江蘇錫山高級(jí)中學(xué)（214174） 顧曉峰

一、單元內(nèi)容與解析

“對(duì)數(shù)函數(shù)”單元的內(nèi)容包括對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)，以及同底指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系。

本單元是在冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)概念及其運(yùn)算的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)。事實(shí)上，在等式z=xy中，若將y視為常數(shù)，x視為自變量，z視為因變量，就得到冪函數(shù)；將x視為常數(shù)，y視為自變量，z視為因變量，則得到指數(shù)函數(shù)；將x視為常數(shù)，z視為自變量，y視為因變量，則得到對(duì)數(shù)函數(shù)。

函數(shù)的一般概念和性質(zhì)是對(duì)數(shù)函數(shù)研究的基礎(chǔ)，對(duì)數(shù)的運(yùn)算是對(duì)數(shù)函數(shù)概念獲得的基礎(chǔ)。指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)的研究方法可遷移到對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)的研究中。對(duì)數(shù)函數(shù)的研究為進(jìn)一步揭示同底指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系做好鋪墊。

二、單元目標(biāo)與解析

（一）目標(biāo)

（1）了解對(duì)數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念。

（2）能用描點(diǎn)法、借助信息技術(shù)或者圖像的變換作出具體的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，探索并理解對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)一步體會(huì)研究具體對(duì)數(shù)函數(shù)的一般思路和方法，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

（3）明確同底指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，了解它們互為反函數(shù)。

（二）解析

實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)的標(biāo)志是：

（1）學(xué)生能說出相關(guān)量之間的關(guān)系式，能從特殊到一般地給出對(duì)數(shù)函數(shù)的一般表達(dá)式。

（2）學(xué)生能根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，自主類比研究過程和方法，得到對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像直觀認(rèn)識(shí)函數(shù)性質(zhì)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想。

（3）對(duì)于同底指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，學(xué)生知道指數(shù)函數(shù)的定義域就是對(duì)數(shù)函數(shù)的值域，指數(shù)函數(shù)的值域是對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，了解它們互為反函數(shù)。

三、單元教學(xué)問題分析

本單元中，對(duì)數(shù)函數(shù)概念的建立應(yīng)立足已有的具體指數(shù)函數(shù)模型，即碳14 衰減的函數(shù)模型（其中x是時(shí)間，y是碳14的含量），根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系將其變形為x=教學(xué)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生回答兩個(gè)問題：①研究x=的動(dòng)機(jī)是什么？②這里的x是關(guān)于y的函數(shù)嗎？為什么？根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生容易從一般的指數(shù)函數(shù)y=ax(a＞0,a≠1) 中得到對(duì)數(shù)函數(shù)x=logay(a＞0,a≠1)，并根據(jù)習(xí)慣改寫為y=logax(a＞0,a≠1)，然而在這個(gè)改寫的過程中，學(xué)生容易混淆x與y的關(guān)系，教師應(yīng)在此處考慮更自然的過渡方式。

在對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)的學(xué)習(xí)中，大部分學(xué)生會(huì)依據(jù)“具體函數(shù)—描點(diǎn)連線—圖像性質(zhì)”的一般思路進(jìn)行研究，也有學(xué)生會(huì)從同底指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)系入手進(jìn)行研究。對(duì)于可能出現(xiàn)的不同發(fā)現(xiàn)路徑，教師可利用信息技術(shù)工具輔助學(xué)生探究。

四、單元教學(xué)支持條件分析

在本單元的教學(xué)中，概念引入部分可插入介紹“碳14 衰減”問題的視頻，通過背景介紹，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，使學(xué)生感受到對(duì)數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義。在對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)的教學(xué)中，教師可借助幾何畫板或者GGB 畫出a取任意可能值時(shí)y=logax的圖像，也可通過追蹤點(diǎn)的移動(dòng)來驗(yàn)證對(duì)數(shù)函數(shù)和同底指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)圖像之間的特點(diǎn)。

