董石泉 何安? 劉偉 薛存

1) (長安大學(xué)理學(xué)院工程力學(xué)系,西安 710064)

2) (西部超導(dǎo)材料科技有限公司,西安 710014)

3) (西北工業(yè)大學(xué)力學(xué)與土木建筑學(xué)院工程力學(xué)系,西安 710072)

超導(dǎo)磁懸浮列車在加速啟動的過程中,載有恒定大電流的超導(dǎo)線圈處在變化的磁場中,這會導(dǎo)致超導(dǎo)線圈發(fā)生磁通跳躍,從而降低線圈的載流能力.并且磁通跳躍會產(chǎn)生大量熱量而使超導(dǎo)線圈溫度急劇升高,嚴(yán)重時(shí)會導(dǎo)致超導(dǎo)線圈失超,所以對磁通跳躍的研究具有非常重要的科學(xué)意義.Nb3Sn 超導(dǎo)線是由多根微米級的超導(dǎo)芯絲、銅和環(huán)氧樹脂形成的復(fù)合結(jié)構(gòu).本文通過約束每根芯絲的靜電流為零的二維模型來分析三維絞扭效應(yīng),研究了超導(dǎo)線在交變磁場和恒定電流下的磁熱不穩(wěn)定性行為.通過分析交變磁場的幅值和頻率對Nb3Sn 超導(dǎo)線磁通跳躍的影響,發(fā)現(xiàn)當(dāng)磁場幅值不變時(shí),初次發(fā)生磁通跳躍的磁場閾值Bth 隨頻率非單調(diào)變化.而當(dāng)頻率一定時(shí),初次發(fā)生磁通跳躍的磁場閾值Bth 隨交變磁場幅值單調(diào)變化.此外,隨著幅值的減小,發(fā)生磁通跳躍的頻率區(qū)間先變大后變小,直到某個(gè)臨界頻率后超導(dǎo)線不再發(fā)生磁通跳躍.本文的研究結(jié)果能夠?yàn)檎{(diào)控超導(dǎo)線的磁熱不穩(wěn)定性行為提供理論依據(jù).

1 引 言

隨著全球科技的進(jìn)步和經(jīng)濟(jì)實(shí)力的發(fā)展,人們對長距離快速出行的需求日益增長,傳統(tǒng)的輪軌高速列車主要憑借輪軌間的黏著牽引力驅(qū)使列車前進(jìn),因此會受到速度瓶頸、行駛噪音、運(yùn)行振動、爬坡能力的影響[1,2],常導(dǎo)磁懸浮系統(tǒng)又具有控制復(fù)雜、懸浮力小等缺點(diǎn),因此,超導(dǎo)磁懸浮列車系統(tǒng)作為一種性能更優(yōu)的列車運(yùn)行系統(tǒng)被全世界多個(gè)國家采用[3–9].其中超導(dǎo)磁懸浮系統(tǒng)的設(shè)計(jì)主要借助超導(dǎo)體的完全抗磁性,在運(yùn)行過程中,放置在軌道上的線圈與車身之間的超導(dǎo)線圈產(chǎn)生強(qiáng)大的排斥力以實(shí)現(xiàn)懸浮.磁懸浮列車的推進(jìn)主要使用直線同步電機(jī)系統(tǒng)來驅(qū)動[10–12].在磁懸浮系統(tǒng)中,使用超導(dǎo)材料制成的線圈具有高電流密度、低損耗傳輸?shù)膬?yōu)點(diǎn),因此可以產(chǎn)生更大的磁場,從而產(chǎn)生更大的懸浮力和牽引力,以達(dá)到更高的能量利用效率和更高的列車運(yùn)行速度.在列車啟動加速階段,大電流和高磁通密度梯度的存在,會導(dǎo)致列車上的超導(dǎo)線圈發(fā)生磁通跳躍,磁通跳躍會引起磁通大量涌入超導(dǎo)體從而使超導(dǎo)線圈的載流能力迅速下降.另外,磁通運(yùn)動會導(dǎo)致能量以焦耳熱的形式釋放出來,使超導(dǎo)線圈整體溫度急速升高,嚴(yán)重時(shí)會導(dǎo)致超導(dǎo)線圈失超從而造成安全事故.

自20 世紀(jì)60 年代發(fā)現(xiàn)磁通跳躍這一現(xiàn)象以來,人們對磁通跳躍進(jìn)行了廣泛深入的研究.超導(dǎo)體發(fā)生磁通跳躍將會導(dǎo)致兩方面的結(jié)果: 一方面由于磁通的大量涌入使得磁通梯度急劇下降,從而使得超導(dǎo)體的載流能力迅速下降,甚至發(fā)生電流猝息;另一方面這種磁通運(yùn)動會產(chǎn)生不可忽視的能量損耗,而這些能量又以焦耳熱的形式釋放,會引起超導(dǎo)體的溫度快速升高,影響超導(dǎo)體正常運(yùn)行,甚至?xí)?dǎo)致失超[13].一般磁通跳躍被分為兩類: 第一類是所謂的完全磁通跳躍,表現(xiàn)為發(fā)生磁通跳躍后超導(dǎo)體溫度超過臨界溫度;另一類為不完全磁通跳躍,發(fā)生磁通跳躍后超導(dǎo)體溫度小于臨界溫度,超導(dǎo)體仍處于混合態(tài)[14].Kim 等[15]把超導(dǎo)體加工成圓筒形狀,在圓筒外側(cè)施加平行于圓筒軸線的外磁場,在圓筒的軸線位置布設(shè)探針探測磁場的變化,觀測到了磁通跳躍的現(xiàn)象;Neuringer 與Shapira[16]利用超導(dǎo)體發(fā)生磁通跳躍時(shí)伴隨有溫度跳躍這一特點(diǎn)設(shè)計(jì)出了一種可同時(shí)觀測超導(dǎo)體溫度與磁場變化的裝置;此外,還有大量的實(shí)驗(yàn)[17–20]被用來研究磁場加載速率、背景溫度以及熱參數(shù)等對磁通跳躍的影響.

