吳宇平 李 磊

（新疆財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830000）

一、引言

隨著互聯(lián)網(wǎng)和大數(shù)據(jù)技術(shù)的高速發(fā)展，數(shù)據(jù)量迅猛增長(zhǎng)，數(shù)據(jù)形式越來(lái)越多樣化。其中，稀疏數(shù)據(jù)這一特殊形式的數(shù)據(jù)成為研究者越來(lái)越關(guān)注的話題。稀疏數(shù)據(jù)絕對(duì)不是無(wú)用的數(shù)據(jù)，只是信息不完全的數(shù)據(jù)，通過(guò)適當(dāng)?shù)募夹g(shù)方法，可以從中挖掘出所需的有效信息[1]。

稀疏數(shù)據(jù)廣泛存在于各種應(yīng)用場(chǎng)景中。應(yīng)用場(chǎng)景不同，稀疏數(shù)據(jù)表現(xiàn)出的特點(diǎn)不同，適用的稀疏性處理方法也不同。根據(jù)數(shù)據(jù)表現(xiàn)出的特點(diǎn)，可將稀疏數(shù)據(jù)分為三種類型：

第一種類型的稀疏數(shù)據(jù)指由于某些原因?qū)е缕渲幸徊糠謹(jǐn)?shù)據(jù)值缺失的數(shù)據(jù)，也稱為缺失數(shù)據(jù)[2]。例如，在數(shù)據(jù)收集的過(guò)程中，采用不恰當(dāng)?shù)挠^測(cè)手段或錄入數(shù)據(jù)時(shí)發(fā)生錯(cuò)誤，導(dǎo)致在問(wèn)卷調(diào)查、醫(yī)學(xué)研究、社會(huì)經(jīng)濟(jì)研究及其他科學(xué)研究中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)數(shù)據(jù)缺失的現(xiàn)象，使信息被遺漏。Tutz 和Ramzan（2015）[3]針對(duì)高維的缺失數(shù)據(jù)，提出了基于距離的加權(quán)最近鄰插補(bǔ)法。針對(duì)缺失數(shù)據(jù)較多的情況，Silv 和Perera（2016）[4]提出了進(jìn)化KNN 插補(bǔ)法。Galan 和Lasheras 等（2017）[5]基于遺傳算法，提出適用于測(cè)試和問(wèn)卷的缺失數(shù)據(jù)處理方法。

第二種類型的稀疏數(shù)據(jù)指數(shù)據(jù)本身不存在缺失，但可利用的有效數(shù)據(jù)不足[6]。例如，在亞馬遜或YouTube的推薦系統(tǒng)中，產(chǎn)品數(shù)量非常龐大，但網(wǎng)站上較活躍的用戶群只對(duì)其中不到1%的產(chǎn)品有過(guò)消費(fèi)記錄，所以推薦系統(tǒng)可利用的消費(fèi)記錄數(shù)據(jù)非常稀少。數(shù)據(jù)的稀疏性問(wèn)題會(huì)對(duì)推薦結(jié)果的準(zhǔn)確性產(chǎn)生影響。對(duì)此，王喜智[6]提出了結(jié)合巴氏距離與雅克比距離的稀疏數(shù)據(jù)用戶相似度模型，以提高推薦質(zhì)量。在商品的最優(yōu)定價(jià)研究中，針對(duì)歷史銷售數(shù)據(jù)中可利用的有效數(shù)據(jù)點(diǎn)較少的問(wèn)題，Bauer 和Jannach（2018）[7]采用BootStrap 和核回歸相結(jié)合的稀疏性處理方法來(lái)估計(jì)一個(gè)價(jià)格點(diǎn)是否是最優(yōu)的概率。

