馬姝靚,程震宇,陽(yáng) 麗

(廣西師范大學(xué) 物理與科學(xué)技術(shù)學(xué)院,廣西 桂林 541004)

對(duì)于混凝土、裂縫巖石這樣的連續(xù)孔隙介質(zhì)，當(dāng)窄縫孔隙中滲透入一定量的雨水或者灌溉水等液體時(shí)，孔隙水壓力的變化會(huì)引起固體的微小形變，其力學(xué)特性也會(huì)隨之發(fā)生變化[1].例如，對(duì)于平行固體之間的狹縫，液體在孔隙中會(huì)形成小液柱(稱為液橋)，孔隙之間填充形成的液橋會(huì)產(chǎn)生靜態(tài)毛細(xì)管力和動(dòng)態(tài)黏附力，使得土壤、巖石之間孔隙減小滲透率降低，這是土壤滲流中的一個(gè)重要規(guī)律.充分理解裂縫性多孔介質(zhì)中的液體運(yùn)移現(xiàn)象是成功描述許多工業(yè)過(guò)程的關(guān)鍵，如采油[2]、農(nóng)業(yè)灌溉和排水[3]、印刷或涂層過(guò)程[4]、清潔應(yīng)用中與多孔材料相連接的液體吸芯[5]、電子元器件的微型化封裝過(guò)程[6]等.因此，研究液體量和液體形貌變化對(duì)天然氣管道輸運(yùn)、微機(jī)電系統(tǒng)、微電子組裝、土壤和巖石力學(xué)行為的影響具有十分重要的意義.

目前，對(duì)于兩固體平面間的靜態(tài)液橋結(jié)構(gòu)，學(xué)者們大都采用有限元、有限體積軟件、蒙特卡羅模擬、分子動(dòng)力學(xué)軟件等進(jìn)行數(shù)值模擬或簡(jiǎn)化理論計(jì)算分析[7-13].例如，Van Gols-Racht[7]研究裂縫中形成穩(wěn)定的液體橋的條件，認(rèn)為如果裂縫孔徑在50 μm以上，就無(wú)法實(shí)現(xiàn)沿一堆基質(zhì)塊的毛細(xì)管連續(xù)性，毛管連續(xù)現(xiàn)象是裂縫性油藏原油滲流和裂縫性含水層污染物運(yùn)移的重要原因.Dejam等[8]通過(guò)形成液橋模擬了多孔基質(zhì)塊之間的毛細(xì)管連續(xù)性，認(rèn)為裂縫毛細(xì)管壓力和塊體間的相互作用會(huì)顯著影響巖石基質(zhì)塊體中物質(zhì)的運(yùn)移.Broesch等[9]利用Surface Evolver軟件仿真狹長(zhǎng)裂縫幾何形狀中非軸對(duì)稱毛細(xì)管橋的形態(tài)演變，對(duì)比模擬和實(shí)驗(yàn)關(guān)于扎釘角隨著高度變化的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)理論結(jié)果隨著板間距的增加出現(xiàn)了偏差，認(rèn)為這是由于模擬中的3個(gè)假設(shè)導(dǎo)致毛細(xì)橋的平均曲率被高估了.Dejam等[10]對(duì)平行狹縫間液體橋的靜態(tài)形狀進(jìn)行了理論研究，提出了一種新的無(wú)量綱分析楊-拉普拉斯方程，其中液體橋表面的形狀可以用α和β表示為定義的無(wú)量綱參數(shù)，得到了描述液橋氣液界面變化的積分，并對(duì)其進(jìn)行了數(shù)值求解.朱朝飛等[11]通過(guò)張力等效方法建立液橋的三維受力模型, 采用不考慮重力的球形近似求解液橋形態(tài)微分方程，研究狹長(zhǎng)平行板間液橋的形態(tài)特征參數(shù)隨著接觸角、接觸長(zhǎng)度和寬度等形態(tài)方面的參數(shù)變化的規(guī)律，以及液橋毛細(xì)力大小的變化，并將理論結(jié)果與Surface Evolver軟件仿真結(jié)果對(duì)比.張昭等[12]研究平行的片狀顆粒之間的液橋從形成到斷裂的毛細(xì)力的演化規(guī)律，并分析液橋形成時(shí)毛細(xì)力與液橋體積和固體接觸角的關(guān)系.杜凡等[13]關(guān)注平行板間薄液層的退縮和瞬間斷裂過(guò)程，觀察到液體的柱對(duì)稱形態(tài)，并計(jì)算了斷裂過(guò)程中液體內(nèi)部或液體與固體之間的力.