針對磁通跳躍的理論研究,Mints[14]用磁通蠕動的冪函數(shù)模型(power-law),假定當(dāng)超導(dǎo)體由于磁通運(yùn)動產(chǎn)生的熱量大于超導(dǎo)體表面?zhèn)鞒龅臒崃繒r(shí)就發(fā)生磁通跳躍,在此基礎(chǔ)上獲得了外加磁場變化速度與發(fā)生磁通跳躍外場之間的關(guān)系;Hirano等[21]數(shù)值模擬了在脈沖場磁化期間具有非均勻臨界電流密度分布的REBaCuO 環(huán)的電磁-熱特性,通過在模型外部引入一個(gè)裂縫發(fā)現(xiàn)在該裂縫區(qū)域發(fā)生了突然的磁通跳躍并伴隨著較大的溫度上升.楊小斌等[22,23]分析了平行磁場中BiSrCaCuO 板的磁熱不穩(wěn)定性行為會受磁場掃描速率、環(huán)境溫度、磁化和弛豫時(shí)間的影響,除此之外,還有一些基于不同E-J本構(gòu)關(guān)系的數(shù)值模擬也解釋了發(fā)生磁通跳躍的主要特征[24–28].目前針對磁通跳躍的數(shù)值研究大多關(guān)注于平行磁場中的超導(dǎo)塊體或超導(dǎo)圓柱的磁熱穩(wěn)定性[29,30].

由于NbTi 超導(dǎo)線相對比較柔軟且方便加工,所以采用NbTi 超導(dǎo)線繞制超導(dǎo)磁體在過去幾十年得到了蓬勃發(fā)展.然而NbTi 超導(dǎo)線的臨界溫度低,上臨界磁場較小,NbTi 線圈更容易發(fā)生磁熱不穩(wěn)定現(xiàn)象導(dǎo)致超導(dǎo)線圈失超,因此具有較高的臨界溫度和上臨界磁場的 N b3Sn 超導(dǎo)線,成為填補(bǔ)NbTi 和尚未成熟的高溫超導(dǎo)之間應(yīng)用空缺的理想材料. N b3Sn 超導(dǎo)線圈運(yùn)行于大電流和強(qiáng)磁場環(huán)境中,其磁熱穩(wěn)定性問題是工程實(shí)際應(yīng)用中關(guān)注的重點(diǎn)問題之一.最近Wang 等[31]采用最小磁能原理考慮了芯絲完全耦合下 N b3Sn 超導(dǎo)線的磁通跳躍行為.在本文中,為簡便起見,取 N b3Sn 超導(dǎo)線圈中的單根超導(dǎo)線進(jìn)行分析,數(shù)值研究了含有多根超導(dǎo)芯絲的復(fù)合超導(dǎo)線的磁通跳躍現(xiàn)象.本文的研究內(nèi)容安排如下: 第2 節(jié)介紹了理論模型和數(shù)值模擬方法;第3 節(jié)研究了交變磁場的頻率和幅值對超導(dǎo)線磁通跳躍現(xiàn)象的影響,給出了超導(dǎo)線不易發(fā)生磁通跳躍的頻率和幅值區(qū)間,為超導(dǎo)線圈工程設(shè)計(jì)中避免磁通跳躍提供理論指導(dǎo),接著分析了背景溫度對磁通跳躍的影響;最后在第4 節(jié)進(jìn)行總結(jié).

2 理論模型和方法

超導(dǎo)線圈往往用絞扭的多芯絲超導(dǎo)線來防止磁通跳躍,為了節(jié)省計(jì)算時(shí)間,我們采用COMSOL Multiphysics 軟件建立了完全不耦合的二維數(shù)值模型來代替絞扭的三維模型.本文考慮的 N b3Sn 超導(dǎo)線由54 根超導(dǎo)芯絲(灰色六邊形)、銅(黃色部分)和環(huán)氧樹脂(最外面的淺綠色部分)組成,如圖1(a)所示.六邊形的對角線長度為 0.12 mm,Nb3Sn 線半徑為 0.65 mm,空氣環(huán)境區(qū)域的大小是超導(dǎo)線的10 倍.

圖1 (a)單根 N b3Sn 超導(dǎo)線橫截面幾何形狀及相關(guān)尺寸(單位: mm)示意圖,選取了超導(dǎo)線橫截面中間的線段 A ?A 來展示超導(dǎo)線的電流密度和磁通密度分布.超導(dǎo)線置于沿著y 方向的垂直交變磁場中,交變磁場形式如圖(b)所示Fig.1.(a) Schematic diagram of the section cross of single N b3Sn superconducting wire (unit: mm).We select a line A ?A in the middle of the cross section to show the current density and flux density distribution of the superconducting wire.The superconducting wire is exposed to a perpendicular magnetic field along y axis.The form of the alternating magnetic field is shown in panel (b).