第三種類型的稀疏數(shù)據(jù)指具有稀疏分布特性的數(shù)據(jù)，即數(shù)據(jù)的分布是稀疏的。例如，大氣腐蝕數(shù)據(jù)的分布是嚴(yán)重稀疏的，其絕大部分?jǐn)?shù)據(jù)集中在ISO 9223：1992（E）中少數(shù)等級(jí)上，數(shù)據(jù)分布嚴(yán)重不均，李志平和付冬梅等（2016）[8]針對(duì)大氣腐蝕等級(jí)數(shù)據(jù)的稀疏分布特性，提出了一種基于稀疏數(shù)據(jù)歸約的CMAC大氣腐蝕數(shù)據(jù)補(bǔ)償方法。李穩(wěn)和劉伊克等（2016）[9]針對(duì)井下微震監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的稀疏分布特征，提出將圖像處理領(lǐng)域適宜稀疏分布信號(hào)降噪處理的稀疏碼收縮方法應(yīng)用于井下微震監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)處理。時(shí)空數(shù)據(jù)的稀疏分布是當(dāng)前大數(shù)據(jù)挖掘面臨的普遍問(wèn)題，程詩(shī)奮和彭澎等（2020）[10]針對(duì)地理時(shí)空數(shù)據(jù)的稀疏分布特性，提出了時(shí)空數(shù)據(jù)重構(gòu)解決方案。

在電子商務(wù)領(lǐng)域，受季節(jié)、特殊節(jié)日、需求不確定性以及商品自身特性等多種因素的影響，收集到的易逝品在線銷售數(shù)據(jù)常常具有稀疏性，給易逝品的定價(jià)研究帶來(lái)一定困難。為了從易逝品在線銷售數(shù)據(jù)中挖掘出關(guān)于最優(yōu)價(jià)格的有效信息，為易逝品定價(jià)提供決策支持，本文圍繞易逝品在線銷售數(shù)據(jù)的稀疏性問(wèn)題展開研究，根據(jù)易逝品在線銷售數(shù)據(jù)表現(xiàn)出的稀疏性特點(diǎn)，將適宜于此類稀疏性問(wèn)題處理的BootStrap 和核回歸相結(jié)合的方法應(yīng)用于易逝品在線銷售數(shù)據(jù)處理。

二、易逝品在線銷售數(shù)據(jù)的稀疏性問(wèn)題

為展現(xiàn)易逝品在線銷售數(shù)據(jù)的稀疏性，本文選用李磊和宋建偉（2020）[11]使用的數(shù)據(jù)集中的部分?jǐn)?shù)據(jù)，并對(duì)其進(jìn)行描述性統(tǒng)計(jì)分析。該數(shù)據(jù)集是大棗、葡萄干、巴旦木3 種新疆特色農(nóng)產(chǎn)品的相關(guān)數(shù)據(jù)，主要通過(guò)Python 網(wǎng)絡(luò)爬蟲程序和人工抓取相結(jié)合的方法從淘寶和天貓平臺(tái)獲得。從2018年4月6日到2018年10月27日，每3 天收集一次數(shù)據(jù)，共69 個(gè)觀測(cè)時(shí)點(diǎn)。

本文選取規(guī)格為500g 的大棗作為研究對(duì)象。首先，選取該規(guī)格大棗的觀測(cè)時(shí)間、銷售價(jià)格和銷售量3個(gè)變量；其次，用銷售價(jià)格乘以相應(yīng)的銷售量得到銷售收入，由于數(shù)據(jù)集中各銷售量觀測(cè)值指的是近30 天的銷量，故這里計(jì)算得到的各銷售收入值也是近30 天的收入；最后，將該易逝品的銷售價(jià)格、觀測(cè)時(shí)間（即銷售價(jià)格保持不變的時(shí)長(zhǎng)）、銷售量、銷售收入4個(gè)變量對(duì)應(yīng)的共2546 條數(shù)據(jù)作為本文的數(shù)據(jù)集，該數(shù)據(jù)集中各變量的描述性統(tǒng)計(jì)見表1。

表1 數(shù)據(jù)的描述性統(tǒng)計(jì)

由表1可知，銷售價(jià)格在11.80—49.90 元之間變動(dòng)；銷售價(jià)格保持不變的時(shí)長(zhǎng)在9.00—204.00 天之間變動(dòng)，銷售價(jià)格保持不變的平均時(shí)長(zhǎng)為85.92 天，中位數(shù)為85.50 天，其平均值和中位數(shù)均接近3 個(gè)月。

