李志強(qiáng)，李 龍，耿 亮，饒邦政

(1. 廣西易城藍(lán)圖科技有限公司，530002，南寧；2. 中國建筑股份有限公司，100044，北京；3. 中建工程產(chǎn)業(yè)技術(shù)研究院有限公司，101300，北京)

0 引言

土木建筑、車輛機(jī)械等工程領(lǐng)域的許多技術(shù)問題，在一定條件下可以用運(yùn)動(dòng)學(xué)的原理和方法加以解決[1-2]。以往，運(yùn)動(dòng)學(xué)的求解方法(不妨稱之為“原方法”)多為“先拆解，后合成”，即無論對(duì)于質(zhì)點(diǎn)還是剛體，先將其運(yùn)動(dòng)拆解為多種分運(yùn)動(dòng)，逐個(gè)分析清楚各項(xiàng)分運(yùn)動(dòng)的模式和規(guī)律后，再進(jìn)行合成求解；常用的方法或技巧有速度與加速度的合成定理、基點(diǎn)法、速度瞬心、速度投影定理等；原方法相對(duì)熟悉和習(xí)慣，但有時(shí)存在一定的不方便或不足之處，譬如較為抽象、不夠直觀、適用面窄等。

調(diào)研發(fā)現(xiàn)[3-8]，有學(xué)者做過有別于原方法的相關(guān)研究，此類方法結(jié)合工程中的曲柄搖桿機(jī)構(gòu)、凸輪、連桿機(jī)構(gòu)等機(jī)械要素，其解法和結(jié)果可運(yùn)用于相關(guān)工程領(lǐng)域；然而，此類方法在標(biāo)量方程組物理量方向的表達(dá)，以及幾何圖形分解的規(guī)律等基本方面仍沒有涉及到。

本文在前人研究的基礎(chǔ)上，提出一種以標(biāo)量計(jì)算為主的簡(jiǎn)化求解思路，不妨稱之為“直解法”，即首先直觀地表達(dá)運(yùn)動(dòng)學(xué)問題中的幾何圖形，列出幾何關(guān)系方程后，按要求令等式兩側(cè)對(duì)時(shí)間求一階或二階導(dǎo)數(shù)，最終代入已知的初始或邊界條件后求解方程組。

1 關(guān)于直解法

1.1 方法介紹

直解法的思路是直接處理模型的幾何關(guān)系。位移、速度、角速度、加速度、角加速度等都是矢量，但在此法中僅求解其大小，它們的方向還需要根據(jù)求解結(jié)果的正負(fù)和具體問題條件進(jìn)行判斷。首先將問題背景剝離，抽象成簡(jiǎn)單的幾何圖形，列出圖中幾何關(guān)系表達(dá)式，這是對(duì)問題所給圖形的最直觀表達(dá)，是零階等式。式中所含的長(zhǎng)度、角度都是關(guān)于時(shí)間的函數(shù)。令零階等式等號(hào)兩側(cè)同時(shí)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，得到一階等式。式中長(zhǎng)度關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)就是速度，角度關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)就是角速度；速度與角速度也是關(guān)于時(shí)間的函數(shù)。令一階等式等號(hào)兩側(cè)同時(shí)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，得到二階等式。式中速度關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)就是加速度，角速度關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)就是角加速度。聯(lián)立諸式，代入已知的初始條件，以及簡(jiǎn)單易察的隱含條件(如某條邊是固定不動(dòng)的，則其速度為0，某點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)則其加速度為0，等等)求解未知變量。需要指出的是，此處介紹的直解法是不考慮物理量方向在內(nèi)的，其方向需要在求出標(biāo)量解后，根據(jù)解的正負(fù)并結(jié)合具體情境單獨(dú)判斷；高階矢量方程組的求解本文不作介紹。

以圖 1為例對(duì)所述的方程組做簡(jiǎn)單說明。

圖1 直解法例圖

列出圖形中的幾何關(guān)系等式，從C點(diǎn)向AB邊引垂線，用AC邊和BC邊的三角函數(shù)表達(dá)AB邊長(zhǎng)度：

AB=ACcosα+BCcosβ

(1)

令此式等號(hào)兩側(cè)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)。需要注意的是此處均為隱函數(shù)求導(dǎo)：

(2)

再令此式等號(hào)兩側(cè)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，同樣是隱函數(shù)求導(dǎo)：

(3)

再對(duì)另一個(gè)方向列式，用2個(gè)自然邊的三角函數(shù)表達(dá)垂線：

ACsinα=BCsinβ

(4)

