畢守華，趙云江，婁 毅，*

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)（威海）信息科學(xué)與工程學(xué)院，山東 威海 264209；2.中國(guó)船舶集團(tuán)有限公司第七一〇研究所，湖北 宜昌 443003；3.清江創(chuàng)新中心，湖北 武漢 430076）

0 引言

作為物聯(lián)網(wǎng)向水下場(chǎng)景的延伸，水下物聯(lián)網(wǎng)（UIoT）為探索和開(kāi)發(fā)海洋的各項(xiàng)技術(shù)搭建了橋梁，支持智慧海洋的實(shí)現(xiàn)。未來(lái)UIoT的預(yù)期5層系統(tǒng)架構(gòu)包括傳感、通信、網(wǎng)絡(luò)、融合和應(yīng)用層，其中傳感層將在全球系統(tǒng)的穩(wěn)健運(yùn)行中發(fā)揮重要作用。特別地，對(duì)多個(gè)源進(jìn)行方位估計(jì)，從而推進(jìn)后續(xù)任務(wù)將是一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題，例如目標(biāo)跟蹤、水下監(jiān)測(cè)和無(wú)線通信。

由于精確定位的需要，大規(guī)模傳感器陣列正在成為主流，但受到了嚴(yán)格的部署條件限制。相比之下，聲矢量傳感器（AVSs）被視為更靈活的解決方案。這種傳感系統(tǒng)由正交取向的速度傳感器和全向壓力接收器[1]組成，與傳統(tǒng)壓力測(cè)量相比，可選的速度傳感器可以捕獲額外的粒子速度信息。由于需要對(duì)聲場(chǎng)信息做更詳細(xì)的采集，所以AVSs滿足智慧海洋的需求?？紤]到矢量傳感器的多分量輸出，人們提出了不同的建模方法來(lái)利用陣列數(shù)據(jù)的固有多維結(jié)構(gòu)，包括長(zhǎng)矢量（LV）[1]、四元數(shù)[2]、雙四元數(shù)[3]和張量模型[4]等。然而，隨著通道和傳感維數(shù)的增加，存儲(chǔ)和處理大量收集的數(shù)據(jù)將導(dǎo)致計(jì)算高負(fù)荷，這違背了提高能效的目的，縮短了電池供電設(shè)備的壽命，同時(shí)對(duì)觀測(cè)信號(hào)的實(shí)時(shí)處理提出了更高的要求。在已建立的方法中，LV和張量模型的缺點(diǎn)是由估計(jì)和分解二階統(tǒng)計(jì)量引起的高復(fù)雜性。四元數(shù)模型減輕了計(jì)算負(fù)擔(dān)，但通常用于對(duì)兩分量矢量傳感器建模，因此難以處理常用的三分量或四分量矢量水下傳感器。為此，提出了雙四元數(shù)模型，但是犧牲了估計(jì)精度。因此，能夠消耗較少能量并提供效果優(yōu)良的、計(jì)算高效的方位估計(jì)算法是智慧海洋的一個(gè)有前途的選擇。

基于上述原因，我們提出了一種新的酉四元數(shù)（UQ）模型，將傳統(tǒng)的基于兩分量復(fù)值數(shù)據(jù)的四元數(shù)形式擴(kuò)展到了四分量情況。具體來(lái)說(shuō)，通過(guò)酉變換矩陣，我們將AVSs不同組件記錄的復(fù)信號(hào)轉(zhuǎn)換為實(shí)值數(shù)據(jù)。隨后，基于四元數(shù)定義的表達(dá)式和數(shù)組數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)之間的相似性，在邏輯上形成 UQ模型。我們討論了UQ模型的物理含義，表明這個(gè)模型是接收信號(hào)的一種非常直觀的表達(dá)。此外，我們研究了相應(yīng)的二階統(tǒng)計(jì)量的估計(jì)和分解。由于UTM 的引入，它們的計(jì)算可以以優(yōu)異的計(jì)算復(fù)雜性在實(shí)數(shù)域中完成。最后，我們分析了UQ模型在未來(lái)智慧海洋中的潛在優(yōu)勢(shì)。

在本文中，實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)和四元數(shù)的字段表示為R、C和H，粗體小寫(xiě)和大寫(xiě)字體表示向量和矩陣，上標(biāo)（·）T、（·）*和（·）H分別表示轉(zhuǎn)置、共軛和共軛轉(zhuǎn)置。