圖1是各銷售價(jià)格保持不變的時(shí)長(zhǎng)的頻數(shù)分布直方圖，橫坐標(biāo)表示銷售價(jià)格保持不變的時(shí)長(zhǎng)，縱坐標(biāo)表示頻數(shù)，可以看出，各銷售價(jià)格保持不變的時(shí)長(zhǎng)長(zhǎng)短不一，最長(zhǎng)的時(shí)長(zhǎng)達(dá)到了204 天。由于易逝品的價(jià)值會(huì)隨時(shí)間的增加逐漸減少，從而導(dǎo)致消費(fèi)者的購(gòu)買欲望下降，因此易逝品銷售價(jià)格的變動(dòng)相較于其他商品理應(yīng)更為頻繁，即隨著時(shí)間的增加，商家可適當(dāng)調(diào)整銷售價(jià)格，以適應(yīng)不斷變化的市場(chǎng)需求，實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化。但從表1和圖1可以看出，本文研究所選取的易逝品的在線銷售數(shù)據(jù)具有價(jià)格長(zhǎng)時(shí)間保持不變的特點(diǎn)，即價(jià)格變動(dòng)并不頻繁。若要對(duì)某商家的商品進(jìn)行動(dòng)態(tài)定價(jià)研究，可利用的價(jià)格數(shù)據(jù)點(diǎn)較少，該特點(diǎn)與第二種類型稀疏數(shù)據(jù)的特點(diǎn)一致。

圖1 銷售價(jià)格保持不變的時(shí)長(zhǎng)的頻數(shù)分布直方圖

圖2是銷售價(jià)格-平均銷售收入散點(diǎn)圖，橫坐標(biāo)表示銷售價(jià)格，縱坐標(biāo)表示平均銷售收入，銷售價(jià)格對(duì)應(yīng)的平均銷售收入指該價(jià)格保持不變的時(shí)長(zhǎng)內(nèi)，所觀測(cè)到的銷售收入的平均值。圖中水平虛線代表所有銷售價(jià)格對(duì)應(yīng)的平均銷售收入的均值，從圖中可以看出：大部分的點(diǎn)分布在虛線附近，平均銷售收入隨銷售價(jià)格變化的趨勢(shì)和規(guī)律并不明顯。表現(xiàn)銷售價(jià)格如何影響平均銷售收入的有效數(shù)據(jù)點(diǎn)較少，該特點(diǎn)與第二種類型稀疏數(shù)據(jù)的特點(diǎn)一致。

從圖2還可以看出，區(qū)間（10，20）內(nèi)有16 個(gè)價(jià)格點(diǎn)、區(qū)間（20，30）內(nèi)有18 個(gè)價(jià)格點(diǎn)、區(qū)間（30，40）內(nèi)有13 個(gè)價(jià)格點(diǎn)，而區(qū)間（40，50）內(nèi)只有3 個(gè)價(jià)格點(diǎn)。（10，20）、（20，30）、（30，40）3 個(gè)區(qū)間內(nèi)的價(jià)格點(diǎn)數(shù)量較為接近，均在10 以上，而（40，50）內(nèi)的價(jià)格點(diǎn)數(shù)量與前3 個(gè)區(qū)間相比差距較大，且區(qū)間（10，20）、（20，30）、（30，40）內(nèi)的點(diǎn)較密集，而區(qū)間（40，50）內(nèi)的點(diǎn)非常稀疏。參考李志平和付冬梅等（2016）[8]的研究，在區(qū)間大小相同的情況下，各區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)量相差大，且分布不均，稀疏密度差距大，說(shuō)明數(shù)據(jù)是稀疏分布的，故本文研究所選取的價(jià)格數(shù)據(jù)是稀疏分布的，該特點(diǎn)與第三種類型稀疏數(shù)據(jù)的特點(diǎn)一致。

圖2 銷售價(jià)格-平均銷售收入散點(diǎn)圖

三、易逝品在線銷售數(shù)據(jù)的稀疏性處理方法

針對(duì)易逝品在線銷售數(shù)據(jù)表現(xiàn)出的稀疏性特點(diǎn)，本文采用BootStrap 和核回歸相結(jié)合的方法處理易逝品在線銷售數(shù)據(jù)的稀疏性問(wèn)題。首先，運(yùn)用BootStrap方法計(jì)算各離散價(jià)格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的BootStrap 置信度；其次，運(yùn)用核回歸方法對(duì)離散價(jià)格點(diǎn)的BootStrap 置信度進(jìn)行擬合，從而得到整個(gè)定價(jià)區(qū)間上連續(xù)價(jià)格水平與其對(duì)應(yīng)的BootStrap 置信度之間的非線性函數(shù)關(guān)系。由于每個(gè)價(jià)格水平對(duì)應(yīng)的BootStrap 置信度可作為該價(jià)格水平是最優(yōu)價(jià)格的概率估計(jì)，故對(duì)易逝品在線銷售數(shù)據(jù)進(jìn)行稀疏性處理后，可初步得到定價(jià)區(qū)間內(nèi)任意價(jià)格水平是最優(yōu)價(jià)格的概率估計(jì)值。

