索和局部開發(fā)的能力，算法采用指數(shù)項(xiàng)F進(jìn)行調(diào)整，其計(jì)算公式如下：

其中，a1和a2分別表示全局搜索和局部開發(fā)的權(quán)重系數(shù)，其值越大，對(duì)應(yīng)的能力越強(qiáng)，通常，a1和a2分別取2和1；Iter表示當(dāng)前的迭代次數(shù)；Maxiter表示算法最大迭代次數(shù)；λ表示[0，1]間的隨機(jī)數(shù)。

1.4 生成速率

為進(jìn)一步增強(qiáng)算法的局部開發(fā)能力，利用生成速率G來改進(jìn)算法開發(fā)階段，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

其中，GP為生成概率，用來平衡算法全局搜索和局部開發(fā)能力，當(dāng)取值為0.5時(shí)，算法的探索和開發(fā)能力達(dá)到平衡；GCP為生成速率G的控制參數(shù)，由GP所決定；r1、r2和λ表示[0，1]間的隨機(jī)數(shù)。

1.5 濃度更新公式

平衡優(yōu)化器算法的標(biāo)準(zhǔn)濃度更新公式如下：

其中，V表示單位體積，通常為1。

2 融合濃度平衡和菲克定律的新平衡優(yōu)化器算法（NEO）

相比其他元啟發(fā)式算法，EO算法具有以下特征：EO算法的核心原理和內(nèi)部結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，其全局搜索能力和局部開發(fā)能力主要由指數(shù)項(xiàng)F和生成速率G進(jìn)行控制，位置更新通過濃度更新公式來完成，這使其具有很好的靈活性和適應(yīng)性；此外，EO算法具有特殊的平衡池階段，算法根據(jù)個(gè)體適應(yīng)度的大小進(jìn)行排序選取候選解，同時(shí)生成平均值共同構(gòu)成平衡池，其目的在于提高算法的探索和開發(fā)能力。

但是，平衡池只依賴適應(yīng)度值的大小選取個(gè)體會(huì)使候選解趨于相似，多樣性降低，容易陷入局部最優(yōu)，影響算法精度；指數(shù)項(xiàng)F中的參數(shù)a1和a2調(diào)節(jié)探索和開發(fā)能力，但參數(shù)a1和a2為常數(shù)，這使得算法不能根據(jù)迭代自適應(yīng)調(diào)整探索和開發(fā)能力，導(dǎo)致算法迭代過程中出現(xiàn)尋優(yōu)不穩(wěn)定現(xiàn)象，甚至?xí)绊懰惴▽?yōu)精度；EO算法中個(gè)體位置更新主要通過濃度更新公式，個(gè)體更新位置受到當(dāng)前位置、平衡池候選解個(gè)體位置的影響，表明其局部開發(fā)能力較強(qiáng)但全局搜索能力相對(duì)來說有所不足，極易出現(xiàn)在局部最優(yōu)值附近停滯的情況。針對(duì)以上問題，本文從三方面進(jìn)行了改進(jìn)。

2.1 濃度平衡機(jī)制

EO算法基于適應(yīng)度值的大小，采用順序選擇法從總體中選出候選解，然后再對(duì)選擇出來的候選解進(jìn)行各種策略的搜索操作。因此，算法的尋優(yōu)效果很大程度上取決于候選解的選擇。而僅考慮適應(yīng)度值選取候選解，所選擇的個(gè)體很大概率落在相似區(qū)域，導(dǎo)致種群多樣性降低，過早向局部收斂。

大量事實(shí)表明，一切物質(zhì)分子都在無時(shí)無刻地做無規(guī)則運(yùn)動(dòng)，即布朗運(yùn)動(dòng)。分子通過布朗運(yùn)動(dòng)會(huì)從高濃度區(qū)域（或高化勢(shì)）向低濃度區(qū)域（或低化勢(shì)）進(jìn)行轉(zhuǎn)移，直到均勻分布，這一分子熱運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象被稱為擴(kuò)散現(xiàn)象[19]。由于容器中粒子濃度平衡過程中，不同區(qū)域不同濃度的粒子之間會(huì)相互影響，本文受分子擴(kuò)散現(xiàn)象的啟發(fā)，提出濃度平衡機(jī)制。首先，根據(jù)粒子位置適應(yīng)度值的大小，由大到小，將粒子劃分為3個(gè)種群：低濃度區(qū)域、中濃度區(qū)域和高濃度區(qū)域。然后，不同濃度區(qū)域之間的粒子相互影響擴(kuò)散：低濃度區(qū)域受中高濃度區(qū)域的影響；中濃度區(qū)域粒子受高濃度區(qū)域和低濃度區(qū)域影響；高濃度區(qū)域的粒子則同時(shí)向中低濃度區(qū)域擴(kuò)散。因此，為增強(qiáng)不同粒子位置之間的信息交流，在此提出不同濃度區(qū)域粒子濃度平衡機(jī)制。

