陳興望， 龍曉鴻， 馬永濤， 周群林， 桂石海

(華中科技大學(xué) a. 土木與水利工程學(xué)院； b. 控制結(jié)構(gòu)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 湖北 武漢 430074)

傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析與設(shè)計(jì)是基于確定性參數(shù)的，即分析設(shè)計(jì)過程中涉及的材料參數(shù)和荷載參數(shù)等都被視為確定的量值。然而，在工程各個(gè)階段都存在一些不確定性信息，若將其簡化為確定性信息處理，有時(shí)就會(huì)得出矛盾的或很不合理的結(jié)果[1]。所以為了讓分析結(jié)果更加貼近工程實(shí)際，在工程結(jié)構(gòu)分析和設(shè)計(jì)時(shí)必須考慮這些因素的不確定性。目前結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性的描述方式主要有隨機(jī)模型、區(qū)間模型和模糊模型。由于很多結(jié)構(gòu)材料參數(shù)分布特征未知，但能確定大致分布范圍，適合用區(qū)間模型描述。

按區(qū)間模型考慮結(jié)構(gòu)不確定性時(shí)，可以使用不同的方法計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)區(qū)間。有學(xué)者使用Monte Carlo Method(MCM)計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)區(qū)間，并針對一般MCM的不足作了不同的改進(jìn)[2～4]。MCM的解比較穩(wěn)定，在抽樣數(shù)量足夠大的時(shí)候，計(jì)算得到的解能無限逼近甚至有可能達(dá)到精確解。但是MCM抽樣效率較低，要得到比較精確的結(jié)果需要很大的計(jì)算量。Rao等[5]將靜力問題表示為線性區(qū)間方程組，通過高斯消元法、頂點(diǎn)組合法和基于不等式的方法求解區(qū)間方程組，發(fā)現(xiàn)基于不等式的方法更為精確，但是隨著自變量區(qū)間的增大會(huì)出現(xiàn)區(qū)間擴(kuò)張的問題。這個(gè)問題可以通過區(qū)間截?cái)鄟斫鉀Q，呂震宙等[6]在此基礎(chǔ)上提出了改進(jìn)區(qū)間截?cái)喾?，但區(qū)間截的標(biāo)準(zhǔn)難以設(shè)定，截?cái)鄥?shù)設(shè)置的主觀性使計(jì)算結(jié)果的有效性難以評估。郭書祥等[7]提出了求解區(qū)間控制方程的迭代法，但當(dāng)區(qū)間離差較大時(shí)，迭代不容易收斂[8]。有學(xué)者通過Chebyshev多項(xiàng)式[9]、徑向基函數(shù)[10]和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[11]等建立結(jié)構(gòu)的替代模型，通過替代模型求解結(jié)構(gòu)響應(yīng)區(qū)間，但是對于靜力問題來說，使用替代模型對計(jì)算速度的提高不明顯，且替代模型還需要結(jié)合其他方法才能求解響應(yīng)的區(qū)間。

有學(xué)者將智能優(yōu)化算法用于結(jié)構(gòu)響應(yīng)區(qū)間的計(jì)算。Liu等[12]將貝葉斯算法運(yùn)用到了結(jié)構(gòu)不確定性分析中。湯劍[13]將遺傳算法用于不確定性分析中。與傳統(tǒng)法相比，智能優(yōu)化算法在不確定性分析中展現(xiàn)出更高的效率和精度。然而，在結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析中，需要計(jì)算的往往不是單個(gè)響應(yīng)，而是要同時(shí)計(jì)算多個(gè)響應(yīng)。但目前的遺傳算法單次運(yùn)行只能求解一個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最值，計(jì)算效率低。

智能優(yōu)化算法的特點(diǎn)是迭代初期優(yōu)化目標(biāo)變化較大，而迭代中后期優(yōu)化目標(biāo)變化較小。因此若通過重復(fù)運(yùn)行計(jì)算結(jié)構(gòu)多個(gè)響應(yīng)的區(qū)間，花費(fèi)的計(jì)算時(shí)間與獲得的計(jì)算精度不相稱。針對這個(gè)問題，本文在傳統(tǒng)遺傳算法的基礎(chǔ)上加入多個(gè)適應(yīng)度函數(shù)，相應(yīng)地改變了遺傳操作方式，構(gòu)建了能同時(shí)計(jì)算多個(gè)目標(biāo)最優(yōu)解的并行優(yōu)化遺傳算法(Genetic Algorithm for Parallel Optimization, GAPO)。最后使用GAPO計(jì)算桁架結(jié)構(gòu)靜力響應(yīng)區(qū)間以驗(yàn)證算法的有效性。

1 遺傳算法及其改進(jìn)

1.1 遺傳算法

遺傳算法通過模擬生物進(jìn)化中交叉、變異與自然選擇，逐代淘汰適應(yīng)度較低的個(gè)體，并由適應(yīng)度較高的個(gè)體遺傳產(chǎn)生下一代種群，使種群適應(yīng)度逐漸收斂到最優(yōu)值。遺傳算法沒有函數(shù)可導(dǎo)性和連續(xù)性的限制，并且具有較好的全局尋優(yōu)能力，其核心內(nèi)容為參數(shù)編碼、初始種群的生成、適應(yīng)度函數(shù)設(shè)計(jì)、遺傳方式設(shè)計(jì)以及迭代控制方式設(shè)計(jì)。遺傳算法的計(jì)算流程及本文中各部分的處理方式如圖1所示。

