王未寅， 王佐才,2， 辛 宇,3， 丁雅杰

(1. 合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，合肥 230009; 2. 合肥工業(yè)大學(xué) 安全關(guān)鍵工業(yè)測(cè)控技術(shù)教育部工程研究中心，合肥 230009; 3. 合肥工業(yè)大學(xué) 安徽省基礎(chǔ)設(shè)施安全檢測(cè)與監(jiān)測(cè)工程實(shí)驗(yàn)室，合肥 230009)

工程結(jié)構(gòu)在遭遇臺(tái)風(fēng)、地震等極端荷載時(shí)，往往會(huì)呈現(xiàn)出較強(qiáng)的非線(xiàn)性特征，例如： 由材料特性引起的材料非線(xiàn)性、結(jié)構(gòu)大變形引起的幾何非線(xiàn)性以及結(jié)構(gòu)邊界非線(xiàn)性等，給工程結(jié)構(gòu)的安全服役帶來(lái)巨大的隱患。因此，研究結(jié)構(gòu)在強(qiáng)荷載作用下的非線(xiàn)性行為，并對(duì)結(jié)構(gòu)的非線(xiàn)性模型進(jìn)行修正，不僅有助于對(duì)結(jié)構(gòu)的安全狀態(tài)進(jìn)行準(zhǔn)確評(píng)估，同時(shí)還可以預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)在下一次強(qiáng)荷載作用下結(jié)構(gòu)響應(yīng)，為結(jié)構(gòu)的安全預(yù)警及提前加固提供重要指導(dǎo)。

在結(jié)構(gòu)進(jìn)行非線(xiàn)性模型修正時(shí)，不可避免的會(huì)受到測(cè)量噪聲、模型誤差、有限元建模單元離散化等多種不確定性因素的影響，導(dǎo)致非線(xiàn)性模型修正的結(jié)果通常也具有不確定性。而傳統(tǒng)的基于確定性的模型修正方法作為表征真實(shí)結(jié)構(gòu)的一個(gè)特例，雖然可以根據(jù)一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)準(zhǔn)確地對(duì)非線(xiàn)性模型進(jìn)行修正，但當(dāng)預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)在不同狀態(tài)下的行為時(shí)，往往會(huì)產(chǎn)生較大誤差。因此，結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)理論，考慮到不確定性因素對(duì)模型修正的影響，一些學(xué)者[1-8]提出了隨機(jī)非線(xiàn)性模型修正方法，將非線(xiàn)性模型修正的結(jié)果以概率分布與置信區(qū)間的形式給出。其中，貝葉斯方法因其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^(guò)程，在隨機(jī)非線(xiàn)性模型修正中得到了廣泛應(yīng)用。例如， Xin等[9]利用非線(xiàn)性結(jié)構(gòu)在地震荷載作用下的主分量瞬時(shí)幅值作為輸入構(gòu)建似然函數(shù)，結(jié)合最大似然估計(jì)和Cramér-Rao邊界理論實(shí)現(xiàn)對(duì)非線(xiàn)性結(jié)構(gòu)模型參數(shù)的修正，并量化由于測(cè)量誤差引起的修正結(jié)果的不確定性。萬(wàn)華平等[10]采用貝葉斯方法實(shí)現(xiàn)隨機(jī)模型修正，并將高斯過(guò)程模型與基于延緩拒絕自適應(yīng)的隨機(jī)采樣(delayed-rejection adaptive metropolis-hastings，DRAM)算法相結(jié)合用于加快求解待修正參數(shù)的后驗(yàn)概率密度函數(shù)，并量化了由于測(cè)量誤差引起的修正結(jié)果不確定性。劉綱等[11-12]在標(biāo)準(zhǔn)MCMC方法的基礎(chǔ)上，引入了差分進(jìn)化算法，通過(guò)多條馬爾可夫鏈之間的隨機(jī)差分運(yùn)算來(lái)自適應(yīng)選擇條件分布以快速逼近目標(biāo)分布，大大提高了采樣效率，并對(duì)由測(cè)量噪聲引起的修正結(jié)果不確定性進(jìn)行量化。

測(cè)量誤差和模型誤差是引起模型修正結(jié)果不確定性的兩個(gè)主要因素，然而，在基于貝葉斯推理的非線(xiàn)性模型修正研究中，測(cè)量誤差通常被假設(shè)為是引起模型修正結(jié)果不確定性的主要原因。為了考慮模型誤差對(duì)非線(xiàn)性模型修正結(jié)果的影響，部分學(xué)者對(duì)模型誤差條件下，隨機(jī)非線(xiàn)性模型修正結(jié)果的有效性進(jìn)行研究。例如，Song等[13]利用非線(xiàn)性模態(tài)參數(shù)作為輸入構(gòu)建貝葉斯推理方法的似然函數(shù)，利用隨機(jī)抽樣算法對(duì)一根單梁試驗(yàn)結(jié)構(gòu)非線(xiàn)性邊界參數(shù)的后驗(yàn)概率分布樣本進(jìn)行估計(jì)，并初步探討了模型誤差對(duì)非線(xiàn)性模型修正結(jié)果的影響。