五、教學(xué)過程

（一）知識(shí)引入

播放一段關(guān)于考古學(xué)家發(fā)現(xiàn)一處新石器時(shí)代人類生活遺址的視頻。如何確定發(fā)現(xiàn)的生活遺址處于漫長年代中的哪一段呢？考古學(xué)家從生活遺址中取樣然后帶回實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行碳14 檢測(cè)。因?yàn)樘?4 元素每隔5730 年衰減為原來的一半，所以可以根據(jù)其衰減幅度逆推出動(dòng)物（植物）死亡的年數(shù)。

問題1：同學(xué)們，看完這段視頻，你知道考古中可以怎樣推測(cè)出生物的死亡年數(shù)了嗎？

問題2：如果知道了碳14的含量p，怎么得到死亡年數(shù)t？現(xiàn)有的模型能否用來解決這個(gè)問題？

問題3：如果現(xiàn)有模型無法使用，能否建立一個(gè)新的數(shù)學(xué)模型？

評(píng)析：引入視頻有兩個(gè)用意，一是讓學(xué)生直觀體會(huì)數(shù)學(xué)模型的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，二是讓學(xué)生了解實(shí)際考古工作中大多是通過碳14 含量來推測(cè)生物的死亡年數(shù)的。

問題4：t是關(guān)于p的函數(shù)嗎？可以怎么理解？

問題5：對(duì)于一般的p=at(a＞0,a≠1)，能否進(jìn)行推廣？

評(píng)析：學(xué)生獲得t與p的關(guān)系式后，通過質(zhì)疑其是否存在函數(shù)關(guān)系引發(fā)第二次認(rèn)知沖突。教師引導(dǎo)學(xué)生從兩個(gè)層面解釋：一是從實(shí)際意義出發(fā)，認(rèn)識(shí)到每一個(gè)碳14含量p都有唯一確定的死亡年數(shù)t與之對(duì)應(yīng)；二是基于指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，通過作圖發(fā)現(xiàn)每一個(gè)函數(shù)值p對(duì)應(yīng)著唯一確定的自變量t。學(xué)生從實(shí)際背景中獲得感性認(rèn)識(shí)，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)理性理解。最后，讓學(xué)生對(duì)一般的指數(shù)函數(shù)進(jìn)行推廣，得到新的函數(shù)模型：t=loga p(a＞0,a≠1)。根據(jù)習(xí)慣，常常用y表示因變量，x表示自變量，從而抽象出對(duì)數(shù)函數(shù)的概念。

問題6：y=ax與y=logax有何關(guān)系？能否從對(duì)應(yīng)點(diǎn)的角度說明？

評(píng)析：因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)的概念來自同底指數(shù)函數(shù)，所以自然要關(guān)心它們之間有何聯(lián)系，這就引發(fā)了學(xué)生的第三次認(rèn)知沖突，需要進(jìn)一步抽象兩者間的關(guān)聯(lián)，而這個(gè)問題關(guān)乎后面圖像和性質(zhì)的獲得以及反函數(shù)的引入。面對(duì)擺脫實(shí)際意義的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=ax與y=logax，學(xué)生可能會(huì)在思考方向上手足無措，于是教師暗示學(xué)生從對(duì)應(yīng)點(diǎn)的角度說明：若y=ax經(jīng)過 點(diǎn)(x0,y0)，則y0=ax0，則x0=logay0，說明y=logax經(jīng)過點(diǎn)(y0,x0)；反之，若y=logax經(jīng)過點(diǎn)(x1,y1)，則y=ax經(jīng)過點(diǎn)(y1,x1)，表明它們的圖像是關(guān)于y=x對(duì)稱的。學(xué)生獲得新概念后，教師及時(shí)引導(dǎo)他們將新概念與相關(guān)概念進(jìn)行對(duì)比，以此加深學(xué)生對(duì)同底指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生對(duì)概念從單一的個(gè)體認(rèn)識(shí)上升到關(guān)聯(lián)性認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。