國(guó)內(nèi)外學(xué)者主要關(guān)注的是(不受限)無(wú)限大的固體平面間的液橋，現(xiàn)有模型多為等徑/不等徑球形雙顆粒模型、球形-平面模型、平面平行固體表面模型、圓柱-平面模型、圓錐-平面模型等[14].出于計(jì)算簡(jiǎn)便，液橋一般近似為圓柱形狀，即將液橋的形態(tài)近似為以半弧形液橋繞中心軸線旋轉(zhuǎn)一周形成的三維形狀(圓環(huán)假定)[15].關(guān)于固體平面間液橋的研究還需考慮幾個(gè)問(wèn)題：首先，環(huán)形近似使得液體橋表面有非恒定平均曲率，這與楊-拉普拉斯方程不一致[16]，而且環(huán)形近似只對(duì)于足夠小的液體體積和分離距離的液橋是準(zhǔn)確的；其次，對(duì)于狹縫中的液體，固體平面提供了一個(gè)基本的約束空間，在平板幾何中流體被限制(受限空間)在兩個(gè)平行的平面固體壁面之間；最后，實(shí)驗(yàn)中觀察到具有一定寬度的狹縫間的液橋并不是規(guī)則的圓柱體，而是呈現(xiàn)出類馬鞍形狀[17-18].因此，有必要對(duì)受限空間，例如狹縫間液橋的形貌曲面規(guī)律進(jìn)行深入研究.本文以拉普拉斯方程為理論基礎(chǔ)，采用橢圓弧幾何近似法，對(duì)受限平行狹縫間的液體形貌特征參數(shù)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，推導(dǎo)出液橋體積和毛細(xì)力的計(jì)算公式，從而探究受限空間和不受限空間內(nèi)液橋的形貌變化規(guī)律的區(qū)別.

1 模型和計(jì)算方法

圖1為水平裂縫之間液橋的簡(jiǎn)化模型，θ是固液接觸角，α是三相接觸線的釘扎角，Rn為兩端液面最細(xì)處寬度.以裂縫寬度方向?yàn)閄軸，長(zhǎng)度方向?yàn)閅軸，以此建立三維直角坐標(biāo)系，M(xm，ym，zm)為液面輪廓線上任意一點(diǎn).rc、rd分別為液橋側(cè)面和端面的曲率半徑，H是裂縫表面間距，W為裂縫寬度.模型基于3個(gè)假設(shè)：1)將狹縫簡(jiǎn)化為一對(duì)平行的不考慮表面粗糙度的平面；2)不考慮重力作用，液橋形態(tài)呈現(xiàn)軸對(duì)稱分布；3)兩端液面最細(xì)處的“頸部”半徑為狹縫寬度的一半.隨著兩板間距的變化，液固界面寬度受狹縫長(zhǎng)度方向的邊界約束保持不變，但液橋會(huì)沿著狹縫長(zhǎng)度方向自由地伸長(zhǎng)縮短，即液橋具有平動(dòng)的不變性.液橋的形貌隨上下狹縫平面間距的變化而不同.

