付小蝶，張愛軍，王彬鏵，劉宏泰

（1.西北農(nóng)林科技大學(xué) 水利與建筑工程學(xué)院，陜西 楊凌 712100；2.機(jī)械工業(yè)勘察設(shè)計(jì)研究院有限公司，陜西 西安 710043）

1 研究背景

板樁支擋結(jié)構(gòu)是為防止土體坍塌而修筑且主要承受側(cè)向土壓力的結(jié)構(gòu)，被廣泛應(yīng)用于支撐路基填土、基坑坑壁或路塹邊坡，以及河流堤岸與橋臺(tái)隧道洞口等支護(hù)工程中[1-2]。近年來，我國(guó)各類支護(hù)工程發(fā)展迅猛，支護(hù)工程的安全問題[3-4]被日益重視，而進(jìn)行支護(hù)工程設(shè)計(jì)的關(guān)鍵在于計(jì)算結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和位移。目前，板樁應(yīng)力和位移計(jì)算的方法有數(shù)值計(jì)算[5-6]和解析計(jì)算[7-8]兩類。Liu等[9]采用現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)和有限元數(shù)值模擬相結(jié)合的方法，分析并驗(yàn)證板樁支擋結(jié)構(gòu)的應(yīng)力變形規(guī)律；Yuan等[10]結(jié)合理論分析、現(xiàn)場(chǎng)檢測(cè)和M IDAS GTS NX數(shù)值模擬，研究了板樁支擋結(jié)構(gòu)變形規(guī)律，進(jìn)行板樁設(shè)計(jì)與分析；Zhang等[11]基于三維建模平臺(tái) ITASCAD進(jìn)行板樁支護(hù)分析，實(shí)現(xiàn)支護(hù)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及支護(hù)變形可視化。傳統(tǒng)的三維有限元數(shù)值模擬法雖然可以考慮復(fù)雜的邊界條件與荷載變化，但是它需要專業(yè)的模擬軟件、繁雜的計(jì)算工作以及大量的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，因此三維數(shù)值模擬法更適用于最終設(shè)計(jì)方案的細(xì)節(jié)處理，并不適用作為一個(gè)初步的常規(guī)設(shè)計(jì)工具。孫訓(xùn)方等[12]采用解析公式法將板樁視為懸臂梁，計(jì)算板樁σx和τxy的分布和解析式，但沒有給出板樁位移的計(jì)算式，也無法計(jì)算σy和板樁上任一點(diǎn)的應(yīng)力分布，不夠全面和準(zhǔn)確。

土壓力是支護(hù)工程中板樁所需要承受的主要荷載[13]，板樁土壓力的理論計(jì)算有：1773年法國(guó)學(xué)者Coulomb提出了抗剪強(qiáng)度理論公式以及利用楔形體平衡法計(jì)算板樁上的土壓力；1869年英國(guó)學(xué)者Rankine提出了主動(dòng)及被動(dòng)狀態(tài)下土壓力理論；目前大多直接采用兩類經(jīng)典土壓力理論進(jìn)行主動(dòng)或被動(dòng)極限狀態(tài)下的土壓力和板樁應(yīng)力分布的計(jì)算，但實(shí)際工程中板樁位移大多達(dá)不到極限狀態(tài)[14-15]時(shí)所需要產(chǎn)生的位移，此時(shí)經(jīng)典土壓力理論則不再適用，為此眾多學(xué)者開展了關(guān)于土壓力變化與板樁側(cè)向位移關(guān)系的研究。張常光等[16]對(duì)隨板樁側(cè)向位移的非線性變化土壓力的數(shù)學(xué)擬合法進(jìn)行了總結(jié)與分類，如喻軍等[17]認(rèn)為離開土體移動(dòng)的板樁所受土壓力通常介于靜止土壓力與主動(dòng)土壓力之間，其采用三角函數(shù)擬合土壓力和位移曲線，考慮隨支護(hù)結(jié)構(gòu)位移非線性變化的土壓力；胡志平等[18]在主動(dòng)極限狀態(tài)下將土壓力-位移曲線擬合為雙曲線，分析土壓力與板樁側(cè)向位移的非線性關(guān)系。蔣鵬等[19]表示產(chǎn)生遠(yuǎn)離土體板樁位移的板樁所受土壓力大于朗肯主動(dòng)土壓力，并認(rèn)為其存在非線性關(guān)系，基于支護(hù)結(jié)構(gòu)位移對(duì)土壓力影響的計(jì)算分析，利用二次函數(shù)擬合土壓力-位移曲線。此外，王正振等[20]認(rèn)為隨板樁側(cè)向位移的產(chǎn)生，作用于板樁的土壓力是非極限土壓力已不再適用于傳統(tǒng)朗肯理論，基于朗肯土壓力理論借鑒雙參數(shù)法，結(jié)合地下結(jié)構(gòu)彎曲微分方程進(jìn)行受位移影響的土壓力非線性計(jì)算；黨發(fā)寧等[21]認(rèn)為實(shí)際工程建設(shè)中，板樁產(chǎn)生的側(cè)向位移是有限的，很難達(dá)到極限平衡狀態(tài)，此時(shí)板樁所受土壓力也非極限土壓力，基于彈性理論利用應(yīng)變推導(dǎo)有限位移條件下土壓力-位移公式。目前，眾多學(xué)者研究表明：隨板樁產(chǎn)生離開土體的側(cè)向位移增大，作用于板樁的土壓力也由靜止土壓力過渡到非極限土壓力，直至趨近朗肯極限土壓力。因此，板樁應(yīng)力和位移計(jì)算中直接采用朗肯主動(dòng)土壓力是不合理的，應(yīng)該考慮板樁側(cè)向位移對(duì)土壓力的影響。