（一）離散價(jià)格點(diǎn)的BootStrap 置信度計(jì)算

BootStrap 方法是統(tǒng)計(jì)學(xué)中一種重要的非參數(shù)估計(jì)方法，該方法在數(shù)據(jù)分析方面有著廣泛應(yīng)用。BootStrap方法的基本思想是在原始數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上進(jìn)行有放回抽樣，從而產(chǎn)生一系列樣本量相同的BootStrap 樣本，并利用這些樣本對(duì)總體進(jìn)行推斷。當(dāng)數(shù)據(jù)分布未知或樣本容量較小時(shí)，BootStrap 方法仍然是有效的。BootStrap方法的具體步驟為：假設(shè)一個(gè)數(shù)據(jù)樣本的總體分布F未知，但已知有一個(gè)來(lái)自分布F 的數(shù)據(jù)樣本D，其樣本容量為N，從該樣本中進(jìn)行有放回的抽樣，抽取后樣本容量仍為N。相繼獨(dú)立地從原始樣本中抽取多個(gè)BootStrap 樣本，然后利用這些樣本對(duì)整體進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷[12]。

假設(shè)真實(shí)觀測(cè)到的售價(jià)集合為{pn｜n=1，2，…，N}，Hn表示真實(shí)銷售價(jià)格pn保持不變的時(shí)長(zhǎng)；Rn1，Rn2，…，Rnk表示在時(shí)長(zhǎng)Hn內(nèi)，售價(jià)pn所對(duì)應(yīng)的k 個(gè)真實(shí)觀測(cè)到的日銷售收入；Rn=（Rn1+Rn2+…+Rnk）/k 表示在時(shí)長(zhǎng)Hn內(nèi)，售價(jià)pn對(duì)應(yīng)的日平均銷售收入。現(xiàn)用R%表示事先設(shè)置的閾值，根據(jù)Bauer 和Jannach（2018）[7]的研究，可使商家獲得最大利潤(rùn)的價(jià)格稱為最優(yōu)價(jià)格，若要對(duì)售價(jià)pn是最優(yōu)價(jià)格的概率進(jìn)行估計(jì)，可運(yùn)用非參數(shù)BootStrap 方法計(jì)算pn所對(duì)應(yīng)的Rn值大于或等于閾值R%的BootStrap 置信度Cn。Cn的值即為pn是最優(yōu)價(jià)格的概率估計(jì)值，可表示為：

由于BootStrap 置信度Cn描述了真實(shí)銷售價(jià)格pn是最優(yōu)價(jià)格的概率，故Cn越大，越有理由認(rèn)為pn是最優(yōu)價(jià)格。

對(duì)于閾值R%，最直接的選擇方式是由于商家在銷售的過(guò)程中，可能會(huì)采取一定的促銷手段銷售商品，從而使某一時(shí)間段內(nèi)的銷量突增，這就會(huì)導(dǎo)致該時(shí)間段內(nèi)收入的最大值偏離正常水平，從而影響閾值的大小，過(guò)高的閾值可能會(huì)導(dǎo)致Cn的估計(jì)結(jié)果為0，故可適當(dāng)降低該閾值。參考已有研究對(duì)閾值的取值方法，可將閾值R%設(shè)置為的90%分位數(shù)。

下面對(duì)BootStrap 置信度Cn的計(jì)算步驟進(jìn)行說(shuō)明，具體步驟如下：

①首先設(shè)定抽樣次數(shù)W，每次抽樣的樣本數(shù)據(jù)量為Dn，對(duì)Rn1，Rn2，…，Rnk進(jìn)行反復(fù)W 次有放回抽樣，得到W 個(gè)BootStrap 樣本，將每次抽樣后得到的BootStrap 樣本中的Dn個(gè)數(shù)據(jù)記為R'n1，R'n2，…，R'nk。