然而，上述研究均是對(duì)單一誤差來(lái)源引起的不確定性進(jìn)行分析，但當(dāng)測(cè)量誤差和模型誤差同時(shí)存在時(shí)，如何開(kāi)展隨機(jī)非線(xiàn)性模型修正問(wèn)題，是本文要研究的重要內(nèi)容。因此，為了綜合考慮多種不確定性因素對(duì)非線(xiàn)性模型修正結(jié)果的影響，本文提出一種基于模塊化貝葉斯推理的隨機(jī)非線(xiàn)性模型修正方法，該方法利用模塊化的思想，將非線(xiàn)性結(jié)構(gòu)的隨機(jī)模型修正分為3個(gè)相互獨(dú)立的模塊。首先建立能夠準(zhǔn)確表征非線(xiàn)性結(jié)構(gòu)模型動(dòng)力響應(yīng)的高斯過(guò)程替代模型作為模塊一；其次為了盡可能準(zhǔn)確的建立模型誤差的高斯過(guò)程模型，先假設(shè)結(jié)構(gòu)僅存在測(cè)量誤差，通過(guò)過(guò)渡馬爾可夫鏈蒙特卡羅(transitional Markov Chain Monte Carlo, TMCMC)[14]隨機(jī)采樣方法獲得非線(xiàn)性模型待修正參數(shù)的后驗(yàn)概率分布樣本，并將獲得的后驗(yàn)樣本均值看作非線(xiàn)性模型待修正參數(shù)的真實(shí)值，進(jìn)一步構(gòu)建非線(xiàn)性模型與實(shí)測(cè)結(jié)構(gòu)關(guān)于動(dòng)力響應(yīng)瞬時(shí)加速度幅值的誤差函數(shù)；然后，將引起模型誤差的設(shè)計(jì)變量作為輸入，誤差函數(shù)作為輸出，建立包含模型誤差的高斯過(guò)程模型作為模塊二；最后，結(jié)合模塊一與模塊二，利用TMCMC隨機(jī)采樣方法，將獲得非線(xiàn)性模型待修正參數(shù)最終后驗(yàn)樣本的過(guò)程看作模塊三。為了驗(yàn)證該方法的可行性和有效性，本文對(duì)地震激勵(lì)作用下的三跨連續(xù)梁橋進(jìn)行數(shù)值研究，并對(duì)不同噪聲水平、不同程度模型誤差條件下的非線(xiàn)性模型修正結(jié)果進(jìn)行研究。

1 隨機(jī)非線(xiàn)性模型修正理論分析

1.1 非線(xiàn)性結(jié)構(gòu)隨機(jī)模型誤差函數(shù)

對(duì)于非線(xiàn)性模型，假設(shè)模型在外部激勵(lì)作用下的輸出表示為

ym=ym(x,θ)

(1)

式中：x=[x1,x2,…,xd]為模型的設(shè)計(jì)變量，d為設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)，x通常指在試驗(yàn)過(guò)程中根據(jù)先驗(yàn)信息設(shè)置的變量，或稱(chēng)為系統(tǒng)變量[15]，例如，外部荷載激勵(lì)、初始條件或模型的邊界條件等；θ=[θ1,θ2,…,θr]為非線(xiàn)性模型的待修正參數(shù)，r為待修正參數(shù)個(gè)數(shù)，θ通常為試驗(yàn)時(shí)未知或者無(wú)法直接觀測(cè)的非線(xiàn)性結(jié)構(gòu)模型參數(shù)；ym為非線(xiàn)性模型響應(yīng)的模擬結(jié)果。由于在非線(xiàn)性建模過(guò)程中，不可避免的存在模型簡(jiǎn)化或假設(shè)等問(wèn)題，因此，即使獲得了非線(xiàn)性模型的最優(yōu)參數(shù)，但模型的預(yù)測(cè)結(jié)果與結(jié)構(gòu)真實(shí)響應(yīng)之間仍存在差異。這種誤差可以用δ(x)表示，即為模型誤差。因此，結(jié)構(gòu)實(shí)測(cè)響應(yīng)與非線(xiàn)性模型預(yù)測(cè)結(jié)果之間可通過(guò)式(2)表示

ye(x)=ym(x,θ*)+δ(x)+ε

(2)

式中：ye(x)為結(jié)構(gòu)的實(shí)測(cè)響應(yīng)；ym(x,θ)為有限元模擬結(jié)果，它是由設(shè)計(jì)變量x與模型參數(shù)θ共同決定的，θ*為待修正參數(shù)真實(shí)值；模型誤差δ(x)則僅由設(shè)計(jì)變量x決定；ε為測(cè)量誤差，通常假設(shè)為服從均值為零的高斯分布，即ε～N(0,Σexp)，其中Σexp為試驗(yàn)觀測(cè)值的誤差協(xié)方差矩陣。等式(2)被稱(chēng)為模型修正方程[16]，是進(jìn)行非線(xiàn)性結(jié)構(gòu)隨機(jī)模型修正的基礎(chǔ)，后續(xù)章節(jié)將進(jìn)一步結(jié)合貝葉斯推理方法，對(duì)模型誤差和測(cè)量誤差同時(shí)存在條件下的非線(xiàn)性模型進(jìn)行修正。

