張長(zhǎng)振, 馬占友,*, 劉 琳, 陳 利

(1. 燕山大學(xué)理學(xué)院, 河北 秦皇島 066004; 2. 燕山大學(xué)里仁學(xué)院, 河北 秦皇島 066004)

0 引 言

對(duì)等(peer-to-peer,P2P)網(wǎng)絡(luò)在通信和資源共享中起著重要的作用。近年來,P2P網(wǎng)絡(luò)由于其可擴(kuò)展性和簡(jiǎn)單、經(jīng)濟(jì)高效的模型而變得越來越重要。具有分散文件存儲(chǔ)的P2P文件共享系統(tǒng)已經(jīng)出現(xiàn),允許對(duì)等方共享資源并直接從彼此下載文件。然而,阻礙這些服務(wù)成功的一個(gè)主要問題是一種稱為“搭便車”的行為,在這種行為中,對(duì)等方免費(fèi)享用系統(tǒng)資源,而從不共享任何資源。這類用戶的存在會(huì)影響服務(wù)的健康,因?yàn)樗鼈儠?huì)給其他節(jié)點(diǎn)和系統(tǒng)帶來麻煩,如延誤和資源浪費(fèi),降低P2P系統(tǒng)的有效性,加劇網(wǎng)絡(luò)擁塞,導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定性,影響P2P系統(tǒng)滿足其共享和協(xié)作的總體目的的能力[1]。Adar等[2]發(fā)現(xiàn)Gnutella中66%的對(duì)等點(diǎn)是從不分享資源的“搭便車”用戶,47%的資源來自前1%的對(duì)等點(diǎn),98%的資源來自前25%的對(duì)等點(diǎn)。

為了應(yīng)對(duì)P2P網(wǎng)絡(luò)中的“搭便車”行為,目前已經(jīng)研究了許多方法,主要分為4類,分別是互惠策略(對(duì)等點(diǎn)優(yōu)先提供資源給那些曾經(jīng)提供過資源的對(duì)等點(diǎn))、懲罰策略(對(duì)“搭便車”用戶施加懲罰來減少“搭便車”行為)、激勵(lì)策略(設(shè)計(jì)一種激勵(lì)機(jī)制來鼓勵(lì)用戶共享資源)、信譽(yù)策略(這種策略依據(jù)對(duì)等點(diǎn)之前的信譽(yù)來提供資源服務(wù))。每一種策略都有許多學(xué)者做了大量的工作。

(1) 互惠策略。Alotibi等[3]為了應(yīng)對(duì)P2P網(wǎng)絡(luò)中的“搭便車”問題,提出一個(gè)可擴(kuò)展的方案,利用基于點(diǎn)的方法檢測(cè)“搭便車”用戶并限制他們的活動(dòng),通過提供下載優(yōu)先權(quán)來獎(jiǎng)勵(lì)共享資源的用戶。Ghaderzadeh等[4]提出了一種更智能的方法,其想法是對(duì)等點(diǎn)之間分享信息,對(duì)等點(diǎn)通過這些信息來選擇最佳的對(duì)等點(diǎn)來進(jìn)行資源共享。Zghaibeh[5]提出O-Torrent機(jī)制來應(yīng)對(duì)“搭便車”行為。在此機(jī)制下,所有對(duì)等點(diǎn)只有共享資源才能下載使用系統(tǒng)的資源。

(2) 激勵(lì)策略。Wu等[6]提出了一種基于博弈論的P2P文件共享激勵(lì)機(jī)制,稱為本地激勵(lì)機(jī)制。根據(jù)網(wǎng)絡(luò)中的交易數(shù)量和“搭便車”用戶百分比,以下載帶寬作為衡量標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行評(píng)估。Singha和Singh[7]提出了一種新的激勵(lì)機(jī)制,每個(gè)對(duì)等點(diǎn)根據(jù)自己的貢獻(xiàn)獲得相應(yīng)的收益,以此來激勵(lì)對(duì)等點(diǎn)共享資源。Awasthi和Singh[8]提出了一個(gè)基于貢獻(xiàn)指數(shù)的激勵(lì)策略。

