于正軍

（揚州市江都區(qū)實驗小學(xué)，江蘇 揚州 225200）

數(shù)學(xué)意識是學(xué)生在解決實際問題過程中自發(fā)形成的數(shù)學(xué)直觀、數(shù)學(xué)感悟、數(shù)學(xué)理解等數(shù)學(xué)思維活動的一種認知自覺和學(xué)習(xí)動機，是數(shù)學(xué)思維與學(xué)習(xí)行為發(fā)生的“起跑狀態(tài)”。因此，在解決問題策略教學(xué)中促進學(xué)生思維發(fā)展與方法感悟，需要引領(lǐng)學(xué)生在分析問題、解決問題的過程中不斷實現(xiàn)策略意識的喚醒、遞升、舒展和建立，繼而以策略的認知感知概念意義，以策略的眼光分析數(shù)量關(guān)系，以策略的思維探索數(shù)學(xué)方法，以策略的語言建構(gòu)思維模型，不斷促進學(xué)生經(jīng)歷解決問題中策略意識與數(shù)學(xué)方法的“思維呼應(yīng)”，從而深度激活學(xué)生的思維經(jīng)驗，滋生策略思維，感悟策略思想方法。筆者以蘇教版教材五年級上冊“一一列舉的策略”一課教學(xué)為例解析解決問題策略教學(xué)中學(xué)生的意識培養(yǎng)與思維建構(gòu)，旨在創(chuàng)新與建構(gòu)解決問題策略教學(xué)的課堂結(jié)構(gòu)和應(yīng)有范式。

一、策略意識的喚醒——思維起跑的姿態(tài)

對解決問題策略概念意義的感悟與理解，需要教師從學(xué)科核心素養(yǎng)的視角重新審視解決問題策略單元的課題意義。教材所編寫的課題意義表征為“解決問題的策略”，并非“策略解決問題”。此課題所凸顯出來的學(xué)科素養(yǎng)指向的教學(xué)目標(biāo)理應(yīng)是對策略意識及其思想方法的感悟，而非機械運用數(shù)學(xué)策略解決問題。所以，課堂上教師要有意引領(lǐng)學(xué)生對策略認知的思維交流，才能不斷轉(zhuǎn)變“應(yīng)用題”教學(xué)的課堂固有范式和創(chuàng)新解決問題策略的課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)，促進學(xué)生對策略認知的意義感知和策略意義的意識感悟，激發(fā)學(xué)生形成積極探索策略的認知意識和心理需求，激活學(xué)生原有的思維經(jīng)驗，繼而喚醒學(xué)生的策略意識，引發(fā)學(xué)生思維起跑。

在一線教師的常態(tài)課堂上，教師引出例題主題（王大叔用22 根1 米長的柵欄圍一塊長方形花圃，怎樣圍面積最大？），并引導(dǎo)學(xué)生用擺一擺、畫一畫、寫一寫等學(xué)習(xí)方法探索出結(jié)果后，順勢揭示：像這樣一個一個列舉出各種可能結(jié)果的方法，在數(shù)學(xué)上就叫作“一一列舉的策略”。如此把教材中的數(shù)學(xué)概念直接灌輸給學(xué)生，忽視了學(xué)生對策略認知的直接感知，抑制了學(xué)生策略意識的喚醒，阻礙了學(xué)生在自主探索過程中意識建立與方法建構(gòu)的“思維呼應(yīng)”，從而導(dǎo)致學(xué)生策略意義無法感知，策略思維無從起步。

因而，在學(xué)生經(jīng)歷自主探索后，教師需要及時回歸策略視角與兒童認知，引領(lǐng)學(xué)生對各自解題方法的思維交流和意識回應(yīng)。（1）你們是怎么想到要動手擺一擺、畫一畫、寫一寫呢？此時學(xué)生在課堂上自言自語：不好列算式解答，也無法直接算出所求問題的結(jié)果。（2）有的人用小棒圍長方形，有的人在作業(yè)紙上畫長方形，而有的人直接寫出相應(yīng)長方形的面積，為什么你們方法不同卻都能求出最終的結(jié)果呢？課堂上聰明的孩子開始插話：不管是擺一擺、畫一畫還是寫一寫，其實大家都是把幾種可能的結(jié)果依次整理出來。教師順勢補充：是的，雖然大家的操作方法不同，其中的思維方法和數(shù)學(xué)道理是一樣的?？磥泶蠹蚁氲降倪@些方法對于解決像王大叔圍花圃這樣的實際問題非常方便和適用，也非常巧妙很具針對性。你們覺得這么好的數(shù)學(xué)方法應(yīng)該取一個什么名字呢？教師在學(xué)生自由取名字的基礎(chǔ)上整理、規(guī)范學(xué)生的數(shù)學(xué)表達，繼而引出一一列舉策略的數(shù)學(xué)概念。學(xué)生經(jīng)過如此對一一列舉策略的概念進行了有意義的建構(gòu)，自然經(jīng)歷策略意義的形成過程，感知策略的數(shù)學(xué)意義，體會策略與數(shù)學(xué)方法的應(yīng)然聯(lián)系，學(xué)生的思維方能起跑。如此通過學(xué)生已有的經(jīng)驗方法促進對策略意識的思維回應(yīng)，學(xué)生的策略思維被及時激活，進一步激發(fā)學(xué)生深度觸摸和感知一一列舉策略的概念意義，自然點燃學(xué)生探索策略思維方法的數(shù)學(xué)熱情和心理需求。