2.1.1 低濃度區(qū)域粒子位置更新

根據(jù)反向?qū)W習(xí)的思想，為更好地體現(xiàn)低濃度區(qū)域粒子受高濃度區(qū)域粒子和中濃度區(qū)域粒子的影響，加強(qiáng)粒子間的信息交流，采用如下公式：

2.1.2 中等濃度區(qū)域粒子位置更新

為增強(qiáng)中等濃度的區(qū)域與其他區(qū)域之間的信息交流，實(shí)現(xiàn)對(duì)其他粒子附近解空間信息的挖掘，加強(qiáng)算法的局部尋優(yōu)能力，在迭代過程中，中等濃度區(qū)域的粒子以一定的概率向周邊擴(kuò)散。此過程用如下公式表示：

其中，Cjworst、Cjmid和Cjbest分別表示當(dāng)前迭代中，濃度最低、濃度中等和濃度最高粒子的位置；d3和d4分別表示[0，1]間的隨機(jī)變量。

2.1.3 高等濃度區(qū)域粒子位置更新

由于高濃度區(qū)域的粒子代表著粒子在當(dāng)前適應(yīng)度值最小，因此，此區(qū)域的粒子更接近于全局最優(yōu)解，此時(shí)維持高濃度區(qū)域的粒子位置不變。此過程用如下公式表示：

其中，Cjbest表示當(dāng)前迭代中濃度最高粒子的位置。

在經(jīng)過多次實(shí)驗(yàn)測(cè)試后發(fā)現(xiàn)，EO算法在迭代次數(shù)為1 000次時(shí)算法收斂效果較好。因此為驗(yàn)證濃度平衡機(jī)制對(duì)種群多樣性的影響，本文選取表1中部分測(cè)試函數(shù)，在維度為2，種群數(shù)量為30，最大迭代次數(shù)為1 000時(shí)，分別選取迭代次數(shù)為100次和900次時(shí)查看算法種群的分布情況。將加入濃度平衡機(jī)制的改進(jìn)算法與EO算法進(jìn)行對(duì)比，繪制個(gè)體位置圖，如圖1所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，在迭代次數(shù)為100次時(shí)，改進(jìn)算法的種群多樣性明顯得到提升，種群分布較分散，EO算法的種群雖看起來在最優(yōu)值附近，但由于縱坐標(biāo)數(shù)量級(jí)較小，尋優(yōu)精度距離理論最優(yōu)值仍有較大差距，仍需要進(jìn)一步尋優(yōu)探索；在迭代次數(shù)為900次時(shí)，測(cè)試函數(shù)F3的縱坐標(biāo)數(shù)量級(jí)與迭代100次時(shí)相差209，EO算法的搜索精度相比迭代次數(shù)100次時(shí)有所提升，但仍與理論最優(yōu)值偏差較大，而此時(shí)改進(jìn)算法收斂到了理論最優(yōu)值附近。說明加入的濃度平衡機(jī)制改善了個(gè)體間信息交流缺乏的情況，中低濃度區(qū)域粒子每次迭代都會(huì)與最優(yōu)個(gè)體進(jìn)行信息交流，充分利用當(dāng)前最優(yōu)解信息，同時(shí)在一定程度上擴(kuò)大了搜索空間，提高了種群多樣性。