(3) 懲罰策略。Yahaya[9]通過仿真研究了一種線性模型在P2P系統(tǒng)中緩解“搭便車”的有效性。Ojo等[10]利用博弈論提出了一種新的對(duì)等輔助流模型,提出了一個(gè)獎(jiǎng)懲機(jī)制,對(duì)“搭便車”用戶施加懲罰來鼓勵(lì)資源共享。Manoharan和Ge[11]提出一個(gè)扣分策略來應(yīng)對(duì)P2P網(wǎng)絡(luò)中的“搭便車”行為。

(4) 信譽(yù)策略。Alhussain和Kurdi[12]提出了一種信譽(yù)管理系統(tǒng),通過將每個(gè)對(duì)等方的信譽(yù)信息保存到一個(gè)鏈來完成。Marti和Garcia-Molina[13]介紹了信譽(yù)系統(tǒng)組件及其屬性的分類,并討論了用戶行為和技術(shù)約束之間的沖突。Tseng和Chen[14]提出了一種P2P文件共享網(wǎng)絡(luò)中的“搭便車”用戶感知信譽(yù)系統(tǒng),提供了一種簡(jiǎn)單的方法來減少惡意文件的傳播和免費(fèi)使用。Fan等[15]提出了一種新的信任模型,采用該技術(shù)計(jì)算信任評(píng)級(jí)特征向量和推薦矩陣,定義推薦聲譽(yù)值來評(píng)估資源服務(wù)行為。Domingo-Ferrer等[16]論證了利用信譽(yù)提供激勵(lì)來補(bǔ)償負(fù)收益,從而使共同效用得以實(shí)現(xiàn)。Sanchez等[17]建立了完全分散的P2P共享管理網(wǎng)絡(luò)和信譽(yù)管理協(xié)議,解決了影響資源共享的兩個(gè)主要障礙,即缺乏對(duì)匹配機(jī)構(gòu)的信任和隱私問題。

本文提出的差異化服務(wù)策略相當(dāng)于一個(gè)懲罰策略。當(dāng)對(duì)等點(diǎn)發(fā)出服務(wù)請(qǐng)求時(shí),超級(jí)節(jié)點(diǎn)根據(jù)其存儲(chǔ)的對(duì)等點(diǎn)的歷史信譽(yù)值,區(qū)分“搭便車”用戶和資源共享用戶,對(duì)兩類用戶提供差異化服務(wù),“搭便車”行為用戶被分配給移動(dòng)節(jié)點(diǎn)處理請(qǐng)求,其速率較低,而資源共享用戶被分配給固定節(jié)點(diǎn)處理請(qǐng)求,其速率較高。目的是增大“搭便車”用戶的平均等待時(shí)間,從而降低其個(gè)人平均收益,鼓勵(lì)對(duì)等點(diǎn)資源共享。為了驗(yàn)證本文所提出的懲罰策略的有效性,本文將在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中對(duì)兩類對(duì)等點(diǎn)的個(gè)人平均收益進(jìn)行對(duì)比分析。