二、策略意識的遞升——思維滋生的方向

數(shù)學(xué)策略在兒童的思維表征上凸顯的是一種基于方法又高于方法的認知視角和思考角度。所以，促進學(xué)生策略意識的逐步遞升需要教師引領(lǐng)學(xué)生以策略的眼光審視數(shù)量關(guān)系，驅(qū)動學(xué)生滋生策略思維，探索策略方法，培養(yǎng)策略意識，從而自然避免常態(tài)的數(shù)學(xué)眼光涉獵已知條件和所求問題，產(chǎn)生“應(yīng)用題”教學(xué)的解題思維。否則，學(xué)生無法感知這些數(shù)量概念中隱含的策略思維元素，而滑入“應(yīng)用題”教學(xué)的課堂模式，偏頗解決問題策略教學(xué)主題的應(yīng)有目標(biāo)，抑制學(xué)生策略意識與思維的素養(yǎng)培養(yǎng)。

因此，引領(lǐng)學(xué)生觀察主題圖中“22根”“1米”“面積最大”等數(shù)量概念時，要警惕常態(tài)的數(shù)學(xué)眼光形成的淺表性思維認知，而阻礙學(xué)生深度思維的腳步。（1）“22 根”常態(tài)眼光表現(xiàn)為：圍成長方形的周長是22 米，而策略眼光理應(yīng)為：22 根柵欄可以圍多種不同的長方形。此眼光隱藏的策略意識指向?qū)W生的思維感悟：由于可以圍成多種不同的長方形，究竟有幾種呢？必然驅(qū)動學(xué)生產(chǎn)生要一個一個列舉出來的心理欲望和思維沖動，學(xué)生一一列舉的策略意識開始喚醒。（2）“1 米”常態(tài)眼光表現(xiàn)為：用1米的柵欄去圍長方形，圍成的長方形的長和寬是整米數(shù)。而策略眼光理應(yīng)為：既然是用1 米的柵欄去圍，圍成長方形的長和寬一定是可數(shù)長度，圍成長方形的個數(shù)必然是有限的。此眼光隱藏的策略意識指向?qū)W生的思維感悟：既然圍成這些不同的長方形的個數(shù)是有限的，就可以把這些有限的長方形一個一個列舉出來，為一一列舉策略意識的初步建立提供了有限的數(shù)學(xué)思維方法可能，如果圍成長方形的數(shù)量是無限的，“列舉”的數(shù)學(xué)方法在學(xué)生內(nèi)心深處無法生根發(fā)芽，一一列舉的策略意識也無從起步。（3）“面積最大”常態(tài)眼光表現(xiàn)為：圍成長方形的形狀盡可能要方一點。而策略眼光理應(yīng)為：像這樣圍長方形，如果換成用可以任意彎曲的線或繩子來圍，從數(shù)學(xué)極限思維的角度，所圍成的長方形的個數(shù)必然是無限的，既然是無限的，不存在“面積最大或最小”的數(shù)學(xué)概念的可能。此眼光隱藏的策略意識指向?qū)W生的思維感悟：像這樣用22根1米的柵欄圍長方形，所指向的數(shù)學(xué)問題的價值必然是求面積最大或最小，從而使學(xué)生感悟到一一列舉策略所對應(yīng)的實際問題的已知條件與所求問題之間的必然聯(lián)系，學(xué)生內(nèi)心深處的思維應(yīng)然朝向一一列舉策略方向逐漸滋生。唯有如此，引領(lǐng)學(xué)生以策略的眼光審視例題中的條件與問題之間的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生固然自主感知實際問題中隱藏的策略思維，形成策略意識與數(shù)學(xué)方法的“思維呼應(yīng)”，進一步點燃學(xué)生積極探索策略方法的內(nèi)在需求與積極情感。

