廖勇，程港，李玉杰

（重慶大學(xué)微電子與通信工程學(xué)院，重慶 400044）

0 引言

大規(guī)模多輸入多輸出（MIMO,multiple input multiple output）技術(shù)憑借其高能量效率、高頻譜效率和大系統(tǒng)容量等優(yōu)勢(shì)成為下一代移動(dòng)通信的關(guān)鍵技術(shù)之一[1]。為了充分利用大規(guī)模MIMO 技術(shù)帶來(lái)的潛在性能增益，基站需要獲取足夠精確的下行鏈路信道狀態(tài)信息（CSI,channel state information）[2]。在時(shí)分雙工（TDD,time division duplex）大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)中，可以利用上下行信道的互易性來(lái)獲得CSI。但是在頻分雙工（FDD,frequency division duplexing）大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)中，用戶必須先估計(jì)下行鏈路CSI，再通過(guò)上行鏈路反饋回基站[3]。由于大規(guī)模MIMO CSI 矩陣具備角度時(shí)延域稀疏特性，壓縮感知[4]可以被應(yīng)用于CSI 反饋。雖然壓縮感知理論與大規(guī)模MIMO 的CSI 反饋模型比較貼合，但目前依然存在一些技術(shù)挑戰(zhàn)，因此研究人員開(kāi)始關(guān)注深度學(xué)習(xí)在CSI 領(lǐng)域的應(yīng)用。文獻(xiàn)[5]提出了第一個(gè)FDD 大規(guī)模MIMO 的CSI 反饋網(wǎng)絡(luò)CsiNet，它是一種通過(guò)引入自編碼器結(jié)構(gòu)[6]，并且模擬壓縮感知框架構(gòu)建的高反饋精度的網(wǎng)絡(luò)，相比于傳統(tǒng)的壓縮感知方法，有較好的反饋性能和更低的復(fù)雜度。為了進(jìn)一步提升網(wǎng)絡(luò)的恢復(fù)效果，文獻(xiàn)[7]在CsiNet 的基礎(chǔ)上提出了CsiNet+，該網(wǎng)絡(luò)在用戶設(shè)備處利用更大卷積核的卷積層增加CSI 矩陣的感受野，提取更多的深層次特征，在基站處利用更多的卷積網(wǎng)絡(luò)提高CSI 重構(gòu)精度。針對(duì)快時(shí)變FDD大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)中因多普勒頻移導(dǎo)致的信道時(shí)間相關(guān)性使系統(tǒng)無(wú)法保證高可靠和低時(shí)延通信的問(wèn)題，文獻(xiàn)[8]利用卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（CNN,convolutional neural network）和批標(biāo)準(zhǔn)化網(wǎng)絡(luò)對(duì)CSI 矩陣中的噪聲進(jìn)行提取并且學(xué)習(xí)信道的空間結(jié)構(gòu)，通過(guò)注意力機(jī)制提取CSI 矩陣間的時(shí)間相關(guān)性以提高CSI 重構(gòu)的精度。在高速移動(dòng)環(huán)境下，信道特征復(fù)雜多變，同時(shí)存在加性噪聲和非線性效應(yīng)的影響，文獻(xiàn)[9]提出一種殘差混合網(wǎng)絡(luò)，可消除高速移動(dòng)場(chǎng)景加性噪聲的影響，學(xué)習(xí)并適應(yīng)稀疏、雙選衰落信道特征，在高壓縮率與低信噪比條件下依然具有較好的性能表現(xiàn)。針對(duì)FDD 模式下CSI 反饋方法復(fù)雜度高、精度低和開(kāi)銷大的問(wèn)題，文獻(xiàn)[10]提出了一種輕量化低復(fù)雜度的反饋方法，該方法在時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度上均有良好的表現(xiàn)。

值得注意的是，大多數(shù)的深度學(xué)習(xí)方法需要依靠大量已分類標(biāo)記的數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練，因此這種方法也被稱為基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的深度學(xué)習(xí)方法，但該方法不具備可解釋性。針對(duì)上述問(wèn)題，研究人員發(fā)現(xiàn)將傳統(tǒng)的經(jīng)典非線性迭代算法與深度學(xué)習(xí)的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)訓(xùn)練相結(jié)合，可以減小對(duì)大量標(biāo)記數(shù)據(jù)的強(qiáng)依賴性，同時(shí)具備一定的理論保障和性能下限。這種通過(guò)結(jié)合經(jīng)典非線性迭代算法的可解釋性和深度學(xué)習(xí)高性能的方法被稱作“深度展開(kāi)”[11]。文獻(xiàn)[12]提出一種多任務(wù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，通過(guò)展開(kāi)基于最小均方誤差準(zhǔn)則的兩次迭代來(lái)恢復(fù)下行鏈路的CSI 和上行用戶的數(shù)據(jù)序列，在減少上行鏈路帶寬資源占用方面表現(xiàn)優(yōu)異。文獻(xiàn)[13]提出基于深度卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的馬爾可夫模型對(duì)前向CSI 進(jìn)行差分編碼，能有效提高CSI 重構(gòu)精度。文獻(xiàn)[14]將快速迭代收縮閾值算法（FISTA,fast iterative shrinkage thresholding algorithm）展開(kāi)為FISTA-Net 并且作為大規(guī)模MIMO的CSI反饋算法，獲得了優(yōu)異的性能。