對(duì)于不同類別服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)系統(tǒng)和休假排隊(duì)系統(tǒng)的研究,Madan等[18]研究了單重異步Bernoulli休假策略下的M/M/2排隊(duì)模型,探討了兩種休假方式,得到了模型的穩(wěn)態(tài)方程組。Kumar和Madheswari[19]研究的多重休假下的異步M/M/2排隊(duì)模型,利用矩陣幾何解的方法得到了隊(duì)長(zhǎng)的穩(wěn)態(tài)分布,分析了系統(tǒng)的忙期以及等待時(shí)間等指標(biāo)。王玲等[20]研究了兩個(gè)不同服務(wù)臺(tái)的M/(Ek,M)/2可修排隊(duì)系統(tǒng),通過數(shù)值算例分析了服務(wù)率,到達(dá)率對(duì)系統(tǒng)平均隊(duì)長(zhǎng)的影響。金順福等[21]基于固定節(jié)點(diǎn)的延遲修復(fù)策略,研究了混合P2P網(wǎng)絡(luò)中固定節(jié)點(diǎn)延遲修復(fù)策略的性能分析,利用矩陣幾何解方法,進(jìn)行系統(tǒng)模型的穩(wěn)態(tài)分析。Yu等[22]利用帶有多重工作休假、啟動(dòng)器、反饋和N-策略的可修M/M/2排隊(duì)模型研究了具有閾值激活過程和干擾信號(hào)的無線通信網(wǎng)絡(luò),并提出降低系統(tǒng)能耗的策略。Ayyappan等[23]研究了單個(gè)帶有準(zhǔn)入控制和伯努利休假的服務(wù)臺(tái)服務(wù)兩類顧客的問題。Ugochukwu和Onyebuchi[24]研究了中途退出,服務(wù)器故障,服務(wù)器休假對(duì)批量到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)的各種狀態(tài)的影響。Fan等[25]將休假排隊(duì)模型應(yīng)用于區(qū)塊鏈系統(tǒng),研究了區(qū)塊生成過程中的一些性能指標(biāo)。Tamrakar和Banerjee[26]研究了單個(gè)服務(wù)器、無限緩沖區(qū)、具有單個(gè)和多個(gè)休假的批量服務(wù)泊松隊(duì)列,并通過進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了分析結(jié)果。Angelika和Abdelhak[27]研究了帶有等待和K-變休假的單服務(wù)器馬爾可夫伯努利反饋排隊(duì)系統(tǒng)。Niranjan[28]研究了帶有休假和狀態(tài)依賴故障服務(wù)臺(tái)的批量到達(dá)和批量服務(wù)排隊(duì)系統(tǒng)。與以上工作不同,本文對(duì)服務(wù)臺(tái)數(shù)量進(jìn)行一般化,即將兩類服務(wù)臺(tái)的數(shù)量拓展到c和d個(gè),以應(yīng)對(duì)“搭便車”行為為目的,建立了M/M/c+d混合P2P網(wǎng)絡(luò)排隊(duì)模型。

本文將排隊(duì)論的方法應(yīng)用于混合P2P網(wǎng)絡(luò),根據(jù)用戶的歷史交易行為和信譽(yù)記錄,將請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)劃分為兩類,對(duì)疑似有“搭便車”行為的請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)提供較低服務(wù)率的服務(wù),對(duì)資源共享的請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)提供高服務(wù)率的服務(wù),以減少“搭便車”用戶的個(gè)人平均收益,來應(yīng)對(duì)“搭便車”問題,鼓勵(lì)用戶共享資源。建立了帶有負(fù)顧客和同步多重工作休假的M/M/c+d排隊(duì)模型,對(duì)混合P2P網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行建模分析,利用矩陣幾何解的方法求解排隊(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分布,構(gòu)建平均移動(dòng)節(jié)點(diǎn)數(shù)量,請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)個(gè)人平均收益等性能指標(biāo)。使用Matlab 2018a進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn),比較兩類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)的個(gè)人平均收益,驗(yàn)證模型有效性,進(jìn)行系統(tǒng)收益分析。

1 混合P2P網(wǎng)絡(luò)與建模

1.1 混合P2P網(wǎng)絡(luò)

本文所考慮的混合P2P網(wǎng)絡(luò)由不同的對(duì)等簇組成,每個(gè)對(duì)等簇相當(dāng)于一個(gè)對(duì)等點(diǎn),簇與簇之間通過純P2P模式相連接,如圖1所示,圖中的箭頭方向表示簇之間發(fā)出的請(qǐng)求。每個(gè)簇包含一個(gè)超級(jí)節(jié)點(diǎn),多個(gè)固定節(jié)點(diǎn)和移動(dòng)節(jié)點(diǎn)。每個(gè)固定節(jié)點(diǎn)或者移動(dòng)節(jié)點(diǎn)都是一個(gè)對(duì)等點(diǎn),它既可以作為請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)通過所在的簇向其他節(jié)點(diǎn)發(fā)出服務(wù)請(qǐng)求,也可以作為服務(wù)節(jié)點(diǎn)接收其他節(jié)點(diǎn)的服務(wù)請(qǐng)求。

圖1 純P2P模式Fig.1 Pure P2P mode

3類節(jié)點(diǎn)的具體作用如下:

(1) 超級(jí)節(jié)點(diǎn):處理搜索請(qǐng)求,通過分析請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)的歷史數(shù)據(jù)和信譽(yù)情況,將其劃分為兩類,一類是接受完服務(wù)愿意作為服務(wù)節(jié)點(diǎn)向其他用戶提供服務(wù)的節(jié)點(diǎn)(Ⅰ類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn));另一類是接受完服務(wù)不愿意作為服務(wù)節(jié)點(diǎn)而直接離開系統(tǒng),即有“搭便車”行為傾向的節(jié)點(diǎn)(Ⅱ類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn))。將有“搭便車”行為傾向的請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)分配給移動(dòng)節(jié)點(diǎn)服務(wù),將信譽(yù)良好的請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)分配給固定節(jié)點(diǎn)服務(wù)。超級(jí)節(jié)點(diǎn)必須擁有足夠的內(nèi)存來存放請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)的歷史數(shù)據(jù)以及簇內(nèi)固定節(jié)點(diǎn)和移動(dòng)節(jié)點(diǎn)的信息目錄,而且負(fù)責(zé)維護(hù)整個(gè)簇內(nèi)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

(2) 固定節(jié)點(diǎn):為Ⅰ類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)提供高服務(wù)率的服務(wù),位于Ⅰ區(qū),數(shù)量為c,Ⅰ區(qū)帶有一個(gè)可容納無限請(qǐng)求的緩沖區(qū)。固定節(jié)點(diǎn)主要通過固定網(wǎng)絡(luò)接入,優(yōu)點(diǎn)是設(shè)備性能和網(wǎng)絡(luò)帶寬良好,穩(wěn)定性高,有較高的服務(wù)率;缺點(diǎn)是需要不定時(shí)的休假來維持較高的服務(wù)率。

(3) 移動(dòng)節(jié)點(diǎn):為Ⅱ類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)提供低服務(wù)率的服務(wù),位于Ⅱ區(qū),數(shù)量為d,Ⅱ區(qū)無緩沖區(qū)。移動(dòng)節(jié)點(diǎn)要通過無線網(wǎng)絡(luò)接入,優(yōu)點(diǎn)是移動(dòng)性和靈活性好,幾乎不需要休假;缺點(diǎn)是網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性較低,帶寬有限,所以服務(wù)率較低。

現(xiàn)實(shí)中,我們不能使得每一個(gè)簇內(nèi)的超級(jí)節(jié)點(diǎn)都存儲(chǔ)所有用戶的歷史信息,因?yàn)檫@要求極大的內(nèi)存,大大增加了系統(tǒng)成本。我們的策略是,由于每一個(gè)用戶都是優(yōu)先向相鄰的簇發(fā)出請(qǐng)求,而且P2P系統(tǒng)中的信息資源具有較大的重復(fù)性,所以簇內(nèi)的超級(jí)節(jié)點(diǎn)只需要以自己所在的簇為中心,存儲(chǔ)鄰近一個(gè)范圍內(nèi)的用戶的歷史信息和信譽(yù)記錄。當(dāng)用戶的請(qǐng)求在鄰近的簇內(nèi)得不到滿足時(shí),繼續(xù)經(jīng)過鄰近的簇向另一個(gè)簇發(fā)出請(qǐng)求,由于另一個(gè)簇內(nèi)的超級(jí)節(jié)點(diǎn)可能沒有存儲(chǔ)這個(gè)用戶的歷史信息,這要求兩個(gè)簇之間的超級(jí)節(jié)點(diǎn)共享用戶歷史信息和信譽(yù)情況,這樣,超級(jí)節(jié)點(diǎn)就不需要極大的內(nèi)存,又能存儲(chǔ)所有P2P網(wǎng)絡(luò)中用戶的信息。

圖2描述了混合對(duì)等網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)簇的運(yùn)行機(jī)制,圖中的箭頭方向表示請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)的流動(dòng)方向。

圖2 混合P2P網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)簇的運(yùn)行機(jī)制Fig.2 Operating mechanism of each cluster in a hybrid P2P network

1.2 模型描述

將每一個(gè)P2P網(wǎng)絡(luò)的簇抽象為一個(gè)具有兩類服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)系統(tǒng),把固定節(jié)點(diǎn)和移動(dòng)節(jié)點(diǎn)分別抽象為兩類不同服務(wù)率的服務(wù)臺(tái),將信譽(yù)不同的兩類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)分別抽象為兩類顧客。固定節(jié)點(diǎn)數(shù)量為c,有無限等待空間,服務(wù)時(shí)間S1服從參數(shù)為μ1的指數(shù)分布;移動(dòng)節(jié)點(diǎn)數(shù)量為d,無等待空間,服務(wù)時(shí)間S2服從參數(shù)為μ2的指數(shù)分布(μ1>μ2>0)。Ⅰ類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)和Ⅱ類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)的到達(dá)間隔T1,T2分別服從參數(shù)λ1,λ2的指數(shù)分布(λ1,λ2>0)。