三、策略意識的舒展——思維發(fā)展的路徑

在探索策略方法的過程中，學(xué)生的策略意識一旦得以舒展，自然產(chǎn)生與數(shù)學(xué)方法的“思維呼應(yīng)”，促進認知經(jīng)驗瞬間被激活，驅(qū)動學(xué)生以解決問題的策略眼光和思維視角分析數(shù)量關(guān)系，生成策略方法。因此，策略教學(xué)需在學(xué)生以策略的眼光審視數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上，進一步引發(fā)學(xué)生策略意識的舒展而生發(fā)思維路徑，觸發(fā)學(xué)生獨立想象與深度思維，自主發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)方法，促進數(shù)學(xué)感悟和策略思想的自發(fā)形成。

如此，在學(xué)生審視數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上，需及時圍繞主題圖中“22根、1米、面積最大”三個關(guān)鍵數(shù)量概念引領(lǐng)學(xué)生的策略意識得以進一步舒展，促進學(xué)生積極思維，展開想象，自主探索策略方法。（1）從“22根”你能想到什么？師：用22根木條圍長方形你們會嗎？生齊說：會。師：大家都說會，看來你們心中都已經(jīng)有了圍成的樣子，你心中所圍成的長方形和其他同學(xué)一樣嗎？生齊說：不一定。師：看來用22根這樣的木條圍一個長方形一定不止圍一個，是嗎？生：是的，可以圍好幾個呢？（2）從“1米”你又能想到什么？師：22 根1 米長的小棒連接起來一共有多長？生：22 米。師：用這樣的小棒圍與用22 米長的線或繩子圍效果一樣嗎？生開始遲疑，教師順勢引導(dǎo)學(xué)生小組交流。生小組匯報：不一樣，用22根1米長的小棒圍長方形，圍成的長方形的長與寬都必須有整根的小棒連接的，即長與寬都是整米數(shù)，所以這樣圍成的長方形的個數(shù)是有限的。而用22 米長的線或繩子圍長方形，圍成的長方形長與寬的長度可能是整數(shù)也可能是一個無限小數(shù)，這樣圍成的長方形有無數(shù)個。（3）從“面積最大”你還想到了什么？師：剛才大家說用22根1米長的小棒去圍長方形能圍好幾種呢，說明圍成的這幾種長方形的大小形狀可能不一樣，是什么一樣什么不一樣呢？生：周長一樣，面積不一樣。師：是的，看來圍成的幾種長方形，就會有幾種不同的面積，說明這些面積有大有小。

通過如此伴隨策略意識的思維數(shù)量關(guān)系分析，學(xué)生從“想22 根”自然經(jīng)歷圍成多種長方形的思維路徑，從“想1 米”自然經(jīng)歷圍成多種長方形的個數(shù)是有限的思維路徑，從“想面積最大”自然經(jīng)歷圍多種長方形就會產(chǎn)生多種大小不同面積的思維路徑。從而使學(xué)生的思維自發(fā)經(jīng)歷了“長方形數(shù)量多且有限”“多種長方形即多種大小不同面積”的策略特點的形成過程，并自主感悟“求面積最大”是此類題型特征所彰顯出來的數(shù)學(xué)應(yīng)用價值和策略方法的思維方向。有效助推學(xué)生逐步建構(gòu)一一列舉策略的思維特征，內(nèi)心自然產(chǎn)生一一列舉策略的數(shù)學(xué)方法認知需求，促進學(xué)生深刻體驗和感悟一一列舉策略的思想方法在解決實際問題中的應(yīng)有價值和應(yīng)然作用。

四、策略意識的建立——思維建模的內(nèi)驅(qū)

學(xué)生在解決實際問題的過程中，其策略意識的真正建立標(biāo)志著學(xué)生的數(shù)學(xué)認知與知識結(jié)構(gòu)已經(jīng)形成數(shù)學(xué)方法上的“思維呼應(yīng)”。即不同實際問題的知識結(jié)構(gòu)特征在學(xué)生腦海里自然產(chǎn)生相應(yīng)策略思維的條件反應(yīng)，從而驅(qū)動學(xué)生主動建構(gòu)解決問題的思維圖式，并以策略的語言建構(gòu)解決問題的數(shù)學(xué)方法思維模型，形成解決問題策略思想的數(shù)學(xué)感悟。