圖1 個(gè)體多樣性對(duì)比圖Fig.1 Comparison chart of diversity

表1 測(cè)試函數(shù)Table 1 Test function

2.2 動(dòng)態(tài)參數(shù)調(diào)整

在EO算法中，參數(shù)a1和a2用來調(diào)整全局搜索和局部開發(fā)，參數(shù)a1負(fù)責(zé)調(diào)整算法全局搜索能力，其值越大，全局探索能力越強(qiáng)，參數(shù)a2負(fù)責(zé)調(diào)整算法局部開發(fā)能力，其值越大，局部開發(fā)能力越強(qiáng)。但在EO算法中參數(shù)a1和a2為固定常數(shù)，這樣可能導(dǎo)致算法不能根據(jù)迭代次數(shù)自適應(yīng)分配探索與開發(fā)能力，可能會(huì)出現(xiàn)尋優(yōu)不穩(wěn)定現(xiàn)象，影響算法的尋優(yōu)精度。因此，本文引入兩種可調(diào)節(jié)的自適應(yīng)因子改善算法，將算法迭代次數(shù)與參數(shù)相結(jié)合。利用指數(shù)自適應(yīng)因子動(dòng)態(tài)調(diào)整參數(shù)a1，利用冪函數(shù)自適應(yīng)因子動(dòng)態(tài)調(diào)整參數(shù)a2，使得算法根據(jù)迭代過程動(dòng)態(tài)平衡探索和開發(fā)能力，提高算法穩(wěn)定性和尋優(yōu)精度。參數(shù)a1和a2的公式定義如下：

經(jīng)過多次實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，λ取值為2.5時(shí)算法效果最好。如圖2所示，在算法迭代初期，參數(shù)a1接近2.5，參數(shù)a2接近于0，此時(shí)算法傾向于全局搜索；隨著迭代次數(shù)的增加，粒子濃度差減少，接近平衡，粒子轉(zhuǎn)向局部的平衡，算法更專注于局部搜索。

圖2 a1和a2參數(shù)變化曲線Fig.2 Parameter changes of a1 and a2

2.3 基于菲克定律的擾動(dòng)機(jī)制

1855年德國(guó)人阿道夫·菲克（Adolf Fick）提出描述分子擴(kuò)散規(guī)律的基本定律：在單位時(shí)間內(nèi)通過垂直于擴(kuò)散方向的單位截面積的擴(kuò)散物質(zhì)流量（稱為擴(kuò)散通量diffusion flux）與該截面處的濃度梯度（concentration gradient）成正比，也就是說，濃度梯度越大，擴(kuò)散通量越大，這就是菲克定律[20]。其指出了在分子濃度差較大時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)的擴(kuò)散通量越大，隨著時(shí)間推移，容器內(nèi)的濃度差逐漸減小，擴(kuò)散通量變小。這說明在濃度平衡初期，容器中濃度差較高，高濃度區(qū)域粒子可以向全局?jǐn)U散，隨著濃度差逐漸減小，容器中濃度接近平衡，此時(shí)更專注于局部的濃度擴(kuò)散。也就是說，迭代初期應(yīng)加強(qiáng)算法全局搜索能力，全局搜索范圍和強(qiáng)度更大時(shí)，尋優(yōu)效果更好，隨著迭代次數(shù)的增加，逐漸轉(zhuǎn)向局部搜索，從更多的候選解中尋得最優(yōu)解，提高解的精度。

在標(biāo)準(zhǔn)的EO算法中，算法在進(jìn)行濃度更新后，計(jì)算當(dāng)前解的適應(yīng)度值，然后更新粒子位置，隨后進(jìn)入后續(xù)的循環(huán)，即所有候選解的位置都受當(dāng)前位置的影響，這表明EO算法雖然有很強(qiáng)的局部開發(fā)能力，但是其全局搜索能力相對(duì)來說有所不足，隨著迭代次數(shù)的增加，算法逐步趨于局部最優(yōu)，而不是全局最優(yōu)。而文獻(xiàn)[21]中面對(duì)相似的問題采用擾動(dòng)因子增強(qiáng)了算法尋優(yōu)精度和收斂速度。因此，本文從菲克定律和文獻(xiàn)[21]得到啟發(fā)，在算法位置更新策略中引入擾動(dòng)機(jī)制，利用擾動(dòng)因子η根據(jù)算法迭代次數(shù)來動(dòng)態(tài)改變粒子位置。算法在前期進(jìn)行較大范圍的全局搜索，隨著算法迭代次數(shù)的增加，在算法后期，小范圍的更新加強(qiáng)了算法的局部開發(fā)能力，提升解的精度，加快收斂速度。其公式定義如下：

其中，ξ為擾動(dòng)系數(shù)，多次實(shí)驗(yàn)表明，其值為30時(shí)算法效果最好。加入了擾動(dòng)因子的濃度更新公式如下所示：