圖1 水平裂縫中的液橋模型

1.1 液橋體積的計(jì)算

液橋的力學(xué)特征取決于其表面幾何形狀，因此需要對(duì)液橋表面形貌進(jìn)行準(zhǔn)確的計(jì)算.由于液橋中段和兩端的形狀各異，因此液橋總體積為兩部分之和：

V=Vtwo ends+Vmiddle,

(1)

液橋的兩端呈現(xiàn)類馬鞍形狀，彎月面的輪廓呈現(xiàn)弧形，因此任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)為：

ym=Rn+rd-rdsin(β1+θ),

zm=rd[cosθ-cos(β1+θ)],

其中兩端和兩側(cè)角度的積分微元取值范圍分別為β1∈[0,π-2θ],β2∈[0,π-2α].將液橋三相接觸線在xy二維平面內(nèi)采用橢圓方程描述(橢圓弧假定)[15-16]，通過(guò)數(shù)值積分可以得到液橋兩端體積為[19]：

(2)

液橋中段的體積[20]為：

(3)

其中Ly表示中段潤(rùn)濕長(zhǎng)度，可通過(guò)計(jì)算系統(tǒng)的總能量(包括液氣、固液和固氣接觸面)，然后根據(jù)能量最小化原理得到

(4)

將式(2)～(4)代入式(1)中，可將液橋的總體積表示為α的函數(shù)表達(dá)式.假定液體在短時(shí)間內(nèi)不可壓縮，并忽略蒸發(fā)，則液橋的體積在狹縫空間內(nèi)不變.當(dāng)γ、θ、V、H、W等參數(shù)可測(cè)量時(shí)，可以求得液橋的形貌特征參數(shù)α和Ly的數(shù)值，進(jìn)一步得到液橋上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而掌握液橋的所有幾何特征值.

1.2 毛細(xì)力的計(jì)算

毛細(xì)力是毛細(xì)壓力差和表面張力共同作用的結(jié)果，這與液橋的幾何形狀和潤(rùn)濕特性有關(guān).通過(guò)計(jì)算液體作用于固體表面的壓力和表面張力可以得到，即液橋在豎直方向上受到液氣界面內(nèi)外壓差產(chǎn)生的拉普拉斯力FL(沿著固體被濕潤(rùn)區(qū)域的液橋軸線方向)和液氣界面張力在軸線方向上的分量FT(在三相接觸線上沿著液橋軸線方向).總的毛細(xì)力可以寫為

(5)

其中：Ω表示液體與上部固體接觸的潤(rùn)濕區(qū)域的表面積,lu表示上部固體表面三相接觸線的長(zhǎng)度，ΔP為液橋內(nèi)外界面壓力差(毛細(xì)壓力)，ΔP=Pin-Pout.可根據(jù)楊-拉普拉斯方程計(jì)算得到

(6)

(7)

其中：γ是液體表面張力系數(shù),rd和Rn是兩個(gè)正交方向的主曲率半徑,rd=H/(2cosθ),這里規(guī)定若半徑在液橋內(nèi)部，則其符號(hào)為正;若半徑在液橋外部，則其符號(hào)為負(fù).在沒(méi)有重力的情況下，ΔP為常數(shù)，它的值由H、θ決定.

三相線上液體表面張力引起的拉力在液橋軸線方向的作用力FT為：

FT=γlu,

(8)

將式(6)～(8)代入式(5)可得(液橋力)毛細(xì)力表達(dá)式為：

(9)

2 模型驗(yàn)證

下面基于本文的理論模型對(duì)影響?yīng)M縫內(nèi)的液橋形貌的參數(shù)進(jìn)行研究.影響參數(shù)包括液橋體積V、板塊寬度W、接觸角θ、液橋高度H、表面張力γ，液橋幾何特征參數(shù)釘扎角α、Ly和M的坐標(biāo)值直觀反應(yīng)了液橋的形貌.當(dāng)V、W、θ、γ、H的數(shù)值通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到之后，利用matlab求解隱式方程組(1)～(4)即求解得到α的數(shù)值，繼而得到M的坐標(biāo)和Ly的數(shù)值.再通過(guò)式(9)得到相應(yīng)的毛細(xì)力的結(jié)果.