令此式等號(hào)兩側(cè)對(duì)時(shí)間隱函數(shù)求導(dǎo)：

(5)

再令此式等號(hào)兩側(cè)對(duì)時(shí)間隱函數(shù)求導(dǎo)：

(6)

聯(lián)立諸式得到方程組，該方程組就是直解法的基礎(chǔ)，結(jié)合具體問題代入提示的所有條件，可得其中的任意變量的值，再根據(jù)值的正負(fù)判斷矢量方向。需要指出的是，一個(gè)幾何圖形可以有很多組表達(dá)式，如何列式應(yīng)緊扣問題背景和已知條件，達(dá)到最便捷解答的目的。列式時(shí)，應(yīng)盡量多地將幾何圖形中不變化的邊列入，比如桿件、滾輪半徑等不隨時(shí)間變化的恒定值，如此，令其對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)后得0可以消去，大大簡(jiǎn)化運(yùn)算。通常，零階方程組中一個(gè)等式表達(dá)的是幾何圖形中真實(shí)存在的一邊，它與它的一階、二階導(dǎo)數(shù)往往與某待求速度或加速度相關(guān)；另一個(gè)等式表達(dá)的是過某一頂點(diǎn)垂直于該邊的輔助邊(類似于三角形的“高”)，它與它的一階、二階導(dǎo)數(shù)往往與某待求角速度或角加速度相關(guān)。

此后若問題中還有更復(fù)雜、更高階的要求，如急動(dòng)度(也稱“加加速度”或“力變率”)或角急動(dòng)度等，則在二階等式的基礎(chǔ)上再對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)得到三階等式即可。

1.2 直解法與原方法的對(duì)比

直解法與原方法各有優(yōu)缺。原方法的優(yōu)勢(shì)在于求解過程中可以使用一些有用的規(guī)律和技巧，以便有效提升求解效率，而其缺點(diǎn)同樣在于求解依賴于這些規(guī)律和技巧，一旦不具備使用條件或條件隱含很深不易察覺，則求解難度大幅提升；此外，運(yùn)動(dòng)學(xué)的拆解與合成充滿抽象感，當(dāng)問題要素較多、背景較為復(fù)雜時(shí)，對(duì)研究對(duì)象運(yùn)動(dòng)模式和規(guī)律的理解和把控就變得困難?？傊?，原方法的適用面較為狹窄。直解法的優(yōu)勢(shì)在于非常直觀，因而稱之為“直解法”；此外，此法適用面較寬廣，而且可解更高階問題，缺點(diǎn)在于計(jì)算復(fù)雜，要求求解者對(duì)于微分學(xué)和三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)的掌握高度熟練。

2種方法都是對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)本質(zhì)的表達(dá)，并行不悖、相輔相成，區(qū)別在于觀察角度和描述方法不同。求解時(shí)對(duì)于2種方法的選取需要充分觀察問題所給條件。譬如，求速度和角速度時(shí)采用原方法或直解法均可，求加速度和角加速度時(shí)宜采用原方法，求更高階問題推薦采用直解法。

2 算例

以下對(duì)2個(gè)算例進(jìn)行計(jì)算分析，同時(shí)采用2種方法，并將它們的計(jì)算過程和結(jié)論進(jìn)行對(duì)比。

2.1 算例1

橢圓規(guī)尺AB以等速u沿水平導(dǎo)槽向右運(yùn)動(dòng)，尺AB長(zhǎng)l。試求B端沿鉛直導(dǎo)槽運(yùn)動(dòng)的速度和尺AB的角速度(見圖 2)。

圖2 算例1示意圖

2.1.1 解法1(原方法：基點(diǎn)法) AB做平面運(yùn)動(dòng)，其上A點(diǎn)速度大小、方向已知，可取為基點(diǎn)；故B點(diǎn)速度vB可由下式確定：

vB=vA+vBA=u+uBA

(7)

需要注意的是，式(7)是矢量式。式中只有vB和vBA2個(gè)未知量，可作出速度平行四邊形如圖 2所示，可得B點(diǎn)速度大?。?/p>

vB=ucotφ

(8)

方向向下。

AB的角速度：

(9)