圖1 遺傳算法計(jì)算流程

1.2 并行優(yōu)化遺傳算法

傳統(tǒng)遺傳算法只能進(jìn)行單個(gè)適應(yīng)度函數(shù)的優(yōu)化計(jì)算，而后續(xù)分析需要對多個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行優(yōu)化，所以使用傳統(tǒng)遺傳算法進(jìn)行結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析會(huì)使計(jì)算量非常大，計(jì)算效率低。為此，本文在傳統(tǒng)遺傳算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，提出并行優(yōu)化遺傳算法(GAPO)，同時(shí)進(jìn)行多個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的超參數(shù)優(yōu)化。

值得注意的是，提出的并行優(yōu)化遺傳算法與多目標(biāo)優(yōu)化遺傳算法(Multi-objective Genetic Algorithm，MOGA)不同。兩個(gè)算法的共同點(diǎn)是都可能有多個(gè)適應(yīng)度函數(shù)，但MOGA算法是尋找每個(gè)適應(yīng)度盡量高的某一個(gè)個(gè)體，即適應(yīng)度整體較高，但單個(gè)適應(yīng)度不一定達(dá)到最優(yōu)。而本文提出的GAPO算法是分別尋找每個(gè)適應(yīng)度達(dá)到最優(yōu)時(shí)對應(yīng)的個(gè)體，相當(dāng)于把多次優(yōu)化分析整合為一次優(yōu)化分析以提升計(jì)算效率。

(1)

(2)

式中：NFF為適應(yīng)度函數(shù)的個(gè)數(shù)；nsvv為每個(gè)適應(yīng)度下存活的個(gè)體個(gè)數(shù)；α為考慮計(jì)算量的調(diào)整系數(shù);cmut為種群變異率。包含兩個(gè)適應(yīng)度函數(shù)的遺傳算法遺傳，操作如圖2所示。

圖2 兩適應(yīng)度GAPO遺傳操作示意

2 基于GAPO的結(jié)構(gòu)靜力響應(yīng)區(qū)間計(jì)算方法

R=f(x1-x2-…-xm)

(3)

其中R={Ri},i=1,2,…,n為要求的n個(gè)結(jié)構(gòu)響應(yīng)組成的向量。該函數(shù)以GAPO中個(gè)體基因序列為輸入，提取其中的結(jié)構(gòu)參數(shù)取值，將結(jié)構(gòu)中的區(qū)間變量取為該組確定的值，計(jì)算并輸出需要的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。求結(jié)構(gòu)響應(yīng)的區(qū)間此時(shí)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域。

GAPO與其他優(yōu)化算法一樣，默認(rèn)求各目標(biāo)函數(shù)的最小值，所以求解區(qū)間需要分兩次分別求解最大值和最小值，且適應(yīng)度函數(shù)值越低，適應(yīng)度越高。當(dāng)求各響應(yīng)最小值時(shí)，各適應(yīng)度函數(shù)取為

(4)

各最佳適應(yīng)度函數(shù)值即為各響應(yīng)最小值。而求解響應(yīng)最大值時(shí)，適應(yīng)度函數(shù)取為

(5)

各最佳適應(yīng)度函數(shù)值的相反數(shù)為響應(yīng)最大值。

對于容易寫出控制方程的結(jié)構(gòu)體系，響應(yīng)計(jì)算函數(shù)提取結(jié)構(gòu)參數(shù)后可直接計(jì)算剛度矩陣和荷載列陣，進(jìn)而得到結(jié)構(gòu)響應(yīng)列陣。而對于比較復(fù)雜或有較強(qiáng)非線性的結(jié)構(gòu)，其控制方程的求解需要比較復(fù)雜的迭代，使用編程實(shí)現(xiàn)比較困難，此時(shí)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的計(jì)算可以通過有限元程序?qū)崿F(xiàn)?？紤]到計(jì)算速度和程序交互的需求，本文使用OpenSees進(jìn)行結(jié)構(gòu)的建模和計(jì)算，使用tcl命令流編寫結(jié)構(gòu)建模、分析和結(jié)果輸出的文件。編寫文本文件修改程序，MATLAB結(jié)構(gòu)響應(yīng)計(jì)算函數(shù)提取區(qū)間參數(shù)的取值后，使用文本文件修改程序?qū)cl命令流中結(jié)構(gòu)參數(shù)取值修改為當(dāng)前抽樣的取值，在響應(yīng)計(jì)算函數(shù)中調(diào)用OpenSees程序運(yùn)行命令流文件計(jì)算并輸出結(jié)果文件，再讀取結(jié)果文件中需要的結(jié)構(gòu)響應(yīng)并輸出。此時(shí)結(jié)構(gòu)響應(yīng)計(jì)算函數(shù)如圖3所示。