首先關(guān)注狹縫的關(guān)鍵參數(shù)H、W、θ對(duì)α、Ly的影響.圖2(a)將等式(5)的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[9]的H-α曲線進(jìn)行對(duì)比，點(diǎn)狀為實(shí)驗(yàn)結(jié)果，實(shí)線為計(jì)算結(jié)果，可以看到兩者具有很好的一致性.但是當(dāng)狹縫間距較大的時(shí)候，計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值之間出現(xiàn)了微小誤差，這可能是由于重力引起的液橋不對(duì)稱情況導(dǎo)致的，本文模型中并未考慮到重力引起的液橋形變.從圖2(a)中看出，在低于H時(shí)，α是銳角，隨著H的增加，α變?yōu)殁g角，差不多增大到160°左右.因此釘扎角的變化主要?jiǎng)澐譃?個(gè)范圍：70°<α<90°，α=90°和90°<α<180°.釘扎角的增加與平均曲率從凹(負(fù))到凸(正)的過(guò)渡有關(guān).圖2(b)顯示彎月面的變化示意圖，其中暗含液橋側(cè)面曲率的變化.當(dāng)α為銳角的時(shí)候，側(cè)面曲率rc為正值，平均曲率為負(fù)值，液面內(nèi)凹.當(dāng)α為鈍角的時(shí)候，側(cè)面曲率rc為負(fù)值，平均曲率為正值，液面外凸.α增加意味著液橋彎月面隨著間距的增大由凹(concave)變?yōu)榫匦慰?rectangular box)，最后變凸(convex).這是因?yàn)楠M縫中的液橋隨著距離的增加，其長(zhǎng)度同時(shí)在收縮(圖2(c))，液橋逐漸變短變粗.同樣的狹縫寬度時(shí)，體積越大，液橋長(zhǎng)度越長(zhǎng).同樣的體積時(shí)，寬度越小，液橋越長(zhǎng).其次關(guān)注液體接觸角對(duì)α的影響.圖2(d)給出了改變接觸角時(shí)H-α變化曲線.從圖中可以發(fā)現(xiàn)，接觸角對(duì)液橋的形貌影響也比較大.在同一個(gè)體積和寬度下，接觸角越大，隨著H的增加，α角越大，即液橋兩側(cè)越凸.液橋的兩端形狀能直觀的反應(yīng)出觸角的影響，在親水情況下，即θ小于90°時(shí)，液橋兩端彎月面一直為凹液面;在疏水情況下，即θ大于90°時(shí)，液橋兩端彎月面一直為凸液面[16].

圖2 理論計(jì)算結(jié)果(溫度25 ℃，純水表面張力γ=0.072 75 N/m)

3 毛細(xì)力的計(jì)算結(jié)果

在相對(duì)較大的體積和較小的分離距離下，根據(jù)式(5)計(jì)算得到毛細(xì)力的關(guān)系曲線.為定性表示結(jié)果，將毛細(xì)力采用無(wú)量綱處理，可知任意體積、寬度、表面張力等條件下毛細(xì)力.圖3(a)顯示了無(wú)量綱毛細(xì)力以及其中的兩項(xiàng)隨H/W的變化趨勢(shì).可以看出毛細(xì)力與單獨(dú)參數(shù)V、H、W無(wú)關(guān)，與H/W和θ的比值密切相關(guān).此結(jié)果與文獻(xiàn)[9]中有限元軟件Surface Evolver軟件模擬數(shù)值結(jié)果一致，驗(yàn)證了本文理論分析的正確性.