2.4 算法步驟

本文提出的NEO算法具體步驟描述如下：

步驟1設(shè)置算法相關(guān)的參數(shù)，并初始化粒子種群位置。

步驟2進(jìn)入主循環(huán)，計(jì)算個(gè)體適應(yīng)度值并排序，選出平衡池候選解。

步驟3利用濃度平衡機(jī)制公式（12）～（14）更新平衡池候選解。

步驟4利用公式（15）、（16）分別計(jì)算動(dòng)態(tài)參數(shù)a1和a2。

步驟5利用改進(jìn)后的濃度更新公式（18）更新粒子位置。

步驟6判斷是否滿足停止條件，若滿足則結(jié)束，否則返回步驟2。

步驟7輸出最優(yōu)解，結(jié)束程序。

2.5 時(shí)間復(fù)雜度分析

假設(shè)種群規(guī)模為N，空間維度為D，最大迭代次數(shù)為T。EO算法的時(shí)間復(fù)雜度主要由種群初始化、迭代尋優(yōu)和濃度更新三部分組成。其中，種群初始化的時(shí)間復(fù)雜度為O(ND)，迭代尋優(yōu)的時(shí)間復(fù)雜度為O(ND)，濃度更新的時(shí)間復(fù)雜度為O(N)。因此，根據(jù)時(shí)間復(fù)雜度分析，EO算法總的時(shí)間復(fù)雜度為：

NEO算法的改進(jìn)主要由濃度平衡機(jī)制、動(dòng)態(tài)參數(shù)和擾動(dòng)機(jī)制組成。初始化階段，NEO算法與EO算法的時(shí)間復(fù)雜度相同，為O(ND)；迭代尋優(yōu)階段，設(shè)濃度平衡機(jī)制花費(fèi)的時(shí)間為t1，計(jì)算動(dòng)態(tài)參數(shù)a1和a2的時(shí)間為t2，因此迭代尋優(yōu)的時(shí)間復(fù)雜度為O(ND)+t1+t2；濃度更新階段，設(shè)計(jì)算擾動(dòng)因子的時(shí)間為t3，故濃度更新的時(shí)間復(fù)雜度為t3×O(N)。因此，NEO算法最終的時(shí)間復(fù)雜度為：

綜上所述，NEO算法與EO算法的時(shí)間復(fù)雜度一致，屬于多項(xiàng)式時(shí)間算法，說明NEO算法并未犧牲空間來提升算法性能。

3 實(shí)驗(yàn)仿真與分析

為了驗(yàn)證本文所提出的三種改進(jìn)策略的有效性，本文選取了國(guó)際上通用的24個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)[22-23]，包括高維單峰和高維多峰不同類型的測(cè)試函數(shù)。單峰測(cè)試函數(shù)是算法尋優(yōu)精度和收斂速度的度量，而多峰測(cè)試函數(shù)則可以體現(xiàn)算法的全局搜索能力和避免陷入局部最優(yōu)的能力。這些函數(shù)的函數(shù)名及表達(dá)式、最優(yōu)值見表1。

將NEO算法與遺傳算法（GA）[2]、粒子群算法（particle swarm optimization，PSO）[24]、鯨魚優(yōu)化算法（WOA）[3]、食肉植物算法（carnivorous plant algorithm，CPA）[25]、蜉蝣算法（mayfly algorithm，MA）[26]、平衡優(yōu)化器算法（EO）[1]以及一種改進(jìn)的平衡優(yōu)化器算法（MDSGEO）[18]進(jìn)行對(duì)比，同時(shí)，設(shè)置種群大小為30，迭代次數(shù)為50，維度為1 000，保證各個(gè)法的最大適應(yīng)度評(píng)價(jià)次數(shù)相同。為使數(shù)據(jù)真實(shí)可信，仿真實(shí)驗(yàn)使用各個(gè)算法在所有測(cè)試函數(shù)上各獨(dú)立運(yùn)行20次，并記錄平均值和標(biāo)準(zhǔn)差兩個(gè)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)。

3.1 實(shí)驗(yàn)環(huán)境與參數(shù)設(shè)置

本文實(shí)驗(yàn)采用處理器為Intel?Core?i5-8250U CPU，8 GB運(yùn)行內(nèi)存，Windows 10操作系統(tǒng)，64位，仿真軟件為Matlab 2017b。