本文基于彈性理論，建立了板樁應(yīng)力及位移分布計(jì)算模型，結(jié)合邊界條件與相容方程，采用半逆解法得出了極限平衡條件下板樁應(yīng)力及位移分量解析解。同時(shí)，在黨發(fā)寧等[21]研究的基礎(chǔ)上，以懸臂板樁支擋結(jié)構(gòu)為例，考慮土壓力隨板樁側(cè)向位移非線性變化，假定板樁產(chǎn)生繞墻角的轉(zhuǎn)動(dòng)位移（RB位移模式），引入有限位移條件下土壓力-位移效應(yīng)公式，修正板樁應(yīng)力及位移解析計(jì)算式，得出了有限位移條件下板樁應(yīng)力及位移分量解析解。同時(shí)，利用ADINA建立板樁支擋結(jié)構(gòu)的二維模型，計(jì)算得出基坑支護(hù)工程中板樁支擋結(jié)構(gòu)應(yīng)力及位移的數(shù)值解，通過對(duì)比解析解和數(shù)值解，驗(yàn)證了本文解析計(jì)算公式的合理性。

2 板樁支擋結(jié)構(gòu)計(jì)算模型的建立與求解

2.1 計(jì)算模型的建立與基本假定以水平方向?yàn)閥軸，豎直方向?yàn)閤軸，建立板樁支擋結(jié)構(gòu)幾何計(jì)算模型，如圖1所示。

圖1 板樁應(yīng)力及位移分布計(jì)算模型

圖1中ρg為土體重度，φ為土體內(nèi)摩擦角，ρ1g為板樁的重度，h為基坑的深度，l為板樁高度，b為板樁寬度，E0為靜止土壓力，Ea為主動(dòng)土壓力。

本文基本假定如下：（1）板樁繞樁底產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)位移；（2）滿足平面應(yīng)變問題；（3）基坑開挖面以下視為固定端，不計(jì)土的剛度；（4）滿足材料連續(xù)性與各向同性假定；（5）位移和形變是微小的。

2.2 計(jì)算模型的求解由朗肯土壓力理論得：

式中：Ka為主動(dòng)土壓力系數(shù)；Ea為主動(dòng)土壓力，kPa；K0為靜止土壓力系數(shù)；E0為靜止土壓力，kPa。

基于假定（4），考慮板樁平衡條件，引入二維Navier方程：

式中：fx為x方向的體力分量；fy為y方向的體力分量，其中fy=0，fx=ρ1g。

對(duì)常體力情況下的Navier方程進(jìn)行簡(jiǎn)化，得出該方程全解：

式中Φ為艾里應(yīng)力函數(shù)。

采用半逆解法，利用板樁左右兩面上水平應(yīng)力是x的一次函數(shù)的事實(shí)，假定σy=xf（y），若滿足所有的邊界條件則假定的函數(shù)是正確的解。