1.2 基于模塊化貝葉斯推理的隨機(jī)非線(xiàn)性模型修正

基于貝葉斯推理的隨機(jī)非線(xiàn)性模型修正采用正向計(jì)算模型的方式解決了梯度計(jì)算困難、病態(tài)、非唯一解等諸多復(fù)雜逆不確定性量化難題。與傳統(tǒng)的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)相比，由于它同時(shí)結(jié)合了待修正參數(shù)的先驗(yàn)信息與實(shí)測(cè)信息，因此它給出更具可信度的參數(shù)后驗(yàn)概率密度函數(shù)，在隨機(jī)非線(xiàn)性模型修正中被廣泛使用。其理論公式為

(3)

式中：p(ye|θ)為給定參數(shù)θ時(shí)，結(jié)構(gòu)實(shí)測(cè)響應(yīng)ye發(fā)生的條件概率密度函數(shù)，也稱(chēng)作似然函數(shù)；p(θ)為待修正參數(shù)θ的先驗(yàn)分布，它反映待修正參數(shù)的先驗(yàn)信息，本文采用無(wú)信息先驗(yàn)分布的貝葉斯假設(shè)作為先驗(yàn)分布；c為一個(gè)與待修正參數(shù)無(wú)關(guān)的常數(shù)，起正則化作用；p(θ|ye)為待修參數(shù)的后驗(yàn)概率密度函數(shù)。

基于模塊化貝葉斯推理的隨機(jī)非線(xiàn)性模型修正方法則是在貝葉斯推理的基礎(chǔ)上將整個(gè)模型修正過(guò)程分成非線(xiàn)性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)高斯過(guò)程替代模型、模型誤差高斯過(guò)程模型與待修正參數(shù)后驗(yàn)采樣計(jì)算3個(gè)相互獨(dú)立的模塊。在進(jìn)行采樣計(jì)算時(shí)，結(jié)合模型誤差高斯過(guò)程模型與測(cè)量誤差構(gòu)建似然函數(shù)，解決了傳統(tǒng)隨機(jī)非線(xiàn)性模型修正中模型誤差與測(cè)量誤差難以同時(shí)考慮的問(wèn)題，基于模塊化貝葉斯推理的隨機(jī)非線(xiàn)性模型修正方法具體的操作流程，如圖1所示。

圖1 基于模塊化貝葉斯推理的隨機(jī)非線(xiàn)性模型修正流程圖Fig.1 Stochastic nonlinear model updating flow chart based on Modular Bayesian inference

1.2.1 非線(xiàn)性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的高斯過(guò)程模型(模塊一)

高斯過(guò)程模型是基于貝葉斯理論構(gòu)建的，它采用高斯先驗(yàn)定義模型輸出，通過(guò)對(duì)訓(xùn)練樣本的最大似然估計(jì)得到預(yù)測(cè)樣本的后驗(yàn)高斯分布。它除了具有計(jì)算效率快、擬合精度高等諸多優(yōu)點(diǎn)外，還可以對(duì)預(yù)測(cè)值的不確定性進(jìn)行估計(jì)，因此被廣泛應(yīng)用于高維、強(qiáng)非線(xiàn)性等復(fù)雜有限元結(jié)構(gòu)的替代模型選擇。為了提高后續(xù)采樣計(jì)算效率，全面考慮模型修正過(guò)程中的多種不確定性因素影響，本文采用高斯過(guò)程模型構(gòu)建非線(xiàn)性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的替代模型，其具體建立方法如下所示：

首先，根據(jù)計(jì)算機(jī)試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，生成關(guān)于設(shè)計(jì)變量x與待修正參數(shù)θ的訓(xùn)練樣本點(diǎn)，并計(jì)算非線(xiàn)性模型在相應(yīng)訓(xùn)練樣本點(diǎn)下的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)瞬時(shí)加速度幅值：然后，將設(shè)計(jì)變量x與待修正參數(shù)θ作為輸入，將相應(yīng)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)瞬時(shí)加速度幅值作為輸出，構(gòu)建非線(xiàn)性模型的高斯過(guò)程替代模型，并驗(yàn)證替代模型的擬合精度。將非線(xiàn)性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的高斯過(guò)程模型看作模塊一。

1.2.2 模型誤差的高斯過(guò)程模型(模塊二)

模型誤差δ(x)是導(dǎo)致非線(xiàn)性模型修正結(jié)果不確定性的重要原因之一，但由于模型誤差無(wú)法直接觀測(cè)，通常又與其他誤差混淆。因此，如何量化模型誤差對(duì)修正結(jié)果的影響是隨機(jī)非線(xiàn)性模型修正研究的一項(xiàng)重要內(nèi)容。在傳統(tǒng)的隨機(jī)非線(xiàn)性模型修正中，通常不考慮模型誤差的影響，或?qū)⒛Ｐ驼`差直接放在參數(shù)的不確定性中。但當(dāng)模型跟真實(shí)結(jié)構(gòu)之間存在較大模型誤差時(shí)，一方面可能會(huì)導(dǎo)致修正后的模型參數(shù)失去物理意義，同時(shí)，當(dāng)較大的模型誤差存在時(shí)，即使修正后的模型能夠?qū)Ξ?dāng)前狀態(tài)下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，但不能準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)在下一次激勵(lì)作用下的動(dòng)力響應(yīng)，從而導(dǎo)致非線(xiàn)性模型修正的結(jié)果失去應(yīng)用價(jià)值。

