劉 釗

(長沙師范學(xué)院 馬克思主義學(xué)院， 湖南 長沙 413100)

一、引言

西方學(xué)術(shù)傳統(tǒng)一直重視數(shù)學(xué)學(xué)科。一般認(rèn)為，近代科學(xué)兩個(gè)重要的特征是自然的數(shù)學(xué)化和實(shí)驗(yàn)方法的使用，兩者之中，自然的數(shù)學(xué)化顯得尤為重要。這種傳統(tǒng)和方法源自古希臘，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派十分重視數(shù)的作用，把數(shù)看做世界的本原。希臘化時(shí)代，亞歷山大里亞學(xué)派的歐幾里得創(chuàng)立平面幾何，托勒密和阿基米德則完成了早期自然數(shù)學(xué)化的工作[1]。中世紀(jì)早期，波埃修斯(Boethius, 480—524)就提倡數(shù)學(xué)的重要性，卡西奧多拉斯(Cassiodoriu, 490—585)首倡“四藝”(Quadrivium)，其中就有幾何和算術(shù)，這也成為中世紀(jì)大學(xué)課程中重要的“自由七藝”(Septem Artes Liberales)內(nèi)容。在這樣的歷史傳承和時(shí)代背景下，中世紀(jì)盛期經(jīng)院哲學(xué)內(nèi)部出現(xiàn)了一些學(xué)者，他們開始逐漸發(fā)現(xiàn)并強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的重要性，羅吉爾·培根就是這股思潮在13世紀(jì)的代表。

羅吉爾·培根(Roger Bacon，1214—1292)是13世紀(jì)英國杰出的學(xué)者，他曾就讀并任教于牛津大學(xué)，是圣方濟(jì)各會修士，其最重要的學(xué)術(shù)成就之一是《大著作》(Opus Majus)。在經(jīng)院哲學(xué)盛行的年代，培根特別關(guān)注和傳統(tǒng)經(jīng)院哲學(xué)不盡一致的學(xué)科領(lǐng)域，尤其強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的重要性?！洞笾鳌返谒牟糠謽?biāo)題就是《數(shù)學(xué)》(Mathematicae)，培根在其中全面論述了他的數(shù)學(xué)觀。從中可以發(fā)現(xiàn)，培根在13世紀(jì)的觀點(diǎn)似乎預(yù)示了四百年后近代科學(xué)發(fā)展的方向，培根成為了走在時(shí)代前列的人。

二、傳統(tǒng)與權(quán)威：培根數(shù)學(xué)知識的來源

培根數(shù)學(xué)知識的主要來源是前輩學(xué)者的著作。培根通曉許多經(jīng)典的數(shù)學(xué)著作或和數(shù)學(xué)相關(guān)的著作，這都體現(xiàn)在培根的論著中。

(一)受西方數(shù)學(xué)先賢影響

從古希臘到中世紀(jì)早期的諸多西方學(xué)者首先影響了培根的數(shù)學(xué)思想。培根引用柏拉圖的《蒂邁歐篇》，這其中有很多數(shù)學(xué)與天文學(xué)的論述。培根幾乎引用了亞里士多德的所有著作，精通歐幾里得的《幾何原本》(Elements)和《光學(xué)》(Optics)，十分熟悉托勒密的《天文學(xué)大成》(Almagest)和《光學(xué)》(Optica)，讀過狄奧多西(Theodosius of Bithynia，前160—前100)的《論天球》(Sphaerics),并且?guī)缀踔老Ｅ量?Hipparchus，前190—前120)、阿波羅·尼奧斯(Apollonlus，前262—前190)和阿基米德的所有著作。他也通過二手材料了解了尼科馬霍斯(Nicomachus of Gerase，60—120)的著作。羅馬之后的拉丁學(xué)者為培根常常提及的是波埃修斯，以及那些后期著作家如伊西多爾(Isidore of Seville，560—636)、卡西奧多拉斯、比德(Bede，673—735)和約翰努斯·內(nèi)莫拉里莫斯(Jordanus Nemorarius)，他們均活躍于13世紀(jì)[2]160。

