言小明,王 平,余玉剛

(中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 管理學(xué)院,安徽 合肥 230026)

0 引言

根據(jù)ECR Europe[1],缺貨是當(dāng)消費(fèi)者沒(méi)有找到所需商品的形式、口味或大小,或沒(méi)有在可銷(xiāo)售的條件下找到所需商品,又或該商品沒(méi)有被擱置在預(yù)期位置的情況。近年來(lái),研究人員和咨詢企業(yè)對(duì)零售業(yè)的缺貨情況進(jìn)行了廣泛的分析,雖然缺貨問(wèn)題并不是一個(gè)新話題,但是缺貨仍然是許多零售商的關(guān)鍵問(wèn)題。缺貨的發(fā)生對(duì)零售商造成了利潤(rùn)和銷(xiāo)售的損失。根據(jù)Che 等[2]的研究,雜貨類(lèi)產(chǎn)品的平均缺貨率為7.9%,造成了零售商4%的銷(xiāo)售損失。Jing 和Lewis[3]發(fā)現(xiàn)如果消除所有的缺貨情況可以將收益提高12.5%,并且將長(zhǎng)期客戶權(quán)益提高56.2%。此外,缺貨的發(fā)生也對(duì)消費(fèi)者的行為造成了影響。Sanchez-Ruiz 等[4]指出,當(dāng)消費(fèi)者面臨缺貨情況時(shí)可能采取的措施是購(gòu)買(mǎi)替代品、延遲購(gòu)買(mǎi)決策或者不購(gòu)買(mǎi)并且直接離開(kāi)商店。而且缺貨可能會(huì)降低消費(fèi)者的滿意度,影響消費(fèi)者對(duì)企業(yè)產(chǎn)品的忠誠(chéng)度,不僅破壞了產(chǎn)品形象,甚至給企業(yè)帶來(lái)消費(fèi)者的永久流失?，F(xiàn)在,購(gòu)物的多種渠道以及快速的信息獲取使得消費(fèi)者更加不能接受缺貨的情況。但是對(duì)于企業(yè)來(lái)說(shuō),在面對(duì)不確定市場(chǎng)時(shí),準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)需求和提供恰到好處的庫(kù)存是存在難度的并且需要大量的成本。所以,在決策時(shí)考慮缺貨情況以及消費(fèi)者對(duì)缺貨的厭惡程度,能夠使零售商更合理地制定產(chǎn)品決策。因此,在考慮缺貨的影響下,分析競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)中企業(yè)滿足率和價(jià)格決策的均衡情況,是值得研究的重要問(wèn)題。

產(chǎn)品滿足率,即產(chǎn)品可獲得性,通常被認(rèn)為是需求中可以被當(dāng)前庫(kù)存滿足的部分。Dana 和Petruzzi[5]在構(gòu)建需求模型時(shí)假設(shè),消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)企業(yè)產(chǎn)品獲得的效用不僅取決于產(chǎn)品的價(jià)格,而且與預(yù)期的產(chǎn)品可獲得性有關(guān)。Dana[6]通過(guò)視頻租賃市場(chǎng)的案例討論價(jià)格與產(chǎn)品可獲得性之間的關(guān)系。作者在需求不確定的假設(shè)下提出了一個(gè)在價(jià)格和產(chǎn)品可獲得性維度進(jìn)行競(jìng)爭(zhēng)的模型,并且表明,在單周期Cournot 模型中,企業(yè)使用更高的價(jià)格表明更高的產(chǎn)品可獲得性,在單周期Bertrand 模型中,較高的價(jià)格會(huì)促使企業(yè)持有更高的庫(kù)存。同樣地,Lei 等[7]認(rèn)為零售商以較高的價(jià)格表明產(chǎn)品的可獲得性。Craig 等[8]從實(shí)證角度上研究了供應(yīng)商的服務(wù)水平對(duì)零售商需求的影響,并且通過(guò)對(duì)Hugo Boss 的研究發(fā)現(xiàn)滿足率每增加1%,零售商需求增加11%。以上文獻(xiàn)大多研究了價(jià)格或庫(kù)存決策對(duì)產(chǎn)品可獲得性的影響,但鮮有將產(chǎn)品滿足率作為決策變量加以討論。