圖3 毛細(xì)力理論計(jì)算結(jié)果

圖3(a)結(jié)果顯示Fcap、FL、FT隨著液橋狹縫體積寬度比的增大而減小.在不同的體積或?qū)挾惹闆r下,Fcap、FL、FT幾乎相等，這與Valencia等[17,21-22]的模擬結(jié)論一致.圖3(a)表明F-H/W曲線明顯表現(xiàn)出兩個(gè)階段，即隨著間距增大而減小的(絕對(duì)值)快速下降階段和最后趨于平緩階段.當(dāng)距離較小時(shí)，F(xiàn)cap、FL、FT下降趨勢(shì)較快；當(dāng)距離較大時(shí)，下降趨勢(shì)減緩.當(dāng)F為負(fù)值(negative)的時(shí)候，液橋兩側(cè)彎月面呈現(xiàn)凹形(圖2(b)中concave)，液橋表現(xiàn)為毛細(xì)引力，液橋的存在使得狹縫上下平面相互聯(lián)結(jié)，F(xiàn)值越大，液橋的穩(wěn)定性越好.當(dāng)F為正值(positive)的時(shí)候，彎月面呈現(xiàn)凸形，液橋力為毛細(xì)斥力.狹縫間的毛細(xì)連結(jié)作用會(huì)受到液橋的穩(wěn)定性降低的影響而減弱.

分別計(jì)算出毛細(xì)力中的FT和FL,可以看到，F(xiàn)L這項(xiàng)的正負(fù)值取決于ΔP的符號(hào).當(dāng)H增加時(shí)，附加壓力ΔP指向液面的曲率中心，當(dāng)液面為凹液面時(shí)為負(fù)值，凸液面時(shí)為正值.相應(yīng)的FL曲線有3個(gè)特征階段，隨著距離的增加其值(絕對(duì)值)下降—過(guò)渡—隨著距離增加而增加.當(dāng)H/W約為1時(shí)，液橋側(cè)面彎月面發(fā)生從凹到凸的過(guò)渡，平均曲率從負(fù)值到正值的轉(zhuǎn)變，同時(shí)扎釘角從小于90°變成大于90°的過(guò)渡，F(xiàn)L從吸引力變?yōu)榕懦饬?大約在H/W=1.45時(shí)，F(xiàn)L達(dá)到最大值.隨著H/W增加，F(xiàn)T絕對(duì)值慢慢減小，但是力始終為負(fù)值，為吸引力.因?yàn)镕T是表面張力在垂直方向的投影，它的作用是將固體表面移近減少液氣界面的面積，從而減小表面自由能.總體來(lái)說(shuō)，當(dāng)H增加時(shí)，F(xiàn)L從負(fù)值變成正值，F(xiàn)L從吸引力變?yōu)榕懦饬?但是在相同的H/W處，F(xiàn)T項(xiàng)在數(shù)量級(jí)始終超過(guò)FL分量，它起主要作用，所以總的毛細(xì)力始終是吸引力.如果H/W繼續(xù)增加，當(dāng)液橋的頸部變?yōu)樽钫?，液橋不能再承受任何形式的拉伸，最后液橋斷?

圖3(b)結(jié)果表明，毛細(xì)力與接觸角的大小有著密切的關(guān)系，毛細(xì)力隨接觸角的減小而增大，隨H/W的增大而減小.θ越大，液橋兩端液面的曲率rd越大，從而式(6)中ΔP的數(shù)值(絕對(duì)值)越小，因此毛細(xì)力越小.