方向逆時(shí)針。

2.1.2 解法2(原方法：瞬心法) 在此瞬時(shí)A點(diǎn)和B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向已知，即A點(diǎn)水平向右，B點(diǎn)垂直向下。按照速度瞬心的規(guī)律，AB作為平面轉(zhuǎn)動(dòng)中的剛體，一定存在某一點(diǎn)瞬時(shí)速度為零而AB上各點(diǎn)都繞這個(gè)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。作垂直于u的垂線、垂直于vB的垂線交于C點(diǎn)，C點(diǎn)就是剛體AB此刻的瞬心，如圖3所示。

圖3 算例1解法2示意圖

因?yàn)榻撬俣认嗤?，而v=ωr，繞C各點(diǎn)速度大小與點(diǎn)到瞬心距離r成正比，因而有：

(10)

vB=ucotφ

(11)

方向向下。

2.1.3 解法3(原方法：速度投影定理法) 在此瞬時(shí)A點(diǎn)和B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向已知，即A點(diǎn)水平向右，B點(diǎn)垂直向下。按照速度投影定理，平面圖形上任意兩點(diǎn)的速度在該兩點(diǎn)連線上的投影相等，那么令A(yù)點(diǎn)速度和B點(diǎn)速度都投影到AB上，有：

ucosφ=vBsinφ

(12)

vB=ucotφ

(13)

方向向下。

2.1.4 解法4(直解法) 在此瞬時(shí)A點(diǎn)和B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑已知，即A點(diǎn)水平，B點(diǎn)垂直。如圖 2所示，A點(diǎn)速度反映在AO的變化上，B點(diǎn)速度反映在BO變化上：

AB=l=OAcosφ+OBsinφ

(14)

令等號(hào)兩側(cè)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，得到：

(15)

其中，OB·cosφ=OA·sinφ，故此消去，求解得到：

(16)

因此從大小上來說vB=u·cotφ，趨勢(shì)上是使OB變小，故方向垂直向下。此外，還可以列出一個(gè)方程，用2條邊來表達(dá)垂線OE，即：

OAsinφ=OBcosφ

(17)

令等號(hào)兩側(cè)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)：

(18)

整理得到：

(19)

顯然OA·cosφ+OB·sinφ就是AB邊，長(zhǎng)度為l。聯(lián)立(16)和(19)得：

(20)

因此從大小上來說ω=u/(l·sinφ)，趨勢(shì)上是使φ變小，故方向?yàn)槟鏁r(shí)針。

2.1.5 評(píng)價(jià) 在算例1中，就一道非?；A(chǔ)的問題，從不同的側(cè)面去觀察圖形都可以找到突破口，原方法可以用3種技巧給出答案，其中的瞬心法比較有助于理解剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)；而直解法則是顧名思義直接列出幾何關(guān)系求解，一氣呵成，對(duì)于剛體運(yùn)動(dòng)全過程中的任意時(shí)刻都有相當(dāng)?shù)慕忉屃?，并且?jì)算工作量也不大。

2.2 算例2

圖4 算例2示意圖

2.2.1 解法1(原方法) 機(jī)構(gòu)具有一個(gè)自由度，桿AB及輪B均做平面運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵在于分析B點(diǎn)的速度與加速度。

1)速度求解。桿AB做平面運(yùn)動(dòng)，vA=rω0，方向垂直于OA，vB沿水平方向，如圖5所示。

圖5 算例2解法1示意圖(a)

應(yīng)用速度投影定理，得：

vBcos30°=vAcos15°

(21)

vB=1.115rω0

(22)

輪B做無滑動(dòng)的滾動(dòng)，接觸點(diǎn)處vE=0，E為輪B的瞬心，于是有：

(23)

(24)

ωB方向?yàn)槟鏁r(shí)針，vD方向垂直于ED連線。

對(duì)于桿AB，將vA，vB向與AB垂直的方向投影，有：

vBsin30°=vBA-vAsin15°

(25)

vBA=vBsin30°+vAsin15°=0.816rω0

(26)

由此可得桿AB的角速度ωAB為：

(27)

方向?yàn)轫槙r(shí)針。

2)加速度求解。首先，采用基點(diǎn)法分析B點(diǎn)的加速度，如圖 6、圖7所示。

圖6 算例2解法1示意圖(b)

圖7 算例2解法1示意圖(c)

對(duì)于桿AB，已知aA=rω02，以A為基點(diǎn)，B為動(dòng)點(diǎn)，則有：

(28)

需要注意的是，此等式為矢量式。式中：

(29)

aBAτ大小未知，方向與AB垂直。將式(28)向AB投影，則有：

(30)

(31)

對(duì)于輪B，因?yàn)樽黾儩L動(dòng)，其角加速度可由定義αB=dωB/dt求得，即：

(32)