此外,本文的研究針對(duì)競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)中多個(gè)企業(yè)同時(shí)進(jìn)行決策的問(wèn)題,其中每個(gè)企業(yè)的產(chǎn)品有區(qū)別但可替代。早期對(duì)報(bào)童模型的研究主要集中于庫(kù)存決策上,該研究可以追溯到Parlar[9],他研究了銷(xiāo)售可替代產(chǎn)品的兩個(gè)企業(yè)的庫(kù)存博弈問(wèn)題,并且證明了納什均衡的存在性與唯一性。這一結(jié)果被Wang 和Parlar[10]以及Nestessine 和Rudi[11]擴(kuò)展到三個(gè)企業(yè)和n個(gè)企業(yè)的情形。后續(xù)的研究學(xué)者在報(bào)童競(jìng)爭(zhēng)問(wèn)題中加入了價(jià)格因素,研究?jī)r(jià)格決策對(duì)市場(chǎng)均衡的影響。如Chen等[12]研究了價(jià)格和庫(kù)存競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng),并證明了市場(chǎng)均衡的存在性與唯一性,表明競(jìng)爭(zhēng)導(dǎo)致了更低的價(jià)格和更高的訂購(gòu)量。Zhao 和Arkins[13]擴(kuò)展了Nesteessine 和Rudi[11]的模型,將n個(gè)企業(yè)的庫(kù)存競(jìng)爭(zhēng)理論擴(kuò)展到企業(yè)在價(jià)格和庫(kù)存維度同時(shí)競(jìng)爭(zhēng)的情況。但以上的研究未考慮缺貨情況以及消費(fèi)者對(duì)于缺貨的反應(yīng),忽視了消費(fèi)者與企業(yè)之間的關(guān)聯(lián),本文的研究將消費(fèi)者對(duì)缺貨的反應(yīng)考慮到報(bào)童模型中,更加符合實(shí)際,同時(shí)也能夠?qū)ο嚓P(guān)研究領(lǐng)域進(jìn)行補(bǔ)充。

最后,消費(fèi)者的選擇行為是本文研究的重點(diǎn),消費(fèi)者需要在不同的企業(yè)產(chǎn)品以及外部選擇間進(jìn)行決策,并且消費(fèi)者選擇的結(jié)果決定了每個(gè)企業(yè)的市場(chǎng)份額。因此,本文使用多項(xiàng)式Logit 模型(MNL 模型)描述消費(fèi)者的選擇行為。MNL模型的提出可以追溯至Luce[14]。在基于MNL 模型的定價(jià)問(wèn)題中,消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)特定產(chǎn)品的概率取決于所有產(chǎn)品的價(jià)格。Li 和Huh[15]研究了多個(gè)差異化產(chǎn)品的定價(jià)問(wèn)題。Gallego 和Wang[16]研究了銷(xiāo)售多種可替代產(chǎn)品的企業(yè)的價(jià)格優(yōu)化問(wèn)題,其中消費(fèi)者的購(gòu)買(mǎi)行為遵循嵌套Logit 模型,即消費(fèi)者首先在所有產(chǎn)品中選擇一系列產(chǎn)品,然后在選定的產(chǎn)品中做出購(gòu)買(mǎi)產(chǎn)品的決策。此外,Li 等[17]使用離散混合多項(xiàng)式Logit 模型(即MMNL 模型)研究產(chǎn)品線的價(jià)格優(yōu)化問(wèn)題。不同于上述研究,本文在使用MNL 模型描述消費(fèi)者的選擇行為時(shí),將消費(fèi)者對(duì)缺貨的反應(yīng)加入到模型中,使模型更加切合實(shí)際。

綜上所述,近年來(lái)現(xiàn)有文獻(xiàn)針對(duì)產(chǎn)品滿足率和報(bào)童競(jìng)爭(zhēng)問(wèn)題進(jìn)行了較為廣泛的研究,但這些研究鮮有將消費(fèi)者對(duì)缺貨情況的厭惡程度考慮到競(jìng)爭(zhēng)企業(yè)的決策中。在許多情況下,假設(shè)消費(fèi)者行為和企業(yè)決策之間的獨(dú)立性是不合理的。在實(shí)踐中,消費(fèi)者確實(shí)對(duì)不良服務(wù)(如缺貨)做出了實(shí)質(zhì)性和負(fù)面的反應(yīng),這可能導(dǎo)致他們?cè)陔S后的購(gòu)買(mǎi)中更換零售商(Sanchez-Ruiz 等[4]),并且可能對(duì)未來(lái)的需求產(chǎn)生顯著的不利影響(Anderson 等[18]),另一方面,滿意的客戶可能會(huì)繼續(xù)從同一家企業(yè)購(gòu)買(mǎi)商品(Anderson 和Sullivan[19])。在本文的假設(shè)中,市場(chǎng)中存在n個(gè)銷(xiāo)售有區(qū)別產(chǎn)品的競(jìng)爭(zhēng)企業(yè),因此,企業(yè)在制定決策時(shí),不僅需要考慮其他企業(yè)的決策,也要考慮缺貨情況對(duì)消費(fèi)者的影響。在此前提下,本文使用MNL模型刻畫(huà)消費(fèi)者的選擇行為和市場(chǎng)需求情況,對(duì)競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)的均衡情況進(jìn)行分析,以及討論不同參數(shù)對(duì)均衡解和企業(yè)利潤(rùn)的影響。

