高峰，陽光武，肖守訥，肖緋雄

(西南交通大學(xué) 牽引動力國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610031)

0 引言

在軌道交通領(lǐng)域，車輛在運(yùn)行時(shí)，會受到各種由于軌道不平順而產(chǎn)生的隨機(jī)載荷譜的影響。隨著我國鐵路大提速，軌道車輛的運(yùn)行環(huán)境越來越惡劣，輪軌之間的振動變得更加強(qiáng)烈，結(jié)構(gòu)件受到的多軸隨機(jī)振動載荷急劇增加，因此在隨機(jī)激勵下產(chǎn)生的多軸疲勞問題就越來越受到重視。

針對多軸問題，目前都是將多軸等效成單軸，再通過單軸的方法予以解決。等效過程分為兩種，一種是在時(shí)域內(nèi)進(jìn)行等效，另一種則是在頻域內(nèi)等效。時(shí)域具有表達(dá)周期性載荷方便的特點(diǎn)，但其若想完整地表達(dá)加載歷程，必須要有完整的信號數(shù)據(jù)。若設(shè)備復(fù)雜且運(yùn)行時(shí)間長，數(shù)據(jù)處理就會耗時(shí)又繁瑣。而頻域的理論就很好地避免了這個(gè)問題。在頻域內(nèi)應(yīng)用多軸疲勞準(zhǔn)則將多軸應(yīng)力功率譜或應(yīng)變功率譜等效為單軸應(yīng)力或應(yīng)變功率譜，再通過單軸疲勞理論里疲勞公式中的統(tǒng)計(jì)參數(shù)從而得到結(jié)構(gòu)件的疲勞壽命。該方法計(jì)算量小，耗時(shí)短，在工程應(yīng)用中更具有適用性。

目前針對頻域疲勞主要有3種分析方法，分別是應(yīng)力不變量法、能量法和臨界平面法[1-4]。應(yīng)力不變量法中最準(zhǔn)確的就是CRISTOFORI等提出的PbP(projection by projection)法[5]，雖然該方法全面地考慮各個(gè)應(yīng)力分量對疲勞壽命的影響，但由于該方法參數(shù)過多且難于獲得，并不太適用于實(shí)際工程問題。能量法認(rèn)為塑性功的累積最終導(dǎo)致了結(jié)構(gòu)的破壞，而臨界平面法確定了臨界損傷平面的位置且疲勞破壞面的物理意義明確，因此被廣泛認(rèn)為是解決多軸疲勞問題的有效方法。臨界平面法最重要的就是確定臨界平面，本文通過編寫損傷累積法確定臨界平面位置的相關(guān)程序，再通過等效的應(yīng)力功率譜結(jié)合Miner線性損傷累積理論和Dirlik經(jīng)驗(yàn)公式求得結(jié)構(gòu)的預(yù)期壽命[6]，并通過時(shí)域瞬態(tài)分析和對比數(shù)據(jù)，驗(yàn)證該方法的準(zhǔn)確性。

1 理論分析

1.1 基于臨界平面的應(yīng)力準(zhǔn)則

20世紀(jì)80年代末，MACHA E[7]首先在頻域內(nèi)提出了基于臨界平面法的多軸疲勞失效準(zhǔn)則。這些準(zhǔn)則在多軸隨機(jī)載荷下的一般形式可由式(1)表示。

σeq(t)={σij(t),P,C}

(1)

式中：σij(t)為應(yīng)力或應(yīng)變分量；P為定義臨界平面所需的參數(shù)；C為材料參數(shù)。

基于臨界平面上的應(yīng)力準(zhǔn)則分為以下3種，分別是基于臨界平面上的最大正應(yīng)力準(zhǔn)則、基于臨界平面上的最大剪應(yīng)力準(zhǔn)則、基于臨界平面上的最大正應(yīng)力和剪應(yīng)力準(zhǔn)則[8]。

本文采用基于臨界平面上的最大正應(yīng)力和剪應(yīng)力準(zhǔn)則，即臨界平面由最大剪應(yīng)力作用的兩個(gè)平面中一個(gè)的平均位置決定(B=1,K≠0)。則等效應(yīng)力計(jì)算公式如式(2)所示。

(2)