為了模擬復(fù)合多芯超導(dǎo)線的電磁特性,從麥克斯韋方程組和E-J本構(gòu)關(guān)系得到以H為狀態(tài)變量的H法微分方程

其中μ0為真空磁導(dǎo)率,ρ為相關(guān)區(qū)域的電阻率.對于空氣環(huán)境,假設(shè)空氣的電阻率為ρa(bǔ)ir=1 ?·m .在超導(dǎo)區(qū),電阻率ρsc與電流密度、超導(dǎo)區(qū)磁場和溫度有關(guān),可表示為

其中E0=1×10?4V/m 為臨界電場,n=n0?(Tc/T)表示磁通蠕變指數(shù).本文選擇n0=100 和臨界溫度Tc=18.2 K ,Jc是與溫度和磁場相關(guān)的臨界電流密度,可以寫為

其中Jc0為零場臨界電流密度,本文假設(shè)Jc0為3×1010A/m2,B0=28 T 是表示域依賴的常數(shù)值.為了對多芯超導(dǎo)線的熱效應(yīng)進(jìn)行研究,上述方程與如下的熱擴(kuò)散方程耦合求解:

其中T0為環(huán)境溫度,除圖12 和圖13 外,本文采用背景溫度T0=4.2 K .λ表示導(dǎo)熱系數(shù),c表示體積比熱,h表示傳熱系數(shù).這些參數(shù)與T3成正比,即λ=λ0?(T/T0)3,c=c0?(T/T0)3和h=h0?(T/T0)3,選取超導(dǎo)區(qū)域λ0和c0的熱參數(shù)分別為 0.1 W/(K·m),800 J/(K·m3) .環(huán)氧樹脂區(qū)域熱參數(shù)為 0.05 W/(K·m),530 J/(K·m3) .銅區(qū)域是 2 00 W/(K·m),9 00 J/(K·m3) .由于超導(dǎo)芯絲不與冷卻液接觸,超導(dǎo)芯絲內(nèi)部的傳熱h為0.而在環(huán)氧樹脂與空氣的邊界處,傳熱變?yōu)閔0=10 W/(K·m2) .由于推進(jìn)線圈在磁懸浮系統(tǒng)中產(chǎn)生變化的磁場,我們假設(shè)超導(dǎo)線處于周期性變化的斜坡磁場Ba中(如圖1(b)所示),磁場方向垂直于超導(dǎo)線橫截面即沿y軸,其中背景磁場為Ba0=1 T ,磁場的振幅為Ba1,周期為t0=1/f.交變磁場的表達(dá)式為

將狄利克雷邊界條件應(yīng)用于空氣區(qū)域的外邊界為

在超導(dǎo)線橫截面上施加沿z軸方向恒定的運(yùn)輸電流Ia=100 A .為了模擬實(shí)際情況下超導(dǎo)線的絞扭效應(yīng),通過在每根芯絲上施加逐點(diǎn)約束使每根芯絲的靜電流為零,這樣每根芯絲的電流分布完全獨(dú)立,以此達(dá)到以二維模型模擬絞扭時(shí)完全不耦合的情形.在三維情況下超導(dǎo)芯絲的絞扭對應(yīng)的是具有一定耦合度的情況,該耦合度取決于材料的剩余電阻率和絞扭的程度[32],完全不耦合就是耦合度為零的情況.我們對比了完全耦合和完全不耦合情況下的發(fā)熱功率和電流分布,如圖2 所示.可以看出,完全耦合情況下超導(dǎo)芯絲的發(fā)熱功率P小于完全不耦合情況,完全耦合情況下電流的分布可以看作是整根超導(dǎo)線在磁場作用下感應(yīng)出來的電流,而完全不耦合情況下每根芯絲的電流分布是獨(dú)立的.因此完全耦合情形下在超導(dǎo)線中心區(qū)域沒有電流穿透,而完全不耦合情況下在每根芯絲中都有電流分布.相比于完全不耦合情況,完全耦合情況載流能力有所下降.本文考慮的是超導(dǎo)芯絲完全不耦合的情形.

圖2 完全耦合和完全不耦合情況的發(fā)熱功率隨時(shí)間變化曲線,插圖展示在曲線圖 P -t 上某時(shí)刻的電流密度圖Fig.2.Developments of thermal power versus time between fully coupled and uncoupled cases,the insets show the contour of current density at time indicated in the P -t curves.

3 結(jié)果分析與討論

為了驗(yàn)證本文使用方法的準(zhǔn)確性,采用H法和H-φ法計(jì)算了三根圓形超導(dǎo)芯絲在峰值磁場為1.5 T、周期為 1 0 s 的正弦交變磁場下的電磁行為.對比兩種方法求得在 2.5 和 5 s 時(shí)的電流密度和磁通密度分布以及三根超導(dǎo)芯絲總的發(fā)熱功率隨時(shí)間的變化,如圖3 所示,兩種方法的計(jì)算結(jié)果非常符合.除此之外,使用本文介紹的H法模擬計(jì)算了周期性變化的磁場下 N b3Sn 超導(dǎo)線的磁化曲線,并關(guān)于外磁場從 0 T 開始加載的第一階段所達(dá)到的最大的磁矩的絕對值進(jìn)行了歸一化處理,其中磁場加載率為 1 7 mT/s ,磁場在 0 和 3 T 之間周期變化.參考文獻(xiàn)[33]中給出了上述磁場變化下OST 生產(chǎn)的Nb3Sn超導(dǎo)線的實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果.如圖4 所示,可以發(fā)現(xiàn)不論是在磁場的上升階段還是下降階段,超導(dǎo)線發(fā)生磁通跳躍的磁場范圍都與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合較好,從而驗(yàn)證了本文的仿真模擬結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性.

