黃書棋，王天浩，梁海蘭

(福州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，福建 福州 350108)

0 預(yù)備知識

任意給定兩個緊T2拓?fù)淇臻gX，Y，用C(X)，C(Y)分別表示這兩個拓?fù)淇臻g的實值連續(xù)函數(shù)代數(shù)，則X與Y同胚當(dāng)且僅當(dāng)C(X)與C(Y)代數(shù)同構(gòu)(或環(huán)同構(gòu))[1].這意味著當(dāng)一個拓?fù)淇臻g為緊T2拓?fù)淇臻g時，該拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)能由其上的實值連續(xù)函數(shù)代數(shù)唯一確定.類似地，若任意給定兩個緊光滑流形M，N，令C∞(M)，C∞(N) 分別表示這兩個流形的實值光滑函數(shù)代數(shù)，則M與N微分同胚當(dāng)且僅當(dāng)C∞(M)與C∞(N)同構(gòu)； 若給定兩個仿射代數(shù)簇X，Y，令K(X)，K(Y)分別表示這兩個代數(shù)簇的坐標(biāo)環(huán)，則X與Y代數(shù)簇同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)K(X)與K(Y)同構(gòu)[2].以上幾個經(jīng)典結(jié)論都體現(xiàn)了以下重要的事實和共性： 在研究許多重要的空間類的時候，若想同構(gòu)地去分類這些空間，往往可以等價地歸結(jié)為去分類其上的某種保持空間結(jié)構(gòu)的函數(shù)代數(shù)的結(jié)構(gòu).鑒于此，將給出“k-結(jié)構(gòu)空間”和“k-結(jié)構(gòu)空間范疇”的概念，直接從函數(shù)代數(shù)的角度去定義空間結(jié)構(gòu)，詳細(xì)討論其基礎(chǔ)理論框架，從更一般的角度去解讀以上的共性， 并給出若干有趣的應(yīng)用.首先，為了討論方便，回顧一下以下幾個基礎(chǔ)定義.

定義1設(shè)C為范疇，A,B∈ob(C)，f,g∈MorC(A,B)，稱態(tài)射e:E→A為態(tài)射對(f,g)的等值子，若其滿足：

1)f°e=g°e；

2) 對任意的態(tài)射e′:E→A滿足f°e′=g°e′，存在唯一的態(tài)射h:E′→E，使得e′=e°h[3].

定義2稱態(tài)射c:B→C為態(tài)射對(f,g)的余等值子，若其滿足：

1)c°f=c°g；

2) 對任意的態(tài)射c′:B→C′滿足c′°f=c′°g，存在唯一的態(tài)射r:C→C′，使得c′=r°c[3].

定義3設(shè)X為拓?fù)淇臻g，稱X為完全正則空間，若對X中任一x與其鄰域U，存在連續(xù)映射f:X→[0, 1]，滿足f(x)=0與f(Uc)=1[4].

定義4稱(X, I)為不可約空間，若X不能表為兩個真閉子集的并[5].

性質(zhì)1一個空間是不可約的，等價于其不能表為有限個真閉子集的并.

定義5令k為域，X為集合，A為kX的一個含幺子代數(shù)，則稱(X,A)為一個k-結(jié)構(gòu)空間.為方便起見，在A顯然確定時，將(X,A)簡記為X.

定義6已知(X,A)，(Y,B)為k-結(jié)構(gòu)空間，稱一個從X到Y(jié)的映射f為一個k-態(tài)射，若滿足任取φ∈B有：φ°f∈A.

性質(zhì)2恒等映射為k-態(tài)射.

性質(zhì)3若f為一個從X到Y(jié)的k-態(tài)射,g為一個從Y到Z的k-態(tài)射，則g°f為從X到Z的k-態(tài)射.

以上兩性質(zhì)是顯然的，表明全體k-結(jié)構(gòu)空間及其之間的k-態(tài)射構(gòu)成一個范疇，稱為k-結(jié)構(gòu)空間范疇.在下一節(jié)中，將會詳細(xì)探討k-結(jié)構(gòu)空間范疇的基本性質(zhì)和一些例子，并討論其子結(jié)構(gòu)和商結(jié)構(gòu)的相關(guān)泛性質(zhì).

1 k-結(jié)構(gòu)空間的性質(zhì)

定義7若(X,A)為一個k-結(jié)構(gòu)空間，對Ω?A，定義Z(Ω)={x∈X:f(x)=0, ?f∈Ω}.

注：Z(Ω)即為Ω的零點集.為方便起見，將Z({f})簡記為Z(f).

性質(zhì)4令(X,A)，Z(Ω)定義如上，則{Z(Ω):Ω?A}滿足閉集三公理:

1)Z(1)=?，Z(0)=X；

3)Z(Ω1)∪Z(Ω2)=Z(Ω1Ω2)，這里，Ω1Ω2={fg:f∈Ω1,g∈Ω2}.

