張林潔，張 毅

(1.蘇州科技大學 數學科學學院，江蘇 蘇州 215009；2.蘇州科技大學 土木工程學院，江蘇 蘇州 215011)

守恒量一直是分析力學研究的一個熱點問題，主要在于它在研究復雜動力學問題時所呈現出的重要作用.例如，復雜系統(tǒng)的運動微分方程往往難以求解，但如果能找到一些守恒量就能了解系統(tǒng)的局部物理狀態(tài)或動力學規(guī)律.又如，利用守恒量不僅可以約化運動微分方程，也可用來進行運動穩(wěn)定性分析.尋找守恒量的現代方法是利用系統(tǒng)的對稱性.Noether[1]提出的關于對稱性與守恒量的定理為尋找力學系統(tǒng)的守恒律提供了一個有效方法.20世紀70年代以來，Noether定理作為經典力學的一個最重要的結果被進行了各種推廣和應用[2-8]，但研究主要是在經典微積分整數階導數下進行的.作為經典微積分的拓展，分數階微積分[9]為研究具有摩擦或耗散現象的非保守問題、黏彈性材料、軟物質、信號處理和自動控制等[10-12]提供了一個重要的數學工具.2007年，Frederico和Torres[13]提出了分數階守恒量的一個定義，建立了分數階Noether定理.雖然最近的計算和分析表明[14-15]Frederico和Torres的結果并不正確，但是它開啟了分數階模型下Noether理論的研究.不同于文獻[13]的工作，Zhang及其合作者[16-18]基于經典意義下的守恒量定義以及Noether對稱變換和準對稱變換的概念，給出了約束力學系統(tǒng)的分數階Noether定理.近年來，約束力學系統(tǒng)基于分數階模型的Noether對稱性研究引起了廣泛關注并取得了一些新的進展[19-23].

眾所周知，Lagrange函數定義為系統(tǒng)的動能與勢能之差.為研究非保守或非線性問題，近年來人們發(fā)現許多耗散系統(tǒng)或非線性動力學方程可以通過某些非標準形式的Lagrange函數來構建.非標準Lagrange函數，或稱“非自然Lagrange函數”，可追溯至Arnold的工作[24].與標準的Lagrange函數不同，非標準Lagrange函數一般不能表示為動能和勢能之差，而可能表示為其它形式.El-Nabulsi[25]引進指數函數形式和冪函數形式的Lagrange函數來描述非線性動力學系統(tǒng).Saha和Talukdar[26]通過研究變分逆問題為物理上重要的一些類耗散非線性動力學系統(tǒng)構造了非標準Lagrange函數，例如修正的 Emden型方程、Lotka-Volterra模型和阻尼諧振子等.Musielak[27]研究了具有變系數的耗散動力學系統(tǒng)的標準和非標準Lagrange函數的構造.2016年，Zhang和Zhou[28]基于指數函數和冪函數兩類非標準Lagrange函數研究了非線性動力學系統(tǒng)的Noether對稱性理論.最近，筆者提出并研究了基于非標準Birkhoff函數的非標準Birkhoff動力學，建立了系統(tǒng)的Noether定理[29].關于非標準Lagrange函數與動力學系統(tǒng)的對稱性研究已有一些成果[30-33]，但是分數階模型下基于非標準Lagrange函數的約束力學系統(tǒng)的Noether對稱性與守恒量的研究還尚未涉及.本文將研究基于指數Lagrange函數和冪律Lagrange函數的分數階Lagrange系統(tǒng)的Noether對稱性，建立Noether定理，并給出其證明.

1 分數階導數及其性質

如果在給定區(qū)間 [a,b]上 ，函數f(t)是連續(xù)并且可積的，那么Riemann-Liouville型左導數為

右導數為

Caputo型左導數可定義為

右導數為

其中 Γ (*)為 Gamma函數，α為 導數的階，且 0 ≤α<1.

根據Riemann-Liouville型導數的定義，分數階微積分有以下性質[9,16]

其中 0 <α,β<1，k為任意整數.

公式(9)為Riemann-Liouville型分數階分部積分公式，而t∈[a,b]時 ，函數f(t)和g(t)為 在區(qū)間 [a,b]上的光滑曲線，存在且連續(xù)，且如果f(a)=0或g(b)=0，那么Caputo型分數階分部積分公式為

和

設0<α,β<1，且f′(a)=0，得

2 基于指數Lagrange函數的分數階Lagrange系統(tǒng)的Noether定理

2.1 運動微分方程設基于指數Lagrange函數的Hamilton作用量為

其中qs(s=1,2,···,n)為 廣義坐標，為系統(tǒng)的Lagrange函數.

分數階Hamilton原理為

帶有交換關系

及端點條件

由分數階Hamilton原理(14)～(16)可直接導出

方程(17)可稱為基于指數Lagrange函數的分數階Lagrange系統(tǒng)的運動微分方程.其中 ?2L和 ?3L分別表示Lagrange函數L對其變量的偏導數.

當 α →1時，方程(17)退化為基于指數Lagrange函數的整數階Lagrange系統(tǒng)的運動微分方程[28]

2.2 Noether對稱性引進無限小變換

其展開式為

其中εσ(σ=1,2,···,r)為 無限小參數，為無限小生成元.

