高彥偉，孫寶鳳

(吉林大學(xué)，吉林 長春 130012)

全國碩士研究生招生數(shù)學(xué)科考試試卷數(shù)學(xué)(一)(二)是為招收工學(xué)不同專業(yè)和類型碩士研究生而設(shè)置的常模參照性考試，同時也是水平考試，其主要目的是利于國家對高層次人才的選拔，利于高等學(xué)校數(shù)學(xué)課程教學(xué)質(zhì)量的提高[1]。數(shù)學(xué)是考生普遍感覺到比較困難的考試科目，在初試總分值中又占較高比例，所以受到考生的高度重視，但從近三年考試的情況看，數(shù)學(xué)初試成績國家分?jǐn)?shù)線在51～60分之間，維持在較低水平，一定程度上反映了多數(shù)考生與選拔標(biāo)準(zhǔn)的距離。數(shù)學(xué)作為培養(yǎng)創(chuàng)新精神和創(chuàng)新思維的重要學(xué)科，決定了數(shù)學(xué)素養(yǎng)在人才知識結(jié)構(gòu)中的地位。考試試題通過對數(shù)學(xué)思想與思維、數(shù)學(xué)運(yùn)算與方法等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的重點(diǎn)考查，發(fā)揮了選拔工學(xué)高層次人才的功能，同時作為一種全國性的標(biāo)準(zhǔn)為本科教學(xué)提供了許多信息，產(chǎn)生了巨大的影響。許多數(shù)學(xué)教師將數(shù)學(xué)試題作為教學(xué)活動的重要參考和教學(xué)資料的重要來源，這對保障高等學(xué)校數(shù)學(xué)課程教學(xué)水平、防止教學(xué)質(zhì)量滑坡、豐富數(shù)學(xué)課程教學(xué)資源等具有積極作用，也促使大學(xué)數(shù)學(xué)教師深化對數(shù)學(xué)教育功能的認(rèn)識，思考在知識傳授和素養(yǎng)培養(yǎng)方面存在的問題，切實(shí)將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿于本科階段的教學(xué)過程。

1 工程人才應(yīng)具有的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

蔡金法[2]認(rèn)為“數(shù)學(xué)素養(yǎng)是與閱讀素養(yǎng)相當(dāng)?shù)?、每個人都應(yīng)該有權(quán)擁有的”。數(shù)學(xué)素養(yǎng)應(yīng)該是人的一種思維習(xí)慣，人們能夠主動、自然、嫻熟地用數(shù)學(xué)進(jìn)行交流，建立數(shù)學(xué)模型解決問題；能夠啟動智能計(jì)算的思維，擁有數(shù)學(xué)情感，做一個會表述、有思想的和諧的人。蔡金法通過比較和總結(jié)，指出“從數(shù)學(xué)學(xué)科角度看，數(shù)學(xué)交流、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)智能計(jì)算思維、數(shù)學(xué)情感能刻畫出滿足培養(yǎng)目標(biāo)的人才所擁有的素養(yǎng)”。孫宏安[3]在剖析學(xué)科素養(yǎng)的建構(gòu)過程時，把數(shù)學(xué)素養(yǎng)表述為“學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的數(shù)學(xué)領(lǐng)域的必備品格和關(guān)鍵能力，其中，必備品格包括數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、數(shù)據(jù)意識、計(jì)算意識、科學(xué)態(tài)度和數(shù)學(xué)價(jià)值觀；關(guān)鍵能力包括空間想象能力、邏輯推理能力、計(jì)算能力、數(shù)據(jù)能力、數(shù)學(xué)抽象、表達(dá)、交流和建模能力”。張奠宙[4]對“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”進(jìn)行了評述，指出自2016年以來，學(xué)界對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的界定已大體有定論，即包含數(shù)學(xué)思維方式、數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力以及通過數(shù)學(xué)活動進(jìn)行人格養(yǎng)成等三部分，其中數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力包括六個方面，即數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析。這反映了數(shù)十年來我國對數(shù)學(xué)教育目標(biāo)的共識，同時認(rèn)為將數(shù)學(xué)抽象改作算法設(shè)計(jì)更適合當(dāng)前信息時代的要求。從以上這些具有代表性的觀點(diǎn)可以看出，現(xiàn)今對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的認(rèn)識除個別表述有些差異之外，對當(dāng)前信息技術(shù)時代數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要成分的認(rèn)識基本是一致的，即主要包括數(shù)學(xué)的思想與思維、數(shù)學(xué)的意識、數(shù)學(xué)語言與交流、數(shù)學(xué)建模、科學(xué)計(jì)算思維與方法、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)情感與價(jià)值等。這對數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)與實(shí)踐教學(xué)活動具有指導(dǎo)性意義，指明了數(shù)學(xué)教育的方向和數(shù)學(xué)教學(xué)改革所應(yīng)遵循的教學(xué)要求。