由于模型誤差是非線(xiàn)性結(jié)構(gòu)真實(shí)響應(yīng)與計(jì)算模型在待修正參數(shù)真實(shí)值條件下輸出響應(yīng)之間的差值，因此只有首先確定待修正參數(shù)的“真實(shí)值”θ*才能準(zhǔn)確構(gòu)建模型誤差的高斯過(guò)程模型，但在實(shí)際試驗(yàn)時(shí)，結(jié)構(gòu)待修正參數(shù)的真實(shí)值θ*往往未知。目前常見(jiàn)的解決方法是直接將待修正參數(shù)的先驗(yàn)均值θprior當(dāng)作待修正參數(shù)的真實(shí)值θ*，并分別將設(shè)計(jì)變量x作為輸入，將ye(x)-ym(x,θprior)作為輸出構(gòu)建模型誤差的高斯過(guò)程模型[17-18]。但當(dāng)工程師根據(jù)經(jīng)驗(yàn)設(shè)置的非線(xiàn)性參數(shù)先驗(yàn)均值與參數(shù)真實(shí)值相差較大時(shí)，模型誤差的高斯過(guò)程模型建模則失去意義。為了盡可能準(zhǔn)確的建立模型誤差的高斯過(guò)程模型[19]，本文采用如下建模方法：

首先假設(shè)非線(xiàn)性模型與真實(shí)結(jié)構(gòu)之間僅存在測(cè)量誤差，則等式(2)可以簡(jiǎn)化成

ye(x)=ym(x,θ*)+ε

(4)

1.2.3 待修正參數(shù)后驗(yàn)概率密度函數(shù)求解(模塊三)

由模塊一與模塊二高斯過(guò)程模型可知ym(x,θ)與δ(x)均服從高斯分布，測(cè)量噪聲通常假設(shè)為服從零均值的高斯分布，結(jié)合式(2)可知ye(x)將服從均值為ym+δ，方差為Σ的多維高斯分布，待修正參數(shù)θ的后驗(yàn)概率密度函數(shù)可表示為

(5)

式中：Σ為似然函數(shù)的協(xié)方差矩陣，其中包含多種不確定性誤差作用；Σexp為由測(cè)量噪聲等引起的測(cè)量誤差協(xié)方差矩陣；Σbias為模型誤差高斯過(guò)程模型的協(xié)方差矩陣；Σcode為替代模型擬合精度的誤差協(xié)方差矩陣；Σcode與Σbias分別由模塊一和模塊二的高斯過(guò)程替代模型得到。

由于采用貝葉斯方法的待修正參數(shù)后驗(yàn)概率密度形式較為復(fù)雜，且當(dāng)參數(shù)維度較高時(shí)，其解析解難以通過(guò)積分求解。因此，通常利用馬爾可夫鏈蒙特卡羅采樣方法獲得非線(xiàn)性模型待修正參數(shù)θ的后驗(yàn)概率分布函數(shù)。但傳統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)MH采樣算法在采取高維參數(shù)時(shí)，容易出現(xiàn)采樣“停滯”的現(xiàn)象，待修參數(shù)收斂較慢，甚至無(wú)法收斂。而TMCMC隨機(jī)采樣方法通過(guò)在參數(shù)先驗(yàn)分布與后驗(yàn)分布之間加入一系列“中間分布”，解決了直接根據(jù)后驗(yàn)概率分布采樣困難的問(wèn)題。

TMCMC算法雖然通過(guò)加入一系列中間分布解決了直接根據(jù)后驗(yàn)采樣困難的問(wèn)題，但仍存在計(jì)算量大的缺點(diǎn)，每組待修正參數(shù)后驗(yàn)樣本的迭代均需調(diào)用有限元模型進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析，當(dāng)參數(shù)維度較高時(shí)，待修正參數(shù)先驗(yàn)與后驗(yàn)之間往往會(huì)過(guò)渡多個(gè)中間分布，而每一個(gè)中間分布均需要采取相應(yīng)數(shù)量的樣本，因而計(jì)算任務(wù)十分巨大。為了實(shí)現(xiàn)后驗(yàn)概率密度函數(shù)的快速計(jì)算，模塊三結(jié)合了模塊一和模塊二的高斯過(guò)程模型，利用數(shù)值模型替代有限元模型進(jìn)行非線(xiàn)性結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)預(yù)測(cè)，從而大幅提高后驗(yàn)樣本的計(jì)算效率。