1 模型構(gòu)建

本文考慮一個(gè)由銷(xiāo)售有區(qū)別產(chǎn)品的n個(gè)企業(yè)構(gòu)成的競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)。假設(shè)消費(fèi)者是同質(zhì)的,且對(duì)企業(yè)i產(chǎn)品的估值為vi。令ci表示企業(yè)i購(gòu)買(mǎi)單位產(chǎn)品的成本,yi和pi分別表示企業(yè)i對(duì)其產(chǎn)品的訂購(gòu)量和單位售價(jià),故企業(yè)i的訂購(gòu)成本可表示為ciyi。假設(shè)消費(fèi)者市場(chǎng)是隨機(jī)的,市場(chǎng)容量為ε,ε的概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)分別為f(x)和F(x),且F(x)連續(xù)可微。由于需求是隨機(jī)的,但是訂購(gòu)量是有限的,理性的消費(fèi)者會(huì)在做出購(gòu)買(mǎi)決策前考慮企業(yè)的滿足率,令ri表示企業(yè)i對(duì)其產(chǎn)品的滿足率?；谝陨系募僭O(shè),消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)企業(yè)i的產(chǎn)品所獲得的效用可以表示如下:

由于vi-pi表示消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)企業(yè)i的產(chǎn)品所獲得的凈效用,ri表示消費(fèi)者被滿足的概率。因此,ri(vi-pi)表示消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)企業(yè)i的產(chǎn)品所能獲得的期望凈效用。θilog(ri)表示消費(fèi)者由于缺貨厭惡而引起的效用減少,θi是一個(gè)非負(fù)常數(shù),因?yàn)闈M足率ri∈[0,1],所以log(ri)≤0。故θi越大,缺貨帶來(lái)的效用減少越大,因此,θi可以理解為消費(fèi)者對(duì)企業(yè)i產(chǎn)品缺貨現(xiàn)象的厭惡程度。這里使用的對(duì)數(shù)形式已被其他學(xué)者用過(guò),如Gaur 和Park[20]。用對(duì)數(shù)函數(shù)刻畫(huà)消費(fèi)者由于可能缺貨而引起的效用減少,其原因如下:1)當(dāng)ri趨于0 時(shí),θilog(ri)趨于負(fù)無(wú)窮,說(shuō)明當(dāng)企業(yè)的服務(wù)水平趨于0 時(shí),消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)產(chǎn)品的效用會(huì)趨于負(fù)無(wú)窮,這種情況下消費(fèi)者不會(huì)選擇購(gòu)買(mǎi)產(chǎn)品。2)當(dāng)ri=1 時(shí),消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)該產(chǎn)品的效用完全由產(chǎn)品價(jià)格以及消費(fèi)者對(duì)該產(chǎn)品的估值決定。

消費(fèi)者外部選擇的效用為U0=ξ0。為了描述具有多個(gè)替代產(chǎn)品選擇的消費(fèi)者的選擇行為,本文引入了MNL 模型,即本文假設(shè){ξi},i=0,1,…,n,是獨(dú)立同分布的Gumbel 隨機(jī)變量,即Pr(ξi≤x)=exp(-exp(-(x/β+η))),其中η≈0.5772 為歐拉常數(shù)。并且,ξi的均值E[ξi]=0,標(biāo)準(zhǔn)差為βπ/。不失一般性,令β=1(McFadden[21],Wang[22])。消費(fèi)者只有在購(gòu)買(mǎi)企業(yè)i產(chǎn)品獲得的效用高于購(gòu)買(mǎi)其他企業(yè)產(chǎn)品獲得的效用時(shí)才會(huì)選擇購(gòu)買(mǎi)企業(yè)i的產(chǎn)品。因此,消費(fèi)者選擇企業(yè)i產(chǎn)品的概率可以表示為:

在下面的分析中,qi也被稱作企業(yè)i的市場(chǎng)份額。因此,企業(yè)i產(chǎn)品的市場(chǎng)需求可以表示為qiε。

根據(jù)Deneckere 和Peck[23],在消費(fèi)者進(jìn)入市場(chǎng)條件下總需求的概率密度函數(shù)為g(ε)=εf(ε)/μ,其中,μ=E[ε],表示需求容量的均值。因此在消費(fèi)者進(jìn)入市場(chǎng)并購(gòu)買(mǎi)企業(yè)i產(chǎn)品的條件下,企業(yè)i對(duì)其產(chǎn)品的服務(wù)水平可以定義為:

其中G(z)=(1/μ)E[min{z,ε}],且G(z)對(duì)變量z是遞增的凹函數(shù)。特別地,E[min{yi,qiε}]是企業(yè)i期望銷(xiāo)量,μqi是企業(yè)i期望需求。則yi=qiG-1(ri),其中G-1(·)是G(·)的反函數(shù),并且是遞增的凸函數(shù)。因此企業(yè)i的期望利潤(rùn)函數(shù)可以表示為:

將式(1),式(2)代入期望利潤(rùn)函數(shù)(3)中,化簡(jiǎn)得:

2 價(jià)格外生情況

類(lèi)似Dana 和Petruzzi[5],本文在后續(xù)的模型中分別考慮了價(jià)格外生和價(jià)格內(nèi)生兩種情形,區(qū)別在于企業(yè)是否能夠決策產(chǎn)品的價(jià)格水平。為了比較,本節(jié)將競(jìng)爭(zhēng)情況分為滿足率競(jìng)爭(zhēng)和市場(chǎng)份額競(jìng)爭(zhēng)兩種競(jìng)爭(zhēng)情形,分別對(duì)競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)的均衡情況和企業(yè)決策進(jìn)行分析。

2.1 滿足率競(jìng)爭(zhēng)

定理1對(duì)于價(jià)格外生情況下滿足率競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)的博弈,存在唯一的納什均衡,且該納什均衡滿足以下條件:

其中hi(ri)=μpiri-ciG-1(ri),表示hi(ri)的導(dǎo)數(shù)。

證明:由式(4)可知,企業(yè)i的期望利潤(rùn)函數(shù)為:

其中hi(ri)=μpiri-ciG-1(ri)。

令xi=ri(vi-pi)+θilog(ri),則式(5)可以轉(zhuǎn)換為:

因此該博弈是對(duì)數(shù)超模博弈,根據(jù)Cachon 和Netessine[24],在超模博弈中,至少存在一個(gè)納什均衡,且該均衡滿足:

這里,考慮利潤(rùn)函數(shù)的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換是因?yàn)閷?duì)數(shù)轉(zhuǎn)換為嚴(yán)格單調(diào)轉(zhuǎn)換,而如果利潤(rùn)函數(shù)在經(jīng)過(guò)嚴(yán)格單調(diào)轉(zhuǎn)換后在某一點(diǎn)取得極值,則原函數(shù)在該點(diǎn)仍然取得極值。

在證明均衡的唯一性前,定義如下矩陣:

根據(jù)Cachon 和Netessine[24],如果矩陣H1滿足“嚴(yán)格對(duì)角優(yōu)勢(shì)”,即每一行對(duì)角線元素絕對(duì)值大于該行非對(duì)角線元素的絕對(duì)值之和,也就是,則該博弈具有唯一的納什均衡。

計(jì)算式(7)對(duì)xi的導(dǎo)數(shù),可得:

根據(jù)式(5)和式(6),可得:

因此,納什均衡滿足一階條件式

且式(9)的解唯一,則該博弈存在唯一的納什均衡。

該納什均衡能夠通過(guò)二分法進(jìn)行求解。求解式(9)相當(dāng)于求解以下等式:

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō),納什均衡是n個(gè)一階條件的解,因此納什均衡可能是不存在的。不存在均衡情況實(shí)際上是一個(gè)概念性問(wèn)題,因?yàn)樵谶@種情況下,博弈的結(jié)果是不確定的。在理論上證明均衡的存在性有很多方法,如布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理、證明收益函數(shù)的凹性,以及本文在定理1 中使用的證明該博弈問(wèn)題為超模博弈等。從定性分析角度上來(lái)說(shuō),為了研究和比較市場(chǎng)結(jié)果,證明納什均衡的存在性和唯一性是非常有用的,它能夠從理論上說(shuō)明市場(chǎng)的均衡狀態(tài),市場(chǎng)中的每個(gè)博弈者都確信,在給定競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手的情況下,每個(gè)博弈者都選擇了最好的策略。正如定理1 中納什均衡滿足的一階條件所示,在競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)中,每個(gè)企業(yè)在自身成本等參數(shù)確定的前提下,能夠找到使自身收益最大化的策略。并且,在后續(xù)第四章的數(shù)值分析中,本文也分析了各參數(shù)對(duì)企業(yè)決策和利潤(rùn)的影響,對(duì)于企業(yè)如何獲得更多的利潤(rùn)提供了思路和方法。

2.2 市場(chǎng)份額競(jìng)爭(zhēng)

類(lèi)似于Li 和Huh[15],我們接下來(lái)也考慮市場(chǎng)份額競(jìng)爭(zhēng),即每個(gè)企業(yè)決策自身的市場(chǎng)份額。在該節(jié)中,上標(biāo)q表示企業(yè)進(jìn)行市場(chǎng)份額競(jìng)爭(zhēng)時(shí)的相關(guān)決策。

定理2對(duì)于價(jià)格外生情況下市場(chǎng)份額競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)的博弈,存在唯一的納什均衡,且該納什均衡滿足以下條件:

其中,φi(ri)=ri(vi-pi)+θilog(ri),表示φi(ri)的反函數(shù)。

證明:回顧式(1),企業(yè)i的市場(chǎng)份額為:

2.3 兩種競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)的比較

在價(jià)格外生情況下,兩種競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)的最優(yōu)滿足率的關(guān)系有如下定理。

定理3價(jià)格外生情況下,對(duì)任意的企業(yè)i,兩種競(jìng)爭(zhēng)情況最優(yōu)滿足率的關(guān)系滿足。

證明:由定理1 和定理2 可知,兩種競(jìng)爭(zhēng)情況的均衡取決于以下等式:

將式(12)代入式(11)中并通過(guò)化簡(jiǎn)可得:

對(duì)于兩種競(jìng)爭(zhēng)情況的利潤(rùn)比較,由于從理論證明兩種競(jìng)爭(zhēng)情況的利潤(rùn)關(guān)系較為復(fù)雜,因此我們使用數(shù)值分析比較了兩種競(jìng)爭(zhēng)情況的利潤(rùn)關(guān)系,如圖1 所示。

圖1 滿足率競(jìng)爭(zhēng)與市場(chǎng)份額競(jìng)爭(zhēng)的利潤(rùn)比較Figure 1 Comparison of profit in fill rate competition and market share competition

在該數(shù)值實(shí)驗(yàn)中,假設(shè)產(chǎn)品的需求在[0,10]上服從截?cái)嗟恼龖B(tài)分布(這一假設(shè)被很多學(xué)者采用,如Chen 等[25],Chen等[26],Yang 和Zhang[27]),參數(shù)的基準(zhǔn)取值為:截?cái)嗾龖B(tài)分布的均值為5,方差為1;市場(chǎng)中存在2 個(gè)競(jìng)爭(zhēng)企業(yè),且ci=1,vi=3,θi=0.2,pi=1.5。圖1 表明,在不同參數(shù)變化情況下,企業(yè)在滿足率競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)獲得的利潤(rùn)均小于在市場(chǎng)份額競(jìng)爭(zhēng)情況下獲得的利潤(rùn),其中,單位成本參數(shù)變化下,企業(yè)在兩種競(jìng)爭(zhēng)情形下獲得的利潤(rùn)很接近,但從具體的數(shù)值表現(xiàn)上看,企業(yè)在滿足率競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)獲得的利潤(rùn)小于在市場(chǎng)份額競(jìng)爭(zhēng)情況下獲得的利潤(rùn)。這表明,滿足率競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)的競(jìng)爭(zhēng)強(qiáng)度更大,在滿足率競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)中,企業(yè)需要提供更高的產(chǎn)品滿足率,即企業(yè)需要設(shè)置更高的庫(kù)存水平,庫(kù)存浪費(fèi)的影響超過(guò)了市場(chǎng)份額增加的影響,從而使得企業(yè)的利潤(rùn)更低。

在價(jià)格外生情況下,由于市場(chǎng)中的每個(gè)參與者都是價(jià)格的接受者,價(jià)格只是給定的參數(shù),每個(gè)企業(yè)通過(guò)制定滿足率決策來(lái)使自身收益達(dá)到最大。在下一節(jié)中,本文將針對(duì)價(jià)格內(nèi)生情況進(jìn)行詳細(xì)分析。

3 價(jià)格內(nèi)生情況

本節(jié)討論了價(jià)格內(nèi)生的情況,即競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)中的每個(gè)企業(yè)需要為各自的產(chǎn)品制定滿足率決策和價(jià)格決策。本節(jié)將競(jìng)爭(zhēng)情況分為價(jià)格滿足率同時(shí)競(jìng)爭(zhēng)與市場(chǎng)份額滿足率同時(shí)競(jìng)爭(zhēng)兩種情形,分別對(duì)競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)的均衡情況和企業(yè)決策進(jìn)行分析。

3.1 價(jià)格滿足率同時(shí)競(jìng)爭(zhēng)

定理4對(duì)于價(jià)格內(nèi)生情況,在價(jià)格滿足率同時(shí)競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)的博弈中,存在唯一的納什均衡,且該納什均衡滿足以下條件:

證明:令mi=ri(vi-pi)+θilog(ri),則企業(yè)i的期望利潤(rùn)函數(shù)式(4)可以轉(zhuǎn)變?yōu)?