工科數(shù)學(xué)教學(xué)是針對工程專業(yè)人才數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)的具體教學(xué)活動，工程專業(yè)學(xué)生應(yīng)具有數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，在大學(xué)階段更應(yīng)重視“數(shù)學(xué)技術(shù)”應(yīng)用能力的養(yǎng)成。工程專業(yè)的本質(zhì)特點(diǎn)是實(shí)踐性，因此工科數(shù)學(xué)最為核心的素養(yǎng)成分就要體現(xiàn)出實(shí)踐性，具體表現(xiàn)為數(shù)學(xué)建模能力和科學(xué)計(jì)算思維與能力。而大型科學(xué)計(jì)算或大數(shù)據(jù)背景下的數(shù)據(jù)分析需要借助計(jì)算機(jī)，用專門語言進(jìn)行建模和程序設(shè)計(jì)都對學(xué)生提出更高的要求。這越來越成為工程專業(yè)學(xué)業(yè)要求的重要內(nèi)容，也是工科數(shù)學(xué)教學(xué)的發(fā)展趨勢和重點(diǎn)與難點(diǎn)?？梢姡た茢?shù)學(xué)教學(xué)更應(yīng)突出關(guān)鍵能力，即數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模和智能計(jì)算思維與方法的運(yùn)用，讓學(xué)生學(xué)會“用數(shù)學(xué)的眼睛看，用數(shù)學(xué)的思維想，用數(shù)學(xué)的語言說”，還可以用數(shù)學(xué)的方法解[5]。

2 圍繞重點(diǎn)知識考查能力素養(yǎng)

作為選拔性考試，碩士研究生數(shù)學(xué)科目考試圍繞數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行能力考查，在試卷中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基本要素，能夠在統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)下比較客觀地考查考生的數(shù)學(xué)知識與素養(yǎng)水平。

2.1 數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)表達(dá)

在每年的工科數(shù)學(xué)試卷中，都有對數(shù)學(xué)語言和符號表達(dá)能力考查的試題，具有較高的區(qū)分度和對能力水平的辨識度，主要圍繞基本概念，將數(shù)學(xué)語言表達(dá)和基礎(chǔ)知識結(jié)合在一起進(jìn)行考查。

例1(2020年數(shù)學(xué)(一)試卷第3題)

例1考查二元函數(shù)在一點(diǎn)處全微分的概念與計(jì)算，與教材中對全微分的定義形式存在很大區(qū)別，是將定義形式與向量的運(yùn)算結(jié)合起來，要求考生在理解全微分概念的基礎(chǔ)上，能夠利用向量的積運(yùn)算表述二元函數(shù)全微分的定義。運(yùn)用數(shù)學(xué)符號和數(shù)學(xué)語言描述問題是數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)培養(yǎng)之前提，是對學(xué)生基本能力的考查，也對學(xué)生提出了較高的要求。

2.2 轉(zhuǎn)化思維和形式構(gòu)造

數(shù)學(xué)方法主要體現(xiàn)在抽象、構(gòu)造和轉(zhuǎn)化能力方面。一般地，當(dāng)直接解決具有難度的問題時，需要將問題的形式進(jìn)行重新構(gòu)造和轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到易于解決問題的目的。

例2(2019年數(shù)學(xué)(一)試卷第17題)

求曲線y=e-xsinx(x≥0)與x軸之間圖形的面積。

(2019年數(shù)學(xué)(二)試卷第19題)

例2主要考查定積分的幾何應(yīng)用，在數(shù)學(xué)(一)試卷中，僅要求x≥0。而在數(shù)學(xué)(二)試卷中，根據(jù)《碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)考試大綱》對內(nèi)容和要求的規(guī)定，體現(xiàn)了對學(xué)生能力要求的差異，對難度做了必要的降低和提示。此題將連續(xù)性問題和離散性問題結(jié)合起來，對考生分析問題、轉(zhuǎn)化問題及計(jì)算能力有較高的要求，對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維進(jìn)行了考查，具有很強(qiáng)的綜合性。

