陳金立，付善騰，朱熙鋮，李家強(qiáng)

(南京信息工程大學(xué) a.氣象災(zāi)害預(yù)報(bào)預(yù)警與評估協(xié)同創(chuàng)新中心;b.電子與信息工程學(xué)院，南京210044)

0 引 言

多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output,MIMO)雷達(dá)利用多個(gè)發(fā)射天線同時(shí)發(fā)射相互正交信號，多個(gè)接收天線接收目標(biāo)回波信號并對其進(jìn)行匹配濾波器處理，大大增加了虛擬陣元數(shù)，從而獲得更大的陣列自由度和陣列孔徑。與傳統(tǒng)相控陣?yán)走_(dá)相比，MIMO雷達(dá)在抑制干擾、提高空間分辨率和增強(qiáng)參數(shù)可辨識性等方面具有明顯的優(yōu)勢[1]。

波達(dá)方向角(Direction of Arrival,DOA)估計(jì)是MIMO雷達(dá)信號處理中的重要研究內(nèi)容，主要有子空間類[2-3]和基于稀疏表征類[4]等DOA估計(jì)方法。在實(shí)際應(yīng)用中，隨著陣列規(guī)模的不斷擴(kuò)大，在惡劣自然環(huán)境、人為干擾和陣元老化等因素的影響下，擁有較多收發(fā)天線的MIMO雷達(dá)不可避免地出現(xiàn)陣元失效問題，MIMO雷達(dá)經(jīng)過匹配濾波后所形成的虛擬陣列中存在大量失效虛擬陣元，致使虛擬陣列協(xié)方差矩陣出現(xiàn)大批整行整列的數(shù)據(jù)缺失，從而破壞陣列數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)完整性，這不僅會減少M(fèi)IMO雷達(dá)最大可識別目標(biāo)數(shù)，而且會嚴(yán)重降低DOA估計(jì)性能。

針對陣元失效條件下的DOA估計(jì)問題，文獻(xiàn)[5]將單快拍下接收數(shù)據(jù)中元素重排，以滿足隨機(jī)分布條件，然后利用矩陣填充方法(Matrix Completion,MC)算法填補(bǔ)缺失數(shù)據(jù)，但該方法逐個(gè)快拍進(jìn)行數(shù)據(jù)恢復(fù)的計(jì)算復(fù)雜度很高，且DOA估計(jì)精度較低。文獻(xiàn)[6]針對冗余陣元失效情況，通過虛擬差分陣列中的冗余陣元數(shù)據(jù)來填補(bǔ)故障陣元的缺失數(shù)據(jù)；對于非冗余陣元失效情況，將差分陣列協(xié)方差矩陣擴(kuò)展為存在數(shù)據(jù)缺失的高維Toeplitz矩陣，然后利用MC實(shí)現(xiàn)對缺失數(shù)據(jù)的恢復(fù)。文獻(xiàn)[7]利用互質(zhì)陣列協(xié)方差矩陣的低秩特性和Hermitian Toeplitz結(jié)構(gòu)來重構(gòu)完整協(xié)方差矩陣，但大多數(shù)情況下MIMO雷達(dá)虛擬陣列協(xié)方差矩陣具有塊Toeplitz結(jié)構(gòu)，因此在MIMO雷達(dá)中無法直接利用互質(zhì)陣列的特性來恢復(fù)缺失數(shù)據(jù)。文獻(xiàn)[8]提出一種基于塊Hankel矩陣填充的MIMO雷達(dá)失效陣元缺失數(shù)據(jù)恢復(fù)方法，將接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣轉(zhuǎn)換成具有四重Hankel結(jié)構(gòu)的構(gòu)造矩陣，使重構(gòu)后的矩陣每行每列均存在非零元素，然后利用MC算法填補(bǔ)缺失數(shù)據(jù)，但該方法所構(gòu)造的Hankel矩陣維度龐大，使得計(jì)算復(fù)雜度高，運(yùn)算時(shí)間較長?，F(xiàn)有基于MC理論的陣元失效DOA估計(jì)方法都是先對陣列輸出數(shù)據(jù)矩陣中元素進(jìn)行重排，在保證低秩性的同時(shí)使矩陣內(nèi)缺失數(shù)據(jù)的每行每列都存在非零采樣數(shù)據(jù)，利用 MC算法能順利重構(gòu)出完整矩陣，從而提高DOA估計(jì)性能。在實(shí)際應(yīng)用中，由于目標(biāo)的個(gè)數(shù)小于MIMO雷達(dá)的虛擬陣元數(shù)，因此其接收數(shù)據(jù)矩陣具有低秩特性，當(dāng)出現(xiàn)整行整列的缺失元素時(shí)，僅利用低秩特性無法提供有效的正則化表達(dá)。文獻(xiàn)[9]在逆合成孔徑雷達(dá)(Inverse Synthetic Aperture Radar,ISAR)中利用采樣矩陣的低秩和稀疏特性，分別在頻率和方位角維度構(gòu)建過完備傅里葉字典來恢復(fù)缺失數(shù)據(jù)，但該方法計(jì)算復(fù)雜度較高。