將式(14)對(duì)ri求偏導(dǎo)得到:

將式(15)對(duì)mi求偏導(dǎo)得:

在證明均衡的唯一性前,定義如下矩陣:

由一階條件化簡(jiǎn)可知:

又因?yàn)閙i=ri(vi-pi)+θilog(ri),因此對(duì)于價(jià)格內(nèi)生情況下,價(jià)格滿足率同時(shí)競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)存在唯一的納什均衡。

由定理4 可知,每個(gè)企業(yè)的最優(yōu)滿足率只依賴于自身的參數(shù)、消費(fèi)者對(duì)該企業(yè)產(chǎn)品缺貨現(xiàn)象的厭惡程度以及市場(chǎng)中總的潛在需求量,與其他企業(yè)的決策無(wú)關(guān)。從定理4 的證明中可得,企業(yè)i的最優(yōu)滿足率決策為。若將μθilog(ri)看作企業(yè)i由缺貨帶來(lái)的利潤(rùn)損失(若滿足率為1,該損失為0)以及將vi看作產(chǎn)品i的售價(jià)(企業(yè)i將售價(jià)設(shè)置等于產(chǎn)品的價(jià)值),那么實(shí)際上是把企業(yè)i看作報(bào)童模型時(shí)的最優(yōu)訂貨決策所產(chǎn)生的滿足率。因此,每個(gè)企業(yè)的最優(yōu)滿足率決策可以由解各自的報(bào)童模型得到。因?yàn)閙i=ri(vi-pi)+θilog(ri)表示產(chǎn)品i的平均效用,所以從定理4 可得,企業(yè)可以將價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)等價(jià)地轉(zhuǎn)化為平均效用競(jìng)爭(zhēng),通過(guò)決策自身產(chǎn)品的平均效用來(lái)達(dá)到均衡。

在定理4 的證明中,兩變量的利潤(rùn)函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為π(x,y)=π1(y)[π2(y)+π3(x)]的形式,其中π1(y)>0,即利潤(rùn)函數(shù)式(14)的形式。在這種形式下,可以先將π1(y)和π2(y)視作常數(shù)得到最優(yōu)的x?。因?yàn)閤?與y是獨(dú)立的,即可以將π3(x?)視作常數(shù),在給定x?的基礎(chǔ)上得到最優(yōu)的y?,這種方法使得聯(lián)合決策問(wèn)題可以分為兩階段來(lái)分析,降低了模型求解的難度。并且,本文沒(méi)有對(duì)F(x)有除了連續(xù)可微假設(shè)之外的其他限制。在此情況下,企業(yè)不需要對(duì)參數(shù)設(shè)置更多的假設(shè)條件,因此尋找最優(yōu)解的過(guò)程可能是更加穩(wěn)健的。

3.2 市場(chǎng)份額滿足率同時(shí)競(jìng)爭(zhēng)

在本節(jié)的討論中,類(lèi)似于Li 和Huh[15],我們?cè)趦r(jià)格內(nèi)生條件下也考慮了市場(chǎng)份額滿足率同時(shí)競(jìng)爭(zhēng)的情況,即每個(gè)企業(yè)決策自身的滿足率和市場(chǎng)份額。

定理5對(duì)于價(jià)格內(nèi)生情況,在企業(yè)進(jìn)行市場(chǎng)份額滿足率同時(shí)競(jìng)爭(zhēng)的博弈中,存在唯一的納什均衡,且該納什均衡滿足以下條件:

證明:類(lèi)似式(14),企業(yè)i的期望利潤(rùn)函數(shù)可以寫(xiě)為:

在進(jìn)行市場(chǎng)份額滿足率同時(shí)競(jìng)爭(zhēng)的博弈中,企業(yè)的最優(yōu)滿足率決策與價(jià)格滿足率同時(shí)競(jìng)爭(zhēng)博弈中的最優(yōu)滿足率決策相同,都可以通過(guò)解報(bào)童模型得到。因此,在價(jià)格內(nèi)生情形下,企業(yè)的最優(yōu)滿足率決策與競(jìng)爭(zhēng)類(lèi)型無(wú)關(guān)。從而多決策競(jìng)爭(zhēng)博弈問(wèn)題可以退化為單決策競(jìng)爭(zhēng)博弈問(wèn)題,大大簡(jiǎn)化了博弈均衡解的分析。類(lèi)似定理2,定理5 也是通過(guò)證明n個(gè)一階條件具有唯一解來(lái)說(shuō)明納什均衡的唯一性,該證明均衡唯一性的方法在能夠推導(dǎo)出函數(shù)單調(diào)性時(shí)較為常用,類(lèi)似文獻(xiàn)有Wang[22]等。定理4 與定理5 表明,通過(guò)變量替換能夠?qū)⒙?lián)合決策問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩階段的優(yōu)化問(wèn)題,不僅能夠得到競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)的均衡結(jié)果,也為相關(guān)復(fù)雜聯(lián)合決策問(wèn)題提供了解決思路。

3.3 兩種競(jìng)爭(zhēng)情況的比較

在價(jià)格內(nèi)生情況下,兩種競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)的最優(yōu)滿足率和價(jià)格決策的關(guān)系有如下定理。

定理6價(jià)格內(nèi)生情況下,對(duì)任意的企業(yè)i,在兩種競(jìng)爭(zhēng)情況下具有相同的最優(yōu)滿足率決策,最優(yōu)價(jià)格決策滿足。