作用量SE的 全變分 ΔSE和 等時變分 δSE之間存在關系[3]

以及

則由式(21)推得

由式(22)推得

考慮到

則由式(23)可推得

其中

公式(24)和(26)稱為指數Lagrange函數下分數階Lagrange系統(tǒng)的Hamilton作用量的2個基本變分公式.

下面研究指數Lagrange函數下分數階Lagrange系統(tǒng)Noether對稱變換的定義與判據.

定義1如果在變換(19)下，作用量(13)保持不變，即對任意的無限小變換，有

則變換(19)稱為指數Lagrange函數下分數階Lagrange系統(tǒng)的Noether對稱變換.

判據1如果變換(19)滿足如下關系

則變換(19)是指數Lagrange函數下分數階Lagrange系統(tǒng)的Noether對稱變換.

判據2如果變換(20)滿足如下關系

則變換(20)是指數Lagrange函數下分數階Lagrange系統(tǒng)的Noether對稱變換.

進一步考慮到式(25)，則式(29)可表示為

方程(31)也是Noether對稱變換的判據.當 σ =1時，式(31)稱為廣義Noether等式

2.3 Noether定理

定理1對于指數Lagrange函數下分數階Lagrange系統(tǒng)(17)，如果變換(20)是系統(tǒng)的Noether對稱變換，則

是該系統(tǒng)的r個線性獨立的守恒量.

證明設變換(20)是Noether對稱變換，根據定義1，有 ΔSE=0.將式(26)代入方程(28)，并注意到εσ的獨立性，我們有

利用方程(17)，得到

積分之，便得式(33).證畢.

定理1稱為指數Lagrange函數下分數階Lagrange系統(tǒng)的Noether定理.

2.4 算例

例1設基于指數Lagrange函數的Hamilton作用量為

根據方程(17)，該系統(tǒng)的運動微分方程為

廣義Noether等式(32)給出

取無限小生成元

由定理1，系統(tǒng)存在Noether守恒量

則式(40)為所論系統(tǒng)的Noether對稱性對應的守恒量.

若 α →1，則式(40)成為

式(41)是指數Lagrange函數下整數階Lagrange系統(tǒng)的Noether守恒量.

3 基于冪律Lagrange函數的分數階Lagrange系統(tǒng)的Noether定理

3.1 運動微分方程設基于冪律Lagrange函數的Hamilton作用量為

分數階Hamilton原理為

帶有交換關系

及端點條件

由分數階Hamilton原理(43)～(45)可直接導出

方程(46)可稱為基于冪律Lagrange函數的分數階Lagrange系統(tǒng)的運動微分方程.

當 α →1時，方程可退化為基于冪律Lagrange函數的整數階Lagrange系統(tǒng)的運動微分方程[28]

3.2 Noether對稱性作用量SL的 全變分 ΔSL和等時變分 δSL之間存在關系

以及

則由式(48)推得

由式(49)推得

考慮到

則由式(50)，我們可得

公式(51)和(53)稱為冪律Lagrange函數下分數階Lagrange系統(tǒng)的Hamilton作用量的2個基本變分公式.

下面研究冪律Lagrange函數下分數階Lagrange系統(tǒng)Noether對稱變換的定義與判據.

定義2如果在變換(19)下，作用量(42)保持不變，即對任意的無限小群變換，有

則變換(19)稱為冪律Lagrange函數下分數階Lagrange系統(tǒng)的Noether對稱變換.

判據3如果變換(19)滿足如下關系

則變換(19)是冪律Lagrange函數下分數階Lagrange系統(tǒng)的Noether對稱變換.

判據4如果變換(20)滿足如下關系

則變換(20)是冪律Lagrange函數下分數階Lagrange系統(tǒng)的Noether對稱變換.

進一步考慮到式(52)，則式(55)可表示為

方程(57)也是Noether對稱變換的判據.當 σ =1時，式(57)稱為廣義Noether等式

3.3 Noether定理

定理2對于冪律Lagrange函數下分數階Lagrange系統(tǒng)(46)，如果變換(20)為系統(tǒng)的Noether對稱變換，則

是該系統(tǒng)的r個線性獨立的守恒量.

證明設變換(20)是Noether對稱變換，根據定義2，有 ΔSL=0.將式(53)代入式(54)，并注意到 εσ的獨立性，有

利用方程(46)，得到

積分之，便得式(59).證畢.

定理2稱為冪律Lagrange函數下分數階Lagrange系統(tǒng)的Noether定理.

3.4 算例

例2設基于冪律Lagrange函數的Hamilton作用量為

根據方程(46)，該系統(tǒng)的運動微分方程為

廣義Noether等式(58)給出

取無限小生成元

由定理2，系統(tǒng)存在Noether守恒量

則式(66)為所論系統(tǒng)的Noether對稱性對應的守恒量.

若 α →1，則式(66)成為

式(67)是冪律Lagrange函數下整數階Lagrange系統(tǒng)的Noether守恒量.

4 結論

很多非線性動力學問題可化為基于非標準Lagrange函數的泛函極值問題，從而有望將分析力學的積分理論和方法應用于某些非線性動力學問題，為研究復雜系統(tǒng)動力學提供了一個新的思路.文章基于兩類非標準Lagrange函數構建了分數階Lagrange系統(tǒng)的動力學模型，研究了系統(tǒng)的Noether對稱性與守恒量之間的關系，建立并證明了Noether定理.主要結果是定理1和定理2.本文方法可應用于研究更一般的約束力學系統(tǒng)，例如非線性非完整力學系統(tǒng)等.