式中：σij(t)，(i,j=x,y,z)為應(yīng)力分量；ln、mn、nn(n=1,2,3)為應(yīng)力主軸的方向余弦；K為材料參數(shù)。

9個(gè)主應(yīng)力軸的方向余弦ln、mn、nn可由3個(gè)歐拉角來表示。歐拉角是用來確定剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動后剛體位置的3個(gè)角參量，由自轉(zhuǎn)角φ、章動角θ、進(jìn)動角ψ表示。歐拉角的定義如圖1所示。圖中Oxyz為固定的直角坐標(biāo)系，O為原點(diǎn)，Ox′y′z′為固連剛體的直角坐標(biāo)系。剛體先繞固定坐標(biāo)系中的z′軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動φ，再繞固連的x′軸即圖中的N軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動θ，最后繞z′軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動ψ。

圖1 歐拉角的定義

經(jīng)過變換，ln、mn、nn與歐拉角(θ、ψ、φ)可由式(3)表示[9]。

(3)

1.2 基于損傷累積法確定臨界平面壽命

在確定載荷的情況下，損傷累積法是通過概率密度函數(shù)計(jì)算空間中各個(gè)平面的累積損傷，累積損傷最大的平面即壽命最小的平面為臨界平面[10]。

基于臨界平面上的最大正應(yīng)力和剪應(yīng)力準(zhǔn)則，可設(shè)a1,a2,a3,a4,a5,a6，其形式如式(4)所示。

(4)

結(jié)合式(4)可將式(2)改寫成式(5)：

(5)

應(yīng)力功率譜矩陣如式(6)所示。

(6)

等效的應(yīng)力功率譜密度可由式(7)表示。

(7)

式中：Gkk(f)為應(yīng)力分量σ(t)的自功率譜密度函數(shù)；Gkl(f)為應(yīng)力分量σ(t)的互功率譜密度函數(shù)。

將得到的等效應(yīng)力功率譜通過式(8)求各階譜矩：

(8)

再通過Dirlik給出的Dirlik經(jīng)驗(yàn)公式得到式(9)應(yīng)力幅值概率密度函數(shù)p(S)：

(9)

應(yīng)力幅值S在區(qū)間(S-dSi,S+dSi)的概率P(Si)為

P(Si)=p(Si)dS

(10)

則時(shí)間T內(nèi)應(yīng)力幅值落在區(qū)間(Si-dS,Si+dS)的次數(shù)ni為

ni=VpTp(Si)dS

(11)

進(jìn)而可得在區(qū)間(Si-dS,Si+dS)內(nèi)結(jié)構(gòu)所受的損傷量為

(12)

最后根據(jù)Miner線性疲勞損傷累積理論，總損傷由式(13)表示。當(dāng)總損傷為1時(shí)結(jié)構(gòu)達(dá)到破壞，結(jié)構(gòu)的壽命T可由式(14)表示。

(13)

(14)

1.3 分析流程

通過有限元軟件隨機(jī)振動分析可得危險(xiǎn)點(diǎn)各應(yīng)力分量的功率譜，將之代入上述方法的程序中，最終求得結(jié)構(gòu)壽命。具體流程如圖2所示。

圖2 基于損傷累積法確定臨界平面流程圖

2 有限元仿真分析

2.1 有限元模型概述

模型由1個(gè)3 mm厚的6061-T4板和2個(gè)50×20×10 mm的Q235配重塊組成。其具體尺寸如圖3-圖4所示。板材彈性模量E=69 000 MPa，泊松比μ=0.33，密度ρ=2 750 kg/m3。配重塊彈性模量E=210 000 MPa，泊松比μ=0.3，密度ρ=7 800 kg/m3。S-N曲線根據(jù)EN1999-1-3中鋁合金母材71-7，其材料參數(shù)k=7,C=1.8×1019。

圖3 試件俯視圖

圖4 試件有限元模型

將板材方形部分進(jìn)行固支約束，通過模態(tài)分析得到試件的1階垂彎頻率為29.32 Hz，1階側(cè)彎為98.46 Hz，1階扭轉(zhuǎn)為126.9 Hz。

2.2 頻域隨機(jī)振動分析

在板材方型部分通過rigid單元連接大質(zhì)量點(diǎn)，對其在x、y、z3個(gè)方向上施加相同固定幅值的限帶白噪聲激勵。為驗(yàn)證功率譜幅值以及遠(yuǎn)離共振頻率的頻率區(qū)間是否對結(jié)構(gòu)損傷產(chǎn)生影響，設(shè)置以下3個(gè)工況。其中工況1的截?cái)囝l率為10～150 Hz，幅值為0.010g2Hz；工況2的截?cái)囝l率為10～150 Hz，幅值為0.008g2Hz；工況3的截?cái)囝l率為10～200 Hz，幅值為0.008g2Hz。頻域內(nèi)的激勵信號如圖5-圖7所示。

