孔祥芬，劉敬赟，王 杰，唐淑珍

（中國民航大學(xué)航空工程學(xué)院，天津 300300）

1 引言

隨著航空科學(xué)技術(shù)日益蓬勃發(fā)展，民用飛機(jī)的先進(jìn)機(jī)載用電設(shè)備大幅增加，對飛機(jī)供電系統(tǒng)的要求和依賴性進(jìn)一步提高[1]。整體驅(qū)動發(fā)電機(jī)（IDG）作為飛機(jī)供電系統(tǒng)的核心電源部件，為機(jī)載用電設(shè)備提供恒頻交流電[2]，其可靠運(yùn)行是飛機(jī)飛行安全的重要保障。近年來，我國正處于由民航大國向民航強(qiáng)國邁進(jìn)的關(guān)鍵時期，民航“一二三三四”總體工作思路和“民航高質(zhì)量發(fā)展”戰(zhàn)略需求都對航空附部件產(chǎn)品的可靠性提出了更高的要求。從飛機(jī)IDG的歷史故障數(shù)據(jù)出發(fā)，結(jié)合數(shù)據(jù)特點(diǎn)對其進(jìn)行可靠性分析，了解IDG故障的變化規(guī)律，對提高飛機(jī)IDG的使用可靠性及制定經(jīng)濟(jì)合理的維修策略具有重要意義。

對于飛機(jī)IDG這樣的航空附部件產(chǎn)品，其可靠性要求高且價格高昂數(shù)量少，從而可獲得的故障數(shù)據(jù)較少屬于小樣本（n≤30）范疇。目前，在航空附部件產(chǎn)品的可靠性分析方面，國內(nèi)外學(xué)者針對小樣本故障數(shù)據(jù)的分析研究較少。如，文獻(xiàn)[3]采用利用EM算法估計飛機(jī)IDG在故障數(shù)據(jù)刪失情況下威布爾分布的未知參數(shù)；文獻(xiàn)[4]運(yùn)用Bootstrap方法對飛機(jī)IDG進(jìn)行可靠度、平均故障間隔時間的點(diǎn)估計和區(qū)間估計計算；文獻(xiàn)[5]通過對比分析中位秩法和平均秩次法兩種經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，得到綜合最小二乘法及平均秩次法所得到的某航空裝備的可靠性參數(shù)估計精度更高；文獻(xiàn)[6]運(yùn)用極大似然值法求解了飛機(jī)無線電子設(shè)備在退化狀態(tài)情況下的參數(shù)估計問題。然而，上述所運(yùn)用的可靠性統(tǒng)計研究方法相較于飛機(jī)IDG的小樣本故障數(shù)據(jù)特征難以獲得較好的效果，會造成計算結(jié)果與實(shí)際情況之間存在誤差。

支持向量機(jī)（Support Vector Machine，SVM）作為近年來基于統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論發(fā)展起來的一種機(jī)器學(xué)習(xí)方法[7]，以結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化作為目標(biāo)函數(shù)，無需先驗(yàn)知識。在解決小樣本實(shí)際問題中表現(xiàn)出獨(dú)特的優(yōu)勢[8]。文獻(xiàn)[9]利用SVM模型訓(xùn)練樣本進(jìn)而對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測擴(kuò)充，最后利用擴(kuò)充后的樣本進(jìn)行可靠性參數(shù)估計；文獻(xiàn)[10]結(jié)合實(shí)例，利用支持向量機(jī)回歸法、蒙特卡羅法等模型方法，分別對連桿的變形和搖桿的擺角進(jìn)行可靠性對比研究分析；文獻(xiàn)[11]指出SVM回歸模型具有訓(xùn)練速度慢、存儲量大的難題。文獻(xiàn)[12]提出一種支持向量機(jī)的改進(jìn)算法—最小二乘支持向量機(jī)算法（Least Squares Support Vector Machine，LSSVM）對服從威布爾分布的發(fā)動機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)估計。并指出該方法在保證精度的同時改善了SVM回歸模型訓(xùn)練速度慢的問題。