而在價(jià)格滿足率同時(shí)競(jìng)爭(zhēng)情況中,均衡解滿足條件:

同樣,由于從理論證明兩種競(jìng)爭(zhēng)情況的利潤(rùn)關(guān)系較為復(fù)雜,因此我們使用數(shù)值分析比較了價(jià)格內(nèi)生條件下兩種競(jìng)爭(zhēng)情況的利潤(rùn)關(guān)系,如圖2 所示。

與第二章類(lèi)似,在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中假設(shè)產(chǎn)品需求在[0,10]上服從截?cái)嗟恼龖B(tài)分布,參數(shù)的基準(zhǔn)取值為:截?cái)嗾龖B(tài)分布的均值為5,方差為1;市場(chǎng)中存在2 個(gè)競(jìng)爭(zhēng)企業(yè),且ci=1,vi=3,θi=0.2。圖2 表明,在不同參數(shù)變化的情況下,企業(yè)在價(jià)格滿足率同時(shí)競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)獲得的利潤(rùn)小于在市場(chǎng)份額滿足率同時(shí)競(jìng)爭(zhēng)情況下獲得的利潤(rùn)。這表明,價(jià)格滿足率同時(shí)競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)的競(jìng)爭(zhēng)強(qiáng)度更大,由于均衡情況下價(jià)格滿足率同時(shí)競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)導(dǎo)致了企業(yè)需要制定更低的價(jià)格,價(jià)格降低的影響超過(guò)了市場(chǎng)份額增加的影響,從而使得企業(yè)的利潤(rùn)更低。

4 數(shù)值分析

為了更加具體地分析不同參數(shù)變化對(duì)均衡解和企業(yè)利潤(rùn)的影響,本節(jié)對(duì)模型進(jìn)行算例分析。與前述章節(jié)中的數(shù)值實(shí)驗(yàn)假設(shè)一致,本節(jié)假設(shè)產(chǎn)品的需求在[0,10]上服從截?cái)嗟恼龖B(tài)分布,參數(shù)的基準(zhǔn)取值為:截?cái)嗾龖B(tài)分布的均值為5,方差為1;市場(chǎng)中存在2 個(gè)競(jìng)爭(zhēng)企業(yè),且ci=1,vi=3,θi=0.2,pi(價(jià)格外生情況)=1.5,則數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下:

(1)市場(chǎng)中企業(yè)數(shù)目的影響

由圖3 可知,對(duì)于價(jià)格內(nèi)生情況,競(jìng)爭(zhēng)的企業(yè)數(shù)量越多,企業(yè)的價(jià)格水平越低,獲得的利潤(rùn)越少。同理,對(duì)于價(jià)格外生情況,競(jìng)爭(zhēng)使得企業(yè)的滿足率提高,利潤(rùn)降低。但是價(jià)格內(nèi)生情況下企業(yè)的滿足率決策與市場(chǎng)中企業(yè)的數(shù)目無(wú)關(guān),這一點(diǎn)從定理4 也可以說(shuō)明,價(jià)格內(nèi)生情況下企業(yè)的最優(yōu)滿足率只與市場(chǎng)需求分布、消費(fèi)者對(duì)缺貨厭惡程度以及企業(yè)自身的產(chǎn)品參數(shù)有關(guān),與企業(yè)數(shù)量以及其他企業(yè)的決策無(wú)關(guān)。

圖3 企業(yè)數(shù)目的影響Figure 3 Impact of the number of companies

(2)消費(fèi)者對(duì)缺貨厭惡程度θi的影響

由圖4 可知,對(duì)于價(jià)格內(nèi)生情況,隨著消費(fèi)者對(duì)缺貨厭惡程度的增加,企業(yè)產(chǎn)品的最優(yōu)價(jià)格升高,滿足率提高,利潤(rùn)降低。同理,對(duì)于價(jià)格外生情況,消費(fèi)者厭惡缺貨的程度越高,企業(yè)最優(yōu)滿足率越高,利潤(rùn)越低。企業(yè)可以通過(guò)提高自身產(chǎn)品的形象使消費(fèi)者能夠接受缺貨的情況,降低消費(fèi)者對(duì)缺貨的厭惡程度,從而獲得更大的利潤(rùn)。

圖4 消費(fèi)者對(duì)缺貨厭惡程度的影響Figure 4 Impact of consumers′ aversion of stockouts

(3)單位產(chǎn)品成本ci的影響

由圖5 可知,對(duì)于價(jià)格內(nèi)生情況,隨著單位產(chǎn)品成本的升高,企業(yè)最優(yōu)價(jià)格上升,產(chǎn)品滿足率和最大利潤(rùn)下降。同理對(duì)于價(jià)格外生情況,單位產(chǎn)品成本對(duì)產(chǎn)品滿足率和最大利潤(rùn)也存在負(fù)向的影響。并且,從算例中可以發(fā)現(xiàn),單位產(chǎn)品成本的變化對(duì)價(jià)格外生情況下的滿足率決策影響更大。因此,不論企業(yè)能否制定價(jià)格決策,都可以通過(guò)降低成本來(lái)獲得更大的利潤(rùn)。