圖3 為了驗(yàn)證本文采用的H 法的準(zhǔn)確性,分別使用H 法和 H -φ 法模擬三根超導(dǎo)芯絲在 2 .5 和 5 s 時(shí)的(a)電流密度 Jz、(b)磁通密度 B y,以及(c)三根芯絲的發(fā)熱功率隨時(shí)間的變化Fig.3.In order to verify the H formula adopted by this paper,(a) the current density Jz ,(b) flux density B y at 2 .5 and 5 s,and(c) the variations of total thermal power of the three filaments versus time were conducted both by H and H -φ formulas.

圖4 由本文使用的H 法計(jì)算得到的歸一化磁化曲線,與參考文獻(xiàn)[33]中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合較好Fig.4.The normalized magnetization curve calculated by the H method used in this paper is matched with the experimental results in Ref.[33].

在接下來的部分,用H公式研究了處于變化磁場中的載流超導(dǎo)線的磁熱不穩(wěn)定性行為.取Ba1=0.7 T ,f=0.3 Hz 的外加振蕩磁場,模擬了帶芯絲的超導(dǎo)線的磁通跳躍,由于超導(dǎo)線的溫度和電場是表征其磁通躍遷行為的重要參數(shù).圖5(a)和圖5(b)給出了在一個(gè)磁場加載周期內(nèi),超導(dǎo)芯絲發(fā)生磁通跳躍的電壓和溫度信號隨時(shí)間的變化特征,發(fā)生磁通跳躍時(shí),超導(dǎo)芯絲的電壓信號和溫度信號增加非常迅速,這主要是由于大量的渦旋迅速地進(jìn)入超導(dǎo)體中.在發(fā)生第一次磁通跳躍之前電場和溫度都存在一段平穩(wěn)增加的過程,在該過程中超導(dǎo)區(qū)域的磁通緩慢穿透,磁通運(yùn)動產(chǎn)生的熱量和邊界散發(fā)的熱量平衡,隨著超導(dǎo)芯絲溫度逐漸增加,超導(dǎo)區(qū)域的臨界電流密度逐漸降低,超導(dǎo)體的釘扎勢降低,磁通運(yùn)動速度加快,當(dāng)磁通運(yùn)動產(chǎn)生的熱量達(dá)到一個(gè)臨界值時(shí),就開始發(fā)生第一個(gè)磁通跳躍.取單個(gè)跳躍峰研究,隨著磁通跳躍的發(fā)生超導(dǎo)體溫度迅速升高,超導(dǎo)區(qū)域的載流能力下降,磁通渦旋受到電磁力作用強(qiáng)度降低,磁通運(yùn)動速度變慢,產(chǎn)生的熱量隨之變小,傳出邊界的熱量大于磁通運(yùn)動產(chǎn)生的熱量,超導(dǎo)體溫度下降,一直到溫度降到最小值,而在此過程中超導(dǎo)體載流能力也在逐步恢復(fù).此外可以發(fā)現(xiàn),電壓信號降低到最小值所經(jīng)過的時(shí)間少于溫度信號所經(jīng)過的時(shí)間,這是因?yàn)榇磐康臄U(kuò)散比熱傳導(dǎo)更快.同時(shí)觀察到下降段磁場和上升段磁場開始發(fā)生磁通跳躍的溫度相同.由于超導(dǎo)芯絲完全解耦,即使在磁通跳躍狀態(tài)下,最高溫度也只有 0.35Tc.

圖5 超導(dǎo)線發(fā)生跳躍時(shí)的(a)平均電場 和(b)平均溫度T 隨時(shí)間的變化曲線;(c)和(d)分別展示了上升階段-t 或者T-t曲線對應(yīng)時(shí)刻超導(dǎo)線中心 A ?A 線的電流密度 Jz 和磁通密度 B y 分布;(e)和(d)分別展示了下降段電流密度 J z 和磁通密度By分布,插圖①—④分別展示了在 T -t 曲線上對應(yīng)時(shí)刻單根芯絲的電流密度和磁通密度圖Fig.5.The variations of (a) average electric field and (b) average temperature T as a function of time when flux jump occurs in the superconducting wire.(c) and (d) show the distributions of current density Jz and flux density B y at the center of superconducting wire in ascending branch at oscillating times indicated in -t or T -t curve.(e) and (d) show the current density Jz and flux density B y distributions in the descending branch.The insets ①–④ show the contours of current density and flux density of a single filament at times indicated in the T -t curve.