針對(duì)基于深度學(xué)習(xí)的CSI 反饋算法存在待訓(xùn)練參數(shù)過(guò)多、可解釋性不強(qiáng)的問(wèn)題，本文提出了2 種基于深度展開(kāi)的CSI 反饋算法，以近似消息傳遞（AMP,approximate message passing）[15]作為深度展開(kāi)的基準(zhǔn)算法，從2 個(gè)視角分別展開(kāi)得到了基于可學(xué)習(xí)參數(shù)的 AMP（LP-AMP,learnable parameters-AMP）算法和基于卷積網(wǎng)絡(luò)的AMP（CNN-AMP,convolutional neural network-AMP）算法。本文的主要貢獻(xiàn)如下：1) LP-AMP 算法通過(guò)改進(jìn)AMP 中的閾值函數(shù)和Onsager 項(xiàng)來(lái)解決CSI 矩陣非嚴(yán)格稀疏的問(wèn)題；2) 隨著這種非嚴(yán)格稀疏性的加強(qiáng)，在LP-AMP 算法的基礎(chǔ)上提出了利用卷積殘差學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)改進(jìn)閾值函數(shù)模塊的 CNN-AMP 算法，與LP-AMP 相比，CNN-AMP 在犧牲了一些復(fù)雜度的情況下，獲得了更加明顯的重構(gòu)效果；3) 所提的基于深度展開(kāi)的CSI 反饋算法既具有壓縮感知算法的可解釋性理論保障，又具有深度學(xué)習(xí)方法的高性能表現(xiàn)，可以為FDD 大規(guī)模MIMO CSI 反饋領(lǐng)域的研究提供一些可行的思路。

1 系統(tǒng)模型

本文針對(duì)單小區(qū)大規(guī)模MIMO 的通信系統(tǒng)，基站配備有Nt根發(fā)射天線，天線陣列方式采用均勻線性陣列，用戶端配備有單根接收天線。采用正交頻分復(fù)用系統(tǒng)，并有Ns個(gè)子載波，因此接收向量y可以建模為

其中，y是維度為Ns×1 的復(fù)數(shù)接收向量；x是Ns×1的復(fù)數(shù)發(fā)射向量；n是Ns×1的加性高斯白噪聲向量；是Ns×Nt的復(fù)數(shù)CSI 信道矩陣，其中行向量為每個(gè)子載波下的空域信道矢量，列向量為頻域信道矢量；U是Nt×Ns的復(fù)數(shù)預(yù)編碼矩陣。如果以空頻域矩陣作為反饋矩陣的基準(zhǔn)，那么CSI 矩陣就是，此時(shí)的反饋總量是NsNt，這會(huì)占據(jù)大量的系統(tǒng)資源，因此需要設(shè)計(jì)低復(fù)雜度高反饋精度的有限CSI 反饋方法。

考慮到CSI 矩陣具備角度時(shí)延域的稀疏特性，為了降低CSI 的反饋開(kāi)銷，將角度和時(shí)延域的稀疏特性全部應(yīng)用于空頻域矩陣，經(jīng)過(guò)兩次矩陣乘積的離散傅里葉變換（DFT,discrete Fourier transform），即可得到角度時(shí)延域稀疏CSI 矩陣為

將上述經(jīng)DFT 稀疏和截?cái)嘀蟮腃SI 矩陣H作為待反饋矩陣，深度展開(kāi)CSI 反饋模型如圖1 所示。首先，將用戶端估計(jì)得到的CSI 矩陣H經(jīng)向量化和拼接得到長(zhǎng)度為N=的實(shí)數(shù)稀疏向量x，在得到稀疏的待反饋向量x之后，測(cè)量矩陣使用獨(dú)立同分布高斯隨機(jī)矩陣A進(jìn)行壓縮。將矩陣的壓縮和重構(gòu)2 個(gè)過(guò)程分別使用編碼器和解碼器進(jìn)行描述，編碼器在用戶設(shè)備處，解碼器在基站處。編碼過(guò)程表示為