(二)熟悉東方數(shù)學(xué)眾杰

培根同時(shí)也熟悉東方諸多學(xué)者尤其是阿拉伯學(xué)者，這其中他主要關(guān)注天文學(xué)和光學(xué)等方面較有成就的人。有些學(xué)者的光學(xué)研究需要用到數(shù)學(xué)(幾何)知識，因此也被培根看作數(shù)學(xué)家。影響培根的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)學(xué)者包括伊本·哈塔姆(Ibnel-Haitam)、阿維森那(Avicenna)、阿爾金地(Al-Kindi)、泰比特·伊本·科拉(Tabit Ibn Qorra)、阿爾·法格尼(Al-Fargani)、阿爾巴塔尼(Al-Battani，858—929)。[2]161這其中對培根影響最大的是伊本·阿爾哈曾(Ibn Al-Haytham)，他的主要成就在于透視學(xué)，其影響一直持續(xù)到17世紀(jì)。阿爾法拉比(Al-Farabi，872—950)的《論科學(xué)》(De Scientiis)和《知識的興起》(De Ortu Scientuarum)也為培根所提及[3]。需要指出的是，在代數(shù)方面，培根知道一些學(xué)者的名字，卻沒有在他的著作里提到任何代數(shù)學(xué)的著作和具體知識。另外，培根的著作中沒有提到中世紀(jì)伊斯蘭世界最著名的數(shù)學(xué)家歐瑪爾·海亞姆(Omar Khayyam，1048—1122)，這也說明培根并不算是一個(gè)專業(yè)的數(shù)學(xué)家。

三、鑰匙、確定性與天賦論：培根的數(shù)學(xué)觀

在《大著作》中，培根對數(shù)學(xué)的論述有三個(gè)特點(diǎn)。第一個(gè)特點(diǎn)是篇幅長，內(nèi)容多。在《大著作》第四部分，培根以洋洋灑灑三百多頁的內(nèi)容討論了數(shù)學(xué)這個(gè)主題，這遠(yuǎn)超同時(shí)代的非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)者，同時(shí)這部分內(nèi)容在培根《大著作》中所占的篇幅也是最長的。第二個(gè)特點(diǎn)是“筆端常帶感情”，但又不失理智。仔細(xì)閱讀《大著作》文本就會發(fā)現(xiàn)，培根對于數(shù)學(xué)的討論語句，充滿了對數(shù)學(xué)的贊美和頌詞，而其他學(xué)者所表現(xiàn)出來的往往是冷靜哲學(xué)風(fēng)格的分析。培根的作品不是分門別類條目式的數(shù)學(xué)論文，而是從心底的吶喊，是對教皇的宣傳和演說。他想積極說服教皇，只有數(shù)學(xué)才是拯救基督教之良方。這并不是說培根的作品里面缺乏深刻的分析和哲理，而是其字里行間透露出的熱忱將冷靜的深刻思考掩蓋住了，如果剝離掉文本之中的感情，仍舊可以發(fā)現(xiàn)熱情之下冷靜的理智[4]。第三個(gè)特點(diǎn)是培根以數(shù)學(xué)在整體學(xué)科中的地位來看待數(shù)學(xué)。培根所關(guān)注的不是數(shù)學(xué)本身，而是數(shù)學(xué)在整個(gè)學(xué)科分類和學(xué)習(xí)中的地位和次序。培根是一個(gè)百科全書式的學(xué)者，他是從所有學(xué)科的整體性這個(gè)高度出發(fā)來看待數(shù)學(xué)，尤其關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科教育的過程。

(一)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性

1.數(shù)學(xué)是知識的“大門”與“鑰匙”

