劉秀軍

（1. 深圳市勘察測(cè)繪院（集團(tuán)）有限公司，廣東 深圳 518028；2. 中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 深部巖土力學(xué)與地下工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 徐州 221116）

0 引 言

巖土材料的變形模量是巖土工程計(jì)算分析中的一個(gè)重要的力學(xué)參數(shù)，尤其在地基的變形與沉降計(jì)算中起到舉足輕重的作用[1]。巖土材料的變形模量可采用多種方法求得，例如：（1）由原位平板載荷試驗(yàn)結(jié)果求出；（2）通過理論計(jì)算公式由室內(nèi)試驗(yàn)獲得的壓縮模量換算得出；（3）用三軸試驗(yàn)反復(fù)加卸荷求出。據(jù)文獻(xiàn)[2]研究，雖然平板載荷試驗(yàn)的結(jié)果會(huì)受到基礎(chǔ)性狀和尺寸等因素影響，但比較符合實(shí)際力學(xué)邊界條件，加之后兩種方法由于受取樣擾動(dòng)影響，其結(jié)果嚴(yán)重偏低，因此目前巖土的變形模量主要通過原位平板載荷試驗(yàn)的結(jié)果計(jì)算求得。據(jù)相關(guān)規(guī)范[3-6]，土的變形模量應(yīng)根據(jù)p-s曲線的初始直線段，按均質(zhì)各向同性半無限彈性介質(zhì)的彈性理論計(jì)算。淺層平板載荷試驗(yàn)的變形模量E0，可按下式計(jì)算：

式中：I0為剛性承壓板的形狀系數(shù)，圓形承壓板取0.785，方形承壓板取0.886；μ為土的泊松比；d為承壓板直徑或邊長(zhǎng)；p為p-s曲線線性段的壓力；s為與p對(duì)應(yīng)的沉降。

然而，式（1）如何而來？相關(guān)規(guī)范提供的剛性承壓板形狀系數(shù)的具體數(shù)值如何確定出來？筆者查閱相關(guān)文獻(xiàn)后均未能找出較為詳盡的解答。因此有必要對(duì)淺層平板載荷試驗(yàn)變形模量的計(jì)算公式進(jìn)行系統(tǒng)的推導(dǎo)和闡述，并從理論的角度計(jì)算出剛性承壓板的形狀系數(shù)。

1 Boussinesq彈性理論位移解

如圖1所示，據(jù)文獻(xiàn)[7]，在不計(jì)體力的均質(zhì)半無限彈性體表面作用一法向集中力Q，則半無限體內(nèi)任意點(diǎn)M（x,y,z）處的豎向位移為：

圖1 Boussinesq解示意圖Fig. 1 Schematic diagram of the Boussinesq solution

從式（2）可以看出，在空間體表面（z=0）上某一點(diǎn)（r,0）處的豎向位移為：

2 圓形垂直均布荷載下的位移解

如圖2所示，在均質(zhì)半無限彈性體表面上，一半徑為a的圓面積內(nèi)均布法向荷載p，求取荷載作用面積下深度z處M點(diǎn)的沉降。取微分面積dA= ρdψdρ ，如圖中陰影線所示，由式（2）可得M點(diǎn)的沉降為：

圖2 圓形面積計(jì)算示意圖Fig. 2 Schematic diagram of the circular area calculation

在荷載作用區(qū)域內(nèi)，r由0變化到a，ψ由0變化到π，ρ由0變化到mn，且mn= 2acosθ，考慮對(duì)稱性，所以有：

上式即為圓形垂直均布荷載下的彈性理論豎向位移解。下面來分析幾種特殊情況：

（1）表面沉降（z=0時(shí)）

則上式簡(jiǎn)化為：

在上式中，令r=0，則得到圓心處的沉降：

令r=a，則得到荷載圓邊界處的沉降：

對(duì)比式（9）和式（10），可知最大沉降發(fā)生在圓心處，最小沉降發(fā)生在荷載圓邊界處，且圓心處的沉降為荷載圓邊界處沉降的倍。

（2）荷載圓中心軸線上的沉降（r=0時(shí)）

則式（7）化為：

上式即為圓形垂直均布荷載下中軸線上深度z處的豎向位移解，與文獻(xiàn)[8]給出的公式相同。當(dāng)z=0時(shí)，上式可變?yōu)槭剑?），即：

式中：d為圓形垂直均布荷載的直徑。

將式（13）變換形式后可得：

由此可見，將式（14）乘以系數(shù)I0即可得到式（1）。

（3）荷載圓邊界線下的沉降（r=a時(shí)）

則式（7）化為：

式中：E(k)為第二類完全橢圓積分，即：

K(k)為第一類完全橢圓積分，即：

式（15）即為圓形垂直均布荷載的邊界線下深度z處的豎向位移解，當(dāng)z=0時(shí)，式（15）可變?yōu)槭剑?0）。

3 方形垂直均布荷載下的位移解

如圖3所示，在均質(zhì)半無限彈性體表面上，一邊長(zhǎng)為l×b的方形面積內(nèi)均布法向荷載p，求取荷載作用面積下深度z處M點(diǎn)的沉降。取微分面積dA=dxdy，如圖中陰影線所示，由式（2）可得M點(diǎn)的沉降為：