圖1 深度展開(kāi)CSI 反饋模型

其中，y表示長(zhǎng)度為M的測(cè)量向量，fen(·) 表示編碼器函數(shù)，Re(·) 表示取向量的實(shí)部，Im(·) 表示取向量的虛部，vec(·) 表示向量化操作。

y通過(guò)反饋信道到達(dá)基站，為了便于區(qū)分，以表示基站端接收到的測(cè)量向量，基站通過(guò)深度展開(kāi)的AMP 算法恢復(fù)為第k次迭代的重構(gòu)向量xk，然后反變換回CSI 稀疏矩陣，即可完成CSI 的反饋流程。解碼過(guò)程表示為

其中，fde(·) 表示解碼器函數(shù)。最終的訓(xùn)練過(guò)程是將fen(·) 和fde(·) 聯(lián)立在一起進(jìn)行端到端的訓(xùn)練，這種端到端的訓(xùn)練過(guò)程可表示為

其中，fall(·) 是編碼器和解碼器聯(lián)立后的變換函數(shù)，Θ={Θen,Θde}是網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)集合，Θen是編碼器參數(shù)，Θde是解碼器參數(shù)，Hi是第i例訓(xùn)練樣本。

2 基于AMP 的深度展開(kāi)CSI 反饋

2.1 深度展開(kāi)的原理

深度展開(kāi)模型由多個(gè)計(jì)算模塊組成，每個(gè)計(jì)算模塊對(duì)應(yīng)非線性迭代算法中的一次迭代。文獻(xiàn)[16]指出，將深度學(xué)習(xí)方法與現(xiàn)有通信領(lǐng)域中的經(jīng)典非線性迭代算法結(jié)合已成為近年來(lái)的研究熱點(diǎn)，并且已經(jīng)應(yīng)用到預(yù)編碼、信號(hào)檢測(cè)和信道解碼等處理中。深度展開(kāi)模型架構(gòu)如圖2 所示。

圖2 深度展開(kāi)模型架構(gòu)

深度展開(kāi)模型包括3 個(gè)部分，即數(shù)學(xué)模型、迭代算法和深度網(wǎng)絡(luò)。在應(yīng)用中將具體的實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型，根據(jù)相關(guān)的數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)得到具體的迭代算法，將迭代算法每輪迭代的計(jì)算式展開(kāi)為深度網(wǎng)絡(luò)中的一層，利用可學(xué)習(xí)參數(shù)或神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)替換原始迭代算法中每輪迭代中的超參數(shù)或某個(gè)計(jì)算模塊。

2.2 AMP 算法

AMP 算法[15]很好地繼承了迭代閾值算法的優(yōu)勢(shì)，又融入了消息傳遞算法的精髓。假設(shè)初始化重構(gòu)向量x0=ATy，殘差向量z-1=y，第t（t≥ 0）次迭代可表示為

其中，u為軟閾值函數(shù)的輸入。

根據(jù)文獻(xiàn)[17]，Onsager 校正項(xiàng)中的bt與閾值λt為

其中，ε是一個(gè)與稀疏度和測(cè)量向量長(zhǎng)度M有關(guān)的可調(diào)數(shù)值。AMP 算法與FISTA 相似，不同之處在于AMP 算法在殘差向量更新時(shí)增加了Onsager 校正項(xiàng)，并且迭代閾值在每輪迭代中都會(huì)通過(guò)殘差向量和測(cè)量向量長(zhǎng)度M進(jìn)行調(diào)整。AMP 計(jì)算模塊如圖3 所示。

圖3 AMP 計(jì)算模塊

圖3 展示了AMP 算法迭代式中的每一個(gè)計(jì)算模塊，AMP 算法的流程如算法1 所示。

算法1AMP 算法

輸入測(cè)量向量y，高斯隨機(jī)矩陣A

輸出重構(gòu)向量xt+1

初始化重構(gòu)向量x0=ATy，殘差向量z-1=y，迭代次數(shù)t=1

步驟3t=t+1，若t＜N，返回步驟1，若t=N，迭代結(jié)束；

2.3 基于可學(xué)習(xí)參數(shù)的AMP 算法

本節(jié)對(duì)基于可學(xué)習(xí)參數(shù)的 AMP 反饋算法LP-AMP 的展開(kāi)結(jié)構(gòu)進(jìn)行描述。具體而言，通過(guò)引入深度學(xué)習(xí)中梯度下降法更新網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，優(yōu)化AMP算法中的迭代更新參數(shù)，將算法的每輪迭代展開(kāi)為深度網(wǎng)絡(luò)中的一層，再將多個(gè)這樣的層堆疊，在模型訓(xùn)練的過(guò)程中逐漸優(yōu)化每層中不同的可學(xué)習(xí)參數(shù)，使模型以更少的迭代層數(shù)更快地收斂。LP-AMP的中間展開(kāi)計(jì)算模塊如圖4 所示。