上述研究成果表明，LSSVM 算法可以得到小樣本數(shù)據(jù)下較為理想的可靠性參數(shù)估計結(jié)果。

研究和實(shí)踐結(jié)果表明，飛機(jī)機(jī)電、液壓等系統(tǒng)以及其子系統(tǒng)、零部件大都適用威布爾分布來擬合[4，13?14]。因此，在現(xiàn)有的研究基礎(chǔ)上，以威布爾分布為例，將LSSVM算法應(yīng)用到小樣本故障數(shù)據(jù)下飛機(jī)IDG可靠性分析中。

采集到某航空公司3年45架B737?800飛機(jī)IDG部件的歷史故障數(shù)據(jù)作為LSSVM模型的訓(xùn)練樣本，采用網(wǎng)格搜索法和交叉驗(yàn)證法尋找LSSVM模型中的最優(yōu)參數(shù)，繼而結(jié)合圖估計法對可靠性分布參數(shù)進(jìn)行估計，并與最小二乘法的參數(shù)估計結(jié)果進(jìn)行對比研究。

2 LSSVM算法介紹

2.1 LSSVM回歸模型

文獻(xiàn)[15]于1999 年在SVM 的基礎(chǔ)上提出了LSSVM。與SVM相比，LSSVM在優(yōu)化問題中使用的是平方誤差項(xiàng)而非ε?不敏感損失函數(shù)，即LSSVM利用求解一組等式約束替代了SVM在對偶空間中求解二次規(guī)劃的問題。

從而降低了模型優(yōu)化過程中的復(fù)雜性，克服了模型訓(xùn)練時間較長的問題，且提高了收斂精度。

對于給定的數(shù)據(jù)集：

LSSVM回歸模型可表示為求解以下優(yōu)化問題：

式中：ω—權(quán)向量；

?(x)—非線性函數(shù)，將非線性函數(shù)映射到高維特征空間構(gòu)造線性回歸；

b—偏置項(xiàng)；

γ—正則化常數(shù)；

ξi—誤差項(xiàng)。

一般用拉格朗日法求解這類優(yōu)化問題：

引入核函數(shù)K(xi，xj)=?(xi)??(xj)，K(xi，xj)是滿足Mercer條件的核函數(shù)。根據(jù)式（3），優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為求解線性方程：

2.2 LSSVM參數(shù)選擇

LSSVM 模型性能的好壞取決于核函數(shù)及其參數(shù)、正則化參數(shù)γ的影響。其中核函數(shù)K(xi,xj)主要有線性（Linear）核函數(shù)，徑向基（Radial Basis Function，RBF）核函數(shù)，多項(xiàng)式（Polynomial）核函數(shù)等，這里運(yùn)用一般工程實(shí)際問題通常采用的徑向基核函數(shù)。

經(jīng)過以上分析可知采用RBF核函數(shù)的最小二乘支持向量機(jī)模型中包含兩個參數(shù)，即正則化參數(shù)γ和RBF核參數(shù)σ2，二者的取值對模型的學(xué)習(xí)能力和泛化能力有很大的影響。LSSVM回歸模型參數(shù)的選擇是一個尋優(yōu)過程，通常采用的方法有網(wǎng)格搜索法、梯度下降法、數(shù)值估計法等。

鑒于采集的數(shù)據(jù)集為小樣本，這里采用網(wǎng)格搜索法和交叉驗(yàn)證法對參數(shù)組合(γ，σ2)進(jìn)行尋優(yōu)。該方法可同時對σ2和γ進(jìn)行窮舉搜索。令：

