李號，李自成，鄭堰，沈志強，楊浩，鄒夢玨

（成都理工大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院，四川 樂山 614000）

最少拍系統(tǒng)設(shè)計的原理是保持采樣點的數(shù)據(jù)不變或者為零，通過使用Z 變換概念使采樣點數(shù)據(jù)保持不變或者在很小誤差之內(nèi)。在許多情況下，因為控制作用的不平滑性，采樣點的系統(tǒng)輸出會出現(xiàn)紋波，這就是有波紋設(shè)計。無波紋設(shè)計是在輸入信號作用下，系統(tǒng)內(nèi)部經(jīng)過多次拍達(dá)到穩(wěn)定，采樣點間無波動，并且輸入誤差為零。

通常采樣點間的紋波不能在采樣點的信號上出現(xiàn)，要達(dá)到采樣點之間的信號不能進(jìn)行閉環(huán)控制。被控對象G(z)的全部零點要被閉環(huán)函數(shù)所包含。由于控制器D(z)在系統(tǒng)中對極點進(jìn)行處理，之后采樣點間的紋波會消失[1-2]，其中典型輸入的z 變換公式為：

1 最少拍控制系統(tǒng)

一般在數(shù)字控制系統(tǒng)中，一個采樣周期為一拍，最小拍控制的概念是指在輸入下可以讓系統(tǒng)輸出在有限個周期內(nèi)進(jìn)行無誤差跟蹤輸入（即系統(tǒng)輸出穩(wěn)態(tài)誤差為零）。最小拍控制系統(tǒng)也為時間最優(yōu)控制系統(tǒng)，評價該系統(tǒng)的依據(jù)是按照系統(tǒng)要求達(dá)到的系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間最短或越短越好[3]。下面用一個例子來介紹此系統(tǒng)。

（Kd=2、T1=1、T2=1，采樣周期為1s）

Gc(s)指的是被控對象。

D(z)指的是數(shù)字控制器。

H(s)指的是零階保持器。

T 指的是采樣周期。

當(dāng)控制對象和零階保持器離散化了以后，就變成了廣義對象的Z傳遞函數(shù)，所以廣義對象的脈沖函數(shù)為：

1.1 最少拍控制系統(tǒng)產(chǎn)生紋波的原因

系統(tǒng)輸出采樣點間的紋波是因為控制量輸出波動造成的，這種波在采樣點之間又無法被發(fā)現(xiàn)，本質(zhì)是控制變量Z 變換后產(chǎn)生非零極點造成。通常解釋為由數(shù)字控制器的輸出序列u(k)，在經(jīng)過若干次拍后為振蕩收斂。

1.2 消除紋波的條件

紋波造成的采樣點間的誤差會增加系統(tǒng)整體損耗，得到的結(jié)果會與預(yù)計效果產(chǎn)生偏差。最小拍無紋波系統(tǒng)的必要條件是被控對象G0(s)給出的c(t)必須滿足與輸入相同的形式。最小拍控制系統(tǒng)的紋波主要產(chǎn)生原因是通過數(shù)字控制器的輸出后，會產(chǎn)生振蕩收斂，在系統(tǒng)中會顯示無紋波，最重要的是確保穩(wěn)態(tài)控制信號為零或者保持不變。最后還要確定無紋波系統(tǒng)必須要滿足有紋波系統(tǒng)的性能要求等，綜上所述，即可消除紋波，設(shè)計出無紋波控制系統(tǒng)。

1.3 設(shè)計要求

1.快速性。系統(tǒng)在有限 拍數(shù)后產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)設(shè)計狀態(tài)，這時系統(tǒng)可以保證跟蹤輸入量所需要的周期最少。

2.穩(wěn)定性。不但要保證控制系統(tǒng)中控制量的收斂，還要保證控制量在采樣點上的準(zhǔn)確穩(wěn)定，滿足這兩個條件，才能確保閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

3.準(zhǔn)確性。對于輸入特定的系統(tǒng)，系統(tǒng)輸出后的采樣值達(dá)到系統(tǒng)要求，可以精確跟蹤穩(wěn)態(tài)狀態(tài)，即采樣點輸出無誤差。[4]