為了恢復(fù)陣元失效下MIMO雷達(dá)協(xié)方差矩陣中整行整列的缺失元素，以提高其DOA估計(jì)性能，本文對待恢復(fù)的協(xié)方差矩陣建立核范數(shù)和SCAD(Smoothly Clipped Absolute Deviation)懲罰聯(lián)合約束模型，然后通過等正弦空間稀疏化方式劃分粗網(wǎng)格空間構(gòu)建字典。該方法對缺失數(shù)據(jù)恢復(fù)帶來的誤差可以忽略不計(jì)，能有效降低計(jì)算復(fù)雜度，并利用ALM-ADMM(Augmented Lagrange Multipliers-Alternating Direction Method of Multipliers)算法來求解雙先驗(yàn)約束模型，從而恢復(fù)因陣元失效而導(dǎo)致的大量整行整列的缺失數(shù)據(jù)，最后通過RD-ESPRIT(Reduced Dimensional ESPRIT)算法估計(jì)目標(biāo)的DOA。仿真實(shí)驗(yàn)表明，本文方法能快速重構(gòu)完整協(xié)方差矩陣，有效提高DOA估計(jì)精度。

1 陣元失效MIMO雷達(dá)信號模型

假設(shè)MIMO雷達(dá)具有M個(gè)發(fā)射陣元和N個(gè)接收陣元，其中發(fā)射陣列和接收陣列共置且都是均勻線陣，遠(yuǎn)場存在P個(gè)非相干目標(biāo)，其入射角度分別為θ1,θ2,…,θP，則接收陣列在第q脈沖周期的接收信號為

(1)

式中：Ar=[ar(v1),ar(v2),…,ar(vP)]∈N×P為接收陣列的流形矩陣,其中，ar(vp)=[1,ej2πdrvP/λ,…,ej2π(N-1)drvP/λ]T∈N×1，dr為接收陣元間距，vp=sin(θp)，λ為載波波長，(·)T表示矩陣轉(zhuǎn)置，表示復(fù)數(shù)域；At=[at(v1),at(v2),…,at(vP)]∈M×P為發(fā)射陣列的流形矩陣，其中，at(vP)=[1,ej2πdtvP/λ,…,ej2π(M-1)dtvP/λ]T∈M×1，dt為發(fā)射陣元間距；B∈M×L為發(fā)射信號波形矩陣；Nq∈N×L表示第q個(gè)脈沖周期內(nèi)均值為零的加性高斯白噪聲，L為每個(gè)脈沖周期內(nèi)的相位編碼個(gè)數(shù)；diag(sq)表示由矢量sq構(gòu)成的對角矩陣，其中，sq=[β1ej2πqfd1/fs,β2ej2πqfd2/fs,…,βpej2πqfdp/fs]T，βp表示第p個(gè)目標(biāo)的反射系數(shù)，fdp表示第p個(gè)目標(biāo)的多普勒頻率，fs為脈沖重復(fù)頻率。Q個(gè)脈沖周期的回波信號經(jīng)過匹配濾波后，可獲得MN×Q回波信號矩陣：

Y=(Ar⊙At)S+Z。

(2)