培根在《大著作》中《數(shù)學(xué)》部分的開篇即開宗明義，就數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)地位來論述其重要性。培根認(rèn)為：“我們?nèi)绻麤]有四大科學(xué)是無法掌握其他科學(xué)知識的……，這些科學(xué)的大門與鑰匙是數(shù)學(xué)，……忽視數(shù)學(xué)的人無法知道其他科學(xué)或這個(gè)世界上的其他事物?！盵5]116

培根的這段話預(yù)示著數(shù)學(xué)知識在科學(xué)研究中的重大作用。當(dāng)時(shí)科學(xué)的發(fā)展還不能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)是科學(xué)方法的特征之一。但是培根以他所處時(shí)代的知識論證了數(shù)學(xué)的重要性，其表現(xiàn)就是培根對中世紀(jì)的“透視學(xué)”(Perspective，Perspectiva)有非常精深的研究，他在透視學(xué)中頻繁使用了幾何方法。大衛(wèi)·C.林德伯格認(rèn)為，培根的透視學(xué)理論緊密結(jié)合了幾何學(xué)知識，比較多地運(yùn)用了數(shù)學(xué)尤其是幾何方法，可稱為“幾何透視學(xué)”[6]。

2.數(shù)學(xué)是所有學(xué)科的基礎(chǔ)

培根在強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)重要性時(shí)借助了很多權(quán)威的理論。培根認(rèn)同并引用波埃修斯(Boethius)在《算術(shù)》(Arithmetic)中的話：“如一個(gè)研究者不懂?dāng)?shù)學(xué)將不能認(rèn)識真理。無論誰忽視這個(gè)方法，他將失去所有知識。除非他掌握‘四藝’，否則將不能到達(dá)哲學(xué)的高度?！盵5]117在這一點(diǎn)上，培根認(rèn)為亞里士多德是一個(gè)很好的例證。亞里士多德在《形而上學(xué)》第六卷中說到：“在三種哲學(xué)的基礎(chǔ)——數(shù)學(xué)、自然科學(xué)和神學(xué)中，數(shù)學(xué)更為基礎(chǔ)，并對掌握其他兩種有幫助?！辈浑y發(fā)現(xiàn)，培根認(rèn)為權(quán)威都將數(shù)學(xué)看作是對其他知識有益的學(xué)問，并借助權(quán)威的觀點(diǎn)來論證數(shù)學(xué)的重要性。

(二)數(shù)學(xué)的唯一確定性

1.數(shù)學(xué)本身的唯一確定性

培根同時(shí)還強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)的唯一確定性是數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)之一。他的論述極為精彩與透徹：“數(shù)學(xué)能使我們排除錯(cuò)誤、追求真理，獲得一個(gè)毫無疑點(diǎn)的確定性。數(shù)學(xué)有嚴(yán)密的邏輯推論與證明，通過作圖與計(jì)算，我們所能認(rèn)知的一切都是明確的，因此我們對數(shù)學(xué)知識沒有不確定的懷疑。其他學(xué)科則不然?！盵5]124

由此可以看出，培根認(rèn)為數(shù)學(xué)幾乎能超脫于感覺與經(jīng)驗(yàn)事實(shí)，在確定基本原則之后，數(shù)學(xué)的命題與結(jié)論可以通過純粹邏輯的推理與計(jì)算得出。培根能夠認(rèn)識到這點(diǎn)，首先是因?yàn)樗軌蚝芎玫卣莆諝W幾里得《幾何原本》中的推理方法與數(shù)學(xué)精神。其次，他重視幾何與算術(shù)，這也是中世紀(jì)“自由七藝”的學(xué)術(shù)傳統(tǒng)。需要特別指出的是，培根在這里所說的數(shù)學(xué)更多地指向歐幾里得的幾何學(xué)，而不是算術(shù)。最后，在中世紀(jì)眾多學(xué)者中，培根認(rèn)為作為工具的數(shù)學(xué)能夠使諸多學(xué)科體現(xiàn)出唯一確定性的特點(diǎn)，而這和以后自然科學(xué)的發(fā)展趨勢是一致的。