2 數(shù)值驗(yàn)證

2.1 三跨連續(xù)梁橋非線(xiàn)性模型建立

為了驗(yàn)證本文所提非線(xiàn)性結(jié)構(gòu)隨機(jī)模型修正方法的可行性和有效性，利用Opensees有限元分析軟件對(duì)地震激作用下的三跨連續(xù)梁橋進(jìn)行數(shù)值研究，建立的橋梁結(jié)構(gòu)模型如圖2所示，橋梁總體跨徑布置為3×30 m，橋墩高度為10 m。主梁結(jié)構(gòu)采用線(xiàn)彈性梁柱單元進(jìn)行模擬，橋墩采用基于纖維截面的非線(xiàn)性梁柱單元定義。橋墩的混凝土材料采用Concrete 02進(jìn)行定義，鋼筋采用Steel 02材料進(jìn)行模擬，兩類(lèi)材料的本構(gòu)模型分別如圖3和圖4所示，通過(guò)設(shè)置不同的非線(xiàn)性材料參數(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)結(jié)構(gòu)非線(xiàn)性特征的模擬。其中，為了模擬主梁支座在地震作用下的邊界非線(xiàn)性效應(yīng)，主梁支座采用具有剪切非線(xiàn)性特征的支座單元進(jìn)行模擬，支座單元的彈塑性特征如圖5所示。圖5中：k0為非線(xiàn)性支座的剪切剛度；α1與α2分別為支座單元線(xiàn)性與非線(xiàn)性硬化組件的屈服剛度比；μ為非線(xiàn)性硬化指標(biāo)。

圖2 三跨連續(xù)梁橋非線(xiàn)性模型Fig.2 Nonlinear model of three-span continuous beam bridge

圖3 Concrete 02 材料Fig.3 Concrete 02 material

圖4 Steel 02材料Fig.4 Steel 02 material

圖5 非線(xiàn)性支座單元Fig.5 Nonlinear bearing element

針對(duì)該橋梁結(jié)構(gòu)的非線(xiàn)性參數(shù)，如非線(xiàn)性材料本構(gòu)參數(shù)、非線(xiàn)性邊界參數(shù)等，首先利用靈敏度分析方法[20]，選取對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)較為靈敏的7個(gè)非線(xiàn)性參數(shù)作為待修正參數(shù)。選取的非線(xiàn)性模型待修正參數(shù)主要包括：鋼筋的屈服強(qiáng)度f(wàn)y、初始彈性模量Es和應(yīng)變硬化比b；混凝土的抗壓強(qiáng)度f(wàn)c、峰值壓應(yīng)變?chǔ)舖ax；非線(xiàn)性支座的剪切剛度k0以及特征強(qiáng)度Qd，非線(xiàn)性待修正參數(shù)的理論值如表1所示?？紤]到邊界條件相對(duì)于材料參數(shù)具有更高的不確定性，因此，本研究將支座單元的非線(xiàn)性硬化指標(biāo)μ作為模型的設(shè)計(jì)變量，用來(lái)定義橋梁結(jié)構(gòu)的模型誤差。本文取μ理論值為2。然而，對(duì)于復(fù)雜的土木工程結(jié)構(gòu)，引起模型誤差的因素有很多，如模型簡(jiǎn)化、節(jié)點(diǎn)等效、非線(xiàn)性材料本構(gòu)假設(shè)等，往往需要選擇更多的設(shè)計(jì)變量表征模型誤差?？紤]到本文的主要目的是為了驗(yàn)證方法的可行性和有效性，因此，本算例僅選取支座單元的非線(xiàn)性參數(shù)μ作為模型誤差來(lái)源；在進(jìn)行橋梁結(jié)構(gòu)的非線(xiàn)性動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算時(shí)，選擇的外部激勵(lì)為1940年的El Centro地震波，持續(xù)時(shí)間為30 s，采樣頻率為50 Hz，地震激勵(lì)如圖6所示。利用Newmark-β積分算法對(duì)結(jié)構(gòu)在地震荷載激勵(lì)作用下的加速度響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算，加速度傳感器S1～S4布置圖見(jiàn)圖2。

圖6 地震荷載Fig.6 The seismic loads

表1 非線(xiàn)性待修正參數(shù)理論值Tab.1 Theoretical values of the candidate nonlinear parameters

2.2 基于模塊化貝葉斯推理的橋梁結(jié)構(gòu)隨機(jī)非線(xiàn)性模型修正

在進(jìn)行橋梁結(jié)構(gòu)的隨機(jī)非線(xiàn)性模型修正時(shí)，將2.1節(jié)中所述的7個(gè)非線(xiàn)性參數(shù)作為非線(xiàn)性模型的待修正參數(shù)。其中為了同時(shí)考慮模型不確定性與測(cè)量不確定性對(duì)修正結(jié)果的影響。本文先使用Sobol序列采樣方法在設(shè)計(jì)變量μ理論值上下10%范圍內(nèi)產(chǎn)生100組試驗(yàn)輸入樣本，計(jì)算結(jié)構(gòu)在相應(yīng)設(shè)計(jì)變量與非線(xiàn)性參數(shù)名義值組合下的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)。另外在響應(yīng)中添加5%的隨機(jī)高斯白噪聲，模擬實(shí)測(cè)動(dòng)力響應(yīng)數(shù)據(jù)。然后，利用離散解析模態(tài)分解和希爾伯特變換對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行分解，提取動(dòng)力響應(yīng)主分量的瞬時(shí)加速度幅值，并從其中選取300個(gè)局部峰值點(diǎn)作為非線(xiàn)性指標(biāo)。其中，傳感器S2記錄的加速度響應(yīng)的瞬時(shí)幅值識(shí)別結(jié)果，如圖 7所示?；谀K化貝葉斯推理的三跨連續(xù)梁橋的隨機(jī)非線(xiàn)性模型修正過(guò)程如下：