②對(duì)每一個(gè)BootStrap 樣本，計(jì)算其Dn個(gè)數(shù)據(jù)的均值，如式（2）所示：

③統(tǒng)計(jì)W 個(gè)BootStrap 樣本中均值大于或等于閾值R%的樣本數(shù)量，記為Xn，則Cn的計(jì)算公式如式（3）所示：

④對(duì){pn｜n=1，2，…，N}中的每一個(gè)銷售價(jià)格，均按照步驟①、②、③計(jì)算其對(duì)應(yīng)的BootStrap 置信度，則可得N 個(gè)BootStrap 置信度，即C1，C2，…，CN。

（二）基于核回歸的BootStrap 置信度擬合

Nadaraya 和Watson 于1964年提出了著名的Nadaraya-Watson 核估計(jì)。由于Nadaraya-Watson 核估計(jì)有且僅有一個(gè)參數(shù)，相較于其他參數(shù)較多的估計(jì)方法，該方法不易發(fā)生過(guò)擬合。

本文使用Nadaraya-Watson 核估計(jì)對(duì)上一節(jié)中的BootStrap 置信度C1，C2，…，CN進(jìn)行擬合，目的是得到連續(xù)價(jià)格水平與其對(duì)應(yīng)的BootStrap 置信度之間的非線性函數(shù)關(guān)系。對(duì)給定的核函數(shù)K，其Nadaraya-Watson核估計(jì)定義如下：

其中，p 表示解釋變量；pn表示真實(shí)觀測(cè)到的價(jià)格點(diǎn)；N 表示價(jià)格點(diǎn)的數(shù)量；Cn表示價(jià)格點(diǎn)pn所對(duì)應(yīng)的BootStrap 置信度的估計(jì)；K（·）表示已知核函數(shù)，本文選取應(yīng)用較廣的高斯核函數(shù)作為本文的核函數(shù)；h 表示根據(jù)數(shù)據(jù)所估計(jì)出的窗寬，窗寬h 可以看作是處理偏方差權(quán)衡的平滑參數(shù)。如果窗寬太小，可能導(dǎo)致數(shù)據(jù)的過(guò)擬合。反之，如果窗寬太大，可能會(huì)導(dǎo)致估計(jì)過(guò)度平均化，偏差和殘差較大，因此窗寬h 的選取尤為重要。本文的最優(yōu)窗寬選取漸進(jìn)積分均方誤差方法獲得。

四、實(shí)證分析

為驗(yàn)證上述數(shù)據(jù)稀疏性處理方法的有效性，本文將分別對(duì)模擬生成的稀疏數(shù)據(jù)和真實(shí)的稀疏數(shù)據(jù)進(jìn)行稀疏性處理和分析。

（一）稀疏數(shù)據(jù)生成方法

1.稀疏數(shù)據(jù)模擬步驟

在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行稀疏性處理前，首先根據(jù)易逝品在線銷售數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，模擬生成稀疏數(shù)據(jù)，具體步驟如下：

①假設(shè)商家在線銷售某種易逝商品，其定價(jià)區(qū)間為[a，b），在[a，b）范圍內(nèi)采樣N 個(gè)不同的數(shù)值，記為p1，p2，…，pN，其中p1＜p2＜…＜pN，這N 個(gè)數(shù)值分別代表該易逝品的N 個(gè)銷售價(jià)格。

②假設(shè)該商品的銷售價(jià)格pn保持不變的時(shí)長(zhǎng)Hn在（0，m）范圍內(nèi)變動(dòng)，在（0，m）范圍內(nèi)隨機(jī)采樣N 個(gè)不同的整數(shù)，記為H1，H2，…，HN，這N 個(gè)整數(shù)分別代表N 個(gè)銷售價(jià)格各自保持不變的天數(shù)。

③假設(shè)每個(gè)銷售價(jià)格pn（n=1，…，N）對(duì)應(yīng)的日銷售量υn服從參數(shù)為λn的泊松分布，即υn～P（λn）。參考Gallego 和Ryzin[13]的研究中關(guān)于需求的假設(shè)：需求隨著價(jià)格的升高逐漸降低，即當(dāng)p1＜p2＜…＜pN時(shí)，有λ1＞λ2＞…＞λN。假設(shè)每個(gè)銷售價(jià)格pn對(duì)應(yīng)的日銷售量均值λn在范圍（c，d）內(nèi)變動(dòng)，先在范圍（c，d）內(nèi)采樣N 個(gè)不同的數(shù)值，記為λ1，λ2，…，λN，其中λ1＞λ2＞…＞λN，然后根據(jù)N 個(gè)泊松分布υ1～P （λ1），υ2～P （λ2），…，υN～P（λN），分別模擬生成N 組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)表示每個(gè)銷售價(jià)格在其價(jià)格保持不變的時(shí)長(zhǎng)內(nèi)的若干個(gè)日銷售量值。在模擬過(guò)程中，要保證這N 組數(shù)據(jù)中各組數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)量與H1，H2，…，HN的值對(duì)應(yīng)相等。