1 系統(tǒng)模型

1.1 酉四元數(shù)公式

假設(shè)K個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶獨(dú)立信號(hào)的方位角為θ=[θ1,...,θK]?[-π,π)，俯仰角（分別從正x軸和正z軸測(cè)量）為φ=[φ1,...,φK]?[0,π)。規(guī)定

作為沿著傳播方向｛θk,φk｝的單位向量，其中u（θk,φk）=cosθksinφk,v（θk,φk）=sinθksinφk,ω（φk）=cosφk。那么，第k個(gè)信號(hào)的空間上同心的AVS的4×1流形向量給定為

當(dāng)3個(gè)粒子速度分量沿x、y和z軸對(duì)齊時(shí)，壓力分量位于原點(diǎn)。在后文中，相關(guān)的術(shù)語(yǔ)將用下標(biāo)（·）l,l=x,y,z,p表示，為了表示方便，將使用下標(biāo)（·）k代替(θk,φk)。式（2）揭示了AVS可以獲取k(θk,φk)的3個(gè)笛卡爾分量，從而優(yōu)于僅進(jìn)行壓力測(cè)量的標(biāo)量對(duì)應(yīng)項(xiàng)。

考慮一個(gè)采用中心對(duì)稱配置[5]部署的N元素AVS陣列，令al,k?CN×1,l=p,x,y,z為第k個(gè)信號(hào)的不同分量的導(dǎo)向矢量，k=1,2,...,K，他們應(yīng)滿足[1]：

然后，相應(yīng)的陣列輸出可以建模為

當(dāng)M個(gè)快照可用時(shí)，我們有測(cè)量值Xl=[xl(t1),xl(t2),...,xl(tM)]，其中xl(tm),m=1,2,...,M是在時(shí)間t=tm接收的樣本。此時(shí)｛Xl,l=p,x,y,z｝可以表示為

式中：S=[s(t1),s(t2),...,s(tM)]是采樣信號(hào)；Nl=[nl(t1),nl(t2),...,nl(tM)]也是采樣信號(hào)。

受文獻(xiàn)[9]的啟發(fā)，我們引入了以下數(shù)據(jù)矩陣：

其矩陣形式為中心埃爾米特矩陣。因此，根據(jù)酉變換理論可知，可以利用下式變換成實(shí)數(shù)值形式：

式中，QN,Q2M為酉變換矩陣。式（7）可以進(jìn)一步表示為

式中，通過(guò)x、y和z軸定向速度分量排列接收的數(shù)據(jù)被安排在如上所述的的3個(gè)虛部中。四元數(shù)單位i，j和k之間的關(guān)系類似于與AVSs相關(guān)聯(lián)的標(biāo)準(zhǔn)正交基之間的矢量積關(guān)系。因此，UQ模型符合四元數(shù)代數(shù)結(jié)構(gòu)，其構(gòu)造是自然的，并推廣了文獻(xiàn)[2]中的傳統(tǒng)四元數(shù)形式。

1.2 四元數(shù)空間中的正交性

與酉 LV（ULV）模型[7]相比，我們遵循文獻(xiàn)[2]中的分析方法，展示了所提出的UQ模型在正交性方面的優(yōu)勢(shì)。這將有助于人們通常需要執(zhí)行特征分解以獲得相互正交的子空間方法[6]。

一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于 2個(gè)四元數(shù)向量q，p，其正交性可以描述為

這產(chǎn)生以下4個(gè)等式：

然而，當(dāng)我們將q和p的所有分量連接成2個(gè)實(shí)值LVs時(shí)：

,的正交性僅推出以下等式：

比較式（15）和式（12），我們可以發(fā)現(xiàn)在四元數(shù)空間中施加了更強(qiáng)的正交約束。它有助于提高信號(hào)和噪聲子空間的估計(jì)精度，從而補(bǔ)償因減小協(xié)方差矩陣大小而導(dǎo)致的性能損失。

1.3 協(xié)方差矩陣的估計(jì)

根據(jù)AVS的中心對(duì)稱特性數(shù)組，我們有[7]

式中，Φ?CK×K是由實(shí)際應(yīng)用中的陣列幾何確定的酉對(duì)角矩陣。根據(jù)式（16），式（9）中的可更簡(jiǎn)化的表達(dá)為有了足夠的快照，不同組件接收到的數(shù)據(jù)相關(guān)性可以通過(guò)下式計(jì)算：