為推求艾里應(yīng)力函數(shù)Φ的形式，將σy代入式（4）有：

對(duì)式（5）中y積分，得：

式中：f（y），f1（y）和 f2（y）均為待定的函數(shù)。

上式為關(guān)于x的一元三次方程，由于相容方程要求全板樁內(nèi)的值都滿足式（7），即要求方程有無窮多個(gè)根，則方程各項(xiàng)系數(shù)和自由項(xiàng)均為零，即：

對(duì)上式中 f（y），f1（y）和 f2（y）分別進(jìn)行積分，確定 f（y），f1（y）和 f2（y）為關(guān)于的多項(xiàng)式，將其代入式（6）確定應(yīng)力函數(shù)Φ形式，得：

式中A、B、C、D、E、F、G、H、I均為待定系數(shù)。

將式（9）代入式（4），得應(yīng)力分量：

上述應(yīng)力分量均滿足相容方程和Navier方程，若選擇系數(shù)A～I(xiàn)滿足所有邊界條件，則式（10）中應(yīng)力分量即為模型的正確解答。

由于板樁的高度遠(yuǎn)大于板樁的寬度，板樁的左右邊界為全部邊界的絕大部分，因此板樁左右兩個(gè)邊界為主要邊界，在主要邊界上應(yīng)力邊界必須完全滿足，得：

式中：Ea為朗肯主動(dòng)土壓力，kPa；S為土壓力在板樁一側(cè)的作用寬度，m，這里取單位寬度，即S=1 m。

板樁上下兩個(gè)邊界為次要邊界，由于次要邊界上邊界條件無法完全滿足，因此引用圣維南原理，采用積分的邊界條件近似代替，得：

結(jié)合式（10），聯(lián)立式（11）、式（12）可求解A～I(xiàn)全部待定系數(shù)，整理后得式（10）土的極限平衡狀態(tài)下板樁應(yīng)力分量解析式：

式中：Ix為對(duì)x軸的慣性矩，m4，Ix=b3h/12；Iy為對(duì)y軸的慣性矩，m4，Iy=bh3/12。

由假定（5），并結(jié)合彈性力學(xué)幾何方程和物理方程推求應(yīng)變、應(yīng)力與位移的關(guān)系，得：

阿姆斯特丹有160多條大小運(yùn)河，1000多座風(fēng)格迥異的古老的橋梁。運(yùn)河兩邊有許多貴族宅邸，也是阿姆斯特丹特有的風(fēng)景之一，它們將運(yùn)河和橋梁烘托得極其典雅。這些曾經(jīng)是17世紀(jì)荷蘭富商居住的房屋，至今仍然保持著古老的浮華。在這些豪宅里，飄蕩著荷蘭文化杰出的代表林布蘭和梵·高的藝術(shù)靈魂，也隱藏著二次大戰(zhàn)中猶太女孩安妮和她的《安妮日記》這樣的悲慘故事。每年6月郁金香盛開的季節(jié)，從花市集散地駛來的滿載鮮花的幾百艘船只浩浩蕩蕩地穿行在運(yùn)河上，一下子成了花的河，花的街。

式中：E為彈性模量，MPa；μ為泊松比；ux為板樁豎向位移，m；uy為板樁水平位移，m；εy為板樁的水平應(yīng)變；εx為板樁的豎直應(yīng)變。

將基坑底部開挖面以下視為固定端，即假定開挖面以下板樁位移為零，確定位移邊界條件，得：

對(duì)式（14）中ux及uy進(jìn)行積分，并將積分結(jié)果代入式（15），求解位移分量中的待定系數(shù)，得：

考慮到本模型中板樁位移應(yīng)按平面應(yīng)變問題處理，因此需將E、μ從平面應(yīng)力參數(shù)轉(zhuǎn)化為平面應(yīng)變參數(shù)：