2.3 結(jié)構(gòu)不良和嚴(yán)謹(jǐn)性思維

數(shù)學(xué)問題的“結(jié)構(gòu)不良問題”主要表現(xiàn)為條件缺失或冗余，問題目標(biāo)界定不明確或具有多種解決方法與途徑等。處理結(jié)構(gòu)不良問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性，是對考生嚴(yán)謹(jǐn)性數(shù)學(xué)思維的重要考查，具有開放性和區(qū)分度。

例3(2020年數(shù)學(xué)(一)試卷第18題)

例3是結(jié)構(gòu)不良問題，能夠集中反映考生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中存在的問題，即從純粹應(yīng)試的角度處理問題，不注重?cái)?shù)學(xué)結(jié)論成立的條件，當(dāng)問題的條件發(fā)生變化時沒有識別能力，更不具備轉(zhuǎn)化能力。多數(shù)考生忽視被積函數(shù)不具備高斯公式的適用條件，最后導(dǎo)出三重積分后無法處理，因計(jì)算困難而放棄，這反映了學(xué)生對數(shù)學(xué)公式理解和計(jì)算的能力比較薄弱。

例4 (2022年數(shù)學(xué)(二)第3題)

設(shè)函數(shù)f(x)在x=x0處具有二階導(dǎo)數(shù)，則

A．當(dāng)f(x)在x0的某鄰域內(nèi)單調(diào)增加時，f′(x0)>0；

B．當(dāng)f(x)在x0的某鄰域內(nèi)是凹函數(shù)時，f″(x0)>0；

C．當(dāng)f′(x0)>0時，f(x)在x0的某鄰域內(nèi)單調(diào)增加；

D．當(dāng)f″(x0)>0時，f(x)在x0的某鄰域內(nèi)是凹函數(shù)。

本類問題在歷年考試中都有體現(xiàn)，主要考查條件對結(jié)論是否充分，考試結(jié)果反映出考生基礎(chǔ)知識掌握不牢固、思維不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶攸c(diǎn)。

2.4 抽象思維和幾何直觀

抽象思維、形象思維和邏輯思維作為最基本的思維形式是一切方法的根源，方法是這一系列思維形式的具體體現(xiàn)，但在具體運(yùn)用層面，這三種思維形式又被應(yīng)用于不同的層面而具有差別[6]。

例5 (2016年數(shù)學(xué)(二)試卷第5題)

A.f1(x)≤f2(x)≤g(x)； B.f2(x)≤f1(x)≤g(x)；

C.f1(x)≤g(x)≤f2(x)； D.f2(x)≤g(x)≤f1(x)。

本題構(gòu)造巧妙，強(qiáng)調(diào)知識點(diǎn)的內(nèi)涵和幾何直觀性，如果用演繹推理進(jìn)行求證會比較困難，而利用圖形則可以直接選出正確選項(xiàng)。數(shù)形結(jié)合問題的考查在近幾年線性代數(shù)的試題中多次出現(xiàn)。

例6(2020年數(shù)學(xué)(一)試卷第6題)

i=1,2,3，則

A．α1可由α2,α3線性表示； B．α2可由α1,α3線性表示；

C．α3可由α1,α2線性表示； D．α1,α2,α3線性無關(guān)。

這是一個具有幾何背景的代數(shù)問題，代數(shù)方法是研究空間圖形的有力工具，體現(xiàn)了數(shù)與形的關(guān)系。此類題目對考生的抽象思維能力和理解能力提出較高的要求。

2.5 邏輯推理與辯證思維

例7(2022年數(shù)學(xué)(一)試卷第20題；數(shù)學(xué)(二)試卷第21題)

這是一道利用泰勒公式研究函數(shù)性質(zhì)的試題，要求考生根據(jù)題設(shè)條件，通過邏輯推理和思考研究函數(shù)的性質(zhì)，考生普遍反映對此題感到無從下手。由于考生在學(xué)習(xí)中習(xí)慣于套路化，利用思維定式來解題，反而忽視微分中值定理的理論意義和實(shí)踐意義。當(dāng)題目與常規(guī)性試題不同時，則顯露出學(xué)生邏輯推理和辯證思維能力的欠缺。

2.6 數(shù)學(xué)建模與實(shí)際應(yīng)用

例8(2016年數(shù)學(xué)(二)試卷第13題)