2.數(shù)學(xué)能使其他學(xué)科達(dá)到唯一確定性

正是因?yàn)閿?shù)學(xué)自身的唯一確定性，所以培根認(rèn)為，其他學(xué)科的確定性也必須借助數(shù)學(xué)才能達(dá)到。這個(gè)原則在歐幾里得《幾何原本》第九卷中被提及：“問題不能為懷疑所確認(rèn)，真理也不能由謬誤來證明……但是只有數(shù)學(xué)……在必然性與驗(yàn)證范圍之內(nèi)是明確的，是可以驗(yàn)證的，因此所有其他科學(xué)都必須通過數(shù)學(xué)來進(jìn)行掌握與驗(yàn)證?！盵5]124-125

相當(dāng)具有啟發(fā)性的是他在《大著作》中討論重物的降落時(shí)，區(qū)分了關(guān)于事實(shí)(quia)的證明與原因(propter quid)的證明，或者稱之為通過結(jié)果與通過原因進(jìn)行證明，即在所有原因的證明中都需要數(shù)學(xué)，而事實(shí)的證明則采用的是物理原理：“我們可以看到與自然事物有關(guān)的論證有兩種模式：一種是從原因(cause，causas)開始的證明，一種是從效果(effect，effectum)開始的證明?！侵挥性蚩梢哉莆照嬲闹R(scientia)，或者至少說到目前為止，通過原因掌握的知識比效果的知識要好一些，……因此，既然在自然事物中，通過原因進(jìn)行證明可以通過數(shù)學(xué)進(jìn)行證明，并且通過自然哲學(xué)可以通過結(jié)果進(jìn)行證明，因此數(shù)學(xué)家比自然哲學(xué)家能夠更好地獲得自然事物的真正知識?！盵5]189

這段話意味著兩點(diǎn)：第一，培根的論述展示了他試圖區(qū)分新科學(xué)與傳統(tǒng)的經(jīng)院哲學(xué)、自然哲學(xué)和物理學(xué)的不同。他的新科學(xué)是基于數(shù)學(xué)和經(jīng)驗(yàn)的推理論證，經(jīng)院哲學(xué)只是追求內(nèi)在一致的推理論證，這樣的推理論證遲早會淪落為詭辯[5]127。培根之后的康德通過指出邏輯的內(nèi)在局限——二律背反，補(bǔ)充了培根的學(xué)說。至于自然哲學(xué)，培根認(rèn)為自然哲學(xué)家不能與數(shù)學(xué)家相媲美，因?yàn)榍罢咦C明的過程是從效果到原因，是歸納的，后者是從原因到效果，是演繹的，因此數(shù)學(xué)家的證明更加嚴(yán)格。數(shù)學(xué)家研究自然得出的結(jié)論比自然哲學(xué)家更為可靠，所以培根認(rèn)為自己利用數(shù)學(xué)和經(jīng)驗(yàn)的新科學(xué)更加優(yōu)越。第二，培根將數(shù)學(xué)看作是科學(xué)研究的重要工具，是知識的協(xié)調(diào)者。培根對數(shù)學(xué)的討論在大部分時(shí)候不是關(guān)注于數(shù)學(xué)本身，而是將數(shù)學(xué)作為一種工具，是一種將精確性帶給物理學(xué)的方法，它指定了自然中可量化的元素。它給學(xué)者需要的確定性，通過測量和計(jì)算經(jīng)驗(yàn)感受到的事物，這種確定性越發(fā)堅(jiān)不可摧，因?yàn)樗梢源_認(rèn)他通過觀察認(rèn)知到的。只有通過數(shù)學(xué)才能確定什么樣的性質(zhì)和原因是能被科學(xué)調(diào)查所影響的。應(yīng)該承認(rèn)，培根是第一批認(rèn)識到絕對有必要將數(shù)學(xué)應(yīng)用到物理學(xué)的人[7]。