注意ΠM，Q2M是2個(gè)酉矩陣，我們有

式中：δl1,l2是克羅內(nèi)克δ函數(shù)；Rs,Rn是信號(hào)和噪聲協(xié)方差矩陣，可以寫(xiě)成

式中：diag[x]返回對(duì)角線元素為x的對(duì)角矩陣；是源的功率。

從表1可以看出，美國(guó)規(guī)范和歐洲規(guī)范的設(shè)計(jì)值平均是中國(guó)規(guī)范的0.754倍；說(shuō)明美國(guó)規(guī)范和歐洲規(guī)范相比較中國(guó)規(guī)范在極限承載力取值方面更趨于保守。不同規(guī)范針對(duì)無(wú)抗剪鋼筋開(kāi)洞板柱節(jié)點(diǎn)計(jì)算結(jié)果的不同，其差異的原因主要體現(xiàn)在臨界截面周長(zhǎng)的取值方法不同。

然后，讓我們將注意力轉(zhuǎn)向式（9）中的UQ模型，其協(xié)方差矩陣可以使用四元數(shù)代數(shù)來(lái)估計(jì)：

為了簡(jiǎn)化式（23），我們利用式（3）將流形矩陣｛Al,l=p,x,y,z｝表達(dá)為

式中：U,V,W為3個(gè)對(duì)角矩陣，其對(duì)角元素分別為。將式（25）代入式（19），我們得到l1,l2=p,x,y,z的Rl1,l2=Rl2,l1。該性質(zhì)有助于簡(jiǎn)化：

這意味著，利用有限的快照，我們可以僅在實(shí)數(shù)域中計(jì)算｛Rl,l,l=p,x,y,z｝來(lái)獲得R的近似值，從而實(shí)現(xiàn)計(jì)算的低復(fù)雜度。此外，可以使用實(shí)值計(jì)算來(lái)進(jìn)行式（25）中R的分解。

注意：對(duì)應(yīng)于文獻(xiàn)[8]所提出的粒子速度場(chǎng)平滑技術(shù)，式（25）中的R可以看作是｛Rl,l,l=p,x,y,z｝的疊加。因此，UQ模型可以用來(lái)處理相干源。典型的情況是當(dāng)傳感器部署在反射邊界附近時(shí)（例如，安裝在船體上的聲吶、海底系留聲吶和浮動(dòng)聲吶陣列），直接信號(hào)和反射信號(hào)之間可能會(huì)出現(xiàn)相干[8]。在這種情況下，如仿真所示，如果不采取額外的處理，傳統(tǒng)模型（例如LV、四元數(shù)和雙四元數(shù)模型）的估計(jì)性能將會(huì)下降。

1.4 協(xié)方差矩陣的分解

考慮到式（19）和式（20），我們將式（25）重寫(xiě)為

最后，R寫(xiě)為

當(dāng)我們對(duì)R進(jìn)行實(shí)值本征分解時(shí)，結(jié)果可以表示為

當(dāng)成功檢測(cè)到源數(shù)K時(shí)，我們可以通過(guò)搜索式（30）的前K個(gè)最大值來(lái)估計(jì)入射角度｛θ,φ｝。

1.5 計(jì)算的復(fù)雜性

我們根據(jù)協(xié)方差矩陣的估計(jì)和分解來(lái)評(píng)估算法復(fù)雜度，其中基本算術(shù)運(yùn)算是實(shí)數(shù)乘法(R)。對(duì)于提出的UQ模型，這2步都可以在實(shí)數(shù)域中進(jìn)行。具體來(lái)說(shuō)，協(xié)方差矩陣可以通過(guò)式（26）來(lái)估計(jì)，其復(fù)雜度為8N2M(R)。那么，分解R大約需要O（N3）(R)。對(duì)于LV模型，通過(guò)執(zhí)行4次實(shí)數(shù)乘法來(lái)完成一次復(fù)數(shù)乘法，因此2個(gè)步驟的總復(fù)雜度大致為64N2M+4O（（4N）3）（R）。對(duì)于雙四元數(shù)模型，一次雙四元數(shù)乘法會(huì)產(chǎn)生64（R）。因此，總復(fù)雜度約為64N2M+4O（（4N）3）（R）。此外，考慮到顯示協(xié)方差矩陣的內(nèi)存需求，我們將UQ、LV和雙四元數(shù)模型要存儲(chǔ)的實(shí)數(shù)項(xiàng)分別總結(jié)為N2，32N2，8N2。