根據(jù)所設(shè)定的范圍和步長將σ2和γ可能的取值進(jìn)行組合(γ，σ2)，在模型嘗試了所有的參數(shù)組合列出所有可能的組合結(jié)果生成“網(wǎng)格”，利用交叉驗(yàn)證法求得樣本點(diǎn)與回歸擬合點(diǎn)間的均方誤差，取其中誤差最小的一組參數(shù)組合作為模型參數(shù)[9]，同時可得所求最優(yōu)回歸直線。

3 LSSVM算法下的威布爾分布參數(shù)估計

3.1 威布爾分布及其線性化

威布爾分布模型能夠描述失效率浴盆曲線各個階段的分布規(guī)律，比其他分布模型的適用范圍更廣[16]。是機(jī)械、電子等領(lǐng)域廣泛使用的連續(xù)型分布。兩參數(shù)威布爾分布的累計失效概率函數(shù)為：

式中：t—部件產(chǎn)品的故障時間；β—形狀參數(shù)；η—尺寸參數(shù)。

一般地，當(dāng)樣本量n≤20時通常采用中位秩公式來計算累計失效概率密度：

式中：n—樣本量；i—樣本故障時間從小到大排序序號。

進(jìn)一步將威布爾分布模型線性化，可得：

對于一組故障數(shù)據(jù)樣本{ }ti，i=1，....n，將數(shù)據(jù)線性化后得到數(shù)據(jù)集T={(x1，y1)，(x2，y2)，…(xn，yn)}。

數(shù)據(jù)集T={(x1，y1)，(x2，y2)，…(xn，yn)}線性相關(guān)程度通常用相關(guān)系數(shù)ρxy來表示：

3.2 基于LSSVM回歸模型的參數(shù)估計

若樣本數(shù)據(jù)可較好的服從兩參數(shù)威布爾分布，則進(jìn)一步運(yùn)用LSSVM回歸模型對線性化后的數(shù)據(jù)集:

進(jìn)行回歸擬合，得到最優(yōu)回歸直線。

根據(jù)式（10）和式（11）可知，所得到的最優(yōu)回歸直線的斜率即為形狀參數(shù)β的值。另外，尺寸參數(shù)η又稱特征壽命，為累計故障失效率F(t)=63.2%時所對應(yīng)的壽命。根據(jù)式（10）可知，當(dāng)累計故障失效率F(t)=63.2%時對應(yīng)的yi=0，從而直線yi=0與最優(yōu)回歸直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為lnη的值。

3.3 回歸擬合結(jié)果的評價

通常，可采用統(tǒng)計學(xué)中的以下指標(biāo)對不同回歸擬合方法所得結(jié)果進(jìn)行定量評估。

（1）決定系數(shù)，即R2(R?Square)。

均方根誤差（RMSE）為：

均方根誤差越接近0，表明擬合效果最好。

4 案例分析

4.1 飛機(jī)IDG部件介紹

飛機(jī)整體驅(qū)動發(fā)電機(jī)（IDG）又稱組合驅(qū)動發(fā)電機(jī)，是目前國內(nèi)外民航運(yùn)輸業(yè)中大型客機(jī)如B707、B737、B747、A320等供電系統(tǒng)的主要電源。以B737?800飛機(jī)為例，每架B737?800飛機(jī)配備有兩臺IDG，分別位于左、右發(fā)動機(jī)附件輪箱的前面。

飛機(jī)IDG主要由液壓機(jī)械恒速傳動（CSD）裝置，空氣/滑油冷卻器和無刷交流發(fā)機(jī)三部分組成，工作原理為：發(fā)動機(jī)附件齒輪箱傳遞變化的轉(zhuǎn)速帶動IDG主軸轉(zhuǎn)動，通過液壓恒速傳動裝置將變速轉(zhuǎn)化為恒速，驅(qū)動其內(nèi)部交流發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動，進(jìn)而為飛機(jī)機(jī)載用電設(shè)備提供恒頻交流電。