圖4 LP-AMP 的中間展開(kāi)計(jì)算模塊

輸入層對(duì)進(jìn)入迭代中的x t和z t進(jìn)行初始化操作，輸出層將迭代至最后的x k作為L(zhǎng)P-AMP 的最后輸出，中間展開(kāi)計(jì)算模塊的 R(·) 和 N(·) 函數(shù)是引入可學(xué)習(xí)參數(shù)α t向量和β t參數(shù)的2 個(gè)可學(xué)習(xí)模塊。LP-AMP 算法的初始化和中間展開(kāi)式可以表示為

其中，x0的初始化是通過(guò)將采樣矩陣的轉(zhuǎn)置AT作為可學(xué)習(xí)矩陣Q的初始化，在不斷訓(xùn)練的過(guò)程中，調(diào)整矩陣Q的分布，增強(qiáng)初始重構(gòu)效果；α t是第t層展開(kāi)中的可學(xué)習(xí)向量；β t是第t層展開(kāi)中的可學(xué)習(xí)參數(shù)。對(duì)于展開(kāi)式中的 R(·) 和 N(·) 模塊，R(·) 模塊對(duì)應(yīng)原始AMP 算法中的閾值函數(shù)η(·) 部分，與閾值函數(shù)有所不同；N(·) 模塊則對(duì)應(yīng)于Onsager 項(xiàng)部分中的對(duì)x t的0 范數(shù)計(jì)算過(guò)程。

閾值函數(shù)η(·) 和 R(·) 模塊的對(duì)比如圖5 所示。

圖5 閾值函數(shù) η (·) 和 R(·) 模塊的對(duì)比

從圖5 可以看出，原始的CSI 數(shù)據(jù)并非嚴(yán)格稀疏，大多數(shù)的數(shù)據(jù)非常接近0，但是并不為0。閾值函數(shù)η(·) 則在一次更新迭代的情況下將絕對(duì)值小于閾值λt的參數(shù)嚴(yán)格置0，這破壞了原始信號(hào)的細(xì)節(jié)（即小于閾值但不為0 的點(diǎn)在重構(gòu)信號(hào)中被刪除）。本文將原始的閾值函數(shù)η(·) 替換成 R(·) 計(jì)算模塊，是為了加強(qiáng)閾值函數(shù)在應(yīng)對(duì)非嚴(yán)格稀疏數(shù)據(jù)時(shí)的非線性表征能力。與η(·) 閾值函數(shù)不同的是，R (·) 模塊引入可學(xué)習(xí)向量αt來(lái)提升整體的變換效果，計(jì)算式為

其中，α t∈RN是長(zhǎng)度為N的可學(xué)習(xí)參數(shù)向量，它的長(zhǎng)度與重構(gòu)向量x t的長(zhǎng)度相同，即N=。R(·) 模塊的計(jì)算式使不會(huì)有小于閾值的點(diǎn)被嚴(yán)格置0，并且每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)都有一個(gè)可學(xué)習(xí)參數(shù)進(jìn)行調(diào)整。

N(·) 模塊對(duì)應(yīng)于AMP 算法中Onsager 中求解x t的0 范數(shù)部分，x t的0 范數(shù)是指向量x t中的非零元素的數(shù)目。但是通過(guò) R(·) 模塊處理后的數(shù)據(jù)幾乎不存在嚴(yán)格為0 的數(shù)據(jù)，因此 N(·) 模塊中對(duì)0 范數(shù)的處理同樣需要通過(guò)可學(xué)習(xí)參數(shù)來(lái)模擬。具體而言，將可學(xué)習(xí)參數(shù)βt作為計(jì)算非零元素?cái)?shù)目的閾值，超過(guò)βt閾值的數(shù)據(jù)點(diǎn)被判定為非零元素。通過(guò)后續(xù)的仿真實(shí)驗(yàn)可以看到，引入可學(xué)習(xí)參數(shù)βt可以減少算法的總迭代次數(shù)并提高重構(gòu)精度。另外，值得注意的是，采樣矩陣A是服從高斯分布的隨機(jī)矩陣。然而，已有研究證明，設(shè)計(jì)合理的采樣矩陣可以提高CSI 矩陣重構(gòu)的精度[18]。在LP-AMP 中也不例外，為了提高重構(gòu)精度，利用經(jīng)訓(xùn)練過(guò)后的A進(jìn)行數(shù)據(jù)的壓縮，Q進(jìn)行數(shù)據(jù)的初始重構(gòu)。LP-AMP算法的流程如算法2 所示。