式中：Y=[y1,1,y1,2,…,yM,N]T∈MN×Q，其中ym,n=[ym,n(1),ym,n(2),…,ym,n(Q)]T為第(n-1)×M+m個(gè)虛擬陣元的輸出信號；S=[s1,s2,…,sQ]∈K×Q是目標(biāo)系數(shù)矩陣；Z=[z1,1,z1,2，…,zM,N]∈MN×Q為零均值高斯白噪聲矩陣，其中zm,n=[zm,n(1),zm,n(2),…,zm,n(Q)]T為第(n-1)×M+m個(gè)虛擬陣元的噪聲信號矢量；Ar⊙At表示虛擬陣列流型矩陣，⊙表示Khatri-Rao積。

(3)

(4)

(5)

經(jīng)過上述置零處理后，陣元失效下MIMO雷達(dá)虛擬陣列輸出信號為

(6)

虛擬陣列協(xié)方差矩陣在Q個(gè)脈沖周期下的最大似然估計(jì)為

(7)

2 基于協(xié)方差矩陣核范數(shù)和SCAD懲罰的MIMO雷達(dá)DOA估計(jì)方法

(8)

(9)

(10)

當(dāng)矩陣中存在整行整列缺失數(shù)據(jù)時(shí)，矩陣填充中最小化秩無法提供有效的正則化表達(dá)，因此采用核范數(shù)和SCAD懲罰來聯(lián)合正則化矩陣的行和列，這樣不僅能利用行和列間元素的相關(guān)性。而且還能充分利用行內(nèi)和列內(nèi)元素的相關(guān)性。建立如下矩陣填充模型：

(11a)

(11b)

(11c)

(12)

式中：ξ為調(diào)整參數(shù)；a為常量。

式(11)的優(yōu)化問題可以用ADMM框架下的增廣拉格朗日乘子法(Augmented Lagrange Method,ALM)來求解，可以表示為

(13)

。(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

忽略式(22)中常數(shù)項(xiàng)，可以進(jìn)一步表示為

(23)

(24)

式中：Uk和Vk分別是Hk的左奇異值和右奇異值向量，即Gk=UkΣk(Vk)H，其中Σk是由奇異值組成的對角矩陣。

(25)

因此可得E的完整迭代解為

(26)

綜上所述，式(11)所表示的優(yōu)化模型的求解步驟總結(jié)如下：

1 while not converged do

4 while not converged do

9j←j+1

10 end while

12 //Line 13～14迭代求解R子問題

15 //Line 16迭代求解E子問題

20k←k+1

22 end while

本文方法、文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[8]方法的計(jì)算量都是包括完整協(xié)方差矩陣重構(gòu)和DOA估計(jì)算法兩部分，計(jì)算量差異主要體現(xiàn)在完整協(xié)方差矩陣重構(gòu)，如表1所示，其中K2表示循環(huán)迭代次數(shù)。

表1 計(jì)算復(fù)雜度比較

3 仿真結(jié)果及分析

3.1 本文方法DOA估計(jì)誤差隨網(wǎng)格劃分個(gè)數(shù)的關(guān)系

本實(shí)驗(yàn)選取的角度搜索空域?yàn)閇-90°,90°]，對應(yīng)等正弦空間稀疏化方式的搜索空域?yàn)閇-1,1]。假設(shè)MIMO雷達(dá)發(fā)射陣列中第3個(gè)陣元失效，接收陣列中第3,5,7,10,14個(gè)陣元失效，信噪比為-10 dB，快拍數(shù)為100。由圖1可知，在相同的網(wǎng)格數(shù)下，相對于等角度空間稀疏化方式，等正弦空間稀疏化方式的DOA估計(jì)性能更優(yōu)；隨著網(wǎng)格數(shù)的不斷增加，兩種稀疏化方式的DOA估計(jì)性能總體上變優(yōu)，當(dāng)網(wǎng)格數(shù)大于101時(shí)，DOA估計(jì)精度幾乎不變，即構(gòu)建字典時(shí)網(wǎng)格劃分無需非常精細(xì)，采用粗網(wǎng)格劃分空間方式的DOA估計(jì)性能幾乎達(dá)到細(xì)網(wǎng)格劃分時(shí)相比擬的性能。下面仿真實(shí)驗(yàn)均采用等正弦空間稀疏化方式構(gòu)建字典，且網(wǎng)格數(shù)為201，對應(yīng)的等正弦劃分間隔0.01。