圖7 中跨跨中動(dòng)力響應(yīng)主分量瞬時(shí)加速度幅值Fig.7 Instantaneous amplitude of the acceleration response in mid-span

2.2.1 構(gòu)建地震荷載作用下，三跨連續(xù)梁橋的高斯過(guò)程替代模型(模塊一)

訓(xùn)練數(shù)據(jù)樣本點(diǎn)的選取對(duì)高斯過(guò)程模型的構(gòu)建至關(guān)重要，經(jīng)典的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法(design of experiment,DOE)譬如均勻設(shè)計(jì)法、中心復(fù)合設(shè)計(jì)法等被廣泛用于多項(xiàng)式響應(yīng)面模型的構(gòu)建。但這些經(jīng)典的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法受限于試驗(yàn)成本與環(huán)境等因素有一個(gè)共同的特點(diǎn)，即試驗(yàn)點(diǎn)位于參數(shù)空間的邊緣和中心，無(wú)法覆蓋整個(gè)參數(shù)空間。而本文所涉及的試驗(yàn)為計(jì)算機(jī)試驗(yàn)，即通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬物理系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的試驗(yàn)，不受試驗(yàn)環(huán)境和條件等因素的限制。作為常用空間充滿(mǎn)采樣方法之一，Sobol序列在所有維度上均以素?cái)?shù)2為基，使得樣本不僅在高維上具有較高的均勻性，而且便于利用點(diǎn)位運(yùn)算，大大提高了計(jì)算機(jī)計(jì)算效率[21]。因此，本文選用Sobol序列采樣方法進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)。

通過(guò)Sobol序列采樣方法在參數(shù)理論值上下20%范圍內(nèi)生成1 000組參數(shù)樣本，其中參數(shù)包含上述一個(gè)設(shè)計(jì)變量μ及7個(gè)待修正參數(shù)θ，利用Opensees有限元模型計(jì)算結(jié)構(gòu)相應(yīng)的動(dòng)力響應(yīng)瞬時(shí)加速度幅值。分別將設(shè)計(jì)變量μ與非線(xiàn)性待修正參數(shù)θ作為輸入，將相應(yīng)目標(biāo)響應(yīng)瞬時(shí)加速度幅值作為輸出，構(gòu)建Opensees非線(xiàn)性模型的高斯過(guò)程替代模型。使用留一交叉驗(yàn)證方法驗(yàn)證替代模型的預(yù)測(cè)精度，以第2 s處中跨跨中的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)瞬時(shí)加速度幅值為例，其交叉驗(yàn)證殘差的正態(tài)分位圖如圖8所示。由圖8可知，交叉驗(yàn)證殘差的正態(tài)分位圖趨向于一條直線(xiàn)，殘差的正態(tài)特性較好，所建立的高斯過(guò)程模型可以準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)瞬時(shí)加速度幅值。

圖8 模塊一殘差正態(tài)分位圖Fig.8 Normal quantile-quantile of module 1

2.2.2 構(gòu)建非線(xiàn)性三跨連續(xù)梁橋模型誤差的高斯過(guò)程模型 (模塊二)

模塊二中模型誤差的高斯過(guò)程模型建立方法如1.2.2節(jié)所示。即先假設(shè)模型不存在模型誤差，利用TMCMC隨機(jī)采樣方法獲得非線(xiàn)性待修正參數(shù)θ的后

圖9 模塊二殘差正態(tài)分位圖Fig.9 Normal quantile-quantile of module 2

2.2.3 待修正非線(xiàn)性結(jié)構(gòu)模型參數(shù)后驗(yàn)概率密度函數(shù)計(jì)算(模塊三)

模塊一與模塊二建立后，再結(jié)合兩模塊，根據(jù)模型修正方程與式(5)在模塊三中通過(guò)TMCMC隨機(jī)采樣方法，采取待修正參數(shù)θ的1 000組后驗(yàn)分布樣本，其樣本直方圖如圖10所示。由圖10可知，非線(xiàn)性待修正參數(shù)的TMCMC隨機(jī)抽樣樣本基本符合正態(tài)分布樣本特征，可以根據(jù)中心極限定理估計(jì)出待修正參數(shù)的均值與方差等數(shù)字特征。

圖10 非線(xiàn)性參數(shù)TMCMC采樣樣本分布直方圖Fig.10 Histogram of sample distribution of TMCMC samples for the nonlinear parameters