2 控制系統(tǒng)設(shè)計

因為最小拍控制系統(tǒng)對于輸入形式不同，數(shù)字控制器也會不同，所以我們需要對不同的信號分別進(jìn)行設(shè)計考慮。

圖1 離散系統(tǒng)原理圖

2.1 單位階躍信號輸入時最少拍無紋波的設(shè)計

1.求出系統(tǒng)廣義脈沖傳遞函數(shù)為：

2.根據(jù)上式可知：G(z)存在零點z=-0.36，極點P1=0.367，P2=0.135

所以閉環(huán)脈沖函數(shù)?(z)應(yīng)包含G(Z)的全部零點，所以由此可得：

因為?e(z)是根據(jù)G(z)的不穩(wěn)定性以及?(z)的階次來決定的，所以：

將公式（6）、（7）中?(z)和?e(z)的值代入?e(z)=1-?(z)中可得：

所以聯(lián)立解得：b=0.269 a=0.731

3.求出系統(tǒng)控制器D(z)的傳遞函數(shù)為：

化簡可得：

4.根據(jù)以上得出的數(shù)據(jù)結(jié)果進(jìn)行仿真。

仿真原理圖如圖2 所示。

圖2 單位階躍輸入最少拍無紋波控制系統(tǒng)仿真圖

仿真結(jié)果如圖3、圖4、圖5 所示。

圖3 單位階躍輸入最少拍無紋波系統(tǒng)輸出

圖4 階躍輸入最少拍無紋波系統(tǒng)控制器輸出圖

圖5 階躍輸入最少拍無紋波誤差輸出圖形

根據(jù)以上仿真圖形結(jié)果：系統(tǒng)控制結(jié)果較為穩(wěn)定，系統(tǒng)可以輸出無紋波，通過結(jié)果對比發(fā)現(xiàn)，無紋波系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間相對無紋波增長若干拍，增長的拍數(shù)在結(jié)果中查看發(fā)現(xiàn)等于在單位圓內(nèi)的零點數(shù)。

2.2 單位速度信號輸入時最少拍無紋波設(shè)計

1.求出該系統(tǒng)的廣義脈沖傳遞函數(shù)為：

2.根據(jù)上式可得：G(z)有零點z=-0.36，以及極點P1=0.367,P2=0.135。

所以閉環(huán)脈沖函數(shù)?(z)應(yīng)當(dāng)包含G(Z)所有的零點，由此可知：

因為?(z)的值是由?(z)的階次和G(z)的不穩(wěn)定極點來決定的。又根據(jù)公式：

根據(jù)此式可得：c=0.3413,b=-0.9274,a=1.6587。

3.再求得控制器D(z)的傳遞函數(shù)為：

將此式化簡可得：

4.根據(jù)公式求出的結(jié)果進(jìn)行仿真。

仿真原理圖如圖6 所示。

圖6 單位速度輸入無紋波系統(tǒng)仿真圖

仿真結(jié)果如圖7、圖8、圖9 所示。

圖7 單位速度輸入無紋波系統(tǒng)輸出圖形

圖8 單位速度輸入無紋波控制器波形圖形

圖9 單位速度輸入無紋波系統(tǒng)輸出和誤差圖形

根據(jù)以上仿真圖形可知：輸出波在幾拍后便開始變成無紋波。

3 結(jié)語

本文通過對最少拍控制系統(tǒng)的設(shè)計，對計算機控制技術(shù)以及自動控制原理等相關(guān)知識有了更加深刻的理解認(rèn)識。掌握了最少拍無紋波和最少拍有紋波的區(qū)別、產(chǎn)生紋波的原因、如何消除最少拍中的紋波等一系列問題，了解最少拍控制器的設(shè)計方法過程，掌握使用Matlab 軟件對輸入信號控制的最少拍控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真[5]，形象具體地觀察到最少拍控制系統(tǒng)的實驗現(xiàn)象。最少拍控制系統(tǒng)本身具有很多優(yōu)點，并且在計算機控制系統(tǒng)中得到了廣泛應(yīng)用。在實際運用時則需要根據(jù)對應(yīng)的情況靈活變通地使用最少拍控制系統(tǒng)設(shè)計方法。