(2) 當(dāng)Ⅰ區(qū)固定節(jié)點(diǎn)空閑時(shí),固定節(jié)點(diǎn)立即進(jìn)入長(zhǎng)度為V的工作休假,休假長(zhǎng)度V服從參數(shù)為θ的指數(shù)分布。當(dāng)工作休假結(jié)束時(shí),若Ⅰ區(qū)仍無節(jié)點(diǎn)請(qǐng)求服務(wù),則固定節(jié)點(diǎn)繼續(xù)下一個(gè)工作休假時(shí)間;當(dāng)工作休期結(jié)束時(shí),若Ⅰ區(qū)有節(jié)點(diǎn)請(qǐng)求服務(wù),則固定節(jié)點(diǎn)結(jié)束工作休假期,開始正規(guī)忙期;若工作休假尚未結(jié)束,Ⅰ區(qū)已有節(jié)點(diǎn)請(qǐng)求服務(wù),則固定節(jié)點(diǎn)以較低的速率μ2為Ⅰ類節(jié)點(diǎn)提供服務(wù)。

(3) 在工作休假期,若Ⅰ區(qū)沒有空閑的固定節(jié)點(diǎn),但Ⅱ區(qū)有空閑的移動(dòng)節(jié)點(diǎn),則新到的Ⅰ類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)直接進(jìn)入Ⅱ區(qū)接受服務(wù);若Ⅰ區(qū)有空閑固定節(jié)點(diǎn),則新到的Ⅰ類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)在Ⅰ區(qū)接受服務(wù)。

(4) 系統(tǒng)引入負(fù)顧客,相當(dāng)于干擾節(jié)點(diǎn),可以將一次請(qǐng)求任務(wù)結(jié)束。當(dāng)負(fù)顧客到達(dá)系統(tǒng)時(shí),將一對(duì)一地抵消處于正常服務(wù)期的Ⅰ區(qū)任意一個(gè)請(qǐng)求節(jié)點(diǎn),若Ⅰ區(qū)無處于正常服務(wù)期的請(qǐng)求節(jié)點(diǎn),到達(dá)的負(fù)顧客自動(dòng)消失。負(fù)顧客只起抵消作用,不接受服務(wù),負(fù)顧客到達(dá)服從參數(shù)ε的指數(shù)分布。

假設(shè)排隊(duì)系統(tǒng)的服務(wù)規(guī)則是先到先服務(wù),到達(dá)間隔、服務(wù)時(shí)間、休假時(shí)間等均相互獨(dú)立。本文主要利用帶有負(fù)顧客和同步多重工作休假策略的M/M/c+d排隊(duì)模型分析研究對(duì)等網(wǎng)絡(luò)中的“搭便車”問題。

2 模型分析與性能指標(biāo)

2.1 模型分析

假設(shè)L1(t)表示t時(shí)z刻系統(tǒng)中Ⅰ區(qū)的請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)數(shù),L2(t)表示t時(shí)刻系統(tǒng)中Ⅱ區(qū)的請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)數(shù),J(t)表示t時(shí)刻Ⅰ區(qū)固定節(jié)點(diǎn)所處的狀態(tài)。

(1)

根據(jù)模型的描述可知,三維馬爾可夫過程{(L1(t),L2(t),J(t)),t≥0}是一個(gè)擬生滅過程(quasi-birth-and-death process, QBD),有狀態(tài)空間Ω={(0,j,0)|0≤j≤d}∪{(i,j,k)|i≥1,0≤j≤d,k=0,1}。

將狀態(tài)按字典序進(jìn)行排列,系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移率矩陣有如下分塊形式:

(2)

其中,A00,A01,A10,Aii(1≤i≤c-1),A1,Ai,i-1(2≤i≤c),Acc,Ac,c+1分別代表水平間的狀態(tài)轉(zhuǎn)移率,為了簡(jiǎn)便表示矩陣,定義如下符號(hào):

Q矩陣的各個(gè)子塊矩陣具體如下:

(3)

(4)

(5)

當(dāng)1≤i≤c-1時(shí),

(6)

(7)

當(dāng)2≤i≤c時(shí),

(8)

(9)

(10)

其中,A0,0是d+1維的方陣,A1,0是(2d+2)×(d+1)維的矩陣,A0,1是(d+1)×(2d+2)維的矩陣,其余的子塊矩陣均是2d+2維的方陣。

當(dāng)馬爾可夫過程{(L1(t),L2(t),J(t)),t≥0}正常返時(shí),穩(wěn)態(tài)分布有如下形式:

QBD{(L1(t),L2(t),J(t)),t≥0} 正常返的充分必要條件是矩陣方程:

R2Ac,c-1+RAc,c+Ac,c+1=0

(11)

有最小非負(fù)解R,且譜半徑SP(R)<1,隨機(jī)陣

(12)

有左零向量。當(dāng)QBD正常返時(shí),穩(wěn)態(tài)分布為

(13)

其中,e1和e2分別是d+1維和2d+2維且所有元素均為1的列向量。

上述結(jié)論的證明過程運(yùn)用了矩陣幾何解方法,具體證明過程可參見文獻(xiàn)[29-31]。

算法 1 迭代算法步驟 1 對(duì)系統(tǒng)參數(shù)定義初始值η(η=10-10),c,d,ε,θ,λ1,λ2,μ1,μ2,設(shè)置率陣R=0步驟 2 輸入 Ac,c-1,Ac,c,Ac,c+1步驟 3 定義 Rn=RR=-(R2Ac,c-1+Ac,c+1)A-1c,cRn+1=R步驟 4 如果 Rn+1-Rn∞>η 返回步驟3否則 進(jìn)入步驟5步驟 5 R=Rn+1

2.2 性能指標(biāo)

(1) Ⅰ區(qū)請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)平均隊(duì)長(zhǎng)為

(14)

(2) Ⅱ區(qū)請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)平均隊(duì)長(zhǎng)為

(15)

利用排隊(duì)理論中的Little公式[32-33]可得

(3) Ⅰ區(qū)和Ⅱ區(qū)請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)平均逗留時(shí)間為

(16)

(4) Ⅱ類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)到達(dá)后消失的概率為

(17)

(5) Ⅰ區(qū)無空閑,Ⅰ類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)到達(dá)后等待的概率為

(18)

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

通過迭代算法得到R2Ac,c-1+RAc,c+Ac,c+1=0的最小非負(fù)解R,然后利用穩(wěn)態(tài)分布方程組求解,可以得到πi,j,k的數(shù)值結(jié)果,進(jìn)而可以得到混合P2P系統(tǒng)的各項(xiàng)性能指標(biāo)。在實(shí)際生活中,性能指標(biāo)會(huì)隨參數(shù)的變化而變化。利用Matlab 2018a給出數(shù)值例子來刻畫性能指標(biāo)隨系統(tǒng)參數(shù)的變化趨勢(shì)。

3.1 系統(tǒng)性能分析

圖3反映了當(dāng)μ1=5,μ2=1,c=6,θ=1,p=0.6,ε=1時(shí),Ⅰ區(qū)請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)的平均等待時(shí)間E(W1)隨工作休假參數(shù)θ和固定節(jié)點(diǎn)數(shù)量d變化的趨勢(shì)。當(dāng)d固定時(shí),隨著θ的逐漸增大,E(W1)逐漸減小;當(dāng)θ固定時(shí),隨著d的逐漸增大,E(W1)逐漸減小。這是因?yàn)棣仍酱?Ⅰ區(qū)服務(wù)臺(tái)工作休假的時(shí)間越短,正常工作時(shí)間越長(zhǎng),因此請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)等待的時(shí)間越短;d越大,可供Ⅰ類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)選擇的服務(wù)臺(tái)數(shù)量越大,等待時(shí)間就越短。