方向?yàn)轫槙r(shí)針。輪上B點(diǎn)的加速度已知，以B點(diǎn)為基點(diǎn)，得：

(33)

(34)

2.2.2 解法2(直解法) 過A做AP垂直于OB交于P點(diǎn)，如圖8所示。

根據(jù)圖8中的幾何關(guān)系列零階方程組如下：

OB=OAcosφ+ABcosα=rcosφ+lcosα

(35)

圖8 算例2解法2示意圖

OAsinφ=ABsinα，即

rsinφ=lsinα

(36)

令零階方程組等號(hào)兩側(cè)同時(shí)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得一階方程組：

(37)

(38)

因機(jī)構(gòu)兩臂均為剛體，因此它們的長(zhǎng)度任何時(shí)候都不會(huì)變化，因此一階方程組可簡(jiǎn)化為：

(39)

(40)

(41)

這是AB的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，其大小為0.577ω0，趨勢(shì)是使∠ABO增大，因而方向是逆時(shí)針。再將結(jié)果代入式(39)可得：

(42)

這是B點(diǎn)的速度，其大小為1.115rω0，趨勢(shì)是使OB變短，因此方向向右。輪B做無滑動(dòng)的滾動(dòng)，接觸點(diǎn)處vE=0，E為輪B的瞬心；代入R=0.5r，得到ωB并合成vD如下：

(43)

(44)

由純滾動(dòng)性質(zhì)和已求得的B點(diǎn)速度方向可知，ωB方向順時(shí)針，vD斜向右上45°。令一階方程組等號(hào)兩側(cè)同時(shí)再對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得到二階方程組：

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

方向?yàn)轫槙r(shí)針。純滾動(dòng)不考慮科里奧利加速度，加速度為切向加速度與法向加速度的矢量疊加。

(50)

(51)

因解答過程較為復(fù)雜，不是本文的重點(diǎn)，此處不贅述。

最后檢查結(jié)算過程及其所有結(jié)果，通過量綱進(jìn)行簡(jiǎn)單的核算：速度的量綱都為L(zhǎng)T-1，加速度的量綱都為L(zhǎng)T-2，角速度的量綱都為T-1，角加速度的量綱都為T-2，核算通過。

2.2.3 評(píng)價(jià) 在算例2中，使用原方法對(duì)機(jī)構(gòu)的速度和加速度的分析變得復(fù)雜了許多，對(duì)于高階物理參量的方向確定也有所不便，還有賴于對(duì)圖形進(jìn)一步觀察，在具體求解過程中還需要用到多種技巧才行；而直解法，則顯示出相當(dāng)程度的優(yōu)勢(shì)。當(dāng)然，需要指出的是，直解法的二階方程組的運(yùn)算量顯著提升，但這恰是計(jì)算機(jī)的長(zhǎng)處，相信不難克服。

3 結(jié)論

1)本文針對(duì)質(zhì)點(diǎn)與剛體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)提出了一種新的解法，即直解法，論證了該法是成立且合理的，并具有直觀性強(qiáng)、適用面廣、能夠處理高階運(yùn)動(dòng)學(xué)問題、便于計(jì)算機(jī)程序大規(guī)模高速度輔助運(yùn)算等優(yōu)點(diǎn)。

2)本文對(duì)比2種方法后認(rèn)為原方法計(jì)算量小但是抽象，直解法計(jì)算量大但是直接；通過2個(gè)算例對(duì)2種解法進(jìn)行了較為詳細(xì)的說明，并通過解答過程分析了2種解法的適用場(chǎng)合：一階的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題可用2種方法，二階問題宜用原方法，三階及以上的問題宜用直解法。需要說明的是判斷二階及以上運(yùn)動(dòng)學(xué)問題中的物理量的方向，需要結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)和具體情境進(jìn)行判斷，不能簡(jiǎn)單依靠任意一種方法所給出的解答直接給出。

3)理論上運(yùn)動(dòng)學(xué)問題中的幾何關(guān)系越復(fù)雜越突顯直解法的優(yōu)勢(shì)；為使用直解法解題，尤其是考慮矢量在內(nèi)的計(jì)算量龐大的問題，可以運(yùn)用計(jì)算機(jī)編程輔助計(jì)算。直解法的發(fā)展將有利于提升運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的效率和準(zhǔn)確度，在土木工程、機(jī)械工程等領(lǐng)域均可廣泛應(yīng)用。