算法2LP-AMP 算法

輸入測(cè)量向量y，訓(xùn)練后的矩陣A

輸出重構(gòu)向量xt+1

初始化重構(gòu)向量x0=Qy，訓(xùn)練后的矩陣Q的初始化為AT，殘差向量z-1=y，迭代次數(shù)t=1

步驟1由測(cè)量向量y、訓(xùn)練后的矩陣A、當(dāng)次迭代的xt、當(dāng)前展開(kāi)計(jì)算模塊中的可學(xué)習(xí)參數(shù)β t、前一次迭代的z t-1計(jì)算出當(dāng)次迭代的z t=y-Ax t+M-1N（x t;βt）z t-1；

步驟2引入可學(xué)習(xí)參數(shù)αt向量，利用當(dāng)前展開(kāi)計(jì)算模塊中的R(·) 計(jì)算得到

步驟3t=t+1，若t＜N，返回步驟1，若t=N，迭代結(jié)束；

2.4 基于卷積網(wǎng)絡(luò)的AMP 算法

LP-AMP 的 R(·) 閾值模塊依然面臨一個(gè)重要的問(wèn)題，即雖然LP-AMP 通過(guò)可學(xué)習(xí)參數(shù)作為每層的閾值向量，但是在訓(xùn)練之后會(huì)使 R(·) 模塊中的閾值向量α t成為固定值，這會(huì)使個(gè)別不符合總體樣本特征的數(shù)據(jù)重構(gòu)效果變差，進(jìn)而影響算法的整體泛化能力。在LP-AMP 的整個(gè)流程中，R(·) 模塊幾乎承擔(dān)著大部分的非線性計(jì)算過(guò)程，而深度學(xué)習(xí)中CNN在應(yīng)對(duì)非線性表征時(shí)，往往有著更好的性能。因此本節(jié)利用卷積殘差學(xué)習(xí)模塊替換LP-AMP中的閾值模塊 R(·)，其余部分不做任何改動(dòng)。為了方便后續(xù)的描述，將基于卷積殘差學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)的AMP 反饋算法命名為 CNN-AMP。從理論推導(dǎo)角度而言，LP-AMP 中 R(·) 的作用是去除數(shù)據(jù)中的高斯白噪聲影響。具體的推導(dǎo)過(guò)程如下。

根據(jù)y=Ax可得

根據(jù)上述推導(dǎo)，AMP 算法中η(·) 閾值函數(shù)的作用是去除每輪迭代重構(gòu)信號(hào)中的高斯白噪聲。CNN-AMP 的中間展開(kāi)計(jì)算模塊如圖6 所示，其與LP-AMP 的不同之處僅在于將 R(·) 模塊替換為了?(·) 模塊，?(·) 模塊由3 個(gè)深度可分離卷積層[19]構(gòu)成，卷積核的大小為3×3，每個(gè)卷積層之間通過(guò)ReLU 激活函數(shù)相連。值得強(qiáng)調(diào)的是，?(·) 模塊利用殘差學(xué)習(xí)[20]的模式，將網(wǎng)絡(luò)的輸入減去網(wǎng)絡(luò)的輸出得到最終結(jié)果，即 ?(·) 模塊將學(xué)習(xí)到每輪重構(gòu)向量的高斯白噪聲，最后通過(guò)輸入減去噪聲得到該展開(kāi)層信號(hào)的重構(gòu)。

圖6 CNN-AMP 的中間展開(kāi)計(jì)算模塊

根據(jù)上述對(duì)CNN-AMP 的描述，它的迭代展開(kāi)式可以寫為

其中，CNN-AMP 中的 (Nxt;βt) 模塊與LP-AMP保持一致，依然利用學(xué)習(xí)參數(shù) βt作為模擬求解xt的0 范數(shù)閾值。CNN-AMP 的輸入層的初始化過(guò)程以及輸出層也與LP-AMP 保持一致，為了提高重構(gòu)精度，采樣矩陣A與初始重構(gòu)矩陣Q同樣加入網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的訓(xùn)練。CNN-AMP 算法的流程如算法3 所示。

算法3CNN-AMP 算法

輸入測(cè)量向量y，訓(xùn)練后的矩陣A

輸出重構(gòu)向量xt+1

初始化重構(gòu)向量x0=Qy，訓(xùn)練后的矩陣Q的初始化為AT，殘差向量z-1=y，迭代次數(shù)t=1

步驟1由測(cè)量向量y、訓(xùn)練后的矩陣A、當(dāng)次迭代的x t、當(dāng)前展開(kāi)計(jì)算模塊中的可學(xué)習(xí)參數(shù)β t、前一次迭代的z t-1計(jì)算出當(dāng)次迭代的z t=y-Axt+M-1N(x t;βt)z t-1；

步驟2引入殘差學(xué)習(xí)模塊 ?(·)，利用當(dāng)前展開(kāi)計(jì)算模塊中的 ?(·) 計(jì)算得到x t+1=?(x t+ATz t)；

