金 著，趙應龍，楊 雪

（1.海軍工程大學振動與噪聲研究所，武漢 430033；2.船舶振動噪聲重點實驗室，武漢 430033）

0 引 言

隨著艦船振動噪聲控制水平的提高，橡膠減振器在艦船設備上的應用也日趨普及，制作艦用橡膠隔振器所使用的橡膠材料可稱為艦用隔振橡膠材料，通常具有耐油、耐鹽霧、耐高溫等特性[1]。由于疲勞、老化等因素的影響，隔振橡膠材料性能會逐漸降低，進而影響隔振器壽命，因此，研究橡膠隔振器的壽命特性離不開對決定其使用壽命的橡膠材料基本特性的研究[2-3]。非線性超彈性力學特性是橡膠材料最重要的基本特性之一。

對于橡膠材料和橡膠隔振器的研究已持續(xù)多年，但針對艦用隔振橡膠材料非線性超彈性力學特性的具體研究過程和數(shù)據(jù)少有報道，這對艦用橡膠隔振器的結構設計和材料選型帶來了不利影響[4]。

本文結合彈性力學、超彈性體材料本構模型等相關理論，開展艦用隔振橡膠材料的單軸、平面和等雙軸拉伸試驗；將試驗數(shù)據(jù)代入常用本構模型進行參數(shù)擬合，通過分析三種拉伸試驗擬合原理、對比不同本構模型擬合效果，確定能夠較準確描述艦用隔振橡膠材料應力應變本構關系的本構模型及模型參數(shù)；通過對由拉伸試驗橡膠材料制作的艦用橡膠減振器開展靜態(tài)仿真分析和靜態(tài)試驗，驗證本構模型的準確性和工程實用性。

1 超彈性理論與本構模型

1.1 超彈性理論

對于橡膠類超彈性體材料，其本構模型可表述為

式中，σ為Cauchy 應力張量，F(xiàn)是變形梯度張量，p是靜水壓力，為材料的應變儲能函數(shù)，C為右Cau?chy-Green變形張量[5-6]。

在主坐標系下，材料沿主軸方向的伸長率稱為主伸長率，用λi表示，此時變形梯度張量F為

可見，只要確定應變能函數(shù)W，橡膠材料的應力應變關系，也即本構模型就可確定。

1.2 本構模型

建立橡膠材料超彈性力學本構模型的核心是尋找最合適的應變能函數(shù)表達式。

現(xiàn)有模型主要分兩類：一類是基于分子熱力學的統(tǒng)計模型，其優(yōu)點是模型具有物理意義，缺點是模型復雜，使用不便，包括Arruda-Boyce 模型和Van der Waals 模型等；另一類是基于唯象理論的連續(xù)介質力學模型，其優(yōu)點是使用靈活，可以通過設置較多參數(shù)實現(xiàn)對非線性和大應變材料力學行為的精確描述，缺點是缺乏物理意義以及由于模型參數(shù)較多，確定參數(shù)所需開展的試驗也較多，常用模型包括：Ogden 模型、Mooney-Rivlin 模型、Neo-Hooke 模型、Yeoh 模型、多項式模型以及減縮多項式模型等[8]。

上述部分模型之間還存在相互轉化關系，比如：由Ogden 模型可以導出Mooney-Rivlin 模型和Neo-Hookean 模型；多項式模型可以化為Mooney-Rivlin 模型；減縮多項式模型可以化為Neo-Hookean模型和Yeoh模型。關于常見本構模型的具體研究，可參考文獻[8]。

2 艦用隔振橡膠材料拉伸試驗

橡膠材料拉伸試驗數(shù)據(jù)常用來擬合其本構模型，其原理是通過特殊應力狀態(tài)下的拉伸試驗獲得主應力和主伸長率的對應關系，再選取合適的應變能函數(shù)模型，通過擬合得到應變能函數(shù)的諸參數(shù)，進而完成橡膠材料本構模型的構建。常見的拉伸試驗類型有：單軸拉伸試驗、平面純剪拉伸試驗和等雙軸拉伸試驗。

2.1 拉伸試驗理論

單軸拉伸試驗中，標識段橡膠材料處于只有一個主方向上存在主應力、其他兩個主方向上主應力為零的應力狀態(tài)，其主軸方向上的主伸長率λi和柯西主應力σi滿足下式[9]：