其可靠性框圖，如圖1 所示。作為飛機(jī)供電系統(tǒng)的核心部件，飛機(jī)IDG的可靠性水平直接影響了飛機(jī)系統(tǒng)的安全性和可靠性，因此進(jìn)一步統(tǒng)計飛機(jī)IDG的故障數(shù)據(jù)，對飛機(jī)IDG進(jìn)行可靠性分析。

圖1 飛機(jī)IDG可靠性框圖Fig.1 Reliability Block Diagram of Aircraft IDG

4.2 數(shù)據(jù)采集與預(yù)處理

以國內(nèi)某航空公司45架B737?800飛機(jī)機(jī)組為研究對象，采集到該機(jī)組2015年2月到2018年7月供電系統(tǒng)的現(xiàn)場故障數(shù)據(jù)電子記錄。

其中所考慮的飛機(jī)IDG故障主要包括兩種類型：

（1）在故障描述中表明飛機(jī)IDG中的某零部件異常，如過站檢查發(fā)現(xiàn)右發(fā)IDG空氣滑油冷卻器漏滑油，并在排故措施中采取更換該零部件的措施；

（2）在故障描述中體現(xiàn)與飛機(jī)IDG相關(guān)的異?，F(xiàn)象，如地面滑行時右發(fā)SOURCE OFF 燈亮等，因此在排故措施中采取更換IDG等措施。

經(jīng)過對該機(jī)組供電系統(tǒng)故障記錄的篩選、歸類處理，得到飛機(jī)IDG的故障數(shù)據(jù)即單機(jī)同一IDG部件相鄰兩次故障間的飛行時間（即可靠性指標(biāo)故障間隔時間），共計15條，部分故障數(shù)據(jù)記錄，如表1所示。

表1 飛機(jī)IDG的部分故障數(shù)據(jù)記錄Tab.1 Partial Fault Data Record of Aircraft IDG

將15條飛機(jī)IDG故障數(shù)據(jù)按照從小到大升序排列，具體統(tǒng)計結(jié)果表2第二列所示。

根據(jù)式（3）對該數(shù)據(jù)樣本進(jìn)一步線性化處理得到數(shù)據(jù)集T=(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，如表2中的第3、4列所示。

表2 故障數(shù)據(jù)、訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)及擬合結(jié)果Tab.2 Fault Data，Training Sample Data and Fitting Results

經(jīng)計算，x與y之間的相關(guān)系數(shù)ρxy為：

由計算結(jié)果可知，二者近似線性關(guān)系，說明B737?800 飛機(jī)IDG故障的壽命分布較好的服從二參數(shù)威布爾分布。

4.3 可靠性參數(shù)估計結(jié)果

將線性化處理得到數(shù)據(jù)集T=(x1，y1)，(x2，y2)，...，(xn，yn)，作為LSSVM回歸的訓(xùn)練樣本。首先，采用網(wǎng)格搜索法和交叉驗(yàn)證法對LSSVM模型進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)，其中搜索范圍和步長如下：

通過尋優(yōu)計算，得到最優(yōu)參數(shù)組合γ=100005，σ2=12。擬合結(jié)果，如表2 第5 列所示。同時得到最優(yōu)回歸直線，如圖2 所示。其中，該直線的斜率即形狀參數(shù)β=1.2409。通過圖2中虛線所示，直線y=0與回歸直線的交點(diǎn)A對應(yīng)的橫坐標(biāo)的值即x=lnη，從而得到尺寸參數(shù)η=9823.6694。

圖2 LSSVM算法下的最優(yōu)回歸擬合直線Fig.2 Optimal Regression Fitting Line in LSSVM Algorithm

4.4 可靠性參數(shù)估計結(jié)果對比評價

為驗(yàn)證LSSVM算法的有效性和準(zhǔn)確性，采用可靠性分析中傳統(tǒng)的最小二乘法（Least Squares Regression，LSR）進(jìn)行對比。其中采用最小二乘法進(jìn)行回歸擬合，擬合結(jié)果如表2第5列所示，參數(shù)估計結(jié)果，如表3所示。分別運(yùn)用式（13）和式（14）指標(biāo)對兩種方法進(jìn)行誤差分析，結(jié)果，如表3所示。