步驟3t=t+1，若t＜N，返回步驟1，若t=N，迭代結(jié)束；

3 模型訓(xùn)練與復(fù)雜度分析

3.1 模型訓(xùn)練

對(duì)比LP-AMP、CNN-AMP 和AMP 的展開(kāi)或迭代式可以發(fā)現(xiàn)，若去掉LP-AMP 和CNN-AMP中的 R(·)、N (·) 和 ?(·) 模塊，將其更改為原始閾值函數(shù)η(·) 和常規(guī)的 0 范數(shù)計(jì)算，LP-AMP 和CNN-AMP 就會(huì)退化為AMP 算法，也就是說(shuō)，LP-AMP 和CNN-AMP 的性能下限是可以預(yù)知的，即存在理論前提和性能保障。但是基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的深度學(xué)習(xí)方法的性能則無(wú)法提前預(yù)知，在進(jìn)行訓(xùn)練之前，無(wú)法保證得到很好的效果。為了方便后續(xù)對(duì)比實(shí)驗(yàn)的分析，這里k1層展開(kāi)的LP-AMP和k2層展開(kāi)的CNN-AMP 被命名為L(zhǎng)P-AMP-k1和CNN-AMP-k2。產(chǎn)生數(shù)據(jù)集的信道模型是基于空間幾何的隨機(jī)信道模型 COST2100[21]，其在COST259 模型和COST273 模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行構(gòu)建，可以在時(shí)間、頻率和空間上重現(xiàn)MIMO 信道的隨機(jī)屬性。產(chǎn)生的數(shù)據(jù)集分別為100 000 訓(xùn)練集、30 000 驗(yàn)證集和20 000 測(cè)試集。采用端到端的訓(xùn)練方式，訓(xùn)練的損失函數(shù)采用均方誤差（MSE,mean square error），它是一種計(jì)算預(yù)測(cè)值和真實(shí)值之間誤差的函數(shù)，具體的表達(dá)式為

其中，Hi為原始輸入的第i例樣本，矩陣的維度是32×32，Θ為網(wǎng)絡(luò)中的所有參數(shù)，包括A、Q、α t、β t等，fall(·) 為整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算式，fall(Hi;Θ)為恢復(fù)的第i例樣本，T為總的訓(xùn)練樣本數(shù)量。優(yōu)化器算法為自適應(yīng)矩估計(jì)[22]優(yōu)化器，它是隨機(jī)梯度下降算法的一種變體。采樣矩陣A使用服從高斯分布的隨機(jī)矩陣初始化填充，第t層可訓(xùn)練向量α t使用0.1 初始化填充，第t層β t也初始化為0.1。

為了得到理想效果并避免梯度消失的問(wèn)題，初始學(xué)習(xí)率設(shè)置為0.001，衰減率設(shè)置為0.9。使用的訓(xùn)練設(shè)備配置為NVIDIA GeForce RTX 2080 Ti 顯卡，Intel Xeon E5-2678 v3 處理器，64 GB 內(nèi)存。通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，LP-AMP-k1的收斂速度比CNN-AMP-k2快得多。當(dāng)壓縮率，批量數(shù)據(jù)大小為200，k1和k2分別取3 和7 時(shí)，LP-AMP-k1和CNN-AMP-k2的MSE 如表1 所示，采用Python平臺(tái)的深度學(xué)習(xí)框架Pytorch 搭建整體結(jié)構(gòu)。

表1 LP-AMP-k1 和CNN-AMP-k2 的MSE

除此之外，還需要確定AMP 算法的收斂迭代次數(shù)，及LP-AMP-k1和CNN-AMP-k2的最佳展開(kāi)層數(shù)。當(dāng)室內(nèi)場(chǎng)景下壓縮率時(shí)，LP-AMP-k1和CNN-AMP-k2在驗(yàn)證集上的MSE如圖7 所示。從圖7 可以看出，當(dāng)k1=1、3、5、7、9 時(shí)，LP-AMP-k1整體損失呈下降趨勢(shì)，但是損失整體相差并不大，隨著k1的增大，最終收斂的迭代次數(shù)開(kāi)始增加，k1=3 和k1=5 時(shí)的收斂速度幾乎相同，k1=5 時(shí)的整體損失僅略低于k1=3。綜合復(fù)雜度和性能平衡之下，設(shè)置k1=3。另外，CNN-AMP-k2整體的損失比LP-AMP-k1低一個(gè)數(shù)量級(jí)，這也是在犧牲一些復(fù)雜度之下?lián)Q取的性能優(yōu)勢(shì)。隨著層數(shù)的增加，CNN-AMP-k2損失同樣呈下降趨勢(shì)，k2=5 和k2=7 時(shí)的損失差距不大，為了平衡復(fù)雜度和性能，設(shè)置k2=5。