圖5 單位產(chǎn)品成本的影響Figure 5 Impact of product unit cost

(4)消費(fèi)者估值vi的影響

對(duì)于價(jià)格內(nèi)生情況,隨著消費(fèi)者對(duì)產(chǎn)品估值的增加,企業(yè)最優(yōu)價(jià)格、產(chǎn)品滿足率以及最大利潤(rùn)均隨之上升。同理對(duì)于價(jià)格外生情況,消費(fèi)者對(duì)產(chǎn)品估值的變化對(duì)產(chǎn)品滿足率和最大利潤(rùn)存在正向影響。并且,圖6 表明,消費(fèi)者對(duì)產(chǎn)品估值的變化對(duì)價(jià)格外生情況下企業(yè)利潤(rùn)的影響較小,即當(dāng)企業(yè)能夠自行制定價(jià)格決策時(shí),企業(yè)能夠根據(jù)消費(fèi)者估值的變化及時(shí)調(diào)整產(chǎn)品價(jià)格,從而獲得更大的利潤(rùn)。

圖6 消費(fèi)者估值的影響Figure 6 Impact of consumer′s valuation

5 結(jié)語(yǔ)

本文以缺貨為背景,將消費(fèi)者對(duì)缺貨情況的反應(yīng)考慮到企業(yè)的滿足率和價(jià)格決策中,利用隨機(jī)效應(yīng)理論建立MNL模型,分別在價(jià)格外生與價(jià)格內(nèi)生條件下分析競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)的均衡情況。在價(jià)格外生情況下,分別證明了滿足率競(jìng)爭(zhēng)和市場(chǎng)份額競(jìng)爭(zhēng)兩種情形下納什均衡的存在性和唯一性,并給出了確定納什均衡的充分必要條件。通過(guò)對(duì)兩種情形下納什均衡的比較分析,得到滿足率競(jìng)爭(zhēng)情形下企業(yè)提供更高的產(chǎn)品滿足率,企業(yè)產(chǎn)品的市場(chǎng)份額增加,但企業(yè)獲得的利潤(rùn)更低;在價(jià)格內(nèi)生情況下,考慮了價(jià)格滿足率同時(shí)競(jìng)爭(zhēng)與市場(chǎng)份額滿足率同時(shí)競(jìng)爭(zhēng)兩種情形,并分別證明了每種情形下納什均衡的存在性和唯一性。通過(guò)對(duì)納什均衡的比較分析,發(fā)現(xiàn)兩種競(jìng)爭(zhēng)情形下的產(chǎn)品滿足率相同,但在價(jià)格滿足率同時(shí)競(jìng)爭(zhēng)情形下企業(yè)會(huì)制定更低的價(jià)格,企業(yè)產(chǎn)品的市場(chǎng)份額增加,獲得的利潤(rùn)更低。最后,本文通過(guò)數(shù)值仿真討論市場(chǎng)中企業(yè)數(shù)目、消費(fèi)者對(duì)缺貨的厭惡程度、單位產(chǎn)品成本、消費(fèi)者對(duì)產(chǎn)品估值等參數(shù)的變化對(duì)企業(yè)均衡解以及企業(yè)獲得利潤(rùn)的影響。

算例結(jié)果表明競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)中的企業(yè)數(shù)量越多,企業(yè)的最優(yōu)價(jià)格越低,利潤(rùn)越低,但是當(dāng)企業(yè)能夠決策自身產(chǎn)品價(jià)格時(shí),企業(yè)的產(chǎn)品滿足率決策與市場(chǎng)中的企業(yè)數(shù)量無(wú)關(guān)。消費(fèi)者對(duì)缺貨的厭惡程度過(guò)高會(huì)導(dǎo)致企業(yè)的滿足率升高并且無(wú)法得到更大的利潤(rùn)。在此情況下,企業(yè)可以通過(guò)提高自身產(chǎn)品的形象來(lái)降低消費(fèi)者對(duì)缺貨的厭惡程度,從而獲得更大的收益。此外,降低單位產(chǎn)品成本會(huì)提高企業(yè)的滿足率和最大利潤(rùn)。最后,消費(fèi)者對(duì)產(chǎn)品的估值越高,企業(yè)滿足率越高,獲得的利潤(rùn)越高。本文模型是在競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)的前提下進(jìn)行考慮的,對(duì)于壟斷廠商,在考慮消費(fèi)者對(duì)缺貨的厭惡程度這一參數(shù)的影響下,如何決策產(chǎn)品集,最優(yōu)滿足率等是需要進(jìn)一步分析的問(wèn)題。