圖5(c)—(f)分別顯示了磁場上升階段和下降階段超導(dǎo)線橫截面沿A?A線(如圖1(a)所示)的電流密度和磁通密度分布.由于A?A線穿過4 根超導(dǎo)芯絲,每根芯絲的電流密度有一個(gè)正飽和值和一個(gè)負(fù)飽和值,最大電流密度約為 0.74Jc0.插圖①—④為單根超導(dǎo)芯絲在磁通跳躍狀態(tài)下最高和最低點(diǎn)對應(yīng)的電流和磁通密度的等高線圖.從圖5(c)可以看出,在溫度信號達(dá)到最高值時(shí)超導(dǎo)芯絲的飽和電流密度會降低.從圖5(d)可以看出,在磁場上升段,超導(dǎo)芯絲邊緣的磁場大于超導(dǎo)芯絲中心區(qū)域的磁場,在兩根芯絲之間有一個(gè)由外加磁場和其他芯絲中的電流在該處感應(yīng)出的疊加磁場,但是該磁場小于超導(dǎo)芯絲邊緣的磁場.然而在磁場下降階段,圖5(f)中觀察到超導(dǎo)芯絲邊緣的磁通密度在發(fā)生磁通跳躍后會降低,超導(dǎo)芯絲中心區(qū)域的磁場大于超導(dǎo)邊緣的磁場,同樣可以觀察到在相鄰兩根超導(dǎo)芯絲之間的銅層區(qū)域疊加磁場,即在兩個(gè)高峰之間有一個(gè)較低的峰.

現(xiàn)在來討論磁通跳躍狀態(tài)和磁通平滑穿透狀態(tài)之間的區(qū)別.在磁通平滑穿透這種狀態(tài)下,磁通跳躍不會發(fā)生,如圖6(a)和圖6(b)所示的平均電壓和溫度隨時(shí)間變化的曲線中,標(biāo)記①—④的這4 種狀態(tài)來解釋在一個(gè)周期內(nèi)磁通跳躍狀態(tài)和磁通平滑穿透之間的差異.彩色插圖①—④為對應(yīng)時(shí)刻磁通跳躍狀態(tài)和平滑穿透狀態(tài)下超導(dǎo)線橫截面的電流密度和磁通密度圖.通過對比未發(fā)生磁通跳躍時(shí)刻和發(fā)生跳躍時(shí)刻的超導(dǎo)線橫截面上的電流和磁通分布(圖6(c)—(f)),可以發(fā)現(xiàn)在未發(fā)生磁通跳躍時(shí),超導(dǎo)芯絲中的磁通穿透深度比發(fā)生磁通跳躍時(shí)小,在超導(dǎo)芯絲中心區(qū)域存在由前一個(gè)下降段磁場感應(yīng)出的凍結(jié)在芯絲內(nèi)部的反向電流(插圖①).從圖6(d)可以觀察到在未發(fā)生磁通跳躍時(shí)超導(dǎo)芯絲邊緣的磁場比超導(dǎo)芯絲中心區(qū)域磁場更小,在發(fā)生跳躍時(shí)超導(dǎo)芯絲邊緣的磁場大于超導(dǎo)芯絲中心區(qū)域的磁場,由于電流未穿透至中心,已經(jīng)感應(yīng)出的電流會產(chǎn)生一個(gè)屏蔽磁場來阻止外部磁場改變超導(dǎo)芯絲中心的磁場,超導(dǎo)芯絲中心的磁場在磁通跳躍和平滑穿透狀態(tài)之間保持不變.

圖6 超導(dǎo)線發(fā)生跳躍時(shí)的(a)平均電場 和(b)平均溫度T 隨時(shí)間的變化曲線,(c)和(d)分別展示了上升段階段-t 或者T-t 曲線上未震蕩和發(fā)生震蕩對應(yīng)時(shí)刻電流密度 Jz 和磁通密度 B y 分布;(e)和(d)分別展示了下降段未震蕩和發(fā)生震蕩時(shí)的電流密度 Jz 和磁通密度 B y 分布,插圖①—④分別展示了在 T -t 曲線上對應(yīng)時(shí)刻整根超導(dǎo)線的電流密度和磁通密度圖Fig.6.The variations of (a) average electric field and (b) average temperature T as a function of time when flux jump occurs in the superconducting wire.(c) and (d) show the distributions of current density Jz and flux density B y at the center of superconducting wire in ascending branch at no oscillating and oscillating times in -t or T -t curve.(e) and (d) show the current density Jz and flux density B y distributions in the descending branch.The insets ①–④ show the contours of current density and flux density of the whole superconducting wire at times indicated in the T -t curve.

在磁場下降階段,從圖6(e)及電流密度圖可以看到超導(dǎo)芯絲中心區(qū)域也存在反向的電流,該部分電流是由前一個(gè)周期的上升段磁場感應(yīng)出的凍結(jié)在超導(dǎo)芯絲內(nèi)部的電流.從圖6(f)可以觀察到超導(dǎo)芯絲邊緣的磁場在未發(fā)生磁通跳躍時(shí)比超導(dǎo)芯絲中心區(qū)域磁場更大,在發(fā)生跳躍時(shí)超導(dǎo)芯絲邊緣的磁場小于超導(dǎo)芯絲中心區(qū)域的磁場,超導(dǎo)芯絲中心的磁場從未發(fā)生跳躍到發(fā)生跳躍時(shí)基本不變.這是由于在發(fā)生磁通跳躍時(shí)超導(dǎo)芯絲中的電流還未穿透至中心.

接著研究交變磁場的幅值和頻率對多芯超導(dǎo)線磁通跳躍的影響,圖7 給出了在磁場幅值Ba1=0.7 T 不變的情況下超導(dǎo)線處于不同頻率的交變磁場中平均溫度隨時(shí)間的變化.從圖中可以觀察到在保持幅值不變的情況下,隨著頻率的增加,發(fā)生磁通跳躍的頻率和溫度躍變的幅度逐漸降低,當(dāng)頻率達(dá)到 0.7 Hz 時(shí),超導(dǎo)體不發(fā)生磁通跳躍.這是由于同一幅值情況下,頻率越高,外磁場變化的速率越快,超導(dǎo)體溫度升高得越快,在單個(gè)周期內(nèi)的同一時(shí)刻超導(dǎo)體溫度越高,磁通蠕動系數(shù)越小,對磁通蠕動的抑制效果越差,也就越不容易發(fā)生磁通跳躍.