利用參數(shù)轉(zhuǎn)化，將式（17）代入式（16），可得土的極限平衡狀態(tài)下板樁位移分量解析式：

將式（13）與式（17）代入式（14），可得板樁水平應(yīng)變?chǔ)舮分布如下：

結(jié)合式（2）與式（19），計(jì)算得出板樁水平應(yīng)變的最大值εymax如下：

2.3 有限位移條件下板樁應(yīng)力及位移的修正以上推導(dǎo)過程中設(shè)定板后土壓力按照朗肯公式計(jì)算得出，計(jì)算所得結(jié)果為極限平衡狀態(tài)下的土壓力。實(shí)際上，板后土壓力不僅受到土體性質(zhì)、板樁高度以及板樁剛度等因素影響，而且與板樁本身的位移也密切相關(guān)。從實(shí)際工況來看，板樁產(chǎn)生的離開土體和靠近土體的位移偏移量有限，很少達(dá)到極限平衡狀態(tài)，采用朗肯公式計(jì)算的主動(dòng)土壓力和被動(dòng)土壓力均偏大，相應(yīng)條件下計(jì)算出的板樁的應(yīng)力和位移也偏大，需要修正，因此將朗肯主動(dòng)土壓力修正為有限位移條件下的土壓力：

式中：P*為有限位移條件下的土壓力，kPa。

文獻(xiàn)[21]將板后土體未達(dá)到極限狀態(tài)而板樁產(chǎn)生繞樁底的轉(zhuǎn)動(dòng)位移定義為RB位移模式，得到在RB位移模式下土壓力P*與板樁水平位移uy存在非線性關(guān)系，且與板樁水平應(yīng)變?chǔ)舮存在以下關(guān)系：

將式（22）代入式（13）與式（18）中，得土壓力-RB位移模式下應(yīng)力分量最終形式：

土壓力-RB位移模式下位移分量最終形式：

值得注意的是，本文在進(jìn)行板樁應(yīng)力與位移解析式推導(dǎo)的過程中，并沒有完全假定開挖面以下為固定端，筆者先假定其為固定端，再引用文獻(xiàn)[21]中的成果對(duì)應(yīng)力與位移的解析式進(jìn)行修正，修正后的結(jié)果式（23）、式（24）是考慮了開挖面以下板樁位移的，而不是再將開挖面以下視為固定端。

3 土壓力-RB位移模式下板樁應(yīng)力及位移解析式驗(yàn)證

3.1 實(shí)例驗(yàn)證與ADINA數(shù)值分析采用許雷挺等[22]模型試驗(yàn)所用砂土試樣，作為板后填土，確定有限位移條件下板樁應(yīng)力與位移計(jì)算試驗(yàn)參數(shù)。表1所示為板樁計(jì)算參數(shù)，表2所示為土體計(jì)算參數(shù)。

表1 板樁計(jì)算參數(shù)

表2 土體計(jì)算參數(shù)

結(jié)合式（1）與式（2）可計(jì)算出板樁極限平衡條件下的朗肯主動(dòng)土壓力、靜止土壓力和對(duì)應(yīng)土壓力系數(shù)，由式（23）知，εymax的解析式為關(guān)于x的單調(diào)函數(shù)，因此當(dāng)x=h時(shí)計(jì)算可以得出文中板樁支擋結(jié)構(gòu)所對(duì)應(yīng)的水平應(yīng)變最大值。表3所示為極限狀態(tài)下土體的計(jì)算參數(shù)。

表3 極限狀態(tài)下土體計(jì)算參數(shù)

為驗(yàn)證文中板樁應(yīng)力及位移解析解的正確性，計(jì)算板樁應(yīng)力及位移的數(shù)值解進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。通過圖1與ADINA有限元軟件建立基坑及板樁支擋結(jié)構(gòu)的二維數(shù)值計(jì)算模型，模型以水平方向?yàn)閥軸，豎直方向?yàn)閤軸，板樁與土體剛度差異過大，在二者間設(shè)置接觸組與接觸單元。

圖2所示為有限元分析計(jì)算的模型與網(wǎng)格劃分，表4所示為有限元分析計(jì)算的模型所用材料參數(shù)與單元類型。

圖2 ADINA數(shù)值計(jì)算模型

表4 ADINA計(jì)算中材料模型與單元類型

3.2 土壓力-RB位移模式下板樁水平位移分布由式（18）、式（21）與ADINA計(jì)算得出，極限位移條件下（即土體產(chǎn)生極限位移的極限平衡條件）、土壓力-RB位移模式下與ADINA數(shù)值計(jì)算下板樁水平位移分布uy，uy分布曲線如圖3所示。