在橡膠材料拉伸試驗中，通常試驗得到的是標識段橡膠材料的工程主應變分量εE1和工程主應力σE1，滿足下式：

該式為單軸拉伸試驗的基本擬合方程。

平面拉伸試驗設計目標是使試片標距段內的橡膠材料在試驗過程中處于主應力分量σ3=0、由主應力分量σ1和σ2產生的純剪應力狀態(tài)，其工程主應變分量εE1和工程主應力σE1關系式為

該式為平面拉伸試驗的基本擬合方程。

等雙軸拉伸試驗設計目標是使試片標距段內的橡膠材料在試驗過程中處于兩個主方向上應力相等、另一個主方向上應力為零的應力狀態(tài)，其工程主應變分量εE1和工程主應力σE1關系式為

該式為等雙軸拉伸試驗的基本擬合方程。

2.2 拉伸試驗

使用專用拉伸試驗儀器及工裝分別開展上述三種拉伸試驗。其中，單軸拉伸試驗使用啞鈴狀試片，平面拉伸試驗使用矩形試片，等雙軸拉伸試驗使用齒輪形試片，每種試驗均在恒溫環(huán)境下使用三張相同試片重復三次，試驗現(xiàn)場見圖1。

圖1 隔振橡膠材料拉伸試驗Fig.1 Tensile tests of isolation rubber

試驗結果經處理后如圖2～4所示。

圖2 單軸拉伸試驗結果Fig.2 Results of uniaxial tensile test

圖3 平面拉伸試驗結果Fig.3 Results of plane tensile test

圖4 等雙軸拉伸試驗結果Fig.4 Results of biaxial tensile test

由試驗結果可見，三種拉伸試驗均表現(xiàn)出較高的重復一致性。對三種拉伸試驗，后文中均取試片1的數(shù)據(jù)進行研究。

3 超彈性力學本構模型建模

橡膠材料常用的本構模型有十幾種，根據(jù)艦用隔振橡膠材料拉伸試驗數(shù)據(jù)的擬合效果選擇一種適合該橡膠的本構模型對后續(xù)研究具有重要意義。

3.1 本構參數(shù)擬合

使用上一章中三種拉伸試驗數(shù)據(jù)對常用的九種橡膠材料本構模型進行擬合。擬合所得本構模型的應力應變關系與測試數(shù)據(jù)的對比情況如圖5所示。

3.2 本構參數(shù)選取與建模

由圖5 可見，使用不同本構模型得到的擬合結果對三種應力狀態(tài)拉伸試驗數(shù)據(jù)的還原度各不相同，比如，對等雙軸拉伸試驗數(shù)據(jù)擬合效果好的，對其他兩種試驗數(shù)據(jù)擬合效果可能較差，也有對三種試驗數(shù)據(jù)擬合效果均不太理想的。在選取合適

本構模型時，應考慮三種試驗的影響權重。

單軸、平面和等雙軸拉伸試驗中，橡膠的主伸長率分別滿足關系式[9]：

據(jù)此，可作出三種試驗下橡膠材料主伸長率λ1和λ2的關系圖，如圖6所示。

圖6 三種拉伸試驗主伸長率的關系Fig.6 Relationship among the main elongation rates of three tensile tests

對于橡膠類不可壓縮超彈性體材料，其一點的應變狀態(tài)由主伸長率λ1和λ2即可確定，因此，圖6 中λ1-λ2平面上的所有點，即為材料全部可能的應變狀態(tài)之集合。而通過一個拉伸試驗，則可得到該平面上的一條曲線。顯然，曲線越多、線與線之間的位置關系越理想，就能越全面地描述材料的應變狀態(tài)。這一原則可作為三種拉伸試驗結果影響權重的定性分析依據(jù)。

可見，圖6中單軸拉伸試驗和等雙軸拉伸試驗曲線組合的位置關系最為理想，能盡可能多地覆蓋平面的區(qū)域，即能夠較好地描述材料的應變狀態(tài)，而平面拉伸試驗曲線則可認為是一種補充。

