蔣鳳儀　許靜

關(guān)鍵詞：有理樣條；分形插值；函數(shù)逼近

中圖法分類(lèi)號(hào)：0174 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1引言

現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)據(jù)往往具有不光滑、不規(guī)則的特性。而對(duì)于一些經(jīng)典插值（如多項(xiàng)式插值、有理插值）而言，構(gòu)造得到的曲面都是光滑的，就不太適合處理此類(lèi)數(shù)據(jù)。文獻(xiàn)[1]首次基于迭代函數(shù)系理（IFS）論給出了分形插值函數(shù)的定義并提出了一種構(gòu)造分形集的方法以及一種新的數(shù)據(jù)擬合方法，不僅為函數(shù)逼近理論開(kāi)辟了一個(gè)新的研究領(lǐng)域，而且為計(jì)算機(jī)圖形提供了強(qiáng)大的工具。文獻(xiàn)[2]首次將該方法推廣到二維層面，最先考慮了在三角形區(qū)域中，二元自仿射分形插值函數(shù)的構(gòu)造問(wèn)題。文獻(xiàn)[3]提出了一個(gè)基于任意數(shù)據(jù)下的分形插值曲面的構(gòu)造方法，并證明了分形插值曲面的一些性質(zhì)，得到了曲面計(jì)盒維數(shù)的一個(gè)下界。而分形插值的誕生，就為非光滑數(shù)據(jù)擬合提供了一個(gè)更有效的工具。

上述雙變量分形插值函數(shù)實(shí)際上都是多項(xiàng)式分形插值函數(shù)。通常，這類(lèi)插值方法不具備保形性，常常會(huì)忽略數(shù)據(jù)的本質(zhì)屬性，從而使分形曲面無(wú)法繼續(xù)保持原始數(shù)據(jù)的某些特性。當(dāng)科學(xué)數(shù)據(jù)集以曲線或曲面的形式進(jìn)行可視化時(shí)，又需要曲線或曲面表現(xiàn)出其固有的形狀特性，才能說(shuō)明科學(xué)實(shí)驗(yàn)的意義。而有理插值通常比多項(xiàng)式插值在形狀保持方面更具優(yōu)勢(shì)，鑒于此，保形性有理樣條分形插值的研究就非常意義了。文獻(xiàn)[4]首先利用分形的方法來(lái)處理埃爾米特插值，生成了二階連續(xù)的埃爾米特分形插值函數(shù)。文獻(xiàn)[5]將IFS與樣條函數(shù)結(jié)合起來(lái)，利用這類(lèi)含有樣條函數(shù)的IFS生成一類(lèi)Cl連續(xù)的有理樣條分形插值函數(shù)。文獻(xiàn)[6～7]分別構(gòu)造了一種保單調(diào)性的有理分形插值和一種具有保凸性的有理分形插值。文獻(xiàn)[8]直接利用IFS生成分形邊界曲線，再利用分形邊界曲線的混合函數(shù)生成有理Coons曲面片。文獻(xiàn)[9]討論了一種基于函數(shù)和導(dǎo)數(shù)值具有線性分母的二元有理分形插值及其性質(zhì)。文獻(xiàn)[10]主要基于分子三次、分母二次的二元有理分形插值函數(shù)，提出一種保單調(diào)的分形曲面插值系統(tǒng)。文獻(xiàn)[11]研究了分子三次，線性分母，具有四個(gè)形狀參數(shù)的二元三次有理樣條分形插值，并簡(jiǎn)單研究了其在圖像插值中的應(yīng)用。文獻(xiàn)[12]研究了具有三個(gè)形狀參數(shù)分母的有理分形插值，并對(duì)其保證性和單調(diào)性進(jìn)行了研究討論。文獻(xiàn)[13]主要研究了分子三次、分母二次的二元有理分形插值函數(shù)，其也是文獻(xiàn)[10]的一種推廣，并將這種插值模型應(yīng)用在圖像處理中。文獻(xiàn)[ 14]提出了一種新的具有三角基函數(shù)的保形性分形插值。文獻(xiàn)[15]將二元連續(xù)函數(shù)的平滑保持“分形擾動(dòng)”的一般理論應(yīng)用于經(jīng)典的二元的Hermite插值公式，提出了在矩形網(wǎng)格上插值Hermite數(shù)據(jù)集的一類(lèi)二元分形函數(shù)的構(gòu)造。文獻(xiàn)[16]提出了具有函數(shù)尺度因子的有理分形曲線，并討論了其穩(wěn)定性和收斂性以及計(jì)盒維數(shù)。綜上所述，分形插值與各種傳統(tǒng)插值的結(jié)合是具有可行性的，保形性分形插值已經(jīng)成為當(dāng)前的研究熱點(diǎn)。

本文首先簡(jiǎn)單介紹了一種經(jīng)典的函數(shù)迭代系統(tǒng)，緊接著基于一種分子、分母均為三次的二元有理樣條函數(shù)，通過(guò)將FIS看作高度函數(shù)的分形擾動(dòng)，得到一種新的有理樣條分形插值函數(shù)。而這種新的插值模型含有尺度因子和形狀參數(shù)，因此，可以更靈活地更改插值曲面的形狀。本文不僅給出了該插值模型的矩陣表示形式，還通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了插值模型的有效性，并探究了尺度因子與形狀參數(shù)對(duì)插值曲面形狀的影響。