4 討論

本文計(jì)算得到的液橋形貌變化規(guī)律與經(jīng)典液橋模型得到的規(guī)律不盡相同.主要表現(xiàn)為狹縫間液橋隨著間距變化變得“越短越胖”，扎釘角隨著高度增加而增大.而典型(不受限空間)兩球形模型或者兩平面模型之間的液橋形態(tài)變化是從凸變?yōu)榘蓟蛘甙夹沃饾u變細(xì)，即填充角隨著高度的增加而減小.當(dāng)間距到達(dá)臨界高度之后，液橋最終斷裂.出現(xiàn)不同現(xiàn)象的原因有4個(gè)：1)兩狹縫之間的空間為受限空間，受限空間內(nèi)的液橋的寬度阻止了三相接觸線沿橋的寬度方向擴(kuò)展，這點(diǎn)與兩圓柱形纖維間液橋的形貌變化規(guī)律相似[23].而不受限空間中液橋可以向四周拓展[24-25],這也是受限空間液橋規(guī)律與不受限空間中液橋規(guī)律的最大不同點(diǎn).2)本文計(jì)算中間距的數(shù)值遠(yuǎn)沒(méi)有達(dá)到斷裂高度，沒(méi)有涉及臨界斷裂高度和液橋破裂能的計(jì)算，而大部分文獻(xiàn)中研究的是接近斷裂高度的液橋變化規(guī)律.3)本文研究的液橋體積較大，為毫升數(shù)量級(jí)，而大部分文獻(xiàn)中，例如Swain等[26]研究的是小體積液橋，微納米量級(jí).當(dāng)小體積的液橋高度接近斷裂距離時(shí)，因?yàn)槠浔砻?最細(xì)的“頸部”處)的自由能變小，出現(xiàn)斷裂.4)大部分文獻(xiàn)中，例如Valencia等[17]研究的是接觸角為0的液橋，當(dāng)兩個(gè)表面之間的潤(rùn)濕液體可自由調(diào)整但不能自由平移的時(shí)候，小體積液橋形態(tài)為“anvil-like”形狀，與本文中討論的大體積液橋不同.Yaneva等[27]研究的是大接觸角(θ=73°)和小體積(V/W3=0.65)接近臨界斷裂點(diǎn)的高度下的液橋，因此出現(xiàn)了填充角隨著高度的增加而減小的現(xiàn)象.

5 結(jié)語(yǔ)

關(guān)注受限的水平狹縫中的液橋的三維形貌，使用橢圓近似方法計(jì)算液橋的體積以及分析參數(shù)對(duì)體積的影響.具體為建立了液體在水平狹縫內(nèi)的外觀輪廓的理論模型，采用橢圓弧假定推導(dǎo)出液橋體積和毛細(xì)力的計(jì)算公式.分析軸對(duì)稱液橋形貌特征參數(shù)受到液體體積、間距、接觸角和寬度等諸多因素的影響規(guī)律.將計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果和有限元軟件模擬的結(jié)果相比較，吻合結(jié)果良好,說(shuō)明該模型能較好地預(yù)測(cè)和描述液橋形貌及其輪廓特征參數(shù).此外,計(jì)算結(jié)果表明毛細(xì)力隨著高度寬度比的增大而減小之后趨于平緩.總的來(lái)說(shuō)，雖然拉普拉斯力隨著高度寬度比的增加，從吸引力變化為排斥力，但液橋內(nèi)部仍以表面張力為主，所以總的毛細(xì)引力為吸引力.受限狹縫內(nèi)的液橋隨著間距的增加由凹變凸，即液橋逐漸變短變胖，這與不受限空間的液橋形貌變化大不相同.

本文模型為流體靜力平衡中的液橋，也可用于探索液體對(duì)顆粒材料結(jié)構(gòu)由干化-濕化的水力-力學(xué)耦合作用的細(xì)觀機(jī)理和孔隙流體的液橋效應(yīng).但是理想模型沒(méi)有考慮到液橋不對(duì)稱、平面的粗糙度、液體重力因素等影響，使得模型及計(jì)算方法仍具有可開(kāi)發(fā)性.后面將考慮更加復(fù)雜的不規(guī)則平面之間液橋問(wèn)題以及液橋斷裂的動(dòng)態(tài)過(guò)程，以期能更深入了解狹縫中液體的形貌和受力狀態(tài).