④將步驟③中模擬生成的N 組銷售量分別與N個(gè)銷售價(jià)格對(duì)應(yīng)相乘，得到N 組銷售收入數(shù)據(jù)，每組收入數(shù)據(jù)表示每個(gè)銷售價(jià)格在其保持不變的時(shí)長(zhǎng)內(nèi)的若干個(gè)日銷售收入值。

2.參數(shù)設(shè)置

為更好模擬出具有易逝品在線銷售數(shù)據(jù)特點(diǎn)的稀疏數(shù)據(jù)集，本文將基于前文選取的真實(shí)數(shù)據(jù)集中各變量的數(shù)值，對(duì)上述模擬步驟中的各參數(shù)進(jìn)行合理設(shè)置。由前文可知，在真實(shí)數(shù)據(jù)集中，銷售價(jià)格在11.80—49.90 元之間變動(dòng)，銷售價(jià)格的總數(shù)量為50 個(gè)，銷售價(jià)格保持不變的時(shí)長(zhǎng)Hn在9—204 天之間變動(dòng)，日銷售量的均值大約為197 件。現(xiàn)參考真實(shí)數(shù)據(jù)集中的數(shù)值，對(duì)即將生成的模擬數(shù)據(jù)集中的參數(shù)進(jìn)行設(shè)置，其設(shè)置原則為：與真實(shí)數(shù)據(jù)集有一定差異，但不能完全脫離實(shí)際。由于數(shù)據(jù)模擬過(guò)程中可能會(huì)受到隨機(jī)因素的干擾導(dǎo)致達(dá)不到較為理想的效果，為增加數(shù)據(jù)稀疏性處理結(jié)果的可信度，本文將通過(guò)不同的參數(shù)設(shè)置及價(jià)格采樣方式生成兩個(gè)有一定差異的模擬數(shù)據(jù)集，使第一個(gè)模擬數(shù)據(jù)集（模擬數(shù)據(jù)集1）具有第二類稀疏數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，即銷售價(jià)格如何影響平均銷售收入的有效數(shù)據(jù)點(diǎn)較少，而第二個(gè)模擬數(shù)據(jù)集（模擬數(shù)據(jù)集2）具有第三類稀疏數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，即價(jià)格數(shù)據(jù)點(diǎn)是稀疏分布的。

假設(shè)商家在線銷售的某種易逝品的定價(jià)區(qū)間為[50，100），商家將各售價(jià)保持不變的時(shí)長(zhǎng)Hn控制在（0，100）范圍內(nèi)，故設(shè)置a=50，b=100，m=100。對(duì)模擬數(shù)據(jù)集1，借鑒王芷陽(yáng)[14]在研究中使用的數(shù)據(jù)采樣方式，在[50，100）上均勻采樣30 個(gè)不同的數(shù)值pi（i=1，2，…，30），并假設(shè)模擬數(shù)據(jù)集1 中日銷售量均值λn在（100，200）內(nèi)變動(dòng)，故參數(shù)設(shè)置為：N=30，c=100，d=200。對(duì)模擬數(shù)據(jù)集2，借鑒周啟堃[15]在模擬稀疏分布的數(shù)據(jù)時(shí)的采樣方法，在[50，100）上抽取50 個(gè)不同的數(shù)值pi（i=1，2，…，50），其中區(qū)間（50，60）、（60，70）、（80，90）和（90，100）各有5 個(gè)樣本數(shù)據(jù)，而區(qū)間（70，80）內(nèi)有30 個(gè)樣本數(shù)據(jù)，并假設(shè)模擬數(shù)據(jù)集2 中日銷售量均值λn在（150，250）范圍內(nèi)變動(dòng)，故參數(shù)設(shè)置為：N=50，c=150，d=250。

3.稀疏數(shù)據(jù)生成效果展示及分析

為檢驗(yàn)使用上述方法生成的兩個(gè)模擬數(shù)據(jù)集是否具有各自不同的稀疏性特點(diǎn)，下面對(duì)模擬數(shù)據(jù)集1和模擬數(shù)據(jù)集2 的生成效果進(jìn)行展示與分析。