已知動點(diǎn)P在曲線y=x3上運(yùn)動，記坐標(biāo)原點(diǎn)與點(diǎn)P間的距離為l。若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)對時間的變化率為常數(shù)v0，則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)(1,1)時，求l對時間的變化率。

例9(2020年數(shù)學(xué)(一)試卷第23題)

設(shè)某種元件的使用壽命T的分布函數(shù)為

其中θ,m為參數(shù)且大于零。

(1)求概率P{T>t}與P{T>s+t|T>s}，其中s>0,t>0；

例8是微積分的物理應(yīng)用問題，例9是從實(shí)際應(yīng)用背景角度考查數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中參數(shù)估計(jì)的問題。微積分的誕生主要來源于解決物理問題，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)與許多工學(xué)專業(yè)有緊密聯(lián)系，在其它學(xué)科中應(yīng)用廣泛，具有很強(qiáng)的技術(shù)性，是大數(shù)據(jù)分析的重要數(shù)學(xué)分支。試題規(guī)格適度，難度適中，強(qiáng)化了學(xué)生對數(shù)學(xué)技術(shù)性的認(rèn)知和重視。

2.7 數(shù)學(xué)變式與創(chuàng)新思維

例10(2022年數(shù)學(xué)(一)試卷第22題)

此題脫離了本科教材的范圍，是一種變式題，但仍屬于考試大綱所要求的內(nèi)容范圍，強(qiáng)調(diào)對知識的深刻理解與靈活應(yīng)用。數(shù)學(xué)變式教學(xué)是我國數(shù)學(xué)教育的一個重要特色。當(dāng)面對新穎的問題時，考生應(yīng)根據(jù)所學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識創(chuàng)造性地對問題進(jìn)行分析與處理。

3 工科數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點(diǎn)啟示

堅(jiān)持選拔標(biāo)準(zhǔn)，是選拔高層次人才的生命線。標(biāo)準(zhǔn)不是由考生決定的，而是由科技發(fā)展的新形勢、國家戰(zhàn)略發(fā)展規(guī)劃和學(xué)科發(fā)展?fàn)顩r等綜合因素決定的。根據(jù)碩士研究生招生數(shù)學(xué)科考試情況所反饋的信息，堅(jiān)持選拔標(biāo)準(zhǔn)，需要教師省思教學(xué)中的問題，考生省思學(xué)習(xí)中的問題，促進(jìn)教學(xué)與學(xué)習(xí)整體水平的提高。

3.1 遵循教學(xué)規(guī)律，摒棄異化教學(xué)

學(xué)校教學(xué)過程具有較為復(fù)雜的因果關(guān)系。對絕大多數(shù)學(xué)生而言，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)完全靠自學(xué)和自悟的難度極大，需要教師的引領(lǐng)。教學(xué)指導(dǎo)委員會根據(jù)學(xué)科發(fā)展和社會需要制定教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)要求，教師根據(jù)教學(xué)目標(biāo)通過教學(xué)活動實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的功能，既有單向也有雙向的教學(xué)活動。教學(xué)活動圍繞教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行，一切教學(xué)模式都是為了取得好的學(xué)習(xí)結(jié)果。任何一位優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師都清楚，學(xué)生的成功不僅取決于教師教給他們什么，還取決于教師如何教會他們。也就是說，在目前情況下，學(xué)生主要的數(shù)學(xué)知識來自于教師。如果由教學(xué)活動決定教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生學(xué)習(xí)，則這種教學(xué)活動是有害的。許多學(xué)校基于學(xué)生的基礎(chǔ)，大幅降低數(shù)學(xué)課程的學(xué)時和難度，這是一種客觀存在的現(xiàn)象，但必須加以干預(yù)和控制，直至避免這種情形的出現(xiàn)。

根據(jù)對某省會城市2019—2021年理工類考生進(jìn)行抽樣調(diào)查獲得的740名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，并結(jié)合考生復(fù)習(xí)備考與本科階段教學(xué)情況綜合進(jìn)行分析，分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性十分顯著，其分?jǐn)?shù)主要與三個因素有很強(qiáng)的相關(guān)性：一是目標(biāo)學(xué)校；二是考生本科階段的基礎(chǔ)，與學(xué)校的課程設(shè)置、教學(xué)時數(shù)和教學(xué)難度有關(guān)；三是學(xué)習(xí)習(xí)慣、思維能力和自我控制力有關(guān)。存在的問題表現(xiàn)為：忽視數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平的提升，急于求成；數(shù)學(xué)思維能力、計(jì)算能力較弱；容易受到外界因素的干擾和誤導(dǎo)。部分考生通過參加課外輔導(dǎo)或從網(wǎng)絡(luò)上獲取教學(xué)資源，但這些教學(xué)資源良莠不齊。一些教學(xué)資源所體現(xiàn)的教學(xué)理念和教學(xué)方式存在很大弊端，受利益驅(qū)使，為了迎合一些考生急功近利的心理，教學(xué)中缺乏科學(xué)的教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)，也缺少必要的監(jiān)管，是一種異化的教學(xué)形式，必須加以摒棄，否則就是對考試走向和教學(xué)質(zhì)量的挑戰(zhàn)。