在數(shù)值模擬過(guò)程中，采用的計(jì)算機(jī)CPU為Intel(R) Core(TM) i5-8500(3.0 GHz)，內(nèi)存配置為8 GB，整個(gè)模型修正過(guò)程需要進(jìn)行兩次TMCMC采樣，每次TMCMC采樣至少包含16個(gè)過(guò)渡階段，每階段采樣1 000次，完成整個(gè)模型修正共耗時(shí)約2.39 h。若不采用高斯過(guò)程替代模型，直接使用非線(xiàn)性有限元模型進(jìn)行采樣，進(jìn)行一次采樣所需時(shí)間約為26 s，完成整個(gè)模型修正過(guò)程預(yù)計(jì)耗時(shí)約231.11 h；此外，為了提高待修正參數(shù)的估計(jì)精度，本研究分別利用TMCMC算法與MH算法進(jìn)行待修正參數(shù)的后驗(yàn)采樣，計(jì)算結(jié)果如表2所示。為了能直觀反映非線(xiàn)性參數(shù)的修正誤差，對(duì)本文待修正參數(shù)均進(jìn)行歸一化處理。

表2 5%噪聲水平下非線(xiàn)性模型修正結(jié)果Tab.2 The nonlinear model updating results under 5% noise level

由表2可知，利用TMCMC算法的非線(xiàn)性參數(shù)估計(jì)結(jié)果具有更高的精度，且參數(shù)誤差均低于5%；然而，基于MH采樣算法的最大估計(jì)誤差為14.423%，遠(yuǎn)低于TMCMC的采樣精度。因此結(jié)合高斯替代模型與TMCMC算法進(jìn)行非線(xiàn)性模型修正，能夠有效地增強(qiáng)計(jì)算效率，并提高修正精度。利用后驗(yàn)樣本均值來(lái)估計(jì)非線(xiàn)性模型待修正參數(shù)，并代入Opensees進(jìn)行計(jì)算，得到結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)與真實(shí)響應(yīng)對(duì)比，如圖11和圖12所示。修正后的節(jié)點(diǎn)加速度響應(yīng)與真實(shí)值響應(yīng)吻合較好。為了能直觀的量化修正前后加速度響應(yīng)的修正誤差，使用二范數(shù)Er作為誤差指標(biāo)，其具體計(jì)算方法如式(6)所示

圖11 S2測(cè)點(diǎn)加速度響應(yīng)修正結(jié)果Fig.11 The updated results of the acceleration responses obtained from sensor S2

圖12 S1測(cè)點(diǎn)加速度響應(yīng)修正結(jié)果Fig.12 The updated results of the acceleration responses obtained from sensor S1

(6)

式中：yr為結(jié)構(gòu)的真實(shí)響應(yīng)；yp為修正后結(jié)構(gòu)的預(yù)測(cè)響應(yīng)。修正后的4個(gè)節(jié)點(diǎn)加速度響應(yīng)誤差，如表 3所示。

表3 計(jì)算的誤差指標(biāo)Tab.3 The calculated error indices 單位：%

由表3可知，修正后的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)與真實(shí)響應(yīng)誤差較小，其中最大誤差也在1.6%以?xún)?nèi)，因此采用本文所提出的模塊化貝葉斯方法可以在同時(shí)考慮測(cè)量誤差與模型誤差的基礎(chǔ)上滿(mǎn)足修正精度要求，可以應(yīng)用于考慮多種不確定性因素的非線(xiàn)性模型修正問(wèn)題。

3 非線(xiàn)性結(jié)構(gòu)模型修正的魯棒性研究

3.1 不同測(cè)量噪聲水平下的非線(xiàn)性模型修正研究

為了研究本文所提非線(xiàn)性結(jié)構(gòu)隨機(jī)模型修正方法的抗噪性，本節(jié)分別對(duì)比了在5%，10%，20%三種不同噪聲水平作用下的模型修正結(jié)果。其中在每一種噪聲水平作用下，又分兩種工況對(duì)比了初始參數(shù)不確定性對(duì)模型修正的影響。其中工況一中的待修正參數(shù)是一組確定值；工況二的待修正參數(shù)則是考慮結(jié)構(gòu)初始參數(shù)的不確定性，服從均值為真實(shí)值θ*，標(biāo)準(zhǔn)差為0.05θ*的正態(tài)分布。其修正結(jié)果如表4～表6所示。

表4 5%噪聲水平下不同工況修正結(jié)果對(duì)比Tab.4 Comparison of the updated results of the different cases under 5% noise level

表5 10%噪聲水平下不同工況修正結(jié)果對(duì)比Tab.5 Comparison of the updated results of the different cases under 10% noise level

表6 20%噪聲水平下不同工況修正結(jié)果對(duì)比Tab.6 Comparison of the updated results of the different cases under 20% noise level

由表4～表6可知，在不同噪聲水平作用下TMCMC采樣樣本均值均接近真實(shí)值均值。待修正參數(shù)修正誤差較小，由此可知本文所提方法擁有較好的抗噪性能，在高噪聲水平條件下依然可以準(zhǔn)確修正模型。

