劉海祥，謝志祥，黃長龍，張 衡

（長江大學(xué)城市建設(shè)學(xué)院，湖北 荊州 434023）

0 引言

數(shù)值仿真模型修正計算在航天航空、橋梁等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。有限元模型修正利用實際測試得到的靜態(tài)或動態(tài)信息與理論模型得到的分析結(jié)果進(jìn)行對比，通過對參數(shù)的修正使得理論模型更加精確、符合實際。在工程結(jié)構(gòu)領(lǐng)域，一方面建筑結(jié)構(gòu)在長期的使用過程中會遭受各種環(huán)境荷載作用、溫度應(yīng)力的侵蝕和影響，使得建筑構(gòu)件老化、材料性能發(fā)生變化，使得構(gòu)件的實測值與模型的計算值存在較大誤差；Shankar Sehgal綜述了FE模型誤差的原因：邊界定義誤差、材料屬性誤差、連續(xù)體呈分散性及形體不易建模［1］。

數(shù)值仿真模型計算領(lǐng)域：例如蔡國平等將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法引入有限元模型修正中，該方法能夠較快地收斂到全局最優(yōu)解［2］。孟慶成等將灰色系統(tǒng)理論和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法結(jié)合，能夠適應(yīng)小樣本、數(shù)據(jù)不全的情況［3］。但是，以上基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模型修正都是基于動力試驗的，基于靜力試驗的研究很少。其中袁旭東等利用靜力測量結(jié)果對一五榀桁架結(jié)構(gòu)采用了改進(jìn)動量的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法，其結(jié)果表明測量數(shù)據(jù)不完備條件下，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型具有很強的魯棒性、模型依然具有較高的準(zhǔn)確性［4］。

本文提出了利用ABAQUS有限元軟件建立的簡支梁模型，提出一種基于靜力數(shù)據(jù)下神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模型修正方法，并運用一種基于靜力凝聚下的徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型修正方法。最后利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行比較，驗證該算法的有效性。

1 靜力凝聚法原理

靜載荷作用下結(jié)構(gòu)的初始靜態(tài)平衡方程可以表示為：

其中，k0為初始狀態(tài)下的N×N維全局剛度矩陣；U0為N×1維的初始位移向量；F0為N×1維的靜態(tài)載荷向量。

對于FE（有限元）模型，全局剛度矩陣的變化可以表示為元素剛度矩陣展開矩陣的線性組合，如下：

其中，n為總結(jié)構(gòu)元素的數(shù)量；γ0i為結(jié)構(gòu)元素更新因子，即結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化速率；Ki為單位元素剛度矩陣的N×N維擴展矩陣，其中其他部分為零。

假設(shè)結(jié)構(gòu)剛度矩陣可以更新為矩陣，并被寫入的形式：

考慮到在初始狀態(tài)和更新狀態(tài)下的負(fù)載是相同的，我們可以有：

其中，Uu為測量得的位移向量。

假定剛度矩陣中的平動分量和轉(zhuǎn)動因子已經(jīng)相互分離，寫成分塊形式：

其中，t為平動分量；θ為轉(zhuǎn)動分量，下標(biāo)代表相應(yīng)元素的子矩陣。

采用靜力凝聚法對自由度進(jìn)行壓縮：假如產(chǎn)生作用效應(yīng)的荷載中忽略了轉(zhuǎn)動因素的影響，即Fst=0。把公式代入到上面的方程，那么可以得到轉(zhuǎn)動自由度的表達(dá)式：

將式（6）代到首個矩陣表達(dá)式中：

式（7）可以寫成：

即式（4）。

通過式（8）可以求出豎向撓度值。

2 徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)概述

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)強大的信息處理能力應(yīng)用在許多領(lǐng)域，其強大的非線性映射能力、自適應(yīng)、自學(xué)習(xí)和容錯性能夠讓神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)從大量的歷史數(shù)據(jù)中進(jìn)行聚類并學(xué)習(xí)，找到某些行為變化的規(guī)律。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種前饋式神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，具有最佳逼近和全局最優(yōu)的優(yōu)點，相比于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不存在局部最優(yōu)問題。Powell于1985年提出了基于多變量插值的徑向基函數(shù)方法，之后Broomhead和Lowe在1988年首次將RBF應(yīng)用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計、構(gòu)建徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［5］。