圖3 三種計(jì)算模式下板樁水平位移分布圖

由圖3可以看出，三種計(jì)算方式所得水平位移均符合板樁發(fā)生繞樁底轉(zhuǎn)動(dòng)的假定與小變形假定，三者位移曲線沿樁高呈非線性分布。極限位移條件下計(jì)算曲線與土壓力-RB位移模式下計(jì)算曲線均嚴(yán)格表現(xiàn)為三次曲線形，其位移分量的分布與ADINA數(shù)值計(jì)算值趨勢(shì)基本一致。極限位移狀態(tài)下計(jì)算沒有考慮土壓力隨板樁位移的變化，其土壓力為極限土壓力，即是土壓力的最大值，而實(shí)際情況中，板樁水平位移很難達(dá)到極限條件下的極限位移，因此極限條件下的計(jì)算結(jié)果比實(shí)際情況偏大，并不準(zhǔn)確。而土壓力-RB位移模式計(jì)算結(jié)果由于考慮土壓力隨板樁水平位移的變化，與極限條件下計(jì)算結(jié)果相比偏小，更加符合實(shí)際工程，其位移曲線更貼近真實(shí)情況。

3.3 土壓力-RB位移模式下板樁豎向位移分布由式（18）、式（21）與ADINA計(jì)算得出，極限位移條件下、土壓力-RB位移模式下與數(shù)值計(jì)算下板樁豎向位移 ux分布，ux分布曲線如圖4所示。

圖4 三種計(jì)算模式下板樁豎直位移分布圖

由圖4可以看出三者位移曲線沿樁高呈非線性分布，極限位移條件下計(jì)算曲線與土壓力-RB位移模式下計(jì)算曲線嚴(yán)格表現(xiàn)為二次曲線形，ADINA數(shù)值計(jì)算其線形彎曲程度受材料參數(shù)影響較大，其趨勢(shì)表現(xiàn)為單調(diào)遞減。參照 《建筑基坑支護(hù)技術(shù)規(guī)程規(guī)范》（JGJ120—2012）[23]對(duì)板樁位移進(jìn)行分析，10.5 m高板樁產(chǎn)生0.5 cm豎向位移，符合規(guī)范對(duì)于基坑支護(hù)中板樁豎向位移安全性的要求。綜合看來，極限位移條件下與土壓力-RB位移模式下的豎向位移曲線與數(shù)值計(jì)算結(jié)果基本吻合，且土壓力-RB位移模式下位移曲線為嚴(yán)格二次形曲線，與數(shù)值計(jì)算結(jié)果吻合程度更高，用以分析板樁水平位移的效果更好。

3.4 土壓力-RB位移模式下板樁應(yīng)力分布由式（18）、式（21）與ADINA計(jì)算得出，極限位移條件下、土壓力-RB位移模式下與數(shù)值計(jì)算下板樁水平應(yīng)力σy與豎直應(yīng)力σx分布。σy分布曲線如圖5所示，σx分布曲線如6所示。

圖5 三種計(jì)算模式下板樁水平應(yīng)力分布圖

圖6 三種計(jì)算模式下板樁豎直應(yīng)力分布圖

由圖5、圖6對(duì)比分析可以看出，極限位移條件下計(jì)算曲線與土壓力-RB位移模式下計(jì)算曲線曲線沿樁高呈線性分布，符合材料力學(xué)中懸臂梁應(yīng)力分布，同時(shí)滿足極限狀態(tài)的土壓力小于有限位移狀態(tài)土壓力的要求。ADINA數(shù)值計(jì)算應(yīng)力曲線沿樁高近似線性分布，近似單調(diào)遞增。需要注意的是，有限元數(shù)值計(jì)算中板樁底部會(huì)出現(xiàn)應(yīng)力集中的情況，無法有效對(duì)板樁底部的應(yīng)力分布作有效分析，因此采用極限位移條件計(jì)算和土壓力-RB位移模式計(jì)算可以較好規(guī)避這一問題。此外，運(yùn)用土壓力-RB位移模式下的計(jì)算公式在處理板樁應(yīng)力及位移問題時(shí)，由于考慮了土壓力隨板樁側(cè)向位移的非線性變化，其水平與豎向應(yīng)力變化與數(shù)值計(jì)算吻合程度更高，更加符合實(shí)際情況。