因而，在引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷探索策略的數(shù)學(xué)活動后，不能機械套用教材中回顧反思的提示語，即回顧解決問題的過程，你有什么體會？有些實際問題可以通過列舉來解決；按一定的順序列舉，做到不重復(fù)、不遺漏；要對列舉出的結(jié)果進行比較，作出選擇。不能按提示語要求學(xué)生直接交流列舉方法的體會和感受。如此照搬教材中的提示語引導(dǎo)學(xué)生進行回顧反思，不能促進學(xué)生主動培養(yǎng)策略意識，以及形成主動探索策略的主觀愿望，缺失了對實際問題數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)的整理與概括，阻礙了學(xué)生對一一列舉策略的數(shù)學(xué)方法與實際問題的知識結(jié)構(gòu)特征的“思維呼應(yīng)”以及策略思維模型的自主建構(gòu)。由此，需要及時激發(fā)學(xué)生對策略的數(shù)學(xué)意義和形成過程進行回顧與反思，助推學(xué)生基于實際問題的知識結(jié)構(gòu)特點的認知自行進行策略方法的數(shù)學(xué)建模，完善學(xué)生對具體實際問題數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)特點的分析與概括，形成一一列舉策略意識的條件反應(yīng)和數(shù)學(xué)方法的思維建構(gòu)，繼而激活學(xué)生的一一列舉策略思維，生成解決實際問題“專業(yè)”的數(shù)學(xué)方法的思維模型。

故而，策略意識的建立是解決問題策略教學(xué)的靈魂，是學(xué)生探索策略方法、形成策略技能的數(shù)學(xué)認知基礎(chǔ)和思維方法前提。教學(xué)時，理應(yīng)從策略方法的思維建模角度加以啟迪：（1）本節(jié)課所解決的實際問題有什么特點？引導(dǎo)學(xué)生交流得出此類題型實際問題的結(jié)果有多種可能，需要在多種可能中尋找所求答案。（2）在以前的學(xué)習(xí)中，哪些知識也具備這樣的結(jié)構(gòu)特點？課堂上引導(dǎo)學(xué)生說出諸如：數(shù)的組成、找一個數(shù)的因數(shù)、由幾個數(shù)字組成的所有幾位數(shù)……學(xué)生如此重拾知識記憶與數(shù)學(xué)語言表達的過程，即對數(shù)學(xué)列舉方法及其對應(yīng)思維關(guān)系的結(jié)構(gòu)特征整理與建構(gòu)的過程，更是對一一列舉策略思維方法進行語言概括和自主建模的過程。如此回顧與反思，方能順應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)需求和思維現(xiàn)實。因為學(xué)生在經(jīng)歷探尋關(guān)鍵數(shù)量和關(guān)鍵問題的過程中，必然觀察和解析實際問題的基本結(jié)構(gòu)，產(chǎn)生思維上的認識、判斷和甄別，促使學(xué)生的認知思維經(jīng)歷了從“結(jié)構(gòu)特征”到“策略方法”自然生長與建模的過程，是題型特征所凸顯的一種數(shù)學(xué)方法必然和兒童心理認知的思維應(yīng)然。同時，便于促進策略意識與數(shù)學(xué)方法的“思維觀照”，形成解決問題策略過程中學(xué)生數(shù)學(xué)思維的“上下呼應(yīng)”，凸顯解決問題策略教學(xué)的“策略味”，弱化課堂教學(xué)的“應(yīng)用味”，增強學(xué)生積極的探索精神和數(shù)學(xué)感悟能力。

綜上所述，在小學(xué)階段，策略的數(shù)學(xué)意義，留在兒童腦海里的認知特征表征為思維方法的“一一對應(yīng)性”，直觀地表達為：有針對性的數(shù)學(xué)方法。如此的思維與方法的對應(yīng)性和針對性促使學(xué)生的數(shù)學(xué)思考始終行走在“策略”與“解決問題”之間。因此，策略的教學(xué)唯有引領(lǐng)學(xué)生自主形成策略的意識，學(xué)生才能自發(fā)探索策略的方法，并自行運用策略的語言概括策略思維的數(shù)學(xué)方法模型，促使學(xué)生在解決問題的過程中才能既掌握實際問題結(jié)構(gòu)的具體特征，又養(yǎng)成有針對性地選擇策略的數(shù)學(xué)意識和思維習(xí)慣，從而自然實現(xiàn)為什么要列舉到怎樣列舉的“思維呼應(yīng)”，實現(xiàn)學(xué)生對策略思想方法的深切感悟和深度理解。▲