圖1 DOA估計(jì)RMSE隨空間稀疏化網(wǎng)格數(shù)變化

3.2 不同方法DOA估計(jì)誤差隨信噪比變化關(guān)系

本實(shí)驗(yàn)設(shè)置信噪比的變化范圍為-30～0 dB，其余仿真參數(shù)不變。從圖2可知，陣元失效破壞陣列協(xié)方差矩陣數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的完整性，因此直接采用RD-ESPRIT算法無法有效估計(jì)目標(biāo)的角度；文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[8]方法在重構(gòu)完整協(xié)方差矩陣時(shí)只利用了矩陣的低秩特性，而本文方法使用SCAD懲罰，提供足夠的正則化來彌補(bǔ)低秩先驗(yàn)信息的不足，因此DOA精度明顯更優(yōu)，且低信噪比時(shí)精度高于陣元正常的DOA估計(jì)精度。

圖2 DOA估計(jì)RMSE隨信噪比變化

3.3 不同方法DOA估計(jì)誤差隨快拍數(shù)的變化關(guān)系

本實(shí)驗(yàn)設(shè)置快拍數(shù)的變化范圍為50～350，信噪比為-15 dB，其余仿真參數(shù)不變。從圖3可知，直接采用RD-ESPRIT算法時(shí)，陣元失效下的DOA估計(jì)誤差始終大于與陣元正常時(shí)DOA估計(jì)誤差；隨著快拍數(shù)的不斷增加，所有方法的DOA估計(jì)性能均有所提升，本文方法始終優(yōu)于文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[8]的方法，且DOA估計(jì)精度接近陣元正常時(shí)采用RD-ESPRIT算法的DOA估計(jì)精度。

圖3 DOA估計(jì)RMSE隨快拍數(shù)變化

3.4 不同方法DOA估計(jì)誤差隨失效陣元數(shù)的變化關(guān)系

假設(shè)MIMO雷達(dá)發(fā)射陣列中第3個(gè)陣元失效，接收陣列中失效陣元數(shù)由1～9增加，每次接收陣列中失效陣元的位置均隨機(jī)變化，設(shè)置信噪比為-15 dB，其余仿真參數(shù)不變。由圖4可知，隨著失效陣元數(shù)的增加，各方法的DOA估計(jì)性能均有不同程度的下降，但本文方法的目標(biāo)DOA估計(jì)性能始終優(yōu)于文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[8]的方法，即本文方法在恢復(fù)陣列協(xié)方差矩陣中缺失數(shù)據(jù)時(shí)穩(wěn)定性更好，對失效陣元個(gè)數(shù)具有較好的魯棒性。

圖4 目標(biāo)DOA估計(jì)RMSE隨失效陣元數(shù)變化

3.5 不同方法運(yùn)行時(shí)間對比

本實(shí)驗(yàn)設(shè)置信噪比為-15 dB，運(yùn)行軟件為MATLAB2018a，CPU為Intel(R)Core(TM)i7-8750H，主頻為2.2 GHz，內(nèi)存為8 GB，其余參數(shù)保持不變。由表2可知，相比于文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[8]方法，本文方法運(yùn)行時(shí)間更短，同時(shí)DOA估計(jì)性能更優(yōu)。

表2 不同DOA估計(jì)方法的運(yùn)行時(shí)間

4 結(jié) 論

陣元失效下MIMO雷達(dá)虛擬陣列協(xié)方差矩陣會出現(xiàn)大量整行整列缺失元素，致使DOA估計(jì)性能惡化甚至完全失效。針對此問題，本文對待恢復(fù)的協(xié)方差矩陣建立核范數(shù)和SCAD懲罰聯(lián)合約束模型，并采用等正弦空間稀疏化方式構(gòu)建字典，確保在粗網(wǎng)格劃分下字典產(chǎn)生的模型誤差對缺失數(shù)據(jù)恢復(fù)不靈敏，同時(shí)能降低運(yùn)算復(fù)雜度；然后利用ALM-ADMM算法求解雙先驗(yàn)約束模型，從而恢復(fù)MIMO雷達(dá)協(xié)方差矩陣中因陣元失效而導(dǎo)致的大量整行整列缺失數(shù)據(jù)。本文方法能快速恢復(fù)陣元失效下協(xié)方差中的缺失數(shù)據(jù)，有效避免因失效陣元而導(dǎo)致DOA估計(jì)性能下降的問題。