接下來計(jì)算不同幅值Ba1=0.5 ,0.6 和 0.7 T 時(shí),超導(dǎo)線在單個(gè)加載周期內(nèi)初次發(fā)生跳躍的磁場閾值Bth隨頻率的變化(如圖8).可以發(fā)現(xiàn)在同一幅值下,磁場上升階段和下降階段初次發(fā)生跳躍的磁場閾值Bth不相等,而是關(guān)于Ba0=1 T 對稱,這說明在磁場上升段和下降段發(fā)生初次跳躍所經(jīng)歷的時(shí)間相同.值得注意的是初次發(fā)生跳躍的磁場閾值隨頻率非單調(diào)變化,Bth在 0.07 Hz 附近取極值.以磁場下降階段為例,頻率f小于 0.07 Hz 時(shí)Bth隨頻率的增加而增大,大于 0.07 Hz 時(shí)Bth隨頻率的增加而減小,磁場上升階段與下降段情況剛好相反,當(dāng)頻率過大或過小時(shí)均不發(fā)生磁通跳躍.這是因?yàn)樵陬l率f過小時(shí),磁場的變化速率太慢,超導(dǎo)體溫度升高速率較小,磁通運(yùn)動產(chǎn)生的熱量達(dá)不到發(fā)生磁通跳躍的臨界值,所以不發(fā)生磁通跳躍,而在頻率f過大時(shí),磁場的變化速率快,超導(dǎo)體溫度升高較快,磁通蠕動系數(shù)越小,磁通主要以磁通蠕動的形式穿透進(jìn)超導(dǎo)體,所以不發(fā)生磁通跳躍(圖7(d)).因此隨著頻率的增加超導(dǎo)體的磁熱狀態(tài)發(fā)生了從穩(wěn)定狀態(tài)向不穩(wěn)定狀態(tài)即磁通跳躍狀態(tài)轉(zhuǎn)變,隨著頻率的進(jìn)一步增大,超導(dǎo)體再次轉(zhuǎn)變?yōu)榇艧岱€(wěn)定態(tài).

圖7 在 T 0=4.2 K 和幅值為 0 .7 T 時(shí)不同頻率下超導(dǎo)線的平均溫度隨時(shí)間的變化Fig.7.the variations of average temperature of a superconducting wire with time for different frequencies at the amplitude of 0.7 T and T 0=4.2 K .

圖8 在 T 0=4.2 K 下,不同幅值下超導(dǎo)線發(fā)生初次磁通跳躍的磁場閾值 B th 隨頻率f 的變化(圖中雙斜線表示不發(fā)生磁通跳躍的臨界點(diǎn))Fig.8.The variations of magnetic field threshold of the initial flux jump B th versus frequency f at different amplitudes at T 0=4.2 K (The double slash lines in the figure indicate critical points where flux jump does not occur).

圖9 給出了在交變磁場頻率f=0.3 Hz 不變的情況下,不同磁場幅值,即Ba1=0.5 ,0.6 ,0.7 和0.8 T時(shí)超導(dǎo)芯絲平均溫度隨時(shí)間的變化.發(fā)現(xiàn)在幅值為 0.5 T 時(shí),超導(dǎo)線不發(fā)生磁通跳躍,隨著幅值Ba1的增大,發(fā)生磁通跳躍的頻率和溫度躍變的幅度逐漸增加,初次跳躍發(fā)生的時(shí)間更加提前.這是因?yàn)樵陬l率相同的情況下,在經(jīng)過相同的時(shí)間后,幅值為 0.5 T 時(shí)磁壓較小,超導(dǎo)線中反轉(zhuǎn)電流的穿透深度相對較淺(插圖①),進(jìn)入超導(dǎo)線的磁通較少,超導(dǎo)線中的磁壓沒有達(dá)到發(fā)生磁通跳躍的閾值,所以不容易發(fā)生磁通跳躍.但是隨著幅值的增大,在相同的時(shí)間內(nèi)反轉(zhuǎn)電流的穿透深度越深(插圖②—④),超導(dǎo)線中的磁壓越大,越容易發(fā)生磁通跳躍.

圖9 在 T 0=4.2 K 和頻率為 0 .3 Hz 時(shí),不同幅值下超導(dǎo)線的平均溫度隨時(shí)間的變化,插圖①—④分別展示了在 T -t/t0 曲線上對應(yīng)時(shí)刻整根超導(dǎo)線的電流密度圖Fig.9.The developments of average temperature of a superconducting wire as a function of time for different amplitudes at the frequency of 0.3 Hz and T 0=4.2 K .The insets ①–④ show the contours of current density of the whole superconducting wire at times indicated in the T -t/t0 curve.