(三)天賦能力、優(yōu)先教育與感性認(rèn)識：數(shù)學(xué)的地位和次序

在討論完數(shù)學(xué)的重要性和唯一確定性之后，培根將數(shù)學(xué)置于整個(gè)學(xué)科體系當(dāng)中，分析其在學(xué)習(xí)中的地位和次序。培根的這些論述大多針對人先天的能力與教育過程的先后順序，可以看做是對數(shù)學(xué)的教育學(xué)和心理學(xué)分析。

1.數(shù)學(xué)本身并不復(fù)雜

培根雖然將數(shù)學(xué)置于至高無上的地位，但他并不認(rèn)為數(shù)學(xué)本身是一門非常復(fù)雜的學(xué)科，人們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也不需要卓越的能力。培根認(rèn)為沒有理由可以支持逃避學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的行為，因?yàn)槔斫鈹?shù)學(xué)是人的先天能力，即使完全沒有文化修養(yǎng)的人也知道畫圖、估算與唱歌，這些都是數(shù)學(xué)行為，因此可以證明數(shù)學(xué)沒有超出人類的智力范圍[5]122。更早的柏拉圖對此也有論述，《美諾篇》就敘述了一個(gè)奴隸出身的男孩學(xué)習(xí)幾何的例子，以此說明幾乎文盲的人也容易學(xué)會數(shù)學(xué)[8]。培根是從幾何、算術(shù)和音樂來考察數(shù)學(xué)所對應(yīng)的人的某種能力，這依然是在中世紀(jì)“四藝”的范圍之內(nèi)。培根以一些簡單的事實(shí)來論證自己的觀點(diǎn)，繪畫、計(jì)數(shù)與吟唱是人類先天的能力，沒有接受過專業(yè)數(shù)學(xué)培訓(xùn)的人也能擁有這些技能，至少說明數(shù)學(xué)本身并不復(fù)雜，人類天賦掌握著學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力。培根在此處很明顯受到了柏拉圖思想的影響，但他更進(jìn)一步，認(rèn)識到畫圖以外的估算和唱歌能力同樣也是天賦的數(shù)學(xué)行為。

2.數(shù)學(xué)是人應(yīng)該最先掌握的學(xué)科

在培根看來，認(rèn)識自然的過程要由易到難。兒童最先學(xué)會的是唱歌，然后是畫畫，這些都和數(shù)學(xué)有關(guān)，因此數(shù)學(xué)是人應(yīng)該最先掌握的學(xué)科。他還引用亞里士多德在《倫理學(xué)》(Ethic)中的話來闡明兒童掌握數(shù)學(xué)知識比其他知識要快。培根指出認(rèn)識自然就應(yīng)該從最簡單的開始，而最容易掌握的知識就是數(shù)學(xué)[5]127。培根的這些話體現(xiàn)出他對教育的關(guān)心。他認(rèn)為在教育中數(shù)學(xué)應(yīng)該置于優(yōu)先的地位，以便于學(xué)生以后學(xué)習(xí)其他的知識，這是他作為一個(gè)教師的職業(yè)敏感性，這也是培根對認(rèn)識世界過程的分析——兒童認(rèn)識世界的過程可以看做是人類認(rèn)識世界過程的再現(xiàn)。這一觀點(diǎn)在先哲那里已經(jīng)得到確認(rèn)。