顯然，由于酉變換和四元數(shù)代數(shù)，UQ模型在計(jì)算量上具有顯著優(yōu)勢(shì)。在未來(lái)的智慧海洋中，許多傳感器將被安裝在無(wú)人駕駛車輛上，因此通常使用電池供電。在這一點(diǎn)上，計(jì)算高效的UQ模型可以減少電池消耗，同時(shí)延長(zhǎng)能量有限系統(tǒng)的壽命。

2 仿真

與 LV[1]、ULV[9]、張量[4]、四元數(shù)[2]、雙四元數(shù)模型相比，所提出的UQ模型的源定位性能在本節(jié)進(jìn)行了評(píng)估。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們假設(shè)所有信號(hào)都具有相等的功率，則信噪比定義為。

2.1 空間譜

考慮來(lái)自｛θ=60?,φ=30?｝和｛θ=60?,φ=50?｝的2個(gè)聲源。為了在二維監(jiān)控區(qū)域定位聲源，我們?cè)趚–z平面采用10單元平面AVS陣列，如圖1所示，其中SNR=7dB，M=95。從圖2（a）–圖2（e）可以看出，所開(kāi)發(fā)的基于UQ模型的算法精確地定位了具有較窄主瓣和低能量旁瓣的撞擊源。

圖1 AVS陣列配置Fig.1 AVS array configuration

圖2 二維源定位結(jié)果Fig.2 Two-dimensional DOA results

接下來(lái)，我們采用由7個(gè)AVS組成的垂直線陣列用于估計(jì)仰角。為了減少能量和時(shí)間消耗，我們將可用快照的數(shù)量設(shè)置為M=50。2個(gè)源共享相同的方位角θ=50?,SNR=5dB。考慮了水下物聯(lián)網(wǎng)中可能出現(xiàn)的2種場(chǎng)景。在圖3（a）中，我們假設(shè)位于｛φ1=30?,φ2=40?｝的2個(gè)源在統(tǒng)計(jì)上是獨(dú)立的，這會(huì)導(dǎo)致2個(gè)間隔很近的源在檢測(cè)時(shí)出現(xiàn)問(wèn)題。此時(shí)，UQ模型顯示了位于真實(shí)方向的尖銳光譜峰。

但其他方法在分辨能力方面會(huì)經(jīng)歷嚴(yán)重的性能損失。在圖3（b）中，2個(gè)相干源的仰角被調(diào)整為｛φ1=50?,φ2=90?｝。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明UQ模型在處理相干信號(hào)方面的優(yōu)越性。

2.2 估計(jì)準(zhǔn)確度

假設(shè)有位于｛φ1=50?,φ2=40?｝且具有相同方位角θ=50?的2個(gè)獨(dú)立源，我們使用基于蒙特卡洛試驗(yàn)計(jì)算的均方根誤差（RMSE）評(píng)估所測(cè)試算法的仰角估計(jì)準(zhǔn)確性。圖3給出了RMSE與信噪比的關(guān)系，其中快照數(shù)為M=100。UQ模型在低SNR中對(duì)2個(gè)到達(dá)方向產(chǎn)生最精確的估計(jì)。值得注意的是，對(duì)于具有低SNR的場(chǎng)景進(jìn)行源定位是非常困難的。在這一點(diǎn)上，UQ模型的優(yōu)越性能通過(guò)仿真得到了驗(yàn)證。

圖3 真實(shí)方位角處的頻譜切片F(xiàn)ig.3 Spectral slice on true azimuth angle

圖4 算法估計(jì)精度比較Fig.4 Comparison of algorithm estimation accuracy

3 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種基于酉變換的UQ模型，該模型具有多種優(yōu)點(diǎn)，符合智慧海洋的要求。UQ模型可以使用實(shí)值計(jì)算來(lái)估計(jì)和分解相應(yīng)的協(xié)方差矩陣，從而具有優(yōu)良的計(jì)算復(fù)雜性。在仿真實(shí)驗(yàn)中，我們的方法顯示了在空間分辨率和消相干方面的優(yōu)越性。需要指出的是，該方法在低信噪比條件下，提供了比一些已有的方法更精確的到達(dá)角估計(jì)。