由以上性質(zhì)可知，{X(Ω):Ω?A}構(gòu)成一個拓?fù)洌Q其為X的關(guān)于A的Zariski拓?fù)鋄6]，記為IA, 下記Uφ=X(φ)，其中φ∈A，則(X, IA)以{Uφ:φ∈A}為拓?fù)浠?

定義8若X為拓?fù)淇臻g，A為kX的一個含幺子代數(shù)，稱X具有A-完全正則性，若任取x∈X, 及任取一個不含x的閉集F，都存在φ∈A，使得φ(x)=a,φ(F)=，其中：a≠b.

若在以上定義中，令a=1，b=0，則此時定義出的A-完全正則性與上述定義等價.

性質(zhì)5若(X,A)為一個k-結(jié)構(gòu)空間，則(X, IA)為A-完全正則空間.

證明 任取x∈X, 及不含x的閉集F，則存在Ω?A，使得F=Z(Ω)，故存在f∈Ω使得f(x)≠0，但f(F)=0，即證.

若X為拓?fù)淇臻g，Cb(X)表示有界連續(xù)實值函數(shù)代數(shù)，則X為Cb(X)-完全正則?X為完全正則.

性質(zhì)6若(X, I)為完全正則空間，則X的拓?fù)渑cCb(X)-Zariski拓?fù)湟恢?，即I=ICb(X).

再證： I?ICb(X)，任取U∈I，任取x∈U，由X完全正則知，存在f，使得f(Uc)=0且f(x)=1，則x∈Z(f)c?U，其中Z(f)c開于ICb(X)，故U開于ICb(X).即證.

性質(zhì)7若f:(X,A)→(Y,B)為態(tài)射，則f:(X, IA)→(Y, IB)連續(xù).

證明 任取φ∈B，由f為態(tài)射，有φ°f∈A，故f-1(Uφ)=Uφ°f∈IA.

由以上性質(zhì)，則得以下函子：

(X,A)|→(X, IA)

性質(zhì)8若(X,A)為k-結(jié)構(gòu)空間，則有A為整環(huán)?(X, IA)不可約.

證明 首先： 設(shè)Uφ≠0,Uψ≠0, 其中，φ,ψ∈A, 則φ≠0,ψ≠0, 由A為整環(huán)，則φψ≠0,Uφψ≠0.

其次： 若A不是整環(huán)，則存在φ,ψ∈A, 滿足φ,ψ≠0，且φψ=0此時，Uφ∩Uψ=Uφψ=?, 而Uφ≠?,Uψ≠? 這與(X, IA)不可約矛盾，即證.

定理1在完全正則空間范疇為拓?fù)淇臻g范疇的滿子范疇情況下，考慮以下兩函子：

(X, I)→(X,Cb(X))

(X,A)|→(X, IA)

則θ°τ=I(恒等函子).

注：以上定理表示把完全正則空間看成R-結(jié)構(gòu)空間，在范疇意義上沒有損失任何信息.

定義9設(shè)A為kX的一個含幺子代數(shù)，(X,A)為一個k-結(jié)構(gòu)空間，Y?X，定義A|Y={φ|Y:φ∈A}，則(Y,A|Y)為一個k-結(jié)構(gòu)空間，稱為A的k結(jié)構(gòu)子空間.

性質(zhì)9k-結(jié)構(gòu)空間范疇中，含入映射i:Y→X為等值子.

證明 顯然含入映射i:Y→X為態(tài)射.

性質(zhì)10令i:(Y,A|Y)→(X,A)為含入映射，則i:(Y, IA|Y)→(X, IA)為同胚嵌入.

定義10稱(X,A)→(Y,B)為同構(gòu)嵌入，若存在(Y,B)的k-結(jié)構(gòu)子空間與(X,A)同構(gòu).

推論3若f:(X,A)→(Y,B)為同構(gòu)嵌入，則f:(X, IA)→(Y, IB)為同胚嵌入.

推論4同構(gòu)嵌入是等值子.

定義11稱(X,A)→(Y,B)為商映射，若B={φ∈kY:φ°f∈A}，此時商映射為態(tài)射.

性質(zhì)11商映射為余等值子.

證明 設(shè)f:(X,A)→(Y,B)為商映射，考慮兩個映射P1,P2:Rf→(X,A)，其中：Rf為由f導(dǎo)出的等價關(guān)系，P1,P2分別為向第一個，第二個分量的投影映射.則顯然有：f°P1=f°P2.

下證泛性質(zhì).任取(Z,C)及g:(X,A)→(Z,C)滿足g°P1=g°P2，則存在唯一映射h:(Y,B)→(Z,C)使得g=h°f.接著證h為態(tài)射即可.任取φ∈C，要證φ°h∈B，由f為商映射，只需證明φ°h°f∈A，而φ°h°f=φ°g，由g為態(tài)射，且φ∈C，得φ°g∈A，即證.

2 子空間有限覆蓋定理的拓?fù)渥C明