3 梁式結(jié)構(gòu)模型修正實例

3.1 實體模型

在實驗室建造一根預(yù)應(yīng)力混凝土簡支梁，簡支梁的設(shè)計示意圖如圖1所示?；炷猎O(shè)計強度C30，非預(yù)應(yīng)力鋼筋采用HRB400級鋼筋，預(yù)應(yīng)力鋼筋采用1860級鋼絞線，箍筋采用Φ6 mm的光圓鋼筋，間距150 mm。圖1為混凝土實體梁加載實驗裝置圖，在彈性范圍內(nèi)對梁進(jìn)行大小為5 040 kN的集中荷載加載試驗（不卸載），測量其撓度。兩個集中加載力的位置及測點示意圖如圖2所示。由于計算模型的自由度總與現(xiàn)場測試的數(shù)目不吻合，這里采用靜力凝聚法對模型自由度進(jìn)行縮減，使其數(shù)目相符［6］。

圖1 實驗加載裝置圖

圖2 測點的布置

3.2 基于ABAQUS的有限元模型［7-8］

基于ABAQUS分析的模型主要有：分離式和整體式兩種。本文在有限元中采用整體式的建模方法，能夠有效避免因為單元細(xì)分導(dǎo)致的應(yīng)力奇異問題，有利于提高整體計算的收斂性性能。圖3為試驗混凝土簡支梁尺寸及配筋示意圖。表1為混凝土簡支梁初始材料參數(shù)表，混凝土單軸受壓應(yīng)力應(yīng)變采用混凝土設(shè)計規(guī)范（塑性損傷模型）。

圖3 簡支梁實驗圖及配筋圖

表1 簡支梁初始材料參數(shù)表

3.2.1 混凝土相關(guān)參數(shù)計算

混凝土材料本構(gòu)關(guān)系采用Saenz和Sargin模型：

其中，ε為應(yīng)變；Ec為變形模量；Es為彈性模量。

其中：

其中，fc為單軸抗壓強。

本文采用混凝土的塑性損傷模型［9］，由于實際的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)構(gòu)件多，鋼筋布置十分復(fù)雜，如果考慮混凝土壓碎時，計算結(jié)果在非線性階段撓度-位移曲線偏差較大、結(jié)果容易發(fā)散；而不考慮混凝土壓碎，則模型計算結(jié)果收斂，因此這里采用的是加載時未開裂階段的撓度-位移加載數(shù)值。

3.2.2 模型及網(wǎng)格劃分

采用sweep網(wǎng)格劃分技術(shù)，劃分網(wǎng)格前，首先要指定各個部件的網(wǎng)格單元類型。為了避免出現(xiàn)較嚴(yán)重的沙漏現(xiàn)象和網(wǎng)格扭曲，打開網(wǎng)格扭曲控制開關(guān)，同時沙漏控制設(shè)置為增強。鋼筋骨架的單元類型選為T3D2，其余設(shè)置默認(rèn)，網(wǎng)格劃分后的簡支梁見圖4。

圖4 有限元模型網(wǎng)格劃分

3.2.3 模型加載及job分析步

在有限元軟件load模塊中施加邊界條件和荷載，按照簡支梁邊界條件，左邊加固定約束、右邊加豎向鏈桿，荷載加載方式選擇施加豎向的位移，模型不考慮扭轉(zhuǎn)的作用。

在job分析模塊選擇完全分析、重啟動分析，提交分析作業(yè)，模型梁的變形的加載見圖5。模型加載計算完畢后，進(jìn)入后處理模塊選取測點并輸出點的撓度值。通過對比測量結(jié)果與模型位移計算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)實測撓度與計算撓度相差較大，故利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對結(jié)果進(jìn)行修正以便使模型與實際相符。

圖5 梁的變形圖

4 徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)修正［10］

進(jìn)行靜力荷載試驗，取構(gòu)件在一種工況條件下的多組撓度數(shù)據(jù)，采用基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合靜力數(shù)據(jù)對該梁式結(jié)構(gòu)的初始模型參數(shù)進(jìn)行修正。為了驗證RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的修正性能，采用MATLAB神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱中的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行兩者的對比分析，驗證基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有限元模型修正的可行性及實用性。

基于RBF網(wǎng)絡(luò)模型修正步驟［11］如下：選取待修正參數(shù)，根據(jù)專家經(jīng)驗的方法，選取對結(jié)構(gòu)特征響應(yīng)量（本文采用靜載工況的撓度值）靈敏度高的設(shè)計參數(shù)作為待修正參數(shù)，最后利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出參數(shù)修正的結(jié)果。