3.人的理性因數(shù)而進(jìn)步

培根認(rèn)為，對于人們來說，認(rèn)識自然的路徑要從感性到理性，缺少感性認(rèn)識，和感性認(rèn)識相關(guān)的知識就會缺失。識數(shù)屬于常識性的能力，并且經(jīng)由其他的感知所認(rèn)識。缺少數(shù)字，任何事物都不能被理解。因此人的理性尤其能夠因崇敬數(shù)而獲得進(jìn)步。亞里士多德在《記憶與回憶》(Memoria et Reminiscentia)中提到，我們總體的理解力都與連續(xù)性和時(shí)間相關(guān)，我們通過對人的智力的直觀感知而領(lǐng)悟數(shù)和天體，因?yàn)閿?shù)和天體的形式就存在于人的智力之中[5]125。這段論述說明培根已經(jīng)開始深入思考認(rèn)識論的相關(guān)問題，人類為什么可以認(rèn)識世界和人如何認(rèn)識世界這兩個(gè)問題，在培根這里已經(jīng)有了一些重要的結(jié)論。人類的數(shù)學(xué)能力是建立在對時(shí)間和空間的直觀感知上的，這種能力織就的先天認(rèn)識之網(wǎng)捕捉感性的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)造就了人對自然的認(rèn)識，這是一條從先天能力到經(jīng)驗(yàn)事實(shí)再到理性把握的認(rèn)識道路。培根同時(shí)還指出：“一個(gè)人如果學(xué)好了數(shù)學(xué)，那么他對于哲學(xué)的掌握會更加精深?！盵5]122而現(xiàn)代邏輯的發(fā)展史，即從形式邏輯發(fā)展到數(shù)理邏輯階段，也印證了培根的這些觀點(diǎn)。必須承認(rèn)，13世紀(jì)的培根有一定的先見之明。

四、結(jié)語

學(xué)術(shù)的傳承是其得以發(fā)展的基礎(chǔ)，培根的數(shù)學(xué)觀正體現(xiàn)了這一特點(diǎn)。古典時(shí)期和中世紀(jì)早期學(xué)者的著作，經(jīng)過大翻譯運(yùn)動而被拉丁世界重新認(rèn)識，培根有幸生活在大翻譯運(yùn)動接近完成的年代，因此他吸收了大量古典時(shí)期的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)，同時(shí)也繼承了伊斯蘭學(xué)者的數(shù)學(xué)成就，形成了自己的數(shù)學(xué)觀?？梢哉f，歷史為培根數(shù)學(xué)觀的形成創(chuàng)造了優(yōu)越條件。

中世紀(jì)的“自由七藝”傳統(tǒng)中就有算術(shù)和幾何的內(nèi)容，經(jīng)院哲學(xué)家的邏輯推理法，也和歐幾里得幾何學(xué)有著思維上的一致性，但是數(shù)學(xué)的重要性卻并沒有引起傳統(tǒng)經(jīng)院哲學(xué)家的特別關(guān)注，古希臘流傳下來的數(shù)學(xué)知識還在神學(xué)的母體內(nèi)孕育著。培根的獨(dú)特之處正在于此，他以灼灼眼光發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)作為其他學(xué)科“大門”與“鑰匙”的身份，也發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)是其他學(xué)科的基礎(chǔ)。更重要的是，他將演繹法的邏輯嚴(yán)密性賦予了數(shù)學(xué)，并強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的唯一確定性，并且能帶給其他學(xué)科唯一確定性，這是將數(shù)學(xué)和自然科學(xué)從神學(xué)和哲學(xué)的框架之中解放出來的重要一步。不僅如此，培根的視野之開闊、眼光之高遠(yuǎn)還體現(xiàn)在他是從整體學(xué)科的高度，以及教育過程的漸進(jìn)性來看待數(shù)學(xué)的地位，指出數(shù)學(xué)的至高地位和天賦能力的特點(diǎn)，因此在系統(tǒng)的學(xué)科體系和教育體系中應(yīng)該置于首位。

研究發(fā)現(xiàn)，培根的數(shù)學(xué)觀在中世紀(jì)盛期的歐洲是振聾發(fā)聵的吶喊，盡管受限于時(shí)代，但仍可以說培根的數(shù)學(xué)觀具有一定的先見之明。他并不一定看到了四百年后科學(xué)的發(fā)展，但是可以認(rèn)為，他看到了13世紀(jì)所能見到的最遠(yuǎn)的將來，這種預(yù)見性也就是人類知識大廈在13世紀(jì)的基石。