算法參數(shù)設(shè)置如下：GA算法的交叉率為0.1，變異率為0.9；PSO算法的慣性權(quán)重為1，慣性權(quán)重阻尼比為0.99，個(gè)人學(xué)習(xí)系數(shù)為1.5，全局學(xué)習(xí)系數(shù)為2.0；GWO算法參數(shù)a從2遞減到0；WOA算法參數(shù)a從2遞減到0，參數(shù)b為1；CPA算法吸引率為0.8，成長(zhǎng)率為2，生成率為1.8；MA算法父代和子代數(shù)量均為20，突變率為0.01；EO算法的a1為2，a2為1，GP為0.5；MDSGEO算法的a1為2，a2為1，GP為0.5。

3.2 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證改進(jìn)算法的有效性和可行性，本文利用平均值和標(biāo)準(zhǔn)差兩個(gè)性能指標(biāo)評(píng)估實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)見表2，最優(yōu)結(jié)果已加粗表示。

表2 1 000維函數(shù)測(cè)試數(shù)據(jù)Table 2 Test data of 1 000 dimensional function

由表2可知，NEO算法和MDSGEO算法的尋優(yōu)結(jié)果優(yōu)于其他對(duì)比算法，而本文所提出的NEO算法則尋優(yōu)效果更好。

在高維測(cè)試函數(shù)上，無論是高維單峰測(cè)試函數(shù)還是高維多峰測(cè)試函數(shù)，NEO算法均具有明顯的競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)，除函數(shù)F14和F20以外，NEO算法在兩個(gè)性能評(píng)價(jià)指標(biāo)上均取得了最好的結(jié)果0。值得注意的是，對(duì)于高維測(cè)試函數(shù)F14，雖然NEO算法的標(biāo)準(zhǔn)差稍差于CPA算法但是NEO算法的平均值明顯優(yōu)于CPA及其他對(duì)比算法，說明了NEO算法的尋優(yōu)精度更優(yōu)。而對(duì)于高維測(cè)試函數(shù)F20，顯然WOA算法的性能最好，但相較于除WOA算法以外的其他對(duì)比算法，NEO算法的搜索效果仍較為良好。綜合來看，本文提出的NEO算法具有更好的尋優(yōu)精度。

為更加清晰直觀地對(duì)比算法的尋優(yōu)精度和收斂速度，本文選取了4個(gè)測(cè)試函數(shù)繪制包含算法迭代次數(shù)和適應(yīng)度值的測(cè)試函數(shù)收斂曲線，如圖3所示。

從圖3的測(cè)試函數(shù)收斂曲線來看，NEO算法和MDSGEO算法均比其他對(duì)比算法具有更好的收斂速度和尋優(yōu)精度，但是NEO算法尋優(yōu)精度更好，收斂速度更快。NEO算法相較其他對(duì)比算法更具優(yōu)勢(shì)，其收斂曲線均在其他算法收斂曲線左下方，在同等迭代次數(shù)下，NEO算法的收斂精度優(yōu)于其他算法，同時(shí)在同等收斂精度的情況下，NEO算法的迭代次數(shù)少于其他算法。

圖3 部分函數(shù)收斂曲線Fig.3 Convergence curve of partial function

其中，從測(cè)試函數(shù)F18的收斂曲線來看，NEO算法的優(yōu)勢(shì)明顯，WOA等算法在經(jīng)過一定次數(shù)的迭代之后，則陷入局部最優(yōu)，無法尋得更優(yōu)解，而NEO算法則能避開此問題，說明濃度平衡機(jī)制更新了平衡池候選解，不同區(qū)域粒子進(jìn)行學(xué)習(xí)交流，增加了種群多樣性，避免個(gè)體趨同和陷入局部最優(yōu)。對(duì)于測(cè)試函數(shù)F14，NEO算法和MDSGEO算法在同等尋優(yōu)精度的情況下，NEO算法的收斂速度遠(yuǎn)快于MDSGEO算法，說明NEO算法加入的基于菲克定律的擾動(dòng)機(jī)制加快了算法收斂速度。從F14和F9可以看出，NEO算法的收斂曲線更加平滑，表明加入的自適應(yīng)參數(shù)根據(jù)算法迭代次數(shù)動(dòng)態(tài)調(diào)整，動(dòng)態(tài)平衡了算法探索和開發(fā)能力，尋優(yōu)更穩(wěn)定。而測(cè)試函數(shù)F2，NEO算法的尋優(yōu)精度和收斂速度都遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于MDSGEO等對(duì)比算法，同時(shí)NEO算法收斂曲線的斜率逐漸變大，說明在濃度更新公式中引入的擾動(dòng)機(jī)制在前期進(jìn)行大范圍的搜索，專注于全局搜索，在后期加快了收斂，專注于局部搜索，提高了收斂速度和尋優(yōu)精度。