接下來計(jì)算了在頻率f=0.1 ,0.3 和 0.5 Hz 時(shí)初次發(fā)生跳躍的磁場閾值Bth隨幅值Ba1的變化.從圖10 可以看出,磁場閾值Bth隨幅值Ba1單調(diào)變化.磁場下降階段初次發(fā)生跳躍的磁場閾值Bth隨幅值Ba1的增加而增大,而磁場上升階段初次發(fā)生跳躍的Bth隨Ba1的增加而減小,上升段磁場和下降段磁場的曲線同樣關(guān)于Ba0= 1 T 對稱.同一幅值情況下,頻率越大,發(fā)生初次跳躍所經(jīng)歷的時(shí)間越長,這與圖7 的結(jié)論一致.另外值得注意的是,交變頻率越小,超導(dǎo)體發(fā)生磁通跳躍的幅值區(qū)間越大,反之亦然.因此為了避免超導(dǎo)線發(fā)生磁通跳躍應(yīng)該盡量將交變磁場頻率調(diào)至較大的值.

圖10 在 T 0=4.2 K 下,不同頻率時(shí)初次發(fā)生磁通跳躍的磁場閾值 B th 隨幅值 B a1 的變化(圖中雙斜線表示不發(fā)生磁通跳躍的臨界點(diǎn))Fig.10.At T 0=4.2 K,the variations of magnetic field threshold of the initial flux jump B th with the amplitude Ba1 at different frequencies (The double slash lines in the figure indicate critical points where flux jumping does not occur).

為了更清楚地理解交變磁場頻率和幅值對超導(dǎo)線磁熱穩(wěn)定性的影響,我們繪制了正要發(fā)生磁通跳躍時(shí)關(guān)于頻率和幅值的臨界閾值曲線圖,圖11(a)中黑色實(shí)線所包圍的藍(lán)色區(qū)域?yàn)槌瑢?dǎo)線發(fā)生磁通跳躍的區(qū)域,其余灰色區(qū)域?yàn)榇磐ㄆ椒€(wěn)穿透的區(qū)域.比較有意思的現(xiàn)象是在幅值為 0.75 T 時(shí),臨界頻率達(dá)到最大值,在頻率為 0.08 Hz 時(shí),臨界幅值達(dá)到最小值.由此可以總結(jié)出,隨著幅值的減小,發(fā)生磁通跳躍的頻率區(qū)間先變大后變小,直到某個(gè)臨界頻率后超導(dǎo)線不再發(fā)生磁通跳躍.通過分析交變磁場幅值和頻率對磁通跳躍的相互作用,為了避免超導(dǎo)線發(fā)生磁通跳躍,應(yīng)當(dāng)盡量減小外加交變磁場的幅值或者增大交變頻率.

圖11 (a)在 T 0=4.2 K 時(shí)超導(dǎo)線發(fā)生磁通跳躍的頻率和幅值的臨界閾值曲線,其中黑色實(shí)線所包圍的藍(lán)色區(qū)域?yàn)槌瑢?dǎo)線發(fā)生磁通跳躍的區(qū)域,其余灰色區(qū)域?yàn)榇磐ㄆ椒€(wěn)穿透的區(qū)域.(b)—(g)分別展示了圖(a)中6 個(gè)點(diǎn)對應(yīng)情況下超導(dǎo)線的平均電場和平均溫度隨時(shí)間的變化,插圖 a1 — c2 表示 ?t 曲線的最高點(diǎn)(黑色實(shí)心圓點(diǎn))對應(yīng)時(shí)刻超導(dǎo)線的電流密度Fig.11.At T 0=4.2 K,(a)the critical threshold of frequency and amplitude(black curve)when flux jump will happen in a superconducting wire.The blue region is the region where flux jump occurs,and the rest gray region is the region where smooth penetration occurs;(b)–(g) show the variations of the average electric field and temperature of the superconducting wire with time under the corresponding conditions of the 6 points in (a);Panels a1 – c2 show the current density of the superconducting wire at times(black solid dots) corresponding to the highest points of the ?t curves.

圖11 給出了超導(dǎo)線發(fā)生磁通跳躍的頻率和幅值的臨界閾值曲線,其中黑色實(shí)線所包圍的藍(lán)色區(qū)域?yàn)槌瑢?dǎo)線發(fā)生磁通跳躍的區(qū)域,其余灰色區(qū)域?yàn)榇磐ㄆ椒€(wěn)穿透的區(qū)域.為了分析頻率和磁場幅值對磁通跳躍的影響,取位于邊界曲線上的三個(gè)點(diǎn) a2,b2,c2和邊界曲線上磁通平穩(wěn)穿透區(qū)域的三個(gè)點(diǎn)a1,b1,c1進(jìn)行分析,并展示了對應(yīng)各點(diǎn)的超導(dǎo)芯絲平均電場和平均溫度隨時(shí)間變化的曲線(如圖11(b)—(g)).插圖a1–c2 為黑色實(shí)心點(diǎn)對應(yīng)時(shí)刻的單根超導(dǎo)線電流密度等高線分布圖.從圖11可以看出,在臨界曲線之外的三個(gè)點(diǎn) a1,b1,c1的平均電場和溫度雖然沒有發(fā)生跳躍,但是這三個(gè)點(diǎn)比位于臨界曲線上的點(diǎn) a2,b2,c2在發(fā)生跳躍前的階段的電場和溫度更高.在發(fā)生跳躍時(shí),幅值較小時(shí)電場和溫度跳躍的頻率和幅度較低(a2和 b2點(diǎn)),而幅值較大時(shí)電場和溫度躍變的頻率和幅度更高(c2點(diǎn)),所以要盡量避免超導(dǎo)線在高幅值的磁場中運(yùn)行.