圖7 LP-AMP-k1 和CNN-AMP-k2 在驗(yàn)證集上的MSE

AMP 的迭代次數(shù)q也是影響整體復(fù)雜度的關(guān)鍵參數(shù)，MSE 隨迭代次數(shù)的變化如圖8 所示。無(wú)論在室內(nèi)或室外場(chǎng)景，AMP 算法信道矩陣的非嚴(yán)格稀疏性導(dǎo)致算法在驗(yàn)證集上整體收斂于迭代次數(shù)50～100，以下的計(jì)算選取q=100。相比于LP-AMP-3，AMP 的乘法次數(shù)高一個(gè)數(shù)量級(jí)，與CNN-AMP-5較接近。

圖8 MSE 隨迭代次數(shù)的變化

3.2 復(fù)雜度分析

本節(jié)將通過(guò)對(duì)比 CsiNet、CsiNetPlus、LP-AMP-3、CNN-AMP-5 和AMP 方法來(lái)說(shuō)明深度展開(kāi)方法的優(yōu)勢(shì)和缺陷，通過(guò)分析網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)量和實(shí)數(shù)乘法次數(shù)來(lái)反映復(fù)雜度。對(duì)于網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，AMP作為傳統(tǒng)的壓縮感知算法并不存在網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，但是LP-AMP-3 和CNN-AMP-5 是AMP 的深度展開(kāi)算法，引入了可學(xué)習(xí)參數(shù)和殘差學(xué)習(xí)模塊，需要計(jì)算整體的參數(shù)量。

參數(shù)量的計(jì)算將M=512、256、128、64 和N=2048代入計(jì)算，并且忽略所有結(jié)構(gòu)的偏置項(xiàng)。不同算法編碼器和解碼器的參數(shù)量如表2 所示。

表2 不同算法編碼器和解碼器的參數(shù)量

LP-AMP-3 和CNN-AMP-5 算法編碼器部分的參數(shù)量與CsiNet 和CsiNetPlus 幾乎相同，這是因?yàn)長(zhǎng)P-AMP-3 和CNN-AMP-5 都將采樣矩陣A作為可訓(xùn)練參數(shù)，這與全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的壓縮過(guò)程在參數(shù)量的計(jì)算上是等價(jià)的。

在解碼器部分，LP-AMP-3 和CNN-AMP-5 比CsiNet 和CsiNetPlus 的參數(shù)量略大，不過(guò)總體來(lái)說(shuō)，M×N依然是參數(shù)量計(jì)算的主體部分，數(shù)量級(jí)依然相同。LP-AMP-3 存在可訓(xùn)練矩陣Q以及 R(·)、N (·) 模塊中的向量α t和參數(shù)β t，CNN-AMP-5 與LP-AMP-3 同樣存在可訓(xùn)練矩陣Q，不同之處在于，R(·) 模塊被替換為 ?(·) 模塊，當(dāng)層數(shù)越大時(shí)，參數(shù)量相應(yīng)也就越大。

不同算法的乘法次數(shù)如表3 所示。AMP、LP-AMP-3 和CNN-AMP-5 在編碼器部分的乘法次數(shù)一樣，這是因?yàn)樵趬嚎s感知算法的框架中，編碼器部分都是采樣矩陣A與待壓縮向量x的乘積，而所提算法和CsiNet 和CsiNetPlus 的乘法次數(shù)幾乎相同，這是因?yàn)樗鼈兊挠?jì)算量主要來(lái)源于M×N。在解碼器部分，LP-AMP-3 在壓縮率為時(shí)比CsiNet 和CsiNetPlus 的乘法次數(shù)多，在其他壓縮率時(shí)則相反，這是因?yàn)樗崴惴ǖ挠?jì)算量不僅與展開(kāi)層數(shù)有關(guān)，并且受M×N的影響較大。不管在哪種壓縮率下，CNN-AMP-5 的乘法次數(shù)都高于 CsiNet 和CsiNetPlus，這主要是受 ?(·) 模塊的影響。和AMP算法相比，LP-AMP-3 和CNN-AMP-5 的復(fù)雜度較低，這是因?yàn)樗鼈兊恼归_(kāi)層數(shù)遠(yuǎn)小于AMP 的總迭代次數(shù) 100。另外，CNN-AMP-5 的復(fù)雜度比LP-AMP-3 高，原因在于 ?(·) 模塊使用了連續(xù)的卷積層。

表3 不同算法的乘法次數(shù)