對(duì)比表4～表6在同一噪聲水平作用下，工況一與工況二的采樣標(biāo)準(zhǔn)差可以發(fā)現(xiàn)，由于工況二相較于工況一多考慮了模型初始參數(shù)不確定性的影響，因此工況二的采樣標(biāo)準(zhǔn)差要大于工況一；除此之外，在同一工況下，隨著噪聲水平的增加，樣本的標(biāo)準(zhǔn)差也在逐漸增加。由上述結(jié)果可知采樣樣本的標(biāo)準(zhǔn)差隨著結(jié)構(gòu)不確定性因素的增加逐漸增加。

3.2 不同模型誤差水平下的非線(xiàn)性模型修正研究

為了研究本文所提非線(xiàn)性結(jié)構(gòu)隨機(jī)模型修正方法的魯棒性，探究設(shè)計(jì)變量的變化程度對(duì)模型修正結(jié)果的影響，本節(jié)分別對(duì)比了在使用Sobol序列采樣方法進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí)，設(shè)計(jì)變量μ在理論值上下5%范圍產(chǎn)生試驗(yàn)輸入，與10%范圍產(chǎn)生試驗(yàn)輸入兩種不同情況下的模型修正結(jié)果，非線(xiàn)性模型修正結(jié)果如表7和表8所示。

表7 不同模型誤差條件下工況一非線(xiàn)性模型修正結(jié)果Tab.7 The nonlinear model updating results of case 1 under different model uncertainties 單位：%

表8 不同模型誤差條件下工況二非線(xiàn)性模型修正結(jié)果Tab.8 The nonlinear model updating results of case 2 under different model uncertainties 單位：%

表7和表8分別為工況一、工況二條件下，模型誤差水平對(duì)非線(xiàn)性參數(shù)修正結(jié)果的影響。由表7和表8可知，設(shè)計(jì)變量無(wú)論在理論值5%范圍內(nèi)變動(dòng)，還是在10%范圍內(nèi)變動(dòng)，均能保證較高的修正精度。其中待修正參數(shù)的誤差率隨著噪聲水平的逐漸增加與設(shè)計(jì)變量變動(dòng)范圍的增大有些許增大，但平均誤差均在4%以?xún)?nèi)。因此使用本文所提出的方法，可以在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量變化較大情況下，仍能保證預(yù)測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確與可靠性。

4 結(jié) 論

本文采用模塊化貝葉斯的方法，將整個(gè)模型修正過(guò)程分成3個(gè)模塊，基于實(shí)測(cè)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)主分量的瞬時(shí)加速度幅值，構(gòu)建同時(shí)考慮測(cè)量誤差與模型誤差的似然函數(shù)，并結(jié)合高斯過(guò)程模型與TMCMC算法，實(shí)現(xiàn)了隨機(jī)非線(xiàn)性模型修正及非線(xiàn)性待修正參數(shù)的不確定性量化。通過(guò)對(duì)地震激勵(lì)作用下三跨連續(xù)梁橋的數(shù)值研究可以得出以下結(jié)論：

(1) 所提方法通過(guò)引入設(shè)計(jì)變量，將難以單獨(dú)建模的模型誤差巧妙表示出來(lái)，并結(jié)合模塊化方法在貝葉斯理論框架下，實(shí)現(xiàn)了同時(shí)考慮模型誤差與測(cè)量誤差等多種不確定性因素作用下的隨機(jī)非線(xiàn)性模型修正，并對(duì)參數(shù)的不確定性進(jìn)行量化。

(2) 通過(guò)將高斯過(guò)程模型與TMCMC算法相結(jié)合，克服了傳統(tǒng)MCMC算法高維采樣收斂慢，計(jì)算效率低的缺點(diǎn)，大大提高了采樣效率。

(3) 與不考慮初始參數(shù)不確定性相比，考慮模型初始參數(shù)不確定性的非線(xiàn)性參數(shù)修正誤差與標(biāo)準(zhǔn)差更大，更能真實(shí)地反映結(jié)構(gòu)的安全狀態(tài)，因此在結(jié)構(gòu)安全評(píng)估時(shí)，采用考慮模型初始參數(shù)不確定性的模型修正結(jié)果，能更好的反映實(shí)際結(jié)構(gòu)的抗災(zāi)害能力。

(4) 本文僅對(duì)單一的模型誤差展開(kāi)了相關(guān)研究，然而，對(duì)于復(fù)雜的土木工程結(jié)構(gòu)，引起模型誤差的因素通常有很多，如模型簡(jiǎn)化、節(jié)點(diǎn)等效等。因此，如何對(duì)多種模型誤差條件下的非線(xiàn)性模型進(jìn)行修正需要進(jìn)一步被研究。

(5) 本文為了對(duì)多重不確定因素下的非線(xiàn)性結(jié)構(gòu)模型修正問(wèn)題進(jìn)行研究，將模型誤差視為服從高斯分布，但該假設(shè)具有一定局限性。因此如何建立非高斯分布條件下的模型誤差替代模型需要進(jìn)一步被研究。