3.2 堅(jiān)持教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)，保證教學(xué)質(zhì)量

從考試情況來看，本科階段數(shù)學(xué)教學(xué)存在問題所帶來的后果也顯現(xiàn)出來。首先，學(xué)業(yè)要求標(biāo)準(zhǔn)降低。一些高校根據(jù)辦學(xué)層次和學(xué)生情況，為使學(xué)生能夠順利畢業(yè)，在本科階段降低學(xué)業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，降低難度要求，大量縮減課時，變相造成學(xué)生基礎(chǔ)知識不扎實(shí)，失去競爭力。根據(jù)調(diào)研，國家重點(diǎn)高?；谌瞬排囵B(yǎng)戰(zhàn)略和科技發(fā)展與競爭的新情況采用分班制對學(xué)生進(jìn)行分流培養(yǎng)，設(shè)置一些特色班。特色班越來越重視基礎(chǔ)學(xué)科教學(xué)，不僅增加教學(xué)學(xué)時，而且將公共數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課放在更加重要的位置；普通班級則仍處于“放水”狀態(tài)，從某種程度上講，這是一種有悖于“有教無類”、不公平的教育形態(tài)。其次，缺乏對素養(yǎng)的深刻認(rèn)識。工科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程通常包括微積分、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。各工程專業(yè)根據(jù)需要還開設(shè)了相關(guān)課程，主要有復(fù)變函數(shù)與積分變換、數(shù)學(xué)物理方程、計(jì)算數(shù)學(xué)、泛函分析、矩陣論和應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)等。這些課程的設(shè)置從基礎(chǔ)理論到實(shí)踐研究形成了較為完整的體系。從現(xiàn)行教材和教學(xué)來看，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)過分強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)定義、規(guī)則和程序的記憶，學(xué)生對數(shù)學(xué)原理的掌握比較扎實(shí)，但缺乏數(shù)學(xué)情感，甚至產(chǎn)生厭惡情緒。教師開展教學(xué)活動時只關(guān)注常規(guī)問題的解決，忽視自身素養(yǎng)的提升，缺乏對數(shù)學(xué)素養(yǎng)在人才素養(yǎng)中重要地位與作用的認(rèn)識，未能從數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)情感、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維與方法、數(shù)學(xué)的技術(shù)性整體上構(gòu)建教學(xué)內(nèi)容。最后，缺乏綜合性教學(xué)設(shè)計(jì)。工科數(shù)學(xué)教學(xué)要處理好理論與應(yīng)用的關(guān)系、核心素養(yǎng)與社會需要的關(guān)系，在教學(xué)設(shè)計(jì)上采用多種素材、資源、手段進(jìn)行綜合性教學(xué)活動設(shè)計(jì)，以工程專業(yè)學(xué)生應(yīng)具有的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，將原理教學(xué)和實(shí)踐教學(xué)統(tǒng)一起來，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、推理和運(yùn)用數(shù)學(xué)技術(shù)的實(shí)踐能力的發(fā)展。

學(xué)校教育是學(xué)生能力培養(yǎng)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，學(xué)校教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)的高低直接影響選拔標(biāo)準(zhǔn)和選拔結(jié)果。面對科技競爭、大國博弈和國家發(fā)展的戰(zhàn)略需求，只有堅(jiān)持標(biāo)準(zhǔn)，一如既往地發(fā)揮好選拔功能，才能保證培養(yǎng)質(zhì)量，起到示范引領(lǐng)作用。

3.3 突出素養(yǎng)培養(yǎng)，注重思維訓(xùn)練

數(shù)學(xué)具有自身發(fā)展的軌跡和脈絡(luò)，有自身鮮明的語言和方式，體現(xiàn)于思維能力素養(yǎng)塑造和源于經(jīng)驗(yàn)并解決實(shí)際問題的能力。熟悉并會運(yùn)用數(shù)學(xué)語言描述問題，是學(xué)好數(shù)學(xué)的前提，是數(shù)學(xué)思想和思維的具化。沒有數(shù)學(xué)思想和思維的教學(xué)是沒有靈魂的教學(xué)，自然就不能抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，也就難以正確地解決具體問題。開展富有成效的教學(xué)工作，需要稚化思維，與學(xué)生平行，分析學(xué)生在知識學(xué)習(xí)過程中遇到的思維障礙，指導(dǎo)學(xué)生如何思考、突破難點(diǎn)。對于具有高度抽象性的數(shù)學(xué)概念和定理更應(yīng)如此，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)，先分析學(xué)習(xí)過程中思維出現(xiàn)問題的原因，消除思維上的障礙，弄清因果關(guān)系，這對訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是十分有益的。由于概念的抽象性，可以利用物理背景、問題的原始認(rèn)知或是通過幾何直觀性進(jìn)行教學(xué)，通過習(xí)題練習(xí)訓(xùn)練學(xué)生的邏輯推理、抽象思維和辯證思維能力。

3.4 研究測驗(yàn)方法，進(jìn)行科學(xué)評價(jià)

聚焦核心素養(yǎng)，考查關(guān)鍵能力是貫穿于中考、高考、碩士研究生招生數(shù)學(xué)命題的顯著特點(diǎn)，現(xiàn)在已形成數(shù)學(xué)考試的完整體系，并成為一些大型企業(yè)、公司招聘面試的重要內(nèi)容。數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有多維結(jié)構(gòu)，呈現(xiàn)多種形態(tài)的信息，素養(yǎng)導(dǎo)向的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就測評是數(shù)學(xué)課程改革面臨的核心問題[7]。慕課、混合式教學(xué)等新興教學(xué)模式的廣泛使用，也必然涉及新的測評技術(shù)和標(biāo)準(zhǔn)。學(xué)習(xí)者獲取學(xué)習(xí)資源的路徑和方式被拓寬，自適應(yīng)學(xué)習(xí)也備受關(guān)注和使用，人工智能技術(shù)在教育測評領(lǐng)域和學(xué)習(xí)領(lǐng)域得到越來越廣泛的應(yīng)用[8]?？荚嚋y量不管是基于哪種理論，采用的方法多為統(tǒng)計(jì)學(xué)方法。統(tǒng)計(jì)學(xué)方法雖然能反映出變量之間的關(guān)聯(lián)程度，但只是面對試驗(yàn)數(shù)據(jù)的結(jié)果、結(jié)構(gòu)得出相關(guān)性，不能反映背后的因果關(guān)系。數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)過程受個體心理因素、情志因素、學(xué)習(xí)習(xí)慣等不確定因素影響很大，如果對這些因素加以干預(yù)，對學(xué)習(xí)結(jié)果亦會產(chǎn)生較大影響，可是一些因素又很難進(jìn)行量化描述，因此研究測驗(yàn)方法，特別是能反映過程和糾偏的智能化評價(jià)方法對科學(xué)評價(jià)數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平尤為重要。

4 結(jié)語

現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的研究往往需要多學(xué)科、多專業(yè)協(xié)同進(jìn)行。深度學(xué)習(xí)、協(xié)同學(xué)習(xí)、融合教學(xué)、融合研究、協(xié)同發(fā)展，已經(jīng)成為提升人才質(zhì)量的關(guān)鍵因素和重要途徑。新工科教育理念重新定位了高等工程技術(shù)人才的培養(yǎng)目標(biāo)，提升了對學(xué)習(xí)者學(xué)業(yè)和能力的要求[9]。碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)試卷很好地體現(xiàn)了對考生掌握基本概念、基本原理、基本方法的情況以及其應(yīng)用能力等方面的考查，但也應(yīng)該注意到數(shù)學(xué)考試畢竟是常模參照考試，難以在有限時間內(nèi)對更具廣度與深度問題的研究能力進(jìn)行評價(jià)，因此建議將常模參照考試和日常教學(xué)協(xié)同起來，挖掘數(shù)學(xué)思想史所蘊(yùn)含的豐富的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想和思想政治教育資源[10]，從數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力、數(shù)學(xué)價(jià)值與人格養(yǎng)成等方面進(jìn)行數(shù)學(xué)素養(yǎng)的深度培育，架起數(shù)學(xué)與科技創(chuàng)新的橋梁。