以上兩組實(shí)驗(yàn)對(duì)比驗(yàn)證了本文提出的三種改進(jìn)策略都是有效的。可以看出，無論是高維單峰還是多峰測(cè)試函數(shù)，NEO算法均有更好的尋優(yōu)能力和更快的收斂速度。

3.3 與其他最新改進(jìn)算法對(duì)比分析

為更好地研究NEO算法的優(yōu)化性能，將本文提出的NEO算法與融合隨機(jī)反向?qū)W習(xí)的黏菌與算術(shù)混合優(yōu)化算法HSMAAOA[27]、模糊SCA-AOA算法[28]以及改進(jìn)Henry氣體溶解度優(yōu)化算法HHOHGSO[29]進(jìn)行對(duì)比，選取部分測(cè)試函數(shù)，參數(shù)設(shè)置與3.1節(jié)保持一致，比較各個(gè)算法的尋優(yōu)精度和收斂速度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3所示，最優(yōu)結(jié)果已加粗表示。

表3 與其他改進(jìn)算法的對(duì)比結(jié)果Table 3 Comparison results with other improved algorithms

由表3可知，除測(cè)試函數(shù)F14和F20以外，NEO算法的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差均為0。對(duì)于測(cè)試函數(shù)F14，雖然NEO算法的標(biāo)準(zhǔn)差稍差，但其具有更好的平均值。說明了NEO算法具有出色的尋優(yōu)精度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，相比其他最新改進(jìn)算法，NEO算法對(duì)某些測(cè)試函數(shù)的求解具有一定的競(jìng)爭(zhēng)力，綜合來看，NEO算法具有不錯(cuò)的優(yōu)化性能。

從圖4的部分函數(shù)收斂曲線來看，除F20以外，NEO算法的收斂速度明顯高于SCA-AOA、HSMAAOA和HHOHGSO。對(duì)于測(cè)試函數(shù)F4和F14，NEO算法在前期收斂速度較慢，后期收斂速度較快，說明加入自適應(yīng)調(diào)整參數(shù)的NEO算法根據(jù)迭代自動(dòng)調(diào)整參數(shù)，前期專注于全局搜索，后期轉(zhuǎn)向局部開發(fā)。對(duì)于測(cè)試函數(shù)F18，NEO算法的收斂速度明顯優(yōu)于對(duì)比算法，說明引入的菲克定律擾動(dòng)因子加快了收斂，同時(shí)取得了良好的尋優(yōu)精度。函數(shù)F18同時(shí)說明了HSMAAOA等對(duì)比算法經(jīng)過一定的迭代次數(shù)后會(huì)陷入局部最優(yōu)，而濃度平衡機(jī)制增強(qiáng)了種群間的信息交流，避免了粒子向局部最優(yōu)收斂，從而更好尋優(yōu)。函數(shù)F14則說明在尋優(yōu)精度一致時(shí)，NEO算法則具有更快的收斂速度。綜上所述，NEO算法在大部分測(cè)試函數(shù)上具有不錯(cuò)的表現(xiàn)，算法具有良好的優(yōu)化性能。

圖4 部分函數(shù)收斂曲線Fig.4 Convergence curve of partial function

為了更加清楚地對(duì)比算法的收斂時(shí)間和效率，表4列出了EO、SCA-AOA、HSMAAOA、HHOHGSO和NEO在所有測(cè)試函數(shù)上的評(píng)價(jià)次數(shù)對(duì)比。設(shè)定所有函數(shù)的尋優(yōu)精度為10-10，參數(shù)設(shè)置與3.1節(jié)保持一致，比較各個(gè)算法在同等尋優(yōu)精度下的函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)，最優(yōu)結(jié)果已加粗表示，INF表示算法無法尋得指定的尋優(yōu)精度。從表4可以看出，對(duì)于絕大部分的測(cè)試函數(shù)，NEO算法的函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)明顯優(yōu)于其他算法。對(duì)于測(cè)試函數(shù)F1、F4、F5、F7，雖然NEO算法的函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)不是最優(yōu)，但是與其他算法最優(yōu)的函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)數(shù)量級(jí)相差不大。值得注意的是，NEO算法的評(píng)價(jià)次數(shù)遠(yuǎn)大于EO算法，說明本文所提出的改進(jìn)策略是有效的。因此，本文提出的NEO算法是一種較好的優(yōu)化算法。