圖3是模擬數(shù)據(jù)集1 中各銷售價(jià)格保持不變的時(shí)長(zhǎng)Hn的分布直方圖，Hn的均值為51.9 天。從圖3可以看出，各價(jià)格保持不變的時(shí)長(zhǎng)Hn的取值分布在0—100 天內(nèi)，大部分價(jià)格保持不變的時(shí)長(zhǎng)均超過(guò)一個(gè)月。由此可見，模擬數(shù)據(jù)較好地模擬出了易逝品售價(jià)長(zhǎng)時(shí)間保持不變的特點(diǎn)。

圖3 銷售價(jià)格保持不變的時(shí)長(zhǎng)的分布直方圖（模擬數(shù)據(jù)集1 ）

圖4是根據(jù)模擬數(shù)據(jù)集1 中各銷售價(jià)格及其對(duì)應(yīng)的平均銷售收入繪制的散點(diǎn)圖，這里的平均銷售收入指某銷售價(jià)格在其保持不變的時(shí)長(zhǎng)內(nèi)的日銷售收入平均值。圖中水平虛線代表所有銷售價(jià)格對(duì)應(yīng)的平均銷售收入的均值。從圖4可以明顯看出，絕大部分的點(diǎn)較為均勻地分布在虛線上下400 元范圍內(nèi)，平均銷售收入的波動(dòng)范圍較小，且數(shù)據(jù)點(diǎn)整體沒(méi)有明顯上升或下降的趨勢(shì)，只有個(gè)別數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的平均銷售收入波動(dòng)較大，無(wú)法得出銷售價(jià)格與平均銷售收入之間的關(guān)系，表現(xiàn)銷售價(jià)格如何影響銷售收入的有效數(shù)據(jù)點(diǎn)很少。由此可見，模擬數(shù)據(jù)集1 較好地模擬出了第二類稀疏數(shù)據(jù)的特點(diǎn)。

圖4 銷售價(jià)格-平均銷售收入散點(diǎn)圖（模擬數(shù)據(jù)集1 ）

圖5是根據(jù)數(shù)據(jù)集2 中各銷售價(jià)格及其對(duì)應(yīng)的平均銷售收入繪制的散點(diǎn)圖，這里的平均銷售收入指某銷售價(jià)格在其保持不變的時(shí)長(zhǎng)內(nèi)的日銷售收入平均值。圖中水平虛線代表所有銷售價(jià)格對(duì)應(yīng)的平均銷售收入的均值。從圖5可以明顯看出，銷售價(jià)格區(qū)間（50，60）、（60，70）、（80，90）和（90，100）內(nèi)各有5 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，而（70，80）內(nèi)有30 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，數(shù)據(jù)點(diǎn)分布嚴(yán)重不均。銷售價(jià)格區(qū)間（70，80）內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)明顯較密集，而其他區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)非常稀疏，數(shù)據(jù)點(diǎn)分布差距大，價(jià)格數(shù)據(jù)是稀疏分布的。由此可見，模擬數(shù)據(jù)集2較好地模擬出了第三類稀疏數(shù)據(jù)的特點(diǎn)。

圖5 銷售價(jià)格-平均銷售收入散點(diǎn)圖（模擬數(shù)據(jù)集2 ）

（二）數(shù)據(jù)稀疏性處理及分析

本文將運(yùn)用前文所述的數(shù)據(jù)稀疏性處理方法對(duì)模擬數(shù)據(jù)集1、模擬數(shù)據(jù)集2 以及真實(shí)銷售數(shù)據(jù)集進(jìn)行處理和分析，其中BootStrap 抽樣次數(shù)W 設(shè)置為W=1000。

1.模擬數(shù)據(jù)集的稀疏性處理結(jié)果

圖6是對(duì)模擬數(shù)據(jù)集1 進(jìn)行稀疏性處理后的結(jié)果，其中，核回歸的窗寬是根據(jù)漸進(jìn)積分均方誤差方法計(jì)算得到的最優(yōu)窗寬，即h=8.57。從圖6可以看出，經(jīng)過(guò)稀疏性處理后，銷售價(jià)格與其對(duì)應(yīng)的BootStrap 置信度之間呈現(xiàn)出非線性關(guān)系，隨著銷售價(jià)格水平的升高，其對(duì)應(yīng)的BootStrap 置信度先增大后減小。