圖3 E(W1)與d和θ的關(guān)系Fig.3 Relationship of E(W1) with d and θ

圖4反映了當(dāng)μ1=5,μ2=1,c=6,d=6,θ=1,p=0.6,ε=1時(shí),Ⅱ區(qū)請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)的平均隊(duì)長(zhǎng)隨兩類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)到達(dá)率變化的趨勢(shì)。當(dāng)Ⅰ類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)和Ⅱ類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)的到達(dá)率增大時(shí),Ⅱ區(qū)請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)的平均隊(duì)長(zhǎng)逐漸增大。這是因?yàn)楫?dāng)Ⅰ區(qū)無空閑固定節(jié)點(diǎn)時(shí),Ⅰ類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)會(huì)以概率1-p進(jìn)入Ⅱ區(qū)接受服務(wù),所以Ⅰ類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)和Ⅱ類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)的到達(dá)率增大都會(huì)使得Ⅱ區(qū)請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)的平均隊(duì)長(zhǎng)增大。

圖4 E(L2)與λ1和λ2的關(guān)系Fig.4 Relation ship of E(L2) with λ1 and λ2

當(dāng)c=6,d=5,λ1=6,λ2=3,μ1=10,μ2=5,θ=4,p=0.6時(shí),觀察負(fù)顧客的到達(dá)率變化對(duì)系統(tǒng)性能指標(biāo)的影響。從表1可以看出隨著ε的不斷增大,E(W1),E(L1),E(W2),E(L2)分別不斷減小,但Pd沒有明顯的變化。這是因?yàn)樨?fù)顧客的到達(dá)會(huì)抵消一個(gè)Ⅰ類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn),而Ⅰ類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)會(huì)以一定概率進(jìn)入Ⅱ區(qū)接受服務(wù),所以E(W1)等4個(gè)指標(biāo)都會(huì)隨負(fù)顧客到達(dá)率的增大而減小。而負(fù)顧客只抵消正常工作狀態(tài)的固定節(jié)點(diǎn),不抵消移動(dòng)節(jié)點(diǎn),所以Pd隨ε改變,沒有明顯變化。

表1 ε對(duì)系統(tǒng)性能指標(biāo)的影響

3.2 模型有效性驗(yàn)證

本文為應(yīng)對(duì)P2P網(wǎng)絡(luò)中的“搭便車”行為,提出一個(gè)懲罰策略,對(duì)“搭便車”行為用戶和資源共享用戶提供不同服務(wù)率的服務(wù),本節(jié)對(duì)此懲罰策略進(jìn)行有效性驗(yàn)證。

假設(shè)一個(gè)請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)完成一次服務(wù)請(qǐng)求之后獲得的個(gè)人回報(bào)為M,請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)在系統(tǒng)內(nèi)單位平均逗留時(shí)間的時(shí)間成本為F,則請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)完成一次服務(wù)請(qǐng)求所獲得的個(gè)人平均收益有如下表達(dá)式:

U1=M-F·E(W1)

(19)

U2=M-F·E(W2)

(20)

其中,U1表示Ⅰ類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)的個(gè)人平均收益函數(shù),U2表示Ⅱ類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)個(gè)人平均收益函數(shù)。當(dāng)c=d=7,λ1=λ2=2,ε=3,p=1,μ1=2,μ2=0.5,M=20,F=15,即,兩類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)的到達(dá)率相等,但固定節(jié)點(diǎn)和移動(dòng)節(jié)點(diǎn)的服務(wù)率不同時(shí),觀察隨工作休假參數(shù)θ變化,兩類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)的個(gè)人平均收益U1,U2的大小。由圖5可以看到,隨著工作休假參數(shù)的增大,兩類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)的個(gè)人平均收益均逐漸增大。這是因?yàn)槿绻ぷ餍菁賲?shù)增大,平均休假時(shí)間減小,服務(wù)節(jié)點(diǎn)處于工作狀態(tài)的概率增大,因此請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)的平均逗留時(shí)間減小,通過收益函數(shù)的表達(dá)式可知,請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)的個(gè)人平均收益與平均逗留時(shí)間負(fù)相關(guān)。因此,兩類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)的個(gè)人平均收益增大。

圖5 U1,U2與θ的關(guān)系Fig.5 Relationship of U1,U2 with θ

另外,Ⅰ類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)的平均收益函數(shù)曲線始終在Ⅱ類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)的平均收益函數(shù)的上方,即,無論哪個(gè)參數(shù)水平,Ⅰ類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)的平均收益始終大于Ⅱ類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)的平均收益。為了看到準(zhǔn)確的收益對(duì)比,表2給出了兩類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)個(gè)人平均收益的數(shù)值比較。表2顯示,無論在哪一個(gè)工作休假參數(shù)水平下,Ⅰ類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)的個(gè)人平均收益相比于Ⅱ類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)的個(gè)人平均收益,至少高出20%。因此,本文所建立的應(yīng)對(duì)“搭便車”行為的模型可以有效降低“搭便車”用戶的平均收益,懲罰作用明顯。