表4 函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)對(duì)比Table 4 Comparison of function evaluation times

3.4 Wilcoxon秩和檢驗(yàn)

為避免算法的偶然性，進(jìn)一步評(píng)估NEO算法的性能，在此進(jìn)行顯著性分析，運(yùn)用Wilcoxon秩和檢驗(yàn)的P值對(duì)比不同算法的差異，以確認(rèn)不同算法是否在統(tǒng)計(jì)上存在顯著不同。本次實(shí)驗(yàn)選取表1的基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)，將NEO算法與GA、WOA、CPA、MA、EO、MDSGEO進(jìn)行對(duì)比。參數(shù)設(shè)置與3.1節(jié)保持一致，計(jì)算每個(gè)算法的Wilcoxon秩和檢驗(yàn)的P值，當(dāng)P值小于5%時(shí)，說明兩個(gè)算法的尋優(yōu)效果有差異性，反之則沒有。表5中的+、-和=分別表示NEO算法秩和統(tǒng)計(jì)結(jié)果優(yōu)于、差于和等于當(dāng)前對(duì)比算法，NaN表示在秩和檢驗(yàn)中沒有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，Wilcoxon秩和檢驗(yàn)結(jié)果見表5。

表5 Wilcoxon秩和檢驗(yàn)的P值Table 5 P-value of Wilcoxon rank sum test

結(jié)果表明，除了沒有數(shù)據(jù)對(duì)比的情況外，NEO算法相較于其他對(duì)比算法的P值基本上都小于5%，說明從統(tǒng)計(jì)學(xué)上來說，NEO算法相比于GA、WOA、CPA、MA、EO、MDSGEO算法具有更好的尋優(yōu)能力，體現(xiàn)了NEO算法的魯棒性。

綜上所述，本節(jié)通過實(shí)驗(yàn)仿真與分析，對(duì)比了NEO算法與經(jīng)典算法、其他改進(jìn)EO算法及其他最新改進(jìn)智能優(yōu)化算法，分析了算法的尋優(yōu)效果、收斂曲線、運(yùn)算效率和Wilcoxon秩和檢驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文提出的NEO算法具有良好的尋優(yōu)精度和更快的收斂速度。之所以如此，得益于在NEO算法的平衡池階段，為避免只依靠適應(yīng)度值選取候選解產(chǎn)生的相似問題，加入了濃度平衡機(jī)制，在高、中、低三種濃度區(qū)域的個(gè)體都進(jìn)行不同程度的濃度融合，改變了粒子位置，增強(qiáng)了種群間的信息交流，同時(shí)豐富了種群多樣性；其次改進(jìn)了EO算法的重要參數(shù)，指數(shù)自適應(yīng)因子a1和冪函數(shù)自適應(yīng)因子a2動(dòng)態(tài)平衡探索與開發(fā)能力，保證了探索與開發(fā)過程的穩(wěn)定性；最后在粒子位置更新處引入基于菲克定律的擾動(dòng)因子，擾動(dòng)因子的引入改善了濃度更新公式，加快收斂速度的同時(shí)提高了算法的尋優(yōu)精度?？傊琋EO算法是性能不錯(cuò)的智能優(yōu)化算法。

4 結(jié)束語

本文為了解決平衡優(yōu)化器算法收斂速度慢、精度不夠、開發(fā)和搜索階段信息不平衡的問題，提出了融合濃度平衡和菲克定律的新平衡優(yōu)化器算法。算法首先引入濃度平衡機(jī)制，提高算法種群間的信息交流能力；同時(shí)改進(jìn)了算法參數(shù)，采用動(dòng)態(tài)參數(shù)設(shè)計(jì)平衡全局搜索和局部開發(fā)能力；最后引入擾動(dòng)機(jī)制，擾動(dòng)更新粒子位置，提高算法的尋優(yōu)精度和收斂速度。通過24個(gè)基準(zhǔn)測(cè)試函數(shù)和Wilcoxon秩和統(tǒng)計(jì)檢測(cè)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真，結(jié)果表明，本文算法具有較好的收斂速度和尋優(yōu)精度，有效避免了早熟現(xiàn)象的發(fā)生。考慮將NEO算法應(yīng)用到應(yīng)急車輛路徑規(guī)劃問題中作為下一步的研究方向。