因此，在選取適合艦用隔振橡膠的本構模型時，優(yōu)先考慮模型對單軸和等雙軸拉伸試驗數(shù)據(jù)的擬合效果。此外，在同樣較好的擬合效果前提下，應優(yōu)先選取參數(shù)較少、計算簡便的模型。

根據(jù)上述原則，從擬合結果來看，首先排除對三種試驗數(shù)據(jù)擬合效果都不好的Mooney-Rivlin 模型、Neo-Hooke 模型、二階減縮多項式模型、一階Ogden 模型和Arruda-Boyce 模型，剩下的四種模型擬合效果均較為理想。二階多項式模型、Yeoh模型、二階Ogden模型以及Van der Waals模型的模型參數(shù)分別為5、3、4、4 個，且Yeoh 模型最為簡易，便于開展更深入的理論計算。因此，本文研究中選用適用于高質量高精度研究、且擬合效果較好、計算簡便的Yeoh 模型（即三階減縮多項式模型）作為艦用隔振橡膠材料本構模型。

使用Yeoh模型擬合的結果為

單位均為MPa。

4 仿真與試驗驗證

以某一型艦船上應用廣泛的橡膠隔振器為例，對建立的艦用隔振橡膠材料Yeoh 本構模型開展驗證研究。

該減振器由三部分組成：支持承、卡板和橡膠彈性體。其中卡板是減振器的金屬框架，起連接基座和橡膠彈性體的作用；支持承下部包裹在橡膠彈性體中，上部與被減振設備連接。額定載荷為3000 N，額定載荷下靜變形約4 mm，結構示意圖如圖7所示。

圖7 目標橡膠隔振器結構示意圖Fig.7 Structure of target rubber isolator

通過仿真計算該減振器在額定載荷作用下的變形量，并與試驗數(shù)據(jù)進行對比，即可驗證本構模型的準確性。

4.1 仿真計算

建立隔振器仿真模型時，橡膠材料使用前述本構模型；用捆綁約束定義橡膠和金屬接觸面；所有單元均使用六面體單元，橡膠單元使用C3D8RH，金屬單元使用C3D8H；邊界條件為下表面固定，支持承只允許垂向移動；載荷條件為支持承上表面施加垂直向下的3000 N載荷。

仿真計算得到的減振器垂向靜變形云圖如圖8 所示，支持承上表面控制點的力位移特性曲線計算結果如圖9所示，其中在3000 N載荷下，垂向變形量為3.97 mm。

圖8 橡膠隔振器垂向位移云圖Fig.8 Cloud chart of rubber isolator’s vertical displacement

圖9 橡膠隔振器位移—載荷曲線Fig.9 Displacement-load curve of rubber isolator

4.2 試驗驗證

對使用拉伸試驗中橡膠材料制成的28 只艦用橡膠減振器開展垂向靜變形測試，測試結果如表1所示。

表1 橡膠隔振器靜變形試驗結果Tab.1 Measurement results of the static deformation of rubber isolators

從測試結果可見，28 只橡膠隔振器在額定載荷下垂向靜變形的均值為4.02 mm，與仿真計算結果3.97 mm 相比，誤差僅為1.24%?？梢姡疚拇_立的超彈性本構模型及其參數(shù)，能較好地滿足艦用隔振橡膠材料應力應變本構關系仿真計算需求，具有較高的準確性和工程實用性。

5 結 論

本文通過橡膠類超彈性體材料本構模型理論和拉伸試驗研究，確立了艦用隔振橡膠材料本構模型，并通過仿真分析和試驗，驗證了模型的準確性。主要結論如下：

（1）Yeoh 模型適合用于描述艦用隔振橡膠材料超彈性力學特性，且具備模型參數(shù)少和計算資源占用少的優(yōu)點。

（2）本文確定的Yeoh 模型參數(shù)可作為艦用橡膠減振器橡膠材料超彈性力學參數(shù)，能夠較精確地描述橡膠減振器的靜態(tài)力學性能。

（3）對三種拉伸試驗數(shù)據(jù)，應優(yōu)先考慮本構模型對單軸和等雙軸拉伸試驗數(shù)據(jù)的擬合效果。

本文的研究成果可為艦用隔振橡膠材料超彈性力學特性分析和艦用隔振器設計計算等研究提供材料數(shù)據(jù)和方法思路，具有一定的工程指導意義。