表2 U1,U2的具體值

4 系統(tǒng)收益分析

本節(jié)討論P(yáng)2P系統(tǒng)的收益問題。假設(shè)L表示P2P系統(tǒng)服務(wù)完一個(gè)節(jié)點(diǎn)后獲得的平均收益,C表示單位時(shí)間內(nèi)P2P系統(tǒng)服務(wù)一個(gè)節(jié)點(diǎn)的平均成本,Cp表示每個(gè)節(jié)點(diǎn)在正規(guī)忙期內(nèi)的損失,Cd表示一個(gè)Ⅱ類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)消失后帶來的潛在損失,則P2P系統(tǒng)的收益函數(shù)可以表示為

(21)

其中,

為了保證該P(yáng)2P系統(tǒng)盈利,需要滿足

即

圖6反映了當(dāng)λ2=2,μ1=10,μ2=5,c=6,d=5,p=0.6,ε=3,L=22,C=5,Cp=14.1,Cd=5時(shí),系統(tǒng)收益隨λ1和θ變化的趨勢(shì)。當(dāng)θ固定時(shí),隨λ1逐漸增大,收益U逐漸減小,最終小于零;當(dāng)λ1固定時(shí),收益U隨θ的增大而變大。這是因?yàn)棣?增大,但若服務(wù)臺(tái)服務(wù)率相對(duì)較小,有一部分請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)到達(dá)后離開,造成的潛在損失加大;而當(dāng)θ增大時(shí),系統(tǒng)的休假時(shí)間減小,正常工作時(shí)間增大,給系統(tǒng)帶來的收益增大。所以,為了提高系統(tǒng)收益,一方面需要使服務(wù)率相對(duì)于到達(dá)率較大,從而降低請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)離開的概率,另一方面需要降低系統(tǒng)的休假時(shí)間。

圖6 U與λ1和θ的關(guān)系Fig.6 Relationship of U with λ1 and θ

為了保證系統(tǒng)收益大于零,需找到使得系統(tǒng)收益大于零的點(diǎn)。由Matlab 2018a可以得到,當(dāng)λ1<19,θ=5;λ1<20,θ=6;λ1<20,θ=7;λ1<21,θ=9時(shí),P2P系統(tǒng)收益大于零。

5 結(jié) 論

P2P網(wǎng)絡(luò)中的“搭便車”行為嚴(yán)重影響了系統(tǒng)的效率和穩(wěn)定性。本文提出一個(gè)懲罰策略來應(yīng)對(duì)“搭便車”行為,即根據(jù)對(duì)等點(diǎn)的歷史信譽(yù)值,將其分為兩類,對(duì)其提供差異化服務(wù),減少“搭便車”用戶的個(gè)人收益。利用M/M/c+d排隊(duì)模型,對(duì)此混合P2P網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行排隊(duì)建模,使用矩陣幾何解方法求解排隊(duì)模型的穩(wěn)態(tài)分布,通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了模型的有效性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示,無論在哪一個(gè)工作休假參數(shù)水平下,Ⅰ類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)的個(gè)人平均收益相比于Ⅱ類請(qǐng)求節(jié)點(diǎn)的個(gè)人平均收益,至少高出20%。最后通過構(gòu)造系統(tǒng)收益函數(shù),研究了混合P2P系統(tǒng)的收益,得到保證混合P2P系統(tǒng)收益的參數(shù)閾值。本文將排隊(duì)建模方法應(yīng)用于P2P網(wǎng)絡(luò),分析P2P網(wǎng)絡(luò)中的實(shí)際問題,為以后的研究提供了思路。

對(duì)于P2P中的“搭便車”現(xiàn)象,需要提出更加合理有效的“搭便車”行為劃分方法,結(jié)合排隊(duì)理論,構(gòu)造更加有創(chuàng)新性的P2P網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。針對(duì)此問題，我們將在以后的工作中繼續(xù)研究。