根據(jù)表3 中結(jié)果可知，使用兩種方法所得參數(shù)結(jié)果基本一致，其中LSSVM算法下的決定系數(shù)R2偏大，均方根誤差RMSE偏小?？烧f明運(yùn)用LSSVM算法可以得到小樣本下飛機(jī)IDG的可靠性參數(shù)估計結(jié)果，且估計精度得到了提高。該結(jié)果與文獻(xiàn)[17]的結(jié)果相同。

表3 可靠性參數(shù)估計結(jié)果及誤差分析Tab.3 Reliability Parameter Estimation Results and Error Analysis

5 飛機(jī)IDG部件的可靠性分析

B737?800飛機(jī)IDG的故障壽命分布較好的服從兩參數(shù)威布爾分布，由所識別的形狀參數(shù)和尺度參數(shù)，得到該B737?800機(jī)組的飛機(jī)IDG部件失效率、可靠度曲線，如圖3、圖4所示。

圖3 飛機(jī)IDG的失效率曲線Fig.3 Failure Rate Curve of Aircraft IDG

圖4 飛機(jī)IDG的可靠度曲線Fig.4 Reliability Curve of Aircraft IDG

從失效率、可靠度曲線趨勢來看，使用兩種算法得到的趨勢相同，但存在一定的偏差。

其中LSSVM算法下得到的飛機(jī)IDG部件失效率偏高，可靠度偏低。

LSSVM 算法下計算得到形狀參數(shù)β=1.2409，β>1，說明飛機(jī)IDG的失效率隨時間的增長而增加，故障類型為耗損故障。

一般當(dāng)β>1 時，表明該部件失效往往會集中在某一時刻后不太長的時間段內(nèi)，對這類部件一般采用預(yù)防性維修最為有效，在規(guī)定期限內(nèi)進(jìn)行狀態(tài)檢測以減少不必要的維修，節(jié)約維修成本。

通常采用的狀態(tài)檢測周期為Tm=0.1MTBF，其中兩參數(shù)威布爾分布的平均故障間隔時間為：

代入尺寸參數(shù)η=9823.6694，形狀參數(shù)β=1.2409，得到Tm=916.5484。因此建議每隔917Fh對該B737?800飛機(jī)機(jī)組的IDG部件進(jìn)行狀態(tài)檢修。

6 結(jié)論

針對飛機(jī)IDG作為航空高可靠性產(chǎn)品故障數(shù)據(jù)為小樣本的特點(diǎn)，這里提出將小樣本數(shù)據(jù)分析方法引入飛機(jī)IDG部件的可靠性分析中?？傻玫揭韵陆Y(jié)論：

（1）通過對比LSSVM算法和最小二乘法的可靠性分析效果，得到基于LSSVM算法下飛機(jī)IDG的可靠性分析精度較高。兩種方法下得到的可靠度曲線趨勢一致，LSSVM 算法下的可靠度較低，可更加客觀的評價飛機(jī)IDG的可靠性。

（2）經(jīng)計算得到，該B737?800機(jī)組飛機(jī)IDG部件故障時間服從形狀參數(shù)為β=1.2409，尺度參數(shù)為η=9823.6694的兩參數(shù)威布爾分布。在對飛機(jī)IDG進(jìn)行預(yù)防性維修方面，建議每隔917Fh對飛機(jī)IDG部件進(jìn)行狀態(tài)檢修。

（3）此外，該小樣本情況下的可靠性分析方法還可以為飛機(jī)其他高可靠性系統(tǒng)、子部件以及其他領(lǐng)域裝備的可靠性分析提供參考依據(jù)。