圖6 銷售價(jià)格-BootStrap 置信度擬合圖（模擬數(shù)據(jù)集1 ）

圖7是對(duì)模擬數(shù)據(jù)集2 進(jìn)行稀疏性處理的結(jié)果，其窗寬是根據(jù)漸進(jìn)積分均方誤差方法計(jì)算得到的最優(yōu)窗寬，即h=2.52。從圖7可以看出，經(jīng)過(guò)稀疏性處理后，銷售價(jià)格與其對(duì)應(yīng)的BootStrap 置信度之間呈現(xiàn)出非線性關(guān)系。當(dāng)銷售價(jià)格大約處于58—68 元之間和80—90 元之間時(shí)，隨著銷售價(jià)格水平的升高，其對(duì)應(yīng)的BootStrap 置信度逐漸增大；當(dāng)銷售價(jià)格大約處于68—80 元之間、90—100 元之間時(shí)，隨著銷售價(jià)格水平的升高，其對(duì)應(yīng)的BootStrap 置信度逐漸減小。

圖7 銷售價(jià)格-BootStrap 置信度擬合圖（模擬數(shù)據(jù)集2 ）

2.真實(shí)銷售數(shù)據(jù)集的稀疏性處理結(jié)果

圖8是對(duì)前文描述的真實(shí)銷售數(shù)據(jù)集進(jìn)行稀疏性處理后得到的結(jié)果，其核回歸函數(shù)的窗寬是根據(jù)漸進(jìn)積分均方誤差方法獲得的最優(yōu)窗寬，即h=5.15。從圖8可以看出，隨著價(jià)格水平的升高，其對(duì)應(yīng)的BootStrap置信度先逐漸增大后逐漸減小，通過(guò)核回歸曲線可以清晰地看到價(jià)格水平與其對(duì)應(yīng)的BootStrap 置信度之間的非線性關(guān)系。

圖8 銷售價(jià)格-BootStrap 置信度擬合圖（真實(shí)數(shù)據(jù)集）

隨著價(jià)格水平的升高，其對(duì)應(yīng)的BootStrap 置信度先增大后減小的原因可能為：大部分消費(fèi)者所能接受的最高售價(jià)大約為23 元，當(dāng)商品的售價(jià)超出23 元時(shí)，消費(fèi)者通常不會(huì)購(gòu)買商品，導(dǎo)致商品在售價(jià)達(dá)到23 元以后，銷售量急劇下降，銷售收入隨之下降。BootStrap置信度是基于對(duì)銷售收入觀測(cè)值反復(fù)抽樣作出的估計(jì)，故BootStrap 置信度隨價(jià)格水平變化的規(guī)律與銷售收入隨價(jià)格水平變化的規(guī)律具有一定的相似性。

五、結(jié)論

實(shí)際銷售過(guò)程中，商家的銷售收入是實(shí)時(shí)產(chǎn)生和變化的，因此具有較大的不確定性。本文對(duì)易逝品銷售數(shù)據(jù)的稀疏性處理中，運(yùn)用BootStrap 方法估計(jì)每個(gè)價(jià)格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的BootStrap 置信度，相當(dāng)于利用概率思維量化了這種不確定性，之后又運(yùn)用Nadaraya-Watson核回歸擬合各離散價(jià)格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的BootStrap 置信度，Nadaraya-Watson 核回歸不僅能夠平滑相鄰點(diǎn)之間較大的波動(dòng)。增加結(jié)果的可靠性，還將真實(shí)數(shù)據(jù)集中沒(méi)有但又處于定價(jià)區(qū)間內(nèi)的價(jià)格點(diǎn)的BootStrap 置信度都作出了估計(jì)，不遺漏定價(jià)區(qū)間內(nèi)的任何一個(gè)價(jià)格。通過(guò)核回歸擬合結(jié)果不僅可以清晰地看到價(jià)格水平與其對(duì)應(yīng)的BootStrap 置信度之間的非線性函數(shù)關(guān)系，還可以看出整個(gè)定價(jià)區(qū)間中價(jià)格的優(yōu)劣，從而為商家制定定價(jià)策略提供一定的決策依據(jù)，也為后續(xù)的定價(jià)研究奠定了基礎(chǔ)?！?/p>