4.1 修正參數(shù)的選擇

有限元模型修正就是通過實測響應(yīng)與理論模型計算得到的結(jié)果進(jìn)行對比修正，使得修正后的理論模型數(shù)據(jù)滿足精度要求。在建立有限元模型修正時一般選擇物理參數(shù)（彈性模量E、截面積A以及抗彎剛度EI）作為待修正的參數(shù)。如果將所有的物理參數(shù)都作為修正參數(shù)，雖然模型修正的精度得到保證，但是模型的計算量大、效率低，而且分析結(jié)果不易收斂。為了提高修正效率，在模型修正前必須要選出對更加結(jié)構(gòu)敏感的物理參數(shù)。本文利用結(jié)構(gòu)簡單的簡支梁作為仿真計算的實例，采取工程經(jīng)驗將截面尺寸、截面慣性矩和彈性模量作為模型待修正的物理參數(shù)，利用實測撓度來修正截面尺寸、截面慣性矩和彈性模量，具體數(shù)據(jù)見表2。

表2 模型參數(shù)及區(qū)間

4.2 樣本點的選擇

樣本的選擇直接影響神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建，F(xiàn)EM計算的次數(shù)與樣本點的數(shù)目具有直接關(guān)系。均勻并具有代表性的樣本點數(shù)據(jù)，能夠更好地滿足計算效率及精度。本文采用均勻樣方設(shè)計［12］，建立3參數(shù)21水平的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)樣方設(shè)計表。

4.3 算法描述

4.3.1 歸一化

將數(shù)據(jù)歸一化就是將數(shù)據(jù)映射到［0，1］或［-1，1］區(qū)間或更小的區(qū)間。導(dǎo)入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)樣方設(shè)計表數(shù)據(jù)到MATLAB矩陣中，調(diào)用MATLAB函數(shù)mapminmax歸一化導(dǎo)入的樣本數(shù)據(jù)。

4.3.2 創(chuàng)建及仿真訓(xùn)練

通過MATLAB神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱中函數(shù)newrb（P，T，goal，spread，MN，DF）函數(shù)實現(xiàn)徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的創(chuàng)建，其中P和T分別代表訓(xùn)練集的輸入和輸出，goal為均方誤差的目標(biāo)，SPREED為徑向基的擴展速度，MN為最大的神經(jīng)元個數(shù)。

該徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)每次訓(xùn)練后再從樣本中提取新的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)、隱含層神經(jīng)元數(shù)目增加，當(dāng)重復(fù)訓(xùn)練后的神經(jīng)元數(shù)目達(dá)到均方差目標(biāo)時，訓(xùn)練停止得到需要的徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

4.3.3 結(jié)果分析

撓度修正前后的比較見表3，計算結(jié)果誤差圖見圖6。

表3 撓度修正前后的比較

圖6 計算結(jié)果誤差圖

通過表3，圖6可以發(fā)現(xiàn)，用有限元軟件ABAQUS建立的混凝土簡支梁在兩個豎向大小為5 040 kN的集中力加載下產(chǎn)生的撓度值與實測值大致相符合，但還是具有較大誤差。在建立模型的過程中發(fā)現(xiàn)，材料參數(shù)的定義、邊界條件的設(shè)置即使與模型初始參數(shù)一致也不能完全模擬出實際的模型結(jié)構(gòu)性能。在利用MATLAB構(gòu)建的徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)修正后，得到了與實際比較相符的結(jié)果，其中相比于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的修正效果更好：與實際結(jié)果的誤差均不超過4%（見表4，圖7）。

表4 設(shè)計參數(shù)修正前后的對比

圖7 預(yù)測樣本曲線

5 結(jié)論

1）利用有限元軟件ABAQUS對一梁式結(jié)構(gòu)進(jìn)行仿真模擬，發(fā)現(xiàn)實測撓度與理論撓度相差較大。采用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對靜力數(shù)據(jù)下的梁式結(jié)構(gòu)進(jìn)行模型修正，并與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行對比，修正結(jié)果誤差不超過4%，表明了修正結(jié)果的有效性。

2）不需要復(fù)雜的模型迭代計算，徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以將力學(xué)的反問題的求解逆為正向求解從而避免非線性和不確定性因素。