（二）知識(shí)生成

問題7：對(duì)于新的函數(shù)——對(duì)數(shù)函數(shù)，我們可以研究哪些內(nèi)容？如何研究？

學(xué)生自己設(shè)計(jì)探究方案，而后以2 人為一組探究對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，將結(jié)果整理在紙上，并匯報(bào)展示。

評(píng)析：學(xué)生在學(xué)習(xí)冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)后，已經(jīng)初步經(jīng)歷了一個(gè)新函數(shù)的完整研究過程，具有一定的理論基礎(chǔ)和探究能力。在教學(xué)時(shí)，教師拋出問題，讓學(xué)生全程自己探究，按照具體探究步驟逐步獲得結(jié)論，充分發(fā)揮學(xué)生的主體性。在研究策略上，學(xué)生主要提出兩種方法：類比與化歸。

1.通過類比探究對(duì)數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)讓學(xué)生積累了研究具體函數(shù)的完整經(jīng)驗(yàn)，所以一部分學(xué)生會(huì)通過類比進(jìn)行研究：①類比研究路徑。類比指數(shù)函數(shù)從特殊出發(fā)進(jìn)行探究的思路，學(xué)生會(huì)選擇特殊的對(duì)數(shù)函數(shù)進(jìn)行列表、描點(diǎn)、連線來畫圖，且一般選擇底數(shù)互為倒數(shù)的一對(duì)（幾對(duì)）函數(shù)，如y=log2x、y==log3x、y=進(jìn)行探究。②類比研究方法。類比由y=2x圖像得到圖像的方法，學(xué)生在得到y(tǒng)=log2x的圖像后，根據(jù)y==-log2x，發(fā)現(xiàn)兩者圖像關(guān)于x軸對(duì)稱，故可以通過對(duì)稱性直接獲得的圖像。讓學(xué)生體會(huì)到圖像變換也是作圖的一種重要手段。③類比研究內(nèi)容。在畫出對(duì)數(shù)函數(shù)圖像后，學(xué)生類比指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，確定研究內(nèi)容：對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等。

2.通過化歸探究對(duì)數(shù)函數(shù)

一部分學(xué)生受到問題6 的啟發(fā)，利用同底指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系，直接作具體的指數(shù)函數(shù)關(guān)于y=x對(duì)稱的圖像，得到相應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)圖像再觀察獲得性質(zhì)。其實(shí)，圖像變換是蘊(yùn)含化歸思想的一種重要手段，它本質(zhì)上是通過邏輯推理間接獲得新的圖像。一些能力較強(qiáng)的學(xué)生，甚至可以不用畫出具體的圖像就能通過邏輯推理直接說出對(duì)數(shù)函數(shù)可能具有的特征。對(duì)于這樣的“跳躍”，教師應(yīng)給予支持與鼓勵(lì)。

學(xué)生在自主探究后，得到a＞1 與0 ＜a＜1 時(shí)的兩類圖像及其性質(zhì)，教師可利用幾何畫板的拖動(dòng)功能來改變a值并觀察圖像的變化，進(jìn)一步驗(yàn)證圖像間的共同點(diǎn)與不同點(diǎn)，加深學(xué)生從特殊到一般的體會(huì)，使他們更深刻地認(rèn)識(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)。

（三）知識(shí)升華

問題8：我們利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像得到了有關(guān)性質(zhì)，這些性質(zhì)一定正確嗎？是否可以進(jìn)一步驗(yàn)證？

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是學(xué)生通過觀察、歸納得到的，可以從函數(shù)本身進(jìn)行解釋。如為什么圖像過定點(diǎn)（1，0）？因?yàn)閘oga1=0；為什么y=logax在a＞1時(shí)是單調(diào)遞增函數(shù)？可以根據(jù)單調(diào)性定義進(jìn)行簡要說明。將由“形”得到的結(jié)論進(jìn)一步通過“數(shù)”來驗(yàn)證，這雖然不是教學(xué)的重點(diǎn)，但有利于學(xué)生形成規(guī)范化思考的理性思維品質(zhì)，因而在教學(xué)中需要有所呈現(xiàn)。