圖12 給出了在Ba1=0.7 T ,f=0.3 Hz 情況下,不同背景溫度時(shí)超導(dǎo)芯絲平均溫度隨時(shí)間的變化曲線,從圖中可以發(fā)現(xiàn)在保持頻率和幅值不變的情況下,隨著背景溫度降低,磁通跳躍發(fā)生的頻率越高,溫度躍變幅度越高.這主要是由于超導(dǎo)體的體積比熱與溫度成正相關(guān),溫度越高超導(dǎo)體的體積比熱越高,在相同熱量情況下超導(dǎo)體的溫升更慢,磁通運(yùn)動速率增大的趨勢變慢.此外,溫度越高,磁通蠕動系數(shù)越小,對磁通蠕動的抑制效果越差,越不容易發(fā)生磁通跳躍,在T0=5 K 時(shí),磁通運(yùn)動產(chǎn)生的熱量與邊界散發(fā)的熱量平衡,沒有發(fā)生磁通跳躍.

圖12 幅值為 0 .7 T ,頻率為 0 .3 Hz 情況下,不同背景溫度時(shí)超導(dǎo)線的平均溫度隨時(shí)間的變化Fig.12.At the amplitude of 0.7 T and the frequency of 0.3 Hz,the variations of average temperature of the superconducting wire with time for different background temperatures.

接下來研究了磁場下降階段初次跳躍磁場Bth隨背景溫度T0的變化規(guī)律.從圖13 可以看出,在保持頻率和幅值不變的情況下,背景溫度越低,初次發(fā)生磁通跳躍的磁場越高,說明發(fā)生磁通跳躍的時(shí)間越早.這是由于背景溫度越低,對應(yīng)的磁通蠕動指數(shù)越大,對磁通蠕動的抑制效果更好,更容易發(fā)生磁通跳躍.在頻率為 0.3 Hz 時(shí),交變磁場幅值越小,發(fā)生磁通跳躍的臨界背景溫度越低.這主要是由于在背景溫度較高情況下,幅值越低,磁場增加的速率越低,磁通運(yùn)動產(chǎn)生的熱量越少,溫度升高越慢.當(dāng)磁場加載到下降段結(jié)束時(shí)超導(dǎo)體的溫度達(dá)不到發(fā)生跳躍的臨界溫度,降低背景溫度可以抑制磁通蠕動,更容易達(dá)到發(fā)生磁通跳躍的臨界值.

圖13 不同頻率和幅值下初次發(fā)生磁通跳躍的磁場閾值Bth 隨背景溫度 T 0 的變化(圖中雙斜線表示不發(fā)生磁通跳躍的臨界點(diǎn))Fig.13.The variations of magnetic field threshold of the initial flux jump B th with the background temperature T0 at different frequencies and amplitudes (The double slash lines in the figure indicate critical points where flux jump does not occur).

4 結(jié) 論

本文采用Maxwell 方程的H構(gòu)型并且耦合溫度場模擬了 N b3Sn 復(fù)合超導(dǎo)線的磁通跳躍行為.通過約束每根芯絲的靜電流為零來模擬超導(dǎo)線的絞扭特征,分析了交變磁場頻率和幅值對超導(dǎo)線磁通跳躍的影響.當(dāng)交變幅值較小和頻率過大時(shí),沒有磁通跳躍現(xiàn)象發(fā)生.當(dāng)交變磁場幅值不變時(shí),隨著頻率的增加,超導(dǎo)線發(fā)生磁通跳躍的頻率和溫度躍變的幅度逐漸降低.初次發(fā)生磁通跳躍的磁場閾值Bth隨頻率非單調(diào)變化.當(dāng)交變頻率不變時(shí),隨著幅值的增大,發(fā)生磁通跳躍的頻率和溫度躍變的幅度逐漸增大,初次跳躍發(fā)生的時(shí)間越早,初次發(fā)生磁通跳躍的磁場閾值Bth隨交變磁場幅值單調(diào)變化.根據(jù)超導(dǎo)線發(fā)生磁通跳躍的臨界頻率和幅值曲線可以看出,隨著幅值的減小,發(fā)生磁通跳躍的頻率區(qū)間先變大后變小,直到某個(gè)臨界頻率后超導(dǎo)線不再發(fā)生磁通跳躍.最后分析了背景溫度對磁通跳躍的影響,在保持頻率和幅值不變的情況下,背景溫度高于某一臨界值時(shí),沒有磁通跳躍發(fā)生,但隨著背景溫度的降低,磁通跳躍發(fā)生的頻率越高,溫度躍變幅度也越高,初次發(fā)生磁通跳躍的時(shí)間越早.由于 N b3Sn 超導(dǎo)線臨界溫度和上臨界磁場均較高,相比于NbTi 超導(dǎo)線,N b3Sn 超導(dǎo)線不易發(fā)生磁通跳躍行為,更加適合于磁懸浮系統(tǒng)中的超導(dǎo)線圈.通過分析交變磁場幅值、頻率和背景溫度對磁通跳躍的作用發(fā)現(xiàn),為了避免超導(dǎo)線發(fā)生磁通跳躍,應(yīng)當(dāng)盡量減小外加交變磁場的幅值或者增大交變頻率和背景溫度.本文的研究結(jié)果對于調(diào)控磁懸浮系統(tǒng)中超導(dǎo)線圈的磁熱穩(wěn)定性行為具有理論參考意義.