3.5 土壓力-RB位移模式下應(yīng)力及位移結(jié)果討論本文推導(dǎo)的計(jì)算公式較簡(jiǎn)單地將板樁當(dāng)做懸臂梁來計(jì)算的傳統(tǒng)方法有較大的進(jìn)步。傳統(tǒng)懸臂梁計(jì)算公式與本文推導(dǎo)的解析公式推導(dǎo)均假定開挖面以下為固定端，不計(jì)板樁位移，但本文公式進(jìn)行修正后考慮板樁位移效應(yīng)的影響，比之更為合理。且懸臂梁應(yīng)力計(jì)算公式由于采用了平截面等假定無法計(jì)算σy，且無法考慮板樁位移的影響，對(duì)其他應(yīng)力分量以及位移的計(jì)算精度也不足，而本文推導(dǎo)的理論公式不但給出σy和位移分量的解析計(jì)算式，還可以求取板樁任一坐標(biāo)點(diǎn)的應(yīng)力及位移分布，能夠更好的分析板樁變形，這是本文理論公式的優(yōu)勢(shì)之一。

此外，本文公式考慮了土壓力隨板樁側(cè)向位移呈非線性變化的關(guān)系，以土壓力-位移效應(yīng)修正了理論計(jì)算公式，區(qū)分極限位移狀態(tài)和有限位移狀態(tài)，更貼合實(shí)際情況，這是本理論公式的優(yōu)勢(shì)之二。

由于本文忽略了土體的剛度，文中理論公式只適用于板樁剛度與土體剛度相差較大的支護(hù)計(jì)算，比如：鋼板樁、或者軟土地區(qū)混凝土板樁支擋結(jié)構(gòu)等；同時(shí)本文將板樁底部開挖面視為固定端，雖然經(jīng)過修正后考慮了開挖面以下板樁的位移，但是忽略了開挖面以下板樁兩側(cè)的土壓力影響。因此，推導(dǎo)考慮土體剛度和開挖面以下板樁兩側(cè)土壓力影響的解析計(jì)算公式是筆者下一步的研究工作。

4 結(jié)論

本文針對(duì)支護(hù)工程中板樁支擋結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和位移計(jì)算問題，基于彈性理論，考慮了土壓力與板樁側(cè)向位移的非線性關(guān)系，區(qū)分極限位移狀態(tài)和有限位移狀態(tài)（RB位移模式），建立了有限位移條件下板樁應(yīng)力分量和位移分量理論計(jì)算公式；采用ADINA分析軟件建立板樁支擋結(jié)構(gòu)數(shù)值模型，對(duì)比分析極限位移條件下解析解、土壓力-RB位移下模式解析解和ADINA數(shù)值解，驗(yàn)證了本文提出的板樁應(yīng)力與位移理論計(jì)算公式的正確性與適用性，得出以下結(jié)論：

（1）依據(jù)彈性理論及基本假定，建立了板樁應(yīng)力與位移分布理論計(jì)算模型，結(jié)合邊界條件與相容方程，采用半逆解法推導(dǎo)出了極限位移條件下板樁應(yīng)力與位移分量解析計(jì)算公式。

（2）根據(jù)文獻(xiàn)[21]引入有限位移條件下土壓力計(jì)算公式，考慮土壓力與板樁側(cè)向位移的非線性關(guān)系，修正完善土壓力-RB位移模式下板樁應(yīng)力與位移解析計(jì)算公式，并采用數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證，兩者符合較好。

（3）提出的解析計(jì)算公式較將板樁簡(jiǎn)單當(dāng)做懸臂梁計(jì)算更為精確可靠，較數(shù)值計(jì)算更為簡(jiǎn)單便捷，可作為板樁支擋結(jié)構(gòu)常規(guī)設(shè)計(jì)的工具，具有重要的實(shí)用價(jià)值。