圖5 工況1加速度功率譜密度曲線

圖6 工況2加速度功率譜密度曲線

圖7 工況3加速度功率譜密度曲線

單軸累加需要分別計(jì)算結(jié)構(gòu)在各方向上受到激勵時(shí)的功率譜密度。各工況各軸向激勵下的應(yīng)力功率譜如圖8-圖10所示。

圖8 工況1各單軸激勵下應(yīng)力功率譜密度曲線

圖9 工況2各單軸激勵下應(yīng)力功率譜密度曲線

圖10 工況3各單軸激勵下應(yīng)力功率譜密度曲線

多軸同步通過臨界平面應(yīng)力準(zhǔn)則將危險(xiǎn)點(diǎn)各應(yīng)力分量的功率譜轉(zhuǎn)換成等效應(yīng)力功率譜。同時(shí)得到了臨界平面3個(gè)歐拉旋轉(zhuǎn)角(θ，ψ，φ)，分別為4.59°、48.13°及120.33°。表1為3種工況下等效應(yīng)力功率譜的各階譜矩，圖11-圖13為3種工況下的等效應(yīng)力功率譜。

表1 3種工況下各階譜矩

圖11 工況1等效應(yīng)力功率譜密度曲線

圖12 工況2等效應(yīng)力功率譜密度曲線

圖13 工況3 等效應(yīng)力功率譜密度曲線

2.3 分析結(jié)果對比

時(shí)域激勵是將白噪聲激勵通過逆傅里葉變換得到，因白噪聲頻譜對應(yīng)無限多種隨機(jī)時(shí)間序列樣本，故選取多次時(shí)間序列由瞬態(tài)分析法求平均值。表2對比了單軸線性累加法、臨界平面法和時(shí)域法得到的3種工況下模型的疲勞壽命結(jié)果。圖14給出了3種工況下模型在3種計(jì)算方法下的疲勞壽命結(jié)果對比。

表2 3種工況下模型3種方法計(jì)算的疲勞壽命結(jié)果

圖14 3種工況下模型3種方法計(jì)算的疲勞壽命結(jié)果對比

由結(jié)果對比可知，在3種工況下，時(shí)域的損傷最大，其次是臨界平面法，而單軸累積法計(jì)算的損傷比前兩種方法小很多。且幅值的變化會對結(jié)果產(chǎn)生很大的影響，遠(yuǎn)離共振頻率的頻率區(qū)間依舊會對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生一定的損傷。在工程中，一般通過時(shí)域分析得到的壽命較為準(zhǔn)確。故將時(shí)域分析得到的壽命作為標(biāo)準(zhǔn)，可知臨界平面法與時(shí)域分析得到的壽命誤差在8%以內(nèi)，比單軸累積法計(jì)算的誤差小得多。分析臨界平面法的誤差有以下兩點(diǎn)：

1)本文程序基于復(fù)化梯形公式求解的數(shù)值積分，可能存在一定的誤差；

2)本文編寫程序中旋轉(zhuǎn)歐拉角的角度步長根據(jù)文獻(xiàn)[11]選取的0.01 rad，其精度會對結(jié)果產(chǎn)生一定影響。這個(gè)旋轉(zhuǎn)的角度越小精度越高，但隨著步長縮小10倍，計(jì)算時(shí)間會增加103倍。

3 結(jié)語

軌道車輛及其設(shè)備運(yùn)行時(shí)間長，受載情況復(fù)雜，通過時(shí)域瞬態(tài)分析預(yù)測壽命并不太適用。目前，對于工程上的多軸問題，大都采用提高輸入激勵譜，分別計(jì)算三軸向損傷再線性累加，但該方法并不能反映各軸向間激勵的影響。針對上述問題，本文提出通過采用損傷累積法求臨界平面的頻域法，給出了實(shí)現(xiàn)該方法的具體流程，并與時(shí)域分析得到的壽命進(jìn)行對比，誤差遠(yuǎn)小于單軸累加法。該方法易于編程，明確了損傷平面的位置，給軌道車輛及其零部件壽命預(yù)測提供了參考。