問題9：我們分別畫出了y=log2x、y=y=log3x、y=的圖像，并總結(jié)了y=logax的圖像及性質(zhì)，我們還能從這些圖像中發(fā)現(xiàn)什么變化規(guī)律嗎？

問題10：能否從不同角度驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn)？

設(shè)計(jì)意圖：將四個(gè)特殊的對(duì)數(shù)函數(shù)圖像放在同一個(gè)坐標(biāo)系里，學(xué)生能直觀感受到圖像變化與a之間的聯(lián)系，讓學(xué)生充分表達(dá)，教師進(jìn)行修正與完善。驗(yàn)證過程則可從兩個(gè)角度解釋：一是根據(jù)幾何畫板的直觀演示；二是作出直線y=1，其與圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為底數(shù)，從數(shù)的角度看出a與圖像的對(duì)應(yīng)關(guān)系。學(xué)生在觀察中提出猜想，在驗(yàn)證中升華理解。

六、教學(xué)思考

（一）教材為根，整體把握教學(xué)內(nèi)容

基于大單元設(shè)計(jì)的視角，“對(duì)數(shù)函數(shù)”部分是在冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)概念及其運(yùn)算的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)的。事實(shí)上，在等式z=xy中，若將y視為常數(shù)，x視為自變量，z視為因變量，就得到冪函數(shù)；將x視為常數(shù)，y視為自變量，z視為因變量，則得到指數(shù)函數(shù)；而將x視為常數(shù)，z視為自變量，y視為因變量，則得到對(duì)數(shù)函數(shù)。此外，指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算是對(duì)數(shù)函數(shù)概念獲得的基礎(chǔ)，而指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)的研究方法可遷移到對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)的研究，對(duì)數(shù)函數(shù)的研究又為反函數(shù)的引入打下基礎(chǔ)。這表明本節(jié)內(nèi)容的重要地位，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)與方法間的關(guān)聯(lián)性和系統(tǒng)性。

（二）學(xué)生為本，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

在“知識(shí)引入”環(huán)節(jié)，從熟悉的碳14 衰減的函數(shù)模型出發(fā)，讓學(xué)生在認(rèn)知沖突中體會(huì)演繹推理與歸納推理的過程。情境中，t=p(0 ＜p≤1)是第一次抽象，一般的對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(x＞0,a≠1)是第二次抽象，y=ax與y=logax之間的關(guān)聯(lián)是第三次抽象。每一次抽象都是對(duì)知識(shí)的逐步深化，學(xué)生在質(zhì)疑、探索、檢驗(yàn)、反思中不斷積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。在“知識(shí)生成”環(huán)節(jié)，基于知識(shí)的特點(diǎn)，通過合作、探究、交流的方式，讓學(xué)生展現(xiàn)自我，充分暴露思維過程，課堂不再是單向性的師生問答模式，而是變?yōu)樘骄颗c展示的交流場(chǎng)所。

（三）素養(yǎng)為標(biāo)，形成能力

落實(shí)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，其育人價(jià)值體現(xiàn)在當(dāng)學(xué)生遇到新問題時(shí)，能夠利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法與思維解決問題。本節(jié)課在“知識(shí)引入”環(huán)節(jié)，著力發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理的能力；在“知識(shí)生成”環(huán)節(jié)，重在引導(dǎo)學(xué)生利用類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想自主探究新函數(shù)；在“知識(shí)升華”環(huán)節(jié)，主要讓學(xué)生反思探究結(jié)果的嚴(yán)密性，讓抽象的“數(shù)”與直觀的“形”互相融合，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想本質(zhì)的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)。學(xué)生在深度學(xué)習(xí)中深刻理解了知識(shí)的來龍去脈，同時(shí)獲得了研究數(shù)學(xué)對(duì)象的方法與能力，進(jìn)一步提升了學(xué)科核心素養(yǎng)。