圖3 結(jié)構(gòu)響應(yīng)計(jì)算函數(shù)

3 算 例

文獻(xiàn)[5]中介紹的平面桁架結(jié)構(gòu)，如圖 4所示。該桁架由10根桿組成，在結(jié)點(diǎn)2和結(jié)點(diǎn)4分別受到豎直向下的力FP=100 N。桁架根據(jù)最小自重原則設(shè)計(jì)，各桿的橫截面積不同。各桿彈性模量均為E=107N/mm2，橫截面積以及不考慮結(jié)構(gòu)不確定性時(shí)的軸應(yīng)力見表1。當(dāng)各桿件橫截面積存在1%的波動(dòng)時(shí)，求各桿軸應(yīng)力的區(qū)間。

圖4 10桿桁架/mm

表1 桁架的設(shè)計(jì)橫截面積和軸應(yīng)力

文獻(xiàn)[5]中提出了解區(qū)間有限元控制方程組的截?cái)喾?，并與頂點(diǎn)組合法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對比。本文用樣本數(shù)量為100000的MCM和GAPO算法分別對桁架軸應(yīng)力區(qū)間進(jìn)行計(jì)算，種群數(shù)量設(shè)置為300，存活率為2%，交叉率0.8，變異率0.2，最大迭代次數(shù)為30。截?cái)喾?截?cái)鄥?shù)t=0.01，0.1)[5]、頂點(diǎn)組合法[5]、MCM以及GAPO對桁架桿件軸應(yīng)力上下限計(jì)算結(jié)果見表 2，各方法計(jì)算結(jié)果對比如圖5。

表2 桿件軸應(yīng)力區(qū)間計(jì)算結(jié)果 N·mm-2

圖5 不同方法計(jì)算的桿件軸應(yīng)力區(qū)間

由于MCM計(jì)算結(jié)果較為穩(wěn)定和可靠，主要將其他方法計(jì)算結(jié)果與MCM計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。由表中數(shù)據(jù)和對比圖可見，截?cái)喾ㄓ?jì)算結(jié)果極不穩(wěn)定，截?cái)嘞禂?shù)t對計(jì)算結(jié)果的影響很大，但要確定合適的截?cái)嘞禂?shù)比較困難。頂點(diǎn)組合法對一部分構(gòu)件的軸應(yīng)力計(jì)算可以得到比較精確的結(jié)果，但由于沒有考慮結(jié)構(gòu)響應(yīng)在區(qū)間中的非單調(diào)性，可能會(huì)低估某些桿件軸應(yīng)力的范圍。由圖可見GAPO計(jì)算結(jié)果的穩(wěn)定性不亞于MCM，并且用GAPO計(jì)算的每根桿件軸應(yīng)力區(qū)間都稍大于MCM(即GAPO計(jì)算的上限大于MCM計(jì)算的上限，GAPO計(jì)算的下限小于MCM計(jì)算的下限)。由于GAPO和MCM本質(zhì)上都是抽樣的方法，計(jì)算結(jié)果只會(huì)趨近于精確解，而不會(huì)超越精確解，則可知GAPO精度高于MCM。

計(jì)算量方面，MCM進(jìn)行了100000次靜力分析，而GAPO軸應(yīng)力下限和上限計(jì)算分別迭代了30次，即一共進(jìn)行了(30+1)×2×300=19200次靜力分析，計(jì)算量遠(yuǎn)小于MCM。而對于一般遺傳算法，即使將種群數(shù)量設(shè)為100，最大迭代次數(shù)設(shè)為20，由于每次只能進(jìn)行1個(gè)適應(yīng)度的優(yōu)化計(jì)算，要得到10根桿的軸應(yīng)力區(qū)間也要進(jìn)行 (20+1)×20×100=42000次靜力分析。所以對于多適應(yīng)度問題，特別是多個(gè)適應(yīng)度是同一次計(jì)算的多個(gè)輸出的時(shí)候，GAPO在計(jì)算量方面比一般遺傳算法更有優(yōu)勢。

4 結(jié) 論

本文以區(qū)間變量描述結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性，考慮同時(shí)求解多個(gè)結(jié)構(gòu)響應(yīng)最值的需求，在傳統(tǒng)遺傳算法的基礎(chǔ)上加入多個(gè)適應(yīng)度，改變了遺傳操作機(jī)制，構(gòu)建了可以同時(shí)對多個(gè)適應(yīng)度進(jìn)行優(yōu)化分析的GAPO算法，并使用GAPO計(jì)算結(jié)構(gòu)靜力響應(yīng)區(qū)間。經(jīng)過算例測試發(fā)現(xiàn)，GAPO比區(qū)間截?cái)喾ê晚旤c(diǎn)組合法更穩(wěn)定，能通過遠(yuǎn)小于MCM的計(jì)算量，得到更精確的結(jié)果，且在計(jì)算量方面比傳統(tǒng)遺傳算法也更有優(yōu)勢。此外，此方法也適用于結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)問題，即在結(jié)構(gòu)響應(yīng)計(jì)算函數(shù)中計(jì)算結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)并返回需要的響應(yīng)值。