4 仿真分析

本節(jié)將對(duì)比 LP-AMP-3、CNN-AMP-5、CsiNet、CsiNetPlus 和AMP 算法的CSI 反饋性能。經(jīng)兩次DFT 得到角度時(shí)延域矩陣H，保留該矩陣的前=32 行，因此復(fù)數(shù)矩陣H的維度為32×32，再將復(fù)數(shù)矩陣改為實(shí)虛部雙通道矩陣。壓縮率，M=512、256、128、64，N=2 048。在MATLAB 平臺(tái)進(jìn)行仿真，設(shè)備配置與第3 節(jié)相同，仿真系統(tǒng)主要參數(shù)如表4 所示，其他參數(shù)都遵循文獻(xiàn)[21]中的默認(rèn)設(shè)置。

表4 仿真系統(tǒng)主要參數(shù)

4.1 歸一化均方誤差

將離線訓(xùn)練好的模型應(yīng)用于室內(nèi)室外場(chǎng)景下的測(cè)試集，并通過(guò)計(jì)算原始矩陣與重構(gòu)矩陣之間的歸一化均方誤差（NMSE,normalized mean squared error）對(duì)模型的性能進(jìn)行量化評(píng)估。NMSE的計(jì)算式為

其中，Hi和分別表示原始信道數(shù)據(jù)和恢復(fù)信道數(shù)據(jù)。不同方法在室內(nèi)和室外場(chǎng)景下的NMSE如圖9 所示。

圖9 不同方法在室內(nèi)和室外場(chǎng)景下的NMSE

4.2 相似度

除NMSE 之外，余弦相似度ρ同樣可以用來(lái)對(duì)比不同算法之間CSI 矩陣的重構(gòu)精度。該指標(biāo)可以體現(xiàn)重構(gòu)的CSI 矩陣與原始CSI 矩陣之間的相似程度，其計(jì)算式為

其中，Hvec、分別表示向量化后的CSI 信道矩陣和重構(gòu)的CSI 信道矩陣，ρ值越大，說(shuō)明兩者越相似，重構(gòu)精度越高。不同方法在室內(nèi)和室外場(chǎng)景下的余弦相似度如圖10 所示。

圖10 不同方法在室內(nèi)和室外場(chǎng)景下的余弦相似度

由圖10 可知，經(jīng)典壓縮感知的AMP 算法在不同場(chǎng)景、不同壓縮率下的ρ均低于其他幾種算法，即CSI矩陣的重構(gòu)相似度均低于其他算法。在室內(nèi)場(chǎng)景下，AMP 算法在壓縮率為時(shí)ρ明顯下降，而在室外場(chǎng)景下，AMP 在各壓縮率下的ρ都不夠理想，已無(wú)法滿足大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)CSI 反饋的精度要求。LP-AMP-3 算法在室內(nèi)場(chǎng)景的不同壓縮率下的ρ與CsiNet 和CsiNetPlus 算法比較接近，在室外場(chǎng)景的不同壓縮率下的ρ略低于CsiNet 和CsiNetPlus 算法。CNN-AMP-5 算法不僅在室內(nèi)場(chǎng)景的不同壓縮率下保持較高的ρ，在室外場(chǎng)景下也有著優(yōu)異的表現(xiàn)，可以滿足大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)CSI 反饋的精度要求。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了基于深度展開(kāi)的大規(guī)模 MIMO CSI 反饋算法。在AMP 算法迭代過(guò)程的基礎(chǔ)上，從2 個(gè)角度將其深度展開(kāi)，提出了基于可學(xué)習(xí)參數(shù)的AMP 深度展開(kāi)算法LP-AMP 和基于卷積殘差學(xué)習(xí)模塊的AMP 深度展開(kāi)算法CNN-AMP。針對(duì)信道矩陣的非嚴(yán)格稀疏性的問(wèn)題，LP-AMP 通過(guò)深度學(xué)習(xí)的方法改進(jìn)了閾值函數(shù)，增強(qiáng)了AMP 算法應(yīng)對(duì)室內(nèi)場(chǎng)景的性能，降低了算法的復(fù)雜度。在室外場(chǎng)景下，隨著信道矩陣的劇烈變化，非嚴(yán)格稀疏性問(wèn)題逐漸增大，針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，本文又提出CNN-AMP 算法，將LP-AMP 算法中改進(jìn)的閾值函數(shù)模塊替換為卷積殘差學(xué)習(xí)模塊，該模塊可以消除AMP 算法在每次迭代更新后重構(gòu)向量中的高斯隨機(jī)噪聲。因此無(wú)論是在室內(nèi)場(chǎng)景下還是在室外場(chǎng)景下，與代表性算法相比，所提算法都有明顯的優(yōu)勢(shì)。本文提出的基于深度展開(kāi)的CSI 反饋算法既具有壓縮感知算法的可解釋性理論保障，又具有深度學(xué)習(xí)方法的高性能表現(xiàn)，可以為大規(guī)模MIMO CSI反饋提供一些參考，未來(lái)還可以從降低復(fù)雜度方面對(duì)算法進(jìn)行改進(jìn)。