圖3 方形面積計(jì)算示意圖Fig. 3 Schematic diagram of the square area calculation

在荷載作用區(qū)域內(nèi)，x由0變化到l，y由0變化到b，考慮對(duì)稱性，則在方形面積角點(diǎn)下深度z處的沉降如下：

對(duì)上式中的被積公式分別積分如下：

式（21）在y=0處的泰勒展開式為：

式（22）在y=0處的泰勒展開式為：

因此，可知：

將式（25）和式（26）代入式（20），得：

上式即為方形垂直均布荷載下方形面積角點(diǎn)下深度z處的沉降，與文獻(xiàn)[8]給出的公式相同。

由此可知，方形面積中心點(diǎn)下深度z處的沉降為：

x方向邊長(zhǎng)中心點(diǎn)下深度z處的沉降為：

y方向邊長(zhǎng)中心點(diǎn)下深度z處的沉降為：

下面來分析幾種特殊情況：

（1）正方形荷載面積（l=b時(shí)）

式（27）簡(jiǎn)化為：

式（28）簡(jiǎn)化為：

式（29）和式（30）簡(jiǎn)化為：

（2）正方形荷載面積表面沉降（z=0時(shí)）

式（31）簡(jiǎn)化為：

式（32）簡(jiǎn)化為：

式（33）簡(jiǎn)化為：

對(duì)比式（34）～（36）可知，正方形荷載中心處的表面沉降為角點(diǎn)處表面沉降的2倍，荷載邊界中心處的表面沉降約為角點(diǎn)處表面沉降的1.79倍。

4 剛性承壓板形狀系數(shù)I0

前述圓形和方形荷載作用面積實(shí)際上為柔性作用面積，而在淺層平板載荷試驗(yàn)中，由于承壓板相比巖土體為剛性體，因此承壓板其下各點(diǎn)的沉降理論上均相等。根據(jù)FOX[9]的著名論點(diǎn)：豎向荷載作用在剛性面積上所產(chǎn)生的豎向位移可以用相當(dāng)?shù)木鶆蚝奢d作用在形狀相同的柔性面積上所引起的平均豎向位移來近似計(jì)算。DAVIS等[10]和POULOS等[11]引用了豎向荷載作用在剛性面積上所產(chǎn)生的豎向位移的近似計(jì)算公式如下：

圓形和長(zhǎng)條形：

矩形：

將式（9）和式（10）代入式（37）可得圓形剛性承壓板下的平均豎向位移為：

據(jù)上式可反算得到圓形剛性承壓板下的平均變形模量為：

將式（34）和式（35）代入式（38）可得方形剛性承壓板下的平均豎向位移為：

據(jù)上式可反算得到方形剛性承壓板下的平均變形模量為：

將式（40）與式（1）作對(duì)比可得圓形剛性承壓板的形狀系數(shù)為：

將式（42）與式（1）作對(duì)比可得方形剛性承壓板的形狀系數(shù)為：

由此可知，由Boussinesq彈性理論豎向位移解推導(dǎo)出的圓形剛性承壓板形狀系數(shù)約為 0.818，略大于相關(guān)規(guī)范提供的 0.785，推導(dǎo)出的方形剛性承壓板形狀系數(shù)約為 0.935，略大于相關(guān)規(guī)范提供的0.886，雖然對(duì)計(jì)算結(jié)果影響不是很大，但從原理上卻更為清晰合理一些。

5 結(jié) 論

巖土材料的變形模量是巖土工程力學(xué)分析中的一個(gè)重要的參數(shù)，目前主要通過原位平板載荷試驗(yàn)的結(jié)果計(jì)算求得。本文基于Boussinesq彈性理論位移解，對(duì)相關(guān)文獻(xiàn)中由淺層平板載荷試驗(yàn)結(jié)果計(jì)算變形模量E0的公式以及剛性承壓板的形狀系數(shù)I0進(jìn)行了系統(tǒng)的推導(dǎo)和闡述，得出以下結(jié)論：

（1）淺層平板載荷試驗(yàn)變形模量的計(jì)算公式實(shí)際上是在Boussinesq彈性理論豎向位移解的基礎(chǔ)上乘了一個(gè)剛性承壓板的形狀系數(shù)得來。

（2）圓形垂直均布荷載作用下，最大表面沉降發(fā)生在圓心處，最小表面沉降發(fā)生在荷載圓邊界處，且圓心處的表面沉降為荷載圓邊界處表面沉降的倍。

（3）正方形垂直均布荷載作用下，正方形荷載中心處的表面沉降為角點(diǎn)處表面沉降的2倍，荷載邊界中心處的表面沉降約為角點(diǎn)處表面沉降的1.79倍。

（4）由 Boussinesq彈性理論豎向位移解推導(dǎo)出的圓形剛性承壓板形狀系數(shù)約為 0.818，略大于相關(guān)規(guī)范提供的 0.785，推導(dǎo)出的方形剛性承壓板形狀系數(shù)約為0.935，略大于相關(guān)規(guī)范提供的0.886，雖然對(duì)計(jì)算結(jié)果影響不是很大，但從原理上卻更為清晰合理一些。

本文系統(tǒng)地解答了有關(guān)淺層平板載荷試驗(yàn)中變形模量計(jì)算公式的來源問題，對(duì)相關(guān)學(xué)者全面的